2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習【整體思想】解方程中的整體思想（解析版）

解方程中的整體思想

知識方法精講

1.整體思想

從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征,

善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進行有目

的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證

等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設(shè)元、整體處理、幾何

中的補形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運用。

用整體思想解方程，就是先考慮方程中的某一個代數(shù)式整體去代入，然后再解出方程中的未

知數(shù)的值就可以。

2.解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步驟：

去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針

對方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向形式轉(zhuǎn)化.

（2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又

有括號，且括號外的項在乘括號內(nèi)各項后能消去分母，就先去括號.

（3）在解類似于“ax+6x=c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）

x=c.使方程逐漸轉(zhuǎn)化為G=6的最簡形式體現(xiàn)化歸思想.將G=6系數(shù)化為1時，要準確

計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是。還是從尤其。為分數(shù)時；二要準確判斷符號，

。、6同號x為正，a、6異號x為負.

3.二元一次方程的解

（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程

的解.

（2）在二元一次方程中，任意給出一個未知數(shù)的值，總能求出另一個未知數(shù)的一個唯一確

定的值，所以二元一次方程有無數(shù)解.

（3）在求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的方法，即先給出

其中一個未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對應(yīng)值.

4.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點，當遇到

有關(guān)二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

5.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，

將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關(guān)系式

代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求

出M或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤

把求得的X、》的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元

一次方程.③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程

組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，

就得到原方程組的解，用［x=a的形式表示.

ly=b

6.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程.

7.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這XI,X2是一元二次方程a^+bx+c

=030)的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

axi2+bxi+c=0(aWO),ax22+bx2+c=0(aWO).

8.換元法解一元二次方程

1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，

這叫換元法.

換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將

問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化，變得

容易處理.

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母

來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過換元

的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的.

9.分式方程的解

求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解.

注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范

圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

10.解分式方程

(1)解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論.

(2)解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如

下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分

式方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分

式方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

選擇題(共3小題)

1.(2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中)關(guān)于x、y的二元一次方程組的解一外=《滿足

[2x-y=2k+3

x-3y=10+左，則左的值是()

A.2B.-2C.-3D.3

【考點】二元一次方程的解；二元一次方程組的解；解二元一次方程組

【分析】將兩個方程作差，可得x-3y=2-3后，從而解方程2-3左=10+左即可.

【解答】解：原方程組中兩個方程作差可得，

(3x-4y)-(2x-y)=(5-k)-(2k+3),

整理得，x-3y=2-3k,

由題意得方程，2-3左=10+左，

解得，k=—2,

故選：B.

【點評】此題考查了解決含有字母參數(shù)的二元一次方程組的能力，關(guān)鍵是能應(yīng)用整體思想進

行求解.

2.(2020秋?岳西縣期末)若方程組=7的解為尸=6.5,則方程組

\7x-5y=3[y=8.5

5(13)_3。+1)=7

的解為()

7(13)—5(〉+1)=3

x=19.5x=19.5

A.B.

y=9.5b=7.5

\x=-6.5\x=-6.5

C.1D.\

□=9.5[j=7.5

【考點】解二元一次方程組；二元一次方程組的解

[丫一]3=65

【分析】由整體思想可得,求出X、y即可.

"1=8.5

【解答】解：；方程組-3y=7的解為x=6.5

[7x-5y=3y=8.5

5(x-13)-3(y+l)=7的解x-13=6.5

,方程組

7(x-13)-5(y+l)=3丁+1=8.5

x=19.5

y=7.5'

故選：B.

【點評】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?越秀區(qū)校級一模)關(guān)于x,y的方程組fa，+3y=18(其中方是常數(shù))的解

[-x+5勿=17

為憶,則方程組｛鑿的解為(

)

Cx=3.5

k-0.5D.\

[y=0.5

【考點】二元?次方程組的解

【分析】由原方程組的解及兩方程組的特點知，x+y、x-y分別相當于原方程組中的X、

y,據(jù)此列出方程組，解之可得.

