2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題講義：數(shù)列下的新定義（七大題型）（學(xué)生版）

專題05數(shù)列下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：牛頓數(shù)列問題

題型二：高考真題下的數(shù)列新定義

題型三：數(shù)列定義新概念

題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算

題型五：數(shù)列定義新情景

題型六：差分?jǐn)?shù)列、對(duì)稱數(shù)列

題型七：非典型新定義數(shù)列

【方法技巧與總結(jié)】

1、“新定義型”數(shù)列題考查了學(xué)生閱讀和理解能力，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新事物接受能力和加以

簡單運(yùn)用的能力，考查了學(xué)生探究精神.要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進(jìn)行遷移，即讀懂和理

解新定義，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有效的信息進(jìn)一步推理，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力

和探索能力(多想少算甚至不算).因此，“新定義型”數(shù)列在高考中常有體現(xiàn)，是一種用知識(shí)歸類、套路總結(jié)、

強(qiáng)化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法卻難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題.

2、解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問題的策略：

(1)通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運(yùn)算，或給出的由幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)的新問題的

情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)

到靈活解題的目的.

(2)遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點(diǎn)，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的要求“照

章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以順利解決.

(3)類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏.

【典型例題】

題型一：牛頓數(shù)列問題

【典例1-1](2024?廣東韶關(guān)?二模)記R上的可導(dǎo)函數(shù)[(X)的導(dǎo)函數(shù)為尸⑺，滿足x角?eN'

的數(shù)列｛七｝稱為函數(shù)/卜)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列｛%｝為函數(shù)=/r的牛頓數(shù)列，且數(shù)列｛氏｝滿足

=2,a?=ln^—>1.

⑴求生;

(2)證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列并求％；

⑶設(shè)數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為，，若不等式(-1)”?電-14對(duì)任意的〃eN*恒成立，求t的取值范圍.

【典例1-2】(2024?高二?浙江紹興?期末)物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”,

它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛.其定義是：對(duì)于函數(shù)/(x),若滿足(x向-匕)/'(無")+/(%)=0,則稱數(shù)列

｛匕｝為牛頓數(shù)列.已知/(x)=/,如圖，在橫坐標(biāo)為再=1的點(diǎn)處作了(x)的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為巧，用巧代替不重復(fù)上述過程得到三，一直下去，得到數(shù)列｛%｝.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

5

(2)若數(shù)列｛"?%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且對(duì)任意的〃eN*,滿足,求整數(shù)2的最小值.(參考數(shù)

據(jù)：0.94=0.6561，0.9』.5905,0.96?0.5314,0.97?0.4783)

【變式1-1](2024?廣東廣州?二模)已知函數(shù)/'(X)=\nx+2x-b(b>2).

⑴證明:/(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)。，且ae(1,6)；

(2)我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，另一種常用的求零點(diǎn)近似值的方法是“牛頓切線法”.任取

國e(l,a),實(shí)施如下步驟：在點(diǎn)(』,/(』))處作/(x)的切線，交x軸于點(diǎn)(％,0)：在點(diǎn)處作/(x)

的切線，交x軸于點(diǎn)(W，0);一直繼續(xù)下去，可以得到一個(gè)數(shù)列｛%｝,它的各項(xiàng)是/(x)不同精確度的零點(diǎn)

近似值.

⑴設(shè)當(dāng)+1=g(%),求g(x“)的解析式；

(ii)證明：當(dāng)陽41,。)，總有x“<x"+]<a.

題型二：高考真題下的數(shù)列新定義

【典例2-1】（2024年高考新課卷1）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列外,出，“+2是公差不為。的等差數(shù)列，若從

中刪去兩項(xiàng)為和方（，<力后剩余的4加項(xiàng)可被平均分為加組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)

歹?。?,出，…,％,”+2是。⑺一可分?jǐn)?shù)列.

⑴寫出所有的（z；/）,lVi<JV6,使數(shù)列%,電，…，&是（。）一可分?jǐn)?shù)列;

（2）當(dāng)加之3時(shí)，證明：數(shù)列％,出，“+2是（2,13）—可分?jǐn)?shù)列；

⑶從1,2,…,4掰+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j（i<j）,記數(shù)列4,電，,,+2是。，力―可分?jǐn)?shù)列的概率為M，

證明：P>—.

