阿氏圓模型（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

阿氏圓模型

一、知識(shí)導(dǎo)航

所謂“阿氏圓”，是指由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯提出的圓的概念，在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比等

于定值(不為1)的點(diǎn)的集合叫做圓.

如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足PA:PB=k(k手1),則滿(mǎn)足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓.

下給出證明

法一：首先了解兩個(gè)定理

在中，是的角平分線，則絲=型

(1)角平分線定理：如圖,aABCADNBAC

ACDC

5

■j正明.ABD_BPSABDABxDEAB即絲=闞

,SACDCD'SACDACxDFAC'ACDC

(2)外角平分線定理：如圖，在4ABC中，夕卜角CAE的角平分線AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則絲=亞

ACDC

B

CD

證明：在BA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E使得AE=AC,連接BD,則4ACD義ZkAED(SAS),CD=EDJLAD

,DBABABDB

平分NBDE,貝n”——=一，a——=——

DEAEACDC

接下來(lái)開(kāi)始證明步驟:

如圖，PA:PB=k,作NAPB的角平分線交AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理，——=——=k,故M點(diǎn)為定

MBPB

點(diǎn)，即ZAPB的角平分線交AB于定點(diǎn)；

NAPA

作NAPB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線定理，—=-=k,故N點(diǎn)為定點(diǎn)，即NAPB

NBPB

外角平分線交直線AB于定點(diǎn)；

又NMPN=90°,定邊對(duì)定角，故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓.

法二：建系

不妨將點(diǎn)A、B兩點(diǎn)置于x軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)A(-m,0),則B(m,0),設(shè)P(x,y),PA=kPB,

即：

J(x+mJ+J=-m)-+J

(x+m)2+y2=k2(x-m)2+k2y2

(k1—l)(x2+)—(2m+2k2mjx+^k2—1)m2=0

,,2m+11cm7八

x+y---------；--------x+m=0

E-1

解析式滿(mǎn)足圓的一般方程，故P點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是圓，且圓心與AB共線.

除了證明之外，我們還需了解“阿氏圓”的一些性質(zhì):

-PA=-M-4=-2V-A=k7.

PBMBNB

應(yīng)用：根據(jù)點(diǎn)A、B的位置及k的值可確定M、N及圓心0.

(2)AOBP^AOPA,Fp—=—,變形為。尸2=0^03

OPOA

應(yīng)用：根據(jù)圓心及半徑和A、B其中一點(diǎn)，可求A、B另外一點(diǎn)位置.

⑶”=2=以".

OAOPPB

應(yīng)用：已知半徑及A、B中的其中一點(diǎn)，即可知道PA:PB的值.

二、典例精析

1.如圖，在AABC中，AB=4,AC=2,點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，當(dāng)AD=時(shí)，4ACD△ABC.

AT)

解：若△ACDs/\ABC則有——=—即AC2=AB.AD

ABAC

?；AB=4,AC=2

"=%=1

故答案為1.

2.如圖，點(diǎn)P是半徑為2的：)。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A、B為Q)0外的定點(diǎn)，連接PA、PB,點(diǎn)B與圓心O的

距離為4.要使+的值最小，如何確定點(diǎn)P,并說(shuō)明理由.

【思路分析】構(gòu)造相似三甭形，將所求兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，此線段與圓的交點(diǎn)即為所求.

【詳解】連接OB,OP,在0B上截取OCm，連接AC交。于點(diǎn)P',連接PC.

—=—=-,ZPOC=ZBOP

OBOP2根據(jù)阿氏圓可得0P°=OBOC即

POCBOP

“OP222,

.?.P￡C^=-1L,gp1-LpB=pc(JC=-----=—=1

PB22OB4

PA+-PB=PA+PC>AC

2

當(dāng)點(diǎn)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC的值最小，最小值為AC的長(zhǎng)，即當(dāng)點(diǎn)P與P'重合時(shí)，PA+gp8的

值最小.

2

3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A(4,0),B(0,3),點(diǎn)E在以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求+

的最小值.

【思路分析】在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形，利用對(duì)應(yīng)邊成比例將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為求一條

線段的長(zhǎng)，即為最小值.

44

【詳解】如圖，在y軸上取一點(diǎn)MIO3),連接OE,EM,AM,貝“OE=2,OB=3,OM=y

.OE0M2

OBOE3

又,:ZEOM=ZBOE

:.一EOMjBOE

，空=也=2,即EM=2BE

BEOE33

/.AE+-BE=AE+EM>AM

3

當(dāng)A、E、M三點(diǎn)共線時(shí)，AE+BM的值最小，最小值為AM的長(zhǎng).

在凡AQW中，AM=VOM2+OA2=

3

24710

???當(dāng)E為線段AM與;。的交點(diǎn)時(shí)，+有最小值為

33

39

4.如圖，已知拋物線y=--X?+—x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,

44

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,0),將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE',旋轉(zhuǎn)角為a(0°Vtz<90°),連接3E'、

CE',求BE'+gc?的最小值.

y

【思路分析】由旋轉(zhuǎn)可知￡點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以原點(diǎn)0為圓心，2為半徑的圓在第一象限內(nèi)的一段圓弧,

在y軸上找一點(diǎn)，構(gòu)造相似三甭形，再結(jié)合各點(diǎn)坐標(biāo)求解即可.

3Q

【詳解】解：..,拋物線的解析式為y=--x2+—x+3

44

3(4,0),C(0,3)

?.?點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,0)

.??點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以原點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓在第一象限內(nèi)的一段圓弧.

44

如圖在y軸上取一點(diǎn),連接OE'EMIM,則OE'=2,OC=3,OM=-

3

.E,MOM2

OC~~OE'~3

又,:ZE'OM=ZCOE

：.E'OM^COE'

E'M22

=YPE'M=_CE'

CE,33

/.BE'+-CE'=BE'+E'M>BM

3

當(dāng)B、E\M三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BM的長(zhǎng).

,/BM=y/OM2+OB2=J]]+42=

24J1O

?二當(dāng)石''為BM與圓弧的交點(diǎn)時(shí)，有最小值為—--

三、中考真題演練

1.(2022?廣東惠州?一模)如圖1,拋物線>=依2+次-4與x軸交于AI兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A

的坐標(biāo)為(-1,0),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線％=

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是直線3c下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)?使四邊形ABPC的面積為16,若存在，求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)8作3尸，3c交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作(C,點(diǎn)Q為C上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求立8。+尸。的最小值.

4

2.如圖1,拋物線y="+(a+3)x+3(aW0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,在無(wú)軸上有一動(dòng)點(diǎn)醺機(jī)。)

(0<m<4),過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線48于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作尸于點(diǎn)

(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：

C.6

(2)設(shè)APMN的周長(zhǎng)為G，AAEN的周長(zhǎng)為C。，若才=二求相的值.

(3汝口圖2,在(2)的條件下，將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE',旋轉(zhuǎn)角為。(0°<?<90°),連接以4、

2

E'B，求E'A+jE'B的最小值.

3.(2019?山東?中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸，y軸分別交于A,C兩

點(diǎn)，拋物線y=x?+bx+c經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B

(1)