【解答】解：由題意知，卜+歹=3

卜-7=4②

①+②，得：2x=7,x=3.5,

①-②，得：2y=-l,7=-0.5,

所以方程組的解為[尤='5,

V=-0.5

故選：C.

【點評】本題主要考查二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是得出兩方程組的特點并據(jù)此得出關(guān)于

x、y的方程組.

二.填空題(共5小題)

4.(2021秋?黃驊市期末)已知x,y滿足(x-y)2-2(x-y)+1=0.

(1)x-y的值為1；

(2)若x2+/=6,則刈的值為_

2

【考點】換元法解一元二次方程.

【分析】(1)把X-〉看成一個整體，利用完全平方公式求解；

(2)利用(1)的結(jié)果，變形完全平方公式得結(jié)論.

【解答】解：(1)(x-y)2-2tx-y)+1=0.

(x-y-1)2=0.

??x~y~1=0.

??x~y~~1?

故答案為：1.

（2）*.*（x-y）2=x2-2xy+y2,

?\2xy=x2+y2-（x-y）2

=6-I2

=5.

??xy~~

2

故答案為：1.

2

【點評】本題考查了一元二次方程、完全平方公式等知識點.掌握一元二次方程的因式

分解法及完全平方公式的變形是解決本題的關(guān)鍵.

5.（2021秋?蕪湖期末）觀察下列方程：@x+-=3；?x+-=5；?x+—=7,可以發(fā)

XXX

現(xiàn)它們的解分別是①x=l或2；②x=2或3；③x=3或4.利用上述材料所反映出來的規(guī)

2

律，可知關(guān)于X的方程x+=+4（〃為正整數(shù)）的解x=_〃+3或〃+4_.

工一3

【考點】解分式方程；分式方程的解

2

【分析】將所求方程化為（工-3）+匯口=2"+4-3,再將》-3作為整體求解即可.

x-3

22

【解答】解：方程x+^^=2〃+4可化為（工一3）+^^=2〃+4—3,

x—3x—3

/r、n2+n八{

/.（x-3）H----------2n+],

x-3

令x-3=￡，

2

n.rn+n,

貝!J/+--------=2n+\,

t

由思x—3=〃+l,%—3=77,

1=〃+4或％=〃+3,

故答案為：〃+3或〃+4.

【點評】本題考查分式方程的解，通過觀察發(fā)現(xiàn)方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，再由整體思想

進行解方程即可.

6.（2021春?常熟市期中）在解決以下問題：“已知關(guān)于x,y的方程組卜環(huán)+:/=。的

[a2x+b2y=c2

解是「=4,求關(guān)于ay的方程組12%*+3y=%的解”的過程中，甲、乙兩位同學(xué)

分別提出了各自的想法.甲說：“兩個方程組外表很相似，且它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可

以試試.“乙說：”能不能把第二個方程組中的兩個方程利用等式性質(zhì)加以變形，再利用整

體思想通過換元的方法來解決.”參考他們倆的討論內(nèi)容，你認為該方程組的解是才=

8__9y'=.

【考點】二元一次方程組的解

【分析】把4代入原方程，進行變形，解答即可.

[y=9

x=4

【解答】解：?.?原方程的解為:

>=9

4q+94二q①

原方程可化

4%+迫=。2②

16%+364=4q

方程①②兩邊都乘4,得:

162+36么=%

f

2%%'+3bxy=4G

rr

2a2x+3b2y=4c2

f=8

j/=12

故答案為：8,12.

【點評】本題主要考查了二元一次方程的解法和應(yīng)用知識的掌握，掌握二元一次方程的解法

是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?花都區(qū)期末）已知x=2是一元二次方程/+冽I+〃=0的一個解，則4%+2〃

的值是_-8—.

【考點】一元二次方程的解

【分析】由％=2是一元二次方程/+冽％+〃=0的一個解，將、=2代入原方程，即可求得

2冽+〃的值，從而得解.

【解答】解：,.,x=2是一元二次方程—+加工+〃=0的一個根，

7.4+2m+〃=0,

2m+〃=一4?

