安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試文試題含解析

Page232024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷文科試題一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1記全集，設(shè)集合則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題只要在數(shù)軸上畫出相應(yīng)的區(qū)間，再求交集即可.【詳解】對于集合A：，∴即是或；對于集合B：，即是或者；在數(shù)軸上作圖如下：故選：A.2.已知為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化簡求得，由此求得的虛部.【詳解】，，所以的虛部是.故選：D3.已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，推斷函數(shù)為偶函數(shù)，再對函數(shù)求導(dǎo)推斷出函數(shù)在上單調(diào)遞增，然后作差比較的大小，可得，從而可比較出，，的大小【詳解】由題可知：的定義域為，且，則為偶函數(shù)，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.又由所以，，故.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是推斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題4.為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，安康市某學(xué)校開展“唱紅色歌曲，誦紅色經(jīng)典”歌詠競賽活動，甲、乙兩位選手經(jīng)驗了7場初賽后進(jìn)入決賽，他們的7場初賽成果如莖葉圖所示．下列結(jié)論正確的是（）A.甲成果的極差比乙成果的極差大B.甲成果的眾數(shù)比乙成果的中位數(shù)大C.甲成果的方差比乙成果的方差大D.甲成果的平均數(shù)比乙成果的平均數(shù)小【答案】D【解析】【分析】對于A，分別求出極差推斷，對于B，求出甲的眾數(shù)和乙成果的中位數(shù)推斷，對于C，依據(jù)數(shù)據(jù)的離散程度推斷，對于D，分別求出平均數(shù)推斷即可.【詳解】甲成果的極差為，乙成果的極差為，故A錯誤；甲成果的眾數(shù)為85分，乙成果的中位數(shù)為87分，故B錯誤；由莖葉圖的數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，可判定甲成果的數(shù)據(jù)更集中，乙成果的數(shù)據(jù)更分散，所以甲成果的方差比乙成果的方差小，故C錯誤；甲成果的平均數(shù)為分，乙成果的平均數(shù)為分，故D正確．故選：D5.拉面是許多食客喜好的食物．師傅在制作拉面的時候，將面團先拉到肯定長度，然后對折（對折后面條根數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍），再拉到上次面條的長度．每次對折后，師傅都要去掉捏在一只手里的面團．假如拉面師傅將面團拉成細(xì)絲面條，每次對折后去掉捏在手里的面團都是．第一次拉的長度是，共拉了7次，則最終每根長的細(xì)絲面條的質(zhì)量（假定全部細(xì)絲面條粗線勻稱，質(zhì)量相等）是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)已知求得拉面的總質(zhì)量和拉面的根數(shù)可得選項．【詳解】這團面共拉7次，其中對折了6次，最終全部細(xì)絲拉面的總質(zhì)量是，拉了7次后，共有根長度為的細(xì)絲面條，每根這樣的面條質(zhì)量為．故選：B．6.若實數(shù)滿意約束條件，則的最大值為（）A.0 B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】畫出不等式組表示平面區(qū)域，將轉(zhuǎn)化為斜截式，即，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出約束條件表示的可行域，如圖所示，將轉(zhuǎn)化為斜截式，即，平移直線，由圖可知當(dāng)直經(jīng)過點A時，直線在y軸上的截距最大，由，可得，所以的最大值為.故選：C.【點睛】方法點睛：本題主要考查線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值，求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（肯定要留意是實線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最終通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值，屬于基礎(chǔ)題.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是圓與位于軸上方的兩個交點，且，則雙曲線的離心率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】連接,由雙曲線的定義可得:,,由,可得,在中,可得,在中,可得,由，可得,即有,可得,化為,得,解得,負(fù)值舍去,故選C.點睛:本題考查雙曲線的定義與離心率,屬于中檔題目.解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題,其關(guān)鍵是確立一個關(guān)于的方程或者不等式,再依據(jù)的等量關(guān)系消掉得到的關(guān)系式即可,建立方程或者不等式,要充分利用橢圓或雙曲線的幾何性質(zhì),點的坐標(biāo)的范圍等.8.設(shè)首項為1的等比數(shù)列的前n項和為，且．則（）A.200 B.190 C.180 D.170【答案】B【解析】【分析】由求得公比,寫出通項公式,再利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)運算求解.