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2025屆湖北省龍泉中學(xué)高考數(shù)學(xué)押題試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知F是雙曲線(k為常數(shù))的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為()A.2k B.4k C.4 D.22.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且,則()A. B. C. D.3.已知非零向量滿足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.34.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果,哥德巴赫猜想的內(nèi)容是:每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和,例如:,,,那么在不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于16的概率為()A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,,,為某三角形的三邊長(zhǎng),且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為,若對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)().A.6 B.5 C.4 D.36.設(shè)a,b都是不等于1的正數(shù),則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件7.已知的垂心為,且是的中點(diǎn),則()A.14 B.12 C.10 D.88.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.9.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A. B.4C. D.510.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體,四個(gè)側(cè)面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn),該金字塔底面周長(zhǎng)除以倍的塔高,恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率.設(shè)胡夫金字塔的高為,假如對(duì)胡夫金字塔進(jìn)行亮化,沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶,則需要燈帶的總長(zhǎng)度約為A. B.C. D.11.函數(shù)在的圖象大致為A. B.C. D.12.的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為()A. B.60 C.70 D.80二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中的系數(shù)為__________.14.已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合,直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線交于、兩點(diǎn)和橢圓交于、兩點(diǎn),為拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn),滿足,,當(dāng)面積最大時(shí),直線的方程為______.15.驗(yàn)證碼就是將一串隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)字或符號(hào),生成一幅圖片,圖片里加上一些干擾象素(防止),由用戶肉眼識(shí)別其中的驗(yàn)證碼信息,輸入表單提交網(wǎng)站驗(yàn)證,驗(yàn)證成功后才能使用某項(xiàng)功能.很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼技術(shù)來(lái)防止惡意登錄,以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間,某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗(yàn)證碼由0,1,2,…,9中的五個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成.將中間數(shù)字最大,然后向兩邊對(duì)稱遞減的驗(yàn)證碼稱為“鐘型驗(yàn)證碼”(例如:如14532,12543),已知某人收到了一個(gè)“鐘型驗(yàn)證碼”,則該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.16.已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集是,則的值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,點(diǎn)P在棱DF上.(1)若P是DF的中點(diǎn),求異面直線BE與CP所成角的余弦值;(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,求PF的長(zhǎng)度.18.(12分)金秋九月,丹桂飄香,某高校迎來(lái)了一大批優(yōu)秀的學(xué)生.新生接待其實(shí)也是和社會(huì)溝通的一個(gè)平臺(tái).校團(tuán)委、學(xué)生會(huì)從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取了160名學(xué)生,對(duì)是否愿意投入到新生接待工作進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根據(jù)上表說(shuō)明,能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)現(xiàn)從參與問(wèn)卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取10人.若從這10人中隨機(jī)選取3人到火車站迎接新生,設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為,寫出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.82819.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若,證明.20.(12分)已知函數(shù),將的圖象向左移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,的一條對(duì)稱軸是,求在的值域.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是拋物線上上一點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,.(1)求拋物線的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn),設(shè)的中點(diǎn)為,若、、四點(diǎn)共圓,求直線的方程.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)證明:當(dāng)時(shí),.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
分析可得,再去絕對(duì)值化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),等式不是雙曲線的方程;當(dāng)時(shí),,可化為,可得虛半軸長(zhǎng),所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計(jì)算能力.3、D【解析】
利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結(jié)果即可.【詳解】解:非零向量,滿足,可知兩個(gè)向量垂直,,且與的夾角為,說(shuō)明以向量,為鄰邊,為對(duì)角線的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
先求出從不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)的所有可能結(jié)果,然后再求出其和等于16的結(jié)果,根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解:不超過(guò)18的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17共7個(gè),從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有,其和等于16的結(jié)果,共2種等可能的結(jié)果,故概率.故選:B.【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù),本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計(jì)數(shù)得到,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
若對(duì)任意的恒成立,則為的最大值,所以由已知,只需求出取得最大值時(shí)的n即可.【詳解】由已知,,又三角形有一個(gè)內(nèi)角為,所以,,解得或(舍),故,當(dāng)時(shí),取得最大值,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍,再利用充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法,考查指數(shù),對(duì)數(shù)不等式的解法,是基礎(chǔ)題.7、A【解析】