4m+2〃=—8.

故答案為：-8.

【點評】本題主要考查了方程解的定義.解題的關(guān)鍵是將x=2代入原方程，利用整體思想

求解.

1117?

8.（2020秋?自貢期末）關(guān)于％的方程x+—=〃+—的兩個角牟為國，/=—；x+—=a+—

xaaxa

744

的兩個解為再=。，x2=-,則關(guān)于x的方程X+±=Q+=的兩個解為_x=a或

ax-2a-2

【考點】解分式方程；分式方程的解

【分析】將所求方程化為X—2+=4=4—2+上4，由已知可得X—2=。一2或工一2二上4

x—2ci—2a—2

再對所求的根進行檢驗即可求解.

【解答]解：xH——--=a-\——--可化為X———--=a-2-\——--，

x—2u—2x—2a—2

?「x+工=q的兩個解為國=q,x2=—,

xaa

4

/.x-2=a-2x—2-------，

u—2

解得X=Q或X=2a，

。—2

經(jīng)檢驗X=°或X=工是分式方程的解，

a—2

xH——--=a-\——--的解為x=a或％=?2",

x—2a—2u—2

故答案為：x=a或x=2。.

a—2

【點評】本題考查分式方程的解，理解題意，能夠求出方程的根，對所求的根進行檢驗，運

用整體的數(shù)學(xué)思想解題是關(guān)鍵.

三.解答題（共11小題）

9⑵21春,婁底期中）已知關(guān)于一的二元一次方程組卷藍片的解是仁之，求

關(guān)于a、b的二元一次方程組平+與一皿”與=&的解.

[2（。+/?）+n（a-6）=6

【考點】二元一次方程組的解

【分析】對比兩個方程組，可得a+6就是第一個方程組中的x,即a+b=l,同理：a-b=2,

可得方程組解出即可.

3、一陽=5,的解是X=1

【解答】解：?關(guān)于X、y的二元一次方程組

2x+ny=6)=2,

3(。+6)-m(a-b)=5,、在口a+b=\

，關(guān)于a.6的二元一次方程組滿足

2(a+Z?)+n(a-b)=6a-b=2

3

a=一

解得2

b=——

12

3

a二—

3(a+6)-映q-6)=5,的解是v2

故關(guān)于a.6的二元一次方程組

2(〃+6)+n{a-b)=6

2

【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了整體換元的思想解決問題，注意第一個和第

二個方程組中的右邊要統(tǒng)一.

10.(2021秋?昌江區(qū)校級期中)解方程組:

43

-----------1-----------=10

3x-2歹2%-5?

52

=1

3x-2y2x-5y

3x+my=5

(2)

x+2y=n

2xl+x2+x3+x4+x5=6

$+2X2+x3+x4+x5=12

(3)Xj+x2+2X3+%+/=24,求2%+3X5的值.

玉+工2+工3+2%4+x5=48

%j+x2+x3+x4+2X5=96

【考點】解分式方程；多元一次方程組

3=io

【分析】(1)令3x-2y=H7,2x-5y=n,解方程組:；,求出加、"再求解方程

-------=1

n

組即可；

(2)用加減消元法解二元一次方程組即可；

(3)先將五個方程相加得到西+超+退+匕+%=31，再分別求出匕=17,%=65,即可

求解.

一+」=10

3x-2y2x-5y

【解答】解：(1)

U-一-

3x-2y2x-5y

令3x—2y=加,2x-5y=n,

43

—I—=10①

原方程可化為加n

n

2a

①x2+②x3,得一=23,

m

解得m=1,

將初=1代入①得，n=—,

2

‘3x-2y=l③

二?’一，

2x-5y=

③x5-④x2,得llx=4,

解得x=—

11

將工=百代入③，得y=-*-

1122

4

x=——

經(jīng)檢驗，1；是方程的解,

y=—

22

4

x=——

11

二.原方程的解為

1

y——

22

3x+my=5①

(2)

x+2y=n@

(2)x3-?,得y=

m-6

將/=互加代入②，得苫=型上竺

m—6m-6

mn+10

X=

原方程的解為＜m—6

5-3〃

y=

m-6

+x2+x3+x4+x5=6?

