2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【整體思想】解方程中的整體思想（原卷版）

解方程中的整體思想

知識(shí)方法精講

1.整體思想

從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征,

善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目

的的、有意識(shí)的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程（組）、幾何解證

等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、幾何

中的補(bǔ)形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問(wèn)題中的具體運(yùn)用。

用整體思想解方程，就是先考慮方程中的某一個(gè)代數(shù)式整體去代入，然后再解出方程中的未

知數(shù)的值就可以。

2.解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步驟：

去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針

對(duì)方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向形式轉(zhuǎn)化.

（2）解一元一次方程時(shí)先觀察方程的形式和特點(diǎn)，若有分母一般先去分母；若既有分母又

有括號(hào)，且括號(hào)外的項(xiàng)在乘括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)后能消去分母，就先去括號(hào).

（3）在解類似于“ax+6x=c”的方程時(shí)，將方程左邊，按合并同類項(xiàng)的方法并為一項(xiàng)即（a+b）

x=c.使方程逐漸轉(zhuǎn)化為G=6的最簡(jiǎn)形式體現(xiàn)化歸思想.將G=6系數(shù)化為1時(shí)，要準(zhǔn)確

計(jì)算，一弄清求x時(shí)，方程兩邊除以的是。還是從尤其。為分?jǐn)?shù)時(shí)；二要準(zhǔn)確判斷符號(hào)，

。、6同號(hào)x為正，a、6異號(hào)x為負(fù).

3.二元一次方程的解

（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程

的解.

（2）在二元一次方程中，任意給出一個(gè)未知數(shù)的值，總能求出另一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)唯一確

定的值，所以二元一次方程有無(wú)數(shù)解.

（3）在求一個(gè)二元一次方程的整數(shù)解時(shí)，往往采用“給一個(gè)，求一個(gè)”的方法，即先給出

其中一個(gè)未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對(duì)值較大的）的值，再依次求出另一個(gè)的對(duì)應(yīng)值.

4.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到

有關(guān)二元一次方程組的解的問(wèn)題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

5.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①?gòu)姆匠探M中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，

將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái).②將變形后的關(guān)系式

代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求

出M或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤

把求得的X、》的值用“{”聯(lián)立起來(lái)，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元

一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程

組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，

就得到原方程組的解，用［x=a的形式表示.

ly=b

6.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：

（1）審題：找出問(wèn)題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái).

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答.

（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當(dāng)問(wèn)題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無(wú)論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程.

7.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知

數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.這XI,X2是一元二次方程a^+bx+c

=030)的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量.

axi2+bxi+c=0(aWO),ax22+bx2+c=0(aWO).

8.換元法解一元二次方程

1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，

這叫換元法.

換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將

問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得

容易處理.

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母

來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過(guò)換元

的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的.

9.分式方程的解

求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解.

注意：在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范

圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

10.解分式方程

(1)解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論.

(2)解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如

下檢驗(yàn)：

①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0,則整式方程的解是原分

式方程的解.

②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0,則整式方程的解不是原分

式方程的解.

所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn).

選擇題(共3小題)

1.(2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中)關(guān)于x、y的二元一次方程組的解一外=《滿足

[2x-y=2k+3

x-3y=10+左，貝！U的值是（）

A.2B.-2C.-3D.3

2.（2020秋?岳西縣期末）若方程組產(chǎn)一3尸7的解為尸=6.5,則方程組

\7x-5y=3[y=8.5

5(13)_3(y+l)=7

的解為（)

7(x-13)-5(j+l)=3

=19.5x=19.5

B.

=9.5b=7.5

C-\x=5-6.5\x=-6.5

D.

[y=7.5

2ax+3y=18

3.（2021?越秀區(qū)校級(jí)一模）關(guān)于x,y的方程組（其中a,6是常數(shù)）的解

-x+5by=17

為工,則方程組的解為（

）

二.填空題（共5小題）

4.（2021秋?黃驊市期末）已知x,y滿足Cx-y）2-2Cx-y）+1=0.

（1）x-y的值為；

（2）若/+/=6,則刈的值為.

5.（2021秋?蕪湖期末）觀察下列方程：①X+2=3；②X+$=5；③X+U=7,可以發(fā)

XXX

現(xiàn)它們的解分別是①x=l或2；②x=2或3；③x=3或4.利用上述材料所反映出來(lái)的規(guī)

2

律，可知關(guān)于X的方程X+上三=2〃+4（〃為正整數(shù)）的解x=____.

x—3

6.（2021春?常熟市期中）在解決以下問(wèn)題：“已知關(guān)于x,y的方程組/x+=J的

[a2x+b2y=c2

解是尸=上求關(guān)于aV的方程組產(chǎn)N+3y=4q的解”的過(guò)程中，甲、乙兩位同學(xué)

r

[y=9\2a2x+3b2y'=4c2

分別提出了各自的想法.甲說(shuō)：“兩個(gè)方程組外表很相似，且它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可

以試試.“乙說(shuō)：”能不能把第二個(gè)方程組中的兩個(gè)方程利用等式性質(zhì)加以變形，再利用整

體思想通過(guò)換元的方法來(lái)解決.”參考他們倆的討論內(nèi)容，你認(rèn)為該方程組的解是￡=—,

y'=-

7.（2021秋?花都區(qū)期末）已知x=2是一元二次方程/+加x+"=0的一個(gè)解，貝！|4加+2九

的值是—.