【詳解】由題意，由得：，解得．∴．∵，∴．故選：B．9.在三棱錐中，，，.若三棱錐的體積為1，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件可知和為以為斜邊的直角三角形，則的中點為外接球的球心.過做平面，垂足為，由三棱錐的體積可求出高，依據(jù)三角形全等可證明在的角平分線上，即，由線面垂直的定理可知，從而可計算，勾股可知的長，從而計算外接球的半徑和表面積.【詳解】解：因為，所以和為以為斜邊的直角三角形，則的中點到各個頂點的距離都相等，則為外接球的球心.即為直徑.過做平面，垂足為，連結(jié)，，則，解得：.，，，，則分別為在平面內(nèi)的射影，所以有，又，為公共邊，所以，則，所以在的角平分線上，，，，，所以有平面，平面，則有，因為，，所以，則，則故外接球的表面積為.故選：D.【點睛】思路點睛：求三棱錐的外接球的球心位置，若三棱錐全部頂點都在某一邊為斜邊的三角形上，則斜邊的中點為球心，計算斜邊的長度即可求出半徑.10.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)探討成果，其中《算經(jīng)十書》是指漢?唐一千多年間的十部聞名的數(shù)學(xué)著作，這些數(shù)學(xué)著作曾經(jīng)是隋唐時代國子監(jiān)算學(xué)科的教科書.十部書的名稱是：《周髀算經(jīng)》?《九章算術(shù)》?《海島算經(jīng)》?《張丘建算經(jīng)》?《夏侯陽算經(jīng)》?《五經(jīng)算術(shù)》?《緝古算經(jīng)》?《綴術(shù)》?《五曹算經(jīng)》?《孫子算經(jīng)》.《算經(jīng)十書》標(biāo)記著中國古代數(shù)學(xué)的高峰.《算經(jīng)十書》這10部專著，有著非常豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這10部專著中據(jù)說有6部成書于魏晉南北朝時期，其中《張丘建算經(jīng)》?《夏侯陽算經(jīng)》就成書于魏晉南北朝時期.某中學(xué)擬從《算經(jīng)十書》專著中的魏晉南北朝時期的6部算經(jīng)中任選2部作為“數(shù)學(xué)文化”進(jìn)行推廣學(xué)習(xí)，則所選2部專著中至少有一部是《張丘建算經(jīng)》?《夏侯陽算經(jīng)》的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將《張丘建算經(jīng)》?《夏侯陽算經(jīng)》分別記為a，b，其余的4部算經(jīng)依次記為c，d，e，f，利用列舉法求得基本領(lǐng)件的總數(shù)和所求事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計算公式，即可求解.【詳解】將《張丘建算經(jīng)》?《夏侯陽算經(jīng)》分別記為a，b，其余的4部算經(jīng)依次記為c，d，e，f，從上述6部算經(jīng)中任選2部算經(jīng)，全部的基本領(lǐng)件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15種狀況，其中，事務(wù)“《張丘建算經(jīng)》?《夏侯陽算經(jīng)》至少有1部被選中”所包含的基本領(lǐng)件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，共9種狀況，由古典摡型的概率計算公式，可得所求事務(wù)的概率為.故選：B.11.函數(shù)的大致圖像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由定義域推斷函數(shù)的奇偶性，從而可推斷AB選項，當(dāng)當(dāng)x>0且x→0時，推斷函數(shù)值的符號，從而可選出正確答案.【詳解】解析：定義域為，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，解除A，B，當(dāng)x>0且x→0時，f(x)<0，解除C，故選:D.12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的為區(qū)間內(nèi)隨意一個數(shù)，則輸出的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意可得函數(shù)，分段探討其值域即可求解.【詳解】由題意知，，當(dāng)時，，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．所以，當(dāng)時，是增函數(shù)，．因此，的值域是．故選：D．二、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】.【解析】【分析】運用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)當(dāng)x>1時，函數(shù)圖像大致狀況，結(jié)合函數(shù)零點的定義，運用換元法、數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)x>1時，)，，，所以在(1，e)上單調(diào)遞增，在(e，+∞)上單調(diào)遞減，，且當(dāng)x→+∞時，所以x軸為曲線的水平漸近線；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增，且.由此作圖，圖像如圖，設(shè)，則由得，若函數(shù)恰有5個不同的零點，則關(guān)于x的方程恰有5個不同的實根，則結(jié)合函數(shù)的圖像及直線得恰有2個不等的實根，有2個不等的實根，有3個不等的實根，函數(shù)恒過，當(dāng)直線過時，斜率∴.故答案為：【點睛】方法點睛：解決函數(shù)零點問題常常用到的方程就是數(shù)形結(jié)合，用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì).14.設(shè)，向量，若且，則的值是________．【答案】3【解析】【分析】由和，利用平面對量的數(shù)量積和模的坐標(biāo)運算，分別求得m，n即可.