廣東省羅定市重點中學2025屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學試卷含解析

廣東省羅定市重點中學2025屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的大致圖象為A． B．C． D．2．已知復數(shù)是純虛數(shù)，其中是實數(shù)，則等于（）A． B． C． D．3．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．84．點是單位圓上不同的三點，線段與線段交于圓內(nèi)一點M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．5．新聞出版業(yè)不斷推進供給側結構性改革，深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給，實現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況，則下列說法錯誤的是（）A．2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B．2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C．2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D．2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一6．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足，且時，，則（）A．2 B． C．1 D．7．已知點P不在直線l、m上，則“過點P可以作無數(shù)個平面，使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．如圖所示點是拋物線的焦點，點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動，且總是平行于軸，則的周長的取值范圍是（）A． B． C． D．9．我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”，該比例在設計和建筑領域有著廣泛的應用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比，第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺間高度差為100米，則下列選項中與該塔的實際高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米10．設向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．11．已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.若的前n項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，，且在上是單調(diào)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A． B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的圖像關于點對稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a值范圍為_________.14．若橢圓：的一個焦點坐標為，則的長軸長為_______．15．的展開式中的系數(shù)為________________．16．已知為矩形的對角線的交點，現(xiàn)從這5個點中任選3個點，則這3個點不共線的概率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上存在兩個極值點，，且，證明.18．（12分）已知橢圓：的離心率為，左、右頂點分別為、，過左焦點的直線交橢圓于、兩點（異于、兩點），當直線垂直于軸時，四邊形的面積為1．（1）求橢圓的方程；（2）設直線、的交點為；試問的橫坐標是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．19．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，分別為，的中點．（1）求證：．（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）設函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且，求的最小值．21．（12分）某商場為改進服務質(zhì)量，在進場購物的顧客中隨機抽取了人進行問卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下：滿意不滿意男女是否有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關？若在購物體驗滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價值元的購物券．若在獲得了元購物券的人中隨機抽取人贈其紀念品，求獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率．附表及公式：．22．（10分）如圖所示，在四棱錐中，底面是棱長為2的正方形，側面為正三角形，且面面，分別為棱的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，排除B、D，又，排除C，故選A．2、A【解析】

對復數(shù)進行化簡，由于為純虛數(shù)，則化簡后的復數(shù)形式中，實部為0，得到的值，從而得到復數(shù).【詳解】因為為純虛數(shù)，所以，得所以.故選A項【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算，純虛數(shù)的概念，屬于簡單題.3、B【解析】

建立平面直角坐標系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設未知量的關系式，再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關系式表達的算式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標系如下圖所示，設，，且，由于，所以..所以，即..當且僅當時取得最小值，此時由得，當時，有最小值為，即，，解得.所以當且僅當時有最小值為.故選：B【點睛】本小題主要考查向量的位置關系、向量的模，考查基本不等式的運用，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于難題.4、D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當且僅當時等號成立），，的最小值為，故選：D．【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用，考查基本不等式的應用，屬于中檔題．5、C【解析】

通過圖表所給數(shù)據(jù)，逐個選項驗證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項A正確；對于選項B：，正確；對于選項C：，故C不正確；對于選項D：，正確.選C.【點睛】本題主要考查柱狀圖是識別和數(shù)據(jù)分析，題目較為簡單.6、D【解析】

說明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結合奇偶性計算函數(shù)值．【詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，，又，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎．7、C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】點不在直線、上，若直線、互相平行，則過點可以作無數(shù)個平面，使得直線、都與這些平面平行，即必要性成立，若過點可以作無數(shù)個平面，使得直線、都與這些平面平行，則直線、互相平行成立，反證法證明如下：若直線、互相不平行，則，異面或相交，則過點只能作一個平面同時和兩條直線平行，則與條件矛盾，即充分性成立則“過點可以作無數(shù)個平面，使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件，故選：．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關鍵．8、B【解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標和準線方程，結合定義表示出；根據(jù)拋物線與圓的位置關系和特點，求得點橫坐標的取值范圍，即可由的周長求得其范圍.【詳解】拋物線，則焦點，準線方程為，根據(jù)拋物線定義可得，圓，圓心為，半徑為，點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動，解得交點橫坐標為2.點、分別在兩個曲線上，總是平行于軸，因而兩點不能重合，不能在軸上，則由圓心和半徑可知，則的周長為，所以，故選：B.【點睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應用，圓的幾何性質(zhì)應用，屬于中檔題.9、B【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關系，結合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離，進而由比例即可求得該塔的實際高度.【詳解】設第一展望臺到塔底的高度為米，塔的實際高度為米，幾何關系如下圖所示：由題意可得，解得；且滿足，故解得塔高米，即塔高約為480米.故選：B【點睛】本題考查了對中國文化的理解與簡單應用，屬于基礎題.10、B【解析】

