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文檔簡介
2025屆吉林省白山市第七中學高考臨考沖刺數(shù)學試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)滿足:,則的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.3.拋物線方程為,一直線與拋物線交于兩點,其弦的中點坐標為,則直線的方程為()A. B. C. D.4.設(shè),是非零向量,若對于任意的,都有成立,則A. B. C. D.5.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.6.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.17.已知與函數(shù)和都相切,則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為()A. B. C. D.8.公比為2的等比數(shù)列中存在兩項,,滿足,則的最小值為()A. B. C. D.9.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.10.若點是角的終邊上一點,則()A. B. C. D.11.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的實部與虛部相等,則的值為()A. B. C. D.12.已知集合,,且、都是全集(為實數(shù)集)的子集,則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為()A. B.或C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖所示,平面BCC1B1⊥平面ABC,ABC=120,四邊形BCC1B1為正方形,且AB=BC=2,則異面直線BC1與AC所成角的余弦值為_____.14.已知數(shù)列的前項和為,,且滿足,則數(shù)列的前10項的和為______.15.已知,分別是橢圓:()的左、右焦點,過左焦點的直線與橢圓交于、兩點,且,,則橢圓的離心率為__________.16.已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點為,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足.(Ⅰ)求證數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的前項和.18.(12分)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為.(1)求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程;(2)直線l與圓C交于A,B兩點,點P(2,1),求|PA|?|PB|的值.19.(12分)設(shè)等差數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求的前項和及使得最小的的值.20.(12分)設(shè)函數(shù),其中.(Ⅰ)當為偶函數(shù)時,求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,求的取值范圍.21.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,底面.(1)證明:;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機芯片進行測評,該公司隨機調(diào)查了100顆芯片,并將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為五個小組(所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)),得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中.(1)求這100顆芯片評測分數(shù)的平均數(shù)(同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替).(2)芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試,該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分,則認定該芯片合格;若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分,則認定該芯片不合格;若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分,則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測,二測時,2個工程手機的評分都達到11萬分,則認定該芯片合格;2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分,手機公司將認定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立,并且芯片公司對芯片的評分方法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元,每顆芯片若被認定為合格或不合格,將不再進行后續(xù)測試,現(xiàn)手機公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費為10萬元,試問預(yù)算經(jīng)費是否足夠測試完這100顆芯片?請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
轉(zhuǎn)化,為,利用復(fù)數(shù)的除法化簡,即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足:所以故選:B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念,考查了學生概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因為,所以,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運算.3、A【解析】
設(shè),,利用點差法得到,所以直線的斜率為2,又過點,再利用點斜式即可得到直線的方程.【詳解】解:設(shè),∴,又,兩式相減得:,∴,∴,∴直線的斜率為2,又∴過點,∴直線的方程為:,即,故選:A.【點睛】本題考查直線與拋物線相交的中點弦問題,解題方法是“點差法”,即設(shè)出弦的兩端點坐標,代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點坐標建立關(guān)系.4、D【解析】
畫出,,根據(jù)向量的加減法,分別畫出的幾種情況,由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意,得向量是所有向量中模長最小的向量,如圖,當,即時,最小,滿足,對于任意的,所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法,以及點到直線的距離最短問題,解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
可解出集合,然后進行補集、交集的運算即可.【詳解】,,則,因此,.故選:B.【點睛】本題考查補集和交集的運算,涉及一元二次不等式的求解,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由兩圓相外切,得出,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】因為兩圓和相外切所以,即當時,取最大值故選:A【點睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù),屬于中檔題.7、B【解析】
根據(jù)直線與和都相切,求得的值,由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓,由此求得正確選項.【詳解】.設(shè)直線與相切于點,斜率為,所以切線方程為,化簡得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡得②.由①②對比系數(shù)得,化簡得③.構(gòu)造函數(shù),,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫出其對應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【點睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù),考查不等式組表示區(qū)域的畫法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計算,考查扇形面積公式,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,考查分析思考與解決問題的能力,屬于難題.8、D【解析】