1117?

8.（2020秋?自貢期末）關(guān)于％的方程x+—=〃+—的兩個(gè)角牟為石=〃，/=—；x+—=a+—

xaaxa

的兩個(gè)解為%=a,x2=-,則關(guān)于x的方程x+-=a+」一的兩個(gè)解為—.

ax-2a-2

三.解答題（共11小題）

9.（2021春?婁底期中）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組「X一叼=5,的解是卜=1,求

[2x+ny=6[?=2

乂十,,一、二、wr13(〃+6)一冽(〃-6)=5,"g

關(guān)于。、6的二兀一次萬(wàn)程組''''的解.

[2(a+/?)+n(a-b)=6

10.（2021秋?昌江區(qū)校級(jí)期中）解方程組:

43

-----------1-----------=10

3x-2>2x-5y

(1)

52

=1

3x-2y2x-5y

3x+my=5

(2)

x+2y=n

2%+x2+x3+x4+x5=6

再+2X2+X3+X4+X5=12

(3)Xj+x2+2X3+x4+x5=24,求2匕+3%的值.

項(xiàng)+%++2%4+x5=48

Xj+x2+x3+x4+2X5=96

11.（2021春?濟(jì)源期末）題目：滿足方程組[力+5y="+1，上的x與的值的和是2,求

[2x+3y=3-2冗②

」的值.

按照常規(guī)方法，順著題目思路解關(guān)于x、y的二元一次方程組，分別求出x、y的值（含有

字母k）,再由x+y=2,構(gòu)造關(guān)于左的方程求解，從而得出左值.

（1）某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)本題的解法又進(jìn)行了探究，利用整體思想，對(duì)于方程組中每個(gè)方程

變形得到“x+y”這個(gè)整體，或者對(duì)方程組的兩個(gè)方程進(jìn)行加減變形，得到“x+y”整體

值，從而求出左值.

請(qǐng)你運(yùn)用這種整體思想的方法，完成題目的解答過(guò)程.

（2）小勇同學(xué)的解答是：觀察方程①，令3x=左，5y=1.

解得：了=（，又x+y=2,

9

..X=-?

5

7c927

?.4=3又———?

55

才巴工=2,■代入方程②，得左二一3

555

所以左的值為名或-3.

55

請(qǐng)?jiān)\斷分析并評(píng)價(jià)“小勇同學(xué)的解答”.

—春?福州期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組上:;此時(shí)，采用

了一種“整體代換”的解法：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5即2（2x+5y）+y=5③,

把方程①代入③得：2x3+y=5,

y=-1f

把>=一1代入①得x=4,

方程組的解為F=4.

[y=T

請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：

（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組I--2）=5?；

[9x-4y=19@

（2）已知x,y滿足方程組尸X/2X/+172=4XD,求小4/與的值；

12/+砂+8/=36②-

（3）在（2）的條件下，寫出這個(gè)方程組的所有整數(shù)解.

13.（2019秋?吉州區(qū)期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組產(chǎn)+"=3<^時(shí)，采

用了一種“整體代換”的解法：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5,即2（2x+5y）+y=5③

把方程①代入③得：2x3+y=5,，y=-l,

所以y=T代入①得x=4,.?.方程組的解為"，

b=-i

請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：

（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組2y=5?,

[9x-4y=19@

（2）已知無(wú)，y滿足方程組+求才2十42的值和土Z的值.

14.善于思考的小軍在解方程組「x+5y=3舊時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：

[4x+lly=5②

解：將方程②變形：4x+10y+y=5,

即2（2x+5y）+y=5,③

把方程①代入③，得2x3+y=5..?.y=-l.

把》=一1代入①，得x=4.

.?.原方程組的解為F=4.

U=T

請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：

（1）模仿小軍的“整體代換法”解方程組：（3x_2y=5?

（2）已知x,y滿足方程組卜了孫+?2=及①，求f+4/的值.

[2x2+盯+8/=36（2）

15.（2021春?饒平縣校級(jí)期末）已知方程組【◎一"=由于甲看錯(cuò)了方程①中的。得

14尤-勿=-2②

到方程組的解為尸=-3；乙看錯(cuò)了方程②中的6得到方程組的解為尸=5,若按正確的

3=-1[y=4

6計(jì)算，請(qǐng)你求原方程組的解.

:W；=27②’下列給出的兩種方法

16.（2020春?南關(guān)區(qū)月考）感知：解方程組

中，方法簡(jiǎn)單的是.

（A）由①，得x=Z券，代入②，先消去x,求出y,再代入求解.

（B）將①代入②，得4x7-尸27,解得y=l,再代入求解.

x+y=2018

探究：解方程組％+y.

=1094

3x—2y=l+2a

應(yīng)用：若關(guān)于x,y的二元一次方程組3x-2y的解中的x是正數(shù)，則a的取值范圍

------------2x=3

13

為—.

17.（2021春?江都區(qū)校級(jí)期中）閱讀感悟：

有些關(guān)于方程組的問(wèn)題,欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值.

如以下問(wèn)題：

已知實(shí)數(shù)x、y滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值.

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答

案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大.其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可

以通過(guò)