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，即，所以．故答案為：3．15.過雙曲線的下焦點作軸的垂線，交雙曲線于兩點，若以為直徑的圓恰好過其上焦點,則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】【詳解】過雙曲線的下焦點作軸的垂線，交雙曲線于，兩點，則，以為直徑的圓恰好過其上焦點，可得：，∴，可得，解得，舍去，故答案為.16.已知在中，角，，所對的邊分別為，，，且，點為其外接圓的圓心.已知，則當(dāng)角取到最大值時的內(nèi)切圓半徑為________.【答案】【解析】【分析】取的中點D，則可得，由余弦定理和基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)中點為，則，所以，∴，∴，由得角為銳角，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時最小，又遞減，故此時最大.此時，恰有，即為直角三角形，∴.故答案為：.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要留意其必需滿意的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必需把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必需驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最簡單發(fā)生錯誤的地方.三、解答題（本大題共6小題，每小題12分，共60分．）17.中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大?。唬?）若邊上的中線，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為，再利用兩角和的正弦公式求解；（2）中，由余弦定理得到，然后分別在和中，利用余弦定理結(jié)合，兩式相加得到，聯(lián)立求得c，再利用三角形面積公式求解.【小問1詳解】解；因為，所以，所以，即，因為，所以，所以；【小問2詳解】在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，兩式相加得②，由①②得，所以.18.某市志愿者的身影活躍在各個角落，他們或主動抗疫，或抗災(zāi)救險……為社會發(fā)展做出了突出貢獻(xiàn)．現(xiàn)隨機抽取了男女志愿者共200名，他們年齡（單位：歲）都在區(qū)間上，并繪制了女志愿者年齡分布直方圖．如圖，在這200名志愿者中，年齡在上的女志愿者是15名，年齡在上的女志愿者人數(shù)是男志愿人數(shù)的．（1）用分層抽樣的方法從年齡在區(qū)間，上的女志愿者中抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人，抽取的3人中，有人年齡在區(qū)間上，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）完成下面列聯(lián)表，并推斷是否有95%的把握認(rèn)為志愿者的年齡分布與性別有關(guān)．年齡小于40歲年齡不小于40歲合計男女合計附：參考公式和檢驗臨界值表：，．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）分布列見解析；期望為；（2）填表見解析；有95%的把握認(rèn)為志愿者的年齡分布與性別有關(guān)．【解析】【分析】（1）依據(jù)直方圖及已知數(shù)據(jù)求得女性在各年齡段的人數(shù)，可得兩年齡段抽取的人數(shù)分別為4和3，隨機變量，分別計算出概率得概率分布列，由期望公式計算出期望．（2）結(jié)合直方圖計算出列聯(lián)表中各數(shù)據(jù)，然后計算出后可得結(jié)論．【詳解】（1）由條件，抽取的女志愿者人數(shù)為，其中年齡在上的有人，年齡在上的有人，用分層抽樣的方法從年齡在這兩個區(qū)間中抽取7人，有4人年齡在區(qū)間上，3人在區(qū)間上，所以．，，，．∴的分布列為0123∴．（2）由（1）知，抽取的女志愿者中，年齡在上的有人，所以抽取的男志愿者中，年齡在上的有人，列聯(lián)表數(shù)據(jù)如下表：年齡小于40歲年齡不小于40歲合計男4060100女5545100合計95105200∴，所以，有95%的把握認(rèn)為志愿者的年齡分布與性別有關(guān)．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查頻率分布直方圖，超幾何分布，隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，檢驗．考查考生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是駕馭數(shù)據(jù)分析方法，由頻率分布直方圖計算出各年齡段女性數(shù)據(jù)，然后得出男性數(shù)據(jù)，完成求解．獨立性檢驗步驟：（1）數(shù)據(jù)分析得出列聯(lián)表，（2）依據(jù)列聯(lián)表計算，（3）與臨界值比較得出結(jié)論．19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=BC=CD=BD=2，AB=AD=，AC與BD交于點O，點M在線段PA上，且PM=3MA.（1）證明：平面；（2）求三棱錐P-MCD的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】(1)由已知條件求出的長，從而可得，進(jìn)而可知，結(jié)合線面平行的判定定理，從而可證明平面.(2)在中結(jié)合余弦定理求出，從而可知CD⊥AD，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得CD⊥平面PAD，從而求出三棱錐P-MCD的高，進(jìn)而可求出三棱錐的體積.【詳解】解：（1）由已知可得△ABC≌△ADC，∴AC⊥BD且O為BD的中點，由BC=CD=BD=2，AB=AD=，得OA=，OC=，∴.∴OM∥PC，又OM平面PBC，PC平面PBC，∴OM∥平面PBC.