X[+2X2+%3+X4+%5=12②

(3)4

+x2+2X3+X4+X5=24(3),

x1+x2+x3+2X4+=48?

%1+x2+x3+x4+2X5=96(§)

①+②+③+④+⑤得，6(X1+X2+X3+X4+X5)=186,

西+/+%3+%4+X5=31⑦,

④-⑦，得％=17,

⑤-⑦，得/=65,

2X4+3%5=2x17+3x65=229.

【點評】本題考查多元一次方程組的解法，熟練掌握代入消元法和加減消元法解多元一次方

程組的方法是解題的關(guān)鍵.

11.（2021春?濟源期末）題目：滿足方程組5y="+1，2的x與/的值的和是2,求

[2x+3y=3-2鼠②

左的值.

按照常規(guī)方法，順著題目思路解關(guān)于x、y的二元一次方程組，分別求出x、y的值（含有

字母k）,再由x+y=2,構(gòu)造關(guān)于左的方程求解，從而得出左值.

（1）某數(shù)學(xué)興趣小組對本題的解法又進行了探究，利用整體思想，對于方程組中每個方程

變形得到“x+y”這個整體，或者對方程組的兩個方程進行加減變形，得到“x+y”整體

值，從而求出左值.

請你運用這種整體思想的方法，完成題目的解答過程.

（2）小勇同學(xué)的解答是：觀察方程①，令3x=左，5y=1.

解得：y=y,又x+y=2,

9

..X=—.

5

if巴x=2,>=■代入方程②，得人=-3.

5-55

所以人的值為名或-二

55

請診斷分析并評價“小勇同學(xué)的解答”.

【考點】解一元一次方程；二元一次方程的解；二元一次方程組的應(yīng)用

【分析】（1）由兩種方法分別得出2=5-5人求解即可；

（2）從二元一次方程的解和二元一次方程組的解的概念進行診斷分析，再從創(chuàng)新的角度進

行評價即可.

【解答】解：（1）方法一：②x2得：4x+6y=6-4左③，

由③一①得：x+jv—5—5kf

x+y=2,

.,.2—5—5k，

解得：k=-；

5

方法二：由①一②得：x+2y=3k-2@,

由②一③得：x+jv—5—5kf

x+y=2,

.,.2—5—5k，

解得：k=-（方法不唯一）；

5

（2）“小勇同學(xué)的解答”錯誤，理由如下：

■:令3x=k,5y=1,求出的x、y的值只是方程①的一個解，而方程①有無數(shù)個解，根據(jù)

方程組的解的概念，僅有方程①或方程②的某一個解中的x、y求出的左值不一定適合方程

組中的另一個方程；只有當方程①、②取公共解時，后和x、y之間對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系才能成

立，這時，求得的左=鄉(xiāng)才是正確答案；

5

另一方面，小勇的解答雖然錯誤，但他的思維給我們有創(chuàng)新的感覺，也讓我們鞏固加深了對

方程組解的概念的連接，同時啟發(fā)我們平時在學(xué)習中，要善于多角度去探索問題，尋求新穎

的解題方法.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的解、一元一次方程的解法以及

整體思想的應(yīng)用等知識；熟練掌握二元一次方程組的解法，由整體思想得出2=5-5后是解

題的關(guān)鍵.

12.（2021春?福州期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組O'+5y=3巴時，采用

了一種“整體代換”的解法：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5即2（2x+5y）+y=5③，

把方程①代入③得：2x3+〉=5,

y=-1,

把》=一1代入①得％=4,

二方程組的解為4.

[y=-i

請你解決以下問題：

（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組-2y=5?；

[9x-4y=19②

（2）已知x,尸滿足方程組孫+1?2=4XD,求f+4/與砂的值；

（3）在（2）的條件下，寫出這個方程組的所有整數(shù)解.