根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項公式,求出關(guān)系,即可求解.【詳解】,當時,,當時,,當時,,當時,,當時,,當時,,最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式,注意為正整數(shù),如用基本不等式要注意能否取到等號,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
利用特殊點的坐標代入,排除掉C,D;再由判斷A選項正確.【詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題,代入特殊點,采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法,屬于中檔題.10、A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【詳解】由題意,點是角的終邊上一點,根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得,則,故選A.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,準確化簡、計算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法,以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】,又的實部與虛部相等,,解得.故選:C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算,復(fù)數(shù)的概念運用.12、C【解析】
根據(jù)韋恩圖可確定所表示集合為,根據(jù)一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合,根據(jù)補集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】由韋恩圖可知:陰影部分表示,,,.故選:.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算,涉及到一元二次不等式和函數(shù)定義域的求解;關(guān)鍵是能夠根據(jù)韋恩圖確定所求集合.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
將平移到和相交的位置,解三角形求得線線角的余弦值.【詳解】過作,過作,畫出圖像如下圖所示,由于四邊形是平行四邊形,故,所以是所求線線角或其補角.在三角形中,,故.【點睛】本小題主要考查空間兩條直線所成角的余弦值的計算,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.14、1【解析】
由得時,,兩式作差,可求得數(shù)列的通項公式,進一步求出數(shù)列的和.【詳解】解:數(shù)列的前項和為,,且滿足,①當時,,②①-②得:,整理得:(常數(shù)),故數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以(首項不符合通項),故,所以:,故答案為:1.【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用,數(shù)列的前項和的公式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
設(shè),則,,由知,,,作,垂足為C,則C為的中點,在和中分別求出,進而求出的關(guān)系式,即可求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,設(shè),則,,由橢圓定義知,,因為,所以,,作,垂足為C,則C為的中點,在中,因為,所以,在中,由余弦定理可得,,即,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:【點睛】本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關(guān)系;利用橢圓的定義,結(jié)合焦點三角形和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.16、4038.【解析】
由函數(shù)圖象的對稱性得:函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關(guān)于點對稱,則,,即,得解.【詳解】由知:得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關(guān)于點對稱則故,即本題正確結(jié)果:【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題,關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)利用等比數(shù)列的定義結(jié)合得出數(shù)列是等比數(shù)列(Ⅱ)數(shù)列是“等比-等差”的類型,利用分組求和即可得出前項和.【詳解】解:(Ⅰ)當時,,故.當時,,則,,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,.【點睛】(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列可利用定義法得出(Ⅱ)采用分組求和:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.18、(1)直線的普通方程,圓的直角坐標方程:.(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換.(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程,利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為x+y﹣3=0.圓C的極坐標方程為ρ2﹣4ρcosθ=3,轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為x2+y2﹣4x﹣3=0.(2)把直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入圓的直角坐標方程x2+y2﹣4x﹣3=0,得到,所以|PA||PB|=|t1t2|=6.【點睛】本題考查參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.19、(1)(2);時,取得最小值【解析】
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,結(jié)合已知,聯(lián)立方程組,即可求得答案.(2)由(1)知,故可得,即可求得答案.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由及,得解得數(shù)列的通項公式為(2)由(1)知時,取得最小值.【點睛】本題解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列通項公式和前項和公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(Ⅰ)極小值,極大值;(Ⅱ)或【解析】
(Ⅰ)根據(jù)偶函數(shù)定義列方程,解得.再求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律,即得極值,(Ⅱ)先分離變量,轉(zhuǎn)化研究函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性與圖象,最后根據(jù)圖象確定滿足條件的的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)由函數(shù)是偶函數(shù),得,即對于任意實數(shù)都成立,所以.此時,則.由,解得.當x變化時,與的變化情況如下表所示:00↘極小值↗極大值↘所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以有極小值,有極大值.(Ⅱ)由,得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線,有且只有兩個公共點”.對函數(shù)求導(dǎo),得.由,解得,.當x變化時,與的變化情況如下表所示:00↘極小值↗極大值↘所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又因為,,,,所以當或時,直線與曲線,有且只有兩個公共點.即當或時,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值
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