（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.在△ABD中，AB=AD=，BD=2，由余弦定理得，又∠CDB=60°，∴∠CDA=90°，即CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.∴=.【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查了線面平行的判定，考查了線面垂直的性質(zhì)，考查了三棱錐體積的求解.本題的關(guān)鍵是求體積時，證明線面垂直從而找出三棱錐的高.20.如圖，已知橢圓（）的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點，為頂點的三角形的周長為，一雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，且它的實軸長等于虛軸長，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、，其中、在軸的同一側(cè)．（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（3）是否存在題設(shè)中的點，使得．若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在點的坐標(biāo)為．【解析】【分析】（1）依據(jù)離心率，及三角形周長，即可求得a，c的值，利用，即可求得b的值，進(jìn)而可得橢圓方程；依據(jù)實軸長等于虛軸長，可設(shè)雙曲線方程為（），依據(jù)題意，可求得m的值，即可得雙曲線方程.（2）設(shè)，，，則，，即可得的表達(dá)式，又在雙曲線上，可得，代入表達(dá)式，即可得證.（3）設(shè)方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式，可得的表達(dá)式，同理可得的表達(dá)式，設(shè)夾角為，依據(jù)條件，可求得的值，利用數(shù)量積公式，代入數(shù)據(jù)，即可求得P點坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知；，∵，∴，．又∵，∴．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），∵等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，∴，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，，則，．∵點在雙曲線上，所以．∴，即．（3）設(shè)方程為，的方程為，設(shè)，，則，，，所以，同理，，設(shè)夾角為，即由題意得，所以，因為所以，又，所以，所以，則，即存在點的坐標(biāo)為．【點睛】本題考查橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、弦長公式的應(yīng)用、數(shù)量積公式的應(yīng)用等學(xué)問，一般將直線方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出、，代入弦長公式，進(jìn)行求解，考查分析理解，化簡求值的實力，屬中檔題.21.已知函數(shù)．（1）試探討函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若當(dāng)時，關(guān)于x的方程有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，詳細(xì)見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由已知有，當(dāng)明顯有一個零點，當(dāng)時由的符號探討單調(diào)性，進(jìn)而依據(jù)極值與0的關(guān)系，結(jié)合零點存在性定理，即可知的零點個數(shù)；（2）由題設(shè)，若，若，再由導(dǎo)數(shù)探討在上的單調(diào)性，依據(jù)，探討、，構(gòu)造中間函數(shù)探討單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理確定實數(shù)解的個數(shù)，進(jìn)而求參數(shù)a的范圍.【詳解】（1）依據(jù)題意，得，有：①若，則，此時函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)只有一個零點；②若，令，則，∴有，此時在上單調(diào)遞增，有，此時在上單調(diào)遞減，∴，（?。┊?dāng)，即時，則，此時只有一個零點；（ⅱ）當(dāng)時，即時，則，又時，﹔時，，由零點存在定理可得：此時函數(shù)在R上有兩個零點．綜上，當(dāng)或時，函數(shù)只有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點．（2）設(shè)，，設(shè)，，由得，，，∴，在上單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，，①當(dāng)，即時，時，，在單調(diào)遞增，又，此時關(guān)于x的方程有且只有一個實數(shù)解，②當(dāng)，即時，由（1）知，∴，則，又，故，當(dāng)時，單調(diào)遞減，又，∴在內(nèi)，關(guān)于x的方程有一個實數(shù)解1，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，令，若，故在單調(diào)遞增，則，∴時，在單調(diào)遞增，故，即，又，由零點存在定理可知，，，∴在，關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)解，綜上，當(dāng)時關(guān)于x的方程有且只有一個實數(shù)解，則．【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）探討參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)