【考點】解一元一次方程；解二元一次方程組

【分析】（1）把第2個方程變形為3x+2（3x-2y）=19,則利用整體代換消去丁,求出x的

值，然后利用代入法求出y得到方程組的解；

（2）對方程組進行變形，則利用整體代換求出初的值，把砂的值代入第一個方程，得

x2+4y2；

（3）確定符合中=2的所有整數(shù)解，然后對4/=17進行驗證，從而求解.

3x-2y=5①

【解答】解：（1）

9x-4y=19(2)

將方程②變形，3x+6x-4j=19,即3x+2(3x—2>)=19③,

把方程①代入③，得：3x+2x5=19,解得：x=3,

把x=3代入①，得：3x3—2〉=5,角犁得：y=2,

.?.方程組的解為F=3

[夕=2

⑵儼2-2孫+12/=47①

[2x2+孫+8/=36②‘

y+4#_包="③

將方程組變形，得：33

(X2+4/)+^=18@

將④-③，得：生+包=工，解得：孫=2,

233

將初=2代入④，得：尤2+4/+i=i8,

22

.-.X+4J；=17；

.“2+4/的值為17,xy的值為2；

(3)由(2)可得砂=2,

當x,y均為整數(shù)時，產(chǎn)=1或1x=T或尸=2或1=-2

U=2[y=-2[y=l[y=~l

當x=l,y=2時，x2+4y2=17,

當x=T,y=-2時，/+4/=17,

當x=2,y=l時，/+4>2=8片17,（故舍去），

當x=—2,y=—1時，x2+4_v2=8^17,（故舍去），

.?.在（2）的條件下，這個方程組的所有整數(shù)解為5=1或r=7.

【點評】本題考查了解二元一次方程組以及解一元一次方程，掌握解方程組的方法和步驟是

關(guān)鍵，注意整體思想的運用.

13.（2019秋?吉州區(qū)期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組［2'+5y=32時，采

用了一種“整體代換”的解法：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5,即2（2x+5y）+y=5③

把方程①代入③得：2x3+y=5,.?.y=-l,

所以>=-1代入①得x=4,.?.方程組的解為4,

請你解決以下問題：

（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組（3"一2丁=5%，

\9x-4y=19@

（2）已知x,y滿足方程組卜丁2刈+1?2=?），求X?+42的值和葉至的值.

[lx1+xy+8y2=36②2xy

【考點】解二元一次方程組；二元一次方程的解

【分析】（1）仿照閱讀材料中的方法求出方程組的解即可；

（2）仿照閱讀材料中的方法求出方程組的解得到V+4/與孫的值，再利用完全平方公式

及平方根定義求出x+2y的值，代入原式計算即可求出值.

【解答】解：（1）把方程②變形：3（3x-2y）+2y=19③，

把①代入③得：15+2〉=19,即y=2,

把y=2代入①得：x=3,

則方程組的解為尸"；

L=2

（2）由①得：3（/+4/）=47+2町，即f+4/J712盯③,

把③代入②得：2*47+2/=36-孫，

3

解得：xy=2,X2+4y2=17,

/.（x+2y）2=x2+4y2+4xy=17+8=25,

x+2〉=5或x+2>=-5，

則原式=±2.

4

【點評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

14.善于思考的小軍在解方程組「X+5y=3歸時，采用了一種“整體代換”的解法：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5,

即2（2x+5y）+y=5,③

把方程①代入③，得2x3+y=5.=

把》=一1代入①，得x=4.

，原方程組的解為尸=4.

b=-i

請你解決以下問題：

（1）模仿小軍的“整體代換法”解方程組：（3x_2y=5?

必-4>=19②

（2）已知尤，y滿足方程組+求x2+42的值.

[lx1+xy+8y2=36②

【考點】解二元一次方程組

【分析】（1）仿照小軍的方法將方程②變形，把方程①代入求出y的值，即可確定出x的

值；

（2）方程組兩方程變形后，利用加減消元法求出所求即可.