由模長公式求解即可.【詳解】，當時取等號，所以本題答案為B.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，考查模長公式，準確計算是關鍵，是基礎題.11、D【解析】

利用等比中項性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項，進而求得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當或時，取到最小值.【詳解】根據(jù)題意，可知為等差數(shù)列，公差，由成等比數(shù)列，可得，∴，解得.∴.根據(jù)單調(diào)性，可知當或時，取到最小值，最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式、等比中項性質(zhì)、等差數(shù)列前項和的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意當或時同時取到最值.12、B【解析】

根據(jù)函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，確定，然后一一驗證，A.若，則，由，得，但.B.由，，確定，再求解驗證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.D.計算是否為0.【詳解】因為函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，所以，即，所以，若，則，又因為，即，解得，而，故A錯誤.由，不妨令，得由，得或當時，，不合題意.當時，，此時所以，故B正確.因為，函數(shù)，在上是單調(diào)遞增，故C錯誤.，故D錯誤.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應用，還考查了運算求解的能力，屬于較難的題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由在上恒成立可求解．【詳解】，令，∵，∴，又，，從而，令，問題等價于在時恒成立，∴，解得．故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，解題關鍵是問題轉(zhuǎn)化為恒成立，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解．14、【解析】

由焦點坐標得從而可求出，繼而得到橢圓的方程，即可求出長軸長.【詳解】解：因為一個焦點坐標為，則，即，解得或由表示的是橢圓，則，所以，則橢圓方程為所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略，從而未對的兩個值進行取舍.15、【解析】

在二項展開式的通項中令的指數(shù)為，求出參數(shù)值，然后代入通項可得出結果.【詳解】的展開式的通項為，令，因此，的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，涉及二項展開式通項的應用，考查計算能力，屬于基礎題.16、【解析】

基本事件總數(shù)，這3個點共線的情況有兩種和，由此能求出這3個點不共線的概率．【詳解】解：為矩形的對角線的交點，現(xiàn)從，，，，這5個點中任選3個點，基本事件總數(shù)，這3個點共線的情況有兩種和，這3個點不共線的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）若，則在定義域內(nèi)遞增；若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）證明見解析【解析】

（1），分，討論即可；（2）由題可得到，故只需證，，即，采用換元法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理.【詳解】由已知，，若，則在定義域內(nèi)遞增；若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題意，對求導可得從而，是的兩個變號零點，因此下證：，即證令，即證：，對求導可得，，，因為故，所以在上單調(diào)遞減，而，從而所以在單調(diào)遞增，所以，即于是【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式，考查學生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，是一道有一定難度的壓軸題.18、（1）（2）是為定值，的橫坐標為定值【解析】

（1）根據(jù)“直線垂直于軸時，四邊形的面積為1”列方程，由此求得，結合橢圓離心率以及，求得，由此求得橢圓方程.（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，化簡后寫出根與系數(shù)關系.求得直線的方程，并求得兩直線交點的橫坐標，結合根與系數(shù)關系進行化簡，求得的橫坐標為定值.【詳解】（1）依題意可知，解得，即；而，即，結合解得，，因此橢圓方程為（2）由題意得，左焦點，設直線的方程為：，，．由消去并整理得，∴，．直線的方程為：，直線的方程為：．聯(lián)系方程，解得，又因為．所以．所以的橫坐標為定值．【點睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓離心率求橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關系，考查直線和直線交點坐標的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）由已知可證明平面，從而得證面面垂直，再由，得線面垂直，從而得，由直角三角形得結論；（2）以為軸建立空間直角坐標系，用空間向量法示二面角．【詳解】（1）證明：連接，，．，，平面．平面，平面平面．，為的中點，．平面平面，平面．平面，．為斜邊的中點，，（2），由（1）可知，為等腰直角三角形，則．以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則，記平面的法向量為由得到，取，可得，則．易知平面的法向量為．記二面角的平面角為，且由圖可知為銳角，則，所以二面角的余弦值為．【點睛】本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，從而得線線垂直，考查用空間向量法求二面角．在立體幾何中求異面直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時，可以建立空間直角坐標系，用空間向量法求解空間角，可避免空間角的作證過程，通過計算求解．20、（1）或（2）最小值為．【解析】

（1）討論，，三種情況，分別計算得到答案.（2）計算得到，再利用均值不等式計算得到答案.【詳解】（1）當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得．所以所求不等式的解集為或．（2）根據(jù)函數(shù)圖像知：當時，，所以．因為，由，可知，所以，當且僅當，，時，等號成立．所以的最小值為．【點睛】本題考查了解絕對值不等式，函數(shù)最值，均值不等式，意在考查學生對于不等式，函數(shù)知識的綜合應用.21、有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關；.【解析】

由題得，根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購物體