由垂心的性質(zhì),得到,可轉(zhuǎn)化,又即得解.【詳解】因?yàn)闉榈拇剐?,所以,所以,而,所以,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.8、B【解析】
由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長(zhǎng)平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
還原幾何體的直觀圖,可將此三棱錐放入長(zhǎng)方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖,三棱錐的直觀圖為,體積.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計(jì)算能力,屬于中檔題.10、D【解析】
設(shè)胡夫金字塔的底面邊長(zhǎng)為,由題可得,所以,該金字塔的側(cè)棱長(zhǎng)為,所以需要燈帶的總長(zhǎng)度約為,故選D.11、A【解析】
因?yàn)?,所以排除C、D.當(dāng)從負(fù)方向趨近于0時(shí),,可得.故選A.12、B【解析】
展開式中含的項(xiàng)是由的展開式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到,由二項(xiàng)式的通項(xiàng),可得解【詳解】由題意,展開式中含的項(xiàng)是由的展開式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到,所以的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【解析】
分別用1和進(jìn)行分類討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取1時(shí),第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對(duì)應(yīng)系數(shù)為:;當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取時(shí),第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對(duì)應(yīng)系數(shù)為:;故的展開式中的系數(shù)為.故答案為:3【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中具體項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)的求解,屬于基礎(chǔ)題14、【解析】
根據(jù)均值不等式得到,,根據(jù)等號(hào)成立條件得到直線的傾斜角為,計(jì)算得到直線方程.【詳解】由橢圓,可知,,,,,,,(當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立),,,,,直線的傾斜角為,直線的方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線,橢圓,直線的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.15、【解析】
首先判斷出中間號(hào)碼的所有可能取值,由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù),根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求概率.【詳解】根據(jù)“鐘型驗(yàn)證碼”中間數(shù)字最大,然后向兩邊對(duì)稱遞減,所以中間的數(shù)字可能是.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.所以該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算,考查分類加法計(jì)數(shù)原理、分類乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.16、【解析】
根據(jù)題意可知的兩根為,再根據(jù)解集的區(qū)間端點(diǎn)得出參數(shù)的關(guān)系,再求解即可.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù),關(guān)于的不等式的解集是的兩根為:和;所以有:且;且;;故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的解集與參數(shù)之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1).(2).【解析】
(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),計(jì)算夾角得到答案.(2)設(shè),0≤λ≤1,計(jì)算P(0,2λ,2﹣2λ),計(jì)算平面APC的法向量(1,﹣1,),平面ADF的法向量(1,0,0),根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】(1)∵BAF=90°,∴AF⊥AB,又∵平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴AF⊥平面ABCD,又四邊形ABCD為矩形,∴以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,∵AD=2,AB=AF=2EF=2,P是DF的中點(diǎn),∴B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),設(shè)異面直線BE與CP所成角的平面角為θ,則cosθ,∴異面直線BE與CP所成角的余弦值為.(2)A(0,0,0),C(2,2,0),F(xiàn)(0,0,2),D(0,2,0),設(shè)P(a,b,c),,0≤λ≤1,即(a,b,c﹣2)=λ(0,2,﹣2),解得a=0,b=2λ,c=2﹣2λ,∴P(0,2λ,2﹣2λ),(0,2λ,2﹣2λ),(2,2,0),設(shè)平面APC的法向量(x,y,z),則,取x=1,得(1,﹣1,),平面ADP的法向量(1,0,0),∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,∴|cos|,解得,∴P(0,,),∴PF的長(zhǎng)度|PF|.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角,根據(jù)二面角求長(zhǎng)度,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.18、(1)有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)計(jì)算得到,由此可得結(jié)論;(2)根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù),由超幾何分布概率公式可求得的所有可能取值所對(duì)應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式計(jì)算可得期望.【詳解】(1)∵的觀測(cè)值,有的把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣方法得:男生有人,女生有人,選取的人中,男生有人,女生有人.則的可能取值有,,,,,的分布列為:.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解;關(guān)鍵是能夠明確隨機(jī)變量服從于超幾何分布,進(jìn)而利用超幾何分布概率公式求得隨機(jī)變量每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率.19、(1)單調(diào)遞減區(qū)間為,,無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性,(2)整理,化簡(jiǎn)為,令,求的單調(diào)性,以及,即證.【詳解】解:(1)函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t,令,,則,當(dāng),,單調(diào)遞減;當(dāng),,單調(diào)遞增;故,,,,故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,,無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.(2)證明,即為,因?yàn)椋醋C,令,則,令,則,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,則,,則在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減,所以要證原不等式成立,只需證當(dāng)時(shí),,令,,,可知對(duì)于恒成立,即,即,故,即證,故原不等式得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,函數(shù)的最值問(wèn)題,屬于中檔題.20、(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】
(1)由題意利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求得的解析式,然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性,得出結(jié)論;(2)由題意利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得,再根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域,得出結(jié)論.【詳解】由題意得(1)向左平移個(gè)單位得到,增區(qū)間:解不等式,解得,減區(qū)間:解不等式,解得.綜上可得,的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2)由題易知,,因?yàn)榈囊粭l對(duì)稱軸是,所以,,解得,.又因?yàn)椋裕?因?yàn)?,?/p>
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