【解答】解：（1）由②得：3（3x-2y）+2y=19③，

把①代入③得：15+2y=19,

解得：y=2,

把y=2代入①得：x=3,

則方程組的解為尸=3.

[y=2

（2）由①得：3（/+4/）_2冷=47③，

由②得：2（f+4/）+中=36④，

③+④x2得：7（/+4/）=119,

解得：x2+4y2=17.

【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與

加減消元法.

15.（2021春?饒平縣校級期末）已知方程組無一”=15歸由于甲看錯了方程①中的.得

[4x-力=-2②

到方程組的解為尸=一>乙看錯了方程②中的6得到方程組的解為卜=5,若按正確的°,

[y=T[y=4

6計算，請你求原方程組的解.

【考點】二元一次方程組的解

【分析】把甲的結(jié)果代入第二個方程求出6的值，把乙的結(jié)果代入第一個方程求出。的值,

確定出方程組，求出解即可.

【解答】解：把代入②得：一12+6=-2,即6=10；

J=T

5代入①得：5a-20=15,即a=7,

7x-5j=15

方程組為

4x-10y=-2

7x-5y=15①

整理得:

2x-5y=-l@

①-②得：5x=16,

解得：x=—

把工="代入①得：y=--

525

則方程組的解為3.

37

y=一

[25

【點評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未

知數(shù)的值.

16.（2020春?南關(guān)區(qū)月考）感知：解方程組

中，方法簡單的是_3_.

（A）由①，得x=代入②，先消去x,求出y,再代入求解.

（B）將①代入②，得4x7-y=27,解得y=l,再代入求解.

x+>=2018

探究：解方程組

^^-5y=1094

3x—2〉=1+2。

應(yīng)用：若關(guān)于x,y的二元一次方程組3x-2y的解中的x是正數(shù)，則。的取值范圍

------------2x=3

【考點】解二元一次方程組；二元一次方程組的解；解一元一次方程；解一元一次不等式

【分析】感知：根據(jù)題目中的解答過程可知（B）種方法簡答；

探究：根據(jù)感知中的解答方法可以解答此方程組；

應(yīng)用：根據(jù)感知中的方法，可以用含。的代數(shù)式表示出x,再根據(jù)方程組的解中x是正數(shù),

從而可以求得"的取值范圍.

【解答】解：感知：由題目中的解答過程可知，最佳的方法是（B）,

故答案為：（B）；

x+y=2018@

探究：<%+y,

―^-5?=1094②

、2

將①代入②，得

1009-5歹=1094,

解得，y=-17,

將》=—17代入①，得

x=2035,

f-9035

故原方程組的r解是；

［尸-17

3%-2》=1+2a①

應(yīng)用：9一2x=3②，

I3

將①代入②，得2x=3,

3

3x-2y=1+2。

?.?關(guān)于X,了的二元一次方程組3x-2y的解中的X是正數(shù),

--------:——2x=3

I3

解得，a>4,

故答案為：a>4.

【點評】本題考查解一元一次不等式、解二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自

的解答方法.

17.（2021春?江都區(qū)校級期中）閱讀感悟：

有些關(guān)于方程組的問題,欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值.

如以下問題：

已知實數(shù)x、y滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值.

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答

案，常規(guī)思路運算量比較大.其實，仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可

以通過適當變形整體求得代數(shù)式的值，如由①-②可得》-4），=-2,由①+②x2可得

7x+5j=19.這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.

解決問題：

（1）已知二元一次方程組『'+'=7,貝［J、—-i,x+>=；

（2）對于實數(shù)x、y,定義新運算：x*y=ax+by+c,其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊

是通常的加法和乘法運算.已知3*5=15,4*7=28,求1*1的值.

【考點】實數(shù)的運算；代數(shù)式求值；二元一次方程的解；二元一次方程組的解；解二元一次

方程組

【分析】（1）將兩方程相加可求x+y的值，將兩方程相減可求x-y的值；

（2）由題意列出方程組，即可求解.

【解答】解：⑴產(chǎn)+…