8

【典例2-2】（2024年高考新課卷2）已知雙曲線C：V—V=加（加>0）,點(diǎn)不（5,4）在。上，左為常數(shù)，

0<k<1.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)p?（n=2,3,...）,過Ci作斜率為左的直線與C的左支交于點(diǎn)Q1,

令勺為。"一1關(guān)于了軸的對(duì)稱點(diǎn)，記p“的坐標(biāo)為（X0,yn）.

⑴若A=—,求、2，%；

（2）證明：數(shù)列{%->"}是公比為的等比數(shù)列；

1-k

⑶設(shè)s〃為△匕勺+匕+2的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)〃，S〃=S角.

【典例2-31（2023?北京?高考真題）已知數(shù)列{%},{〃}的項(xiàng)數(shù)均為m（m>2），且?！耙瞖{1,2,…，間，{%}*,}的

前〃項(xiàng)和分別為4,紇，并規(guī)定4=用>=0.對(duì)于壯{0,1,2,…,明，

定義〃=max{il4.44/e{°，l，2jrH}},其中，maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).

（1）若％=2,a2=1,a3=3,4=1也=3,4=3,求％，外,々的值；

（2）若且2。<5+1+小，/=1，2,…，相T，,求心；

（3）證明：存在〃g,sJe{0,l,2,…,小},滿足使得/〃+與=4+紇.

【典例2-4](2022?北京?高考真題)已知。：％,電，…,知為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)加，若對(duì)任意的

在。中存在"i+1，"i+2，.,.，"，+jU20),使得at+aM+ai+2+??-+ai+j=n,則稱。為5-連續(xù)

可表數(shù)列.

⑴判斷。：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

(2)若。：4嗎，…S為8-連續(xù)可表數(shù)列,求證:人的最小值為4；

(3)若。:4,4,…S為20-連續(xù)可表數(shù)列,且4+%+…+4<20,求證:k>1.

【變式2-1](2021?北京?高考真題)設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列｛4｝滿足如下三個(gè)性質(zhì),則稱｛%｝為鞏數(shù)列：

①q+pZO,且02+尸=0；

②%"T<%>,,(〃=1,2,…)；

③%“上｛%+?！?。，％+%+。+1｝，(私〃=1,2,…).

(1)如果數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)為2,-2,-2,-1,那么｛%｝是否可能為況2數(shù)列？說明理由；

(2)若數(shù)列｛氏｝是％數(shù)列，求％；

(3)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為是否存在況.數(shù)列｛%｝,使得5“2品,恒成立？如果存在，求出所有的p；如

果不存在，說明理由.

【變式2-2](2020?北京?高考真題)已知｛%｝是無窮數(shù)列.給出兩個(gè)性質(zhì)：

2

①對(duì)于｛%｝中任意兩項(xiàng)生嗎。>/),在｛%｝中都存在一項(xiàng)，使亍■=0?,;

②對(duì)于｛%｝中任意項(xiàng)。,(小鳥)，在｛%｝中都存在兩項(xiàng)%M(萬>/).使得

(I)若。"=〃(〃=12…)，判斷數(shù)列｛叫是否滿足性質(zhì)①，說明理由；

(11)若。"=21(”=1,2,…),判斷數(shù)列｛0“｝是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由;

(Ill)若｛4｝是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：｛?！埃秊榈缺葦?shù)列.

題型三：數(shù)列定義新概念

【典例3-1】(2024?廣西南寧?一模)若無窮數(shù)列｛g｝滿足q=0,|。用“』=/(〃)，則稱數(shù)列｛%｝為夕數(shù)列，若

B數(shù)列｛??｝同時(shí)滿足％(丁，則稱數(shù)列｛%｝為/數(shù)列.

(1)若數(shù)列｛%｝為口數(shù)列，/(?)=l,neN*,證明：當(dāng)“42025時(shí)，數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列的充要條件是

出025=2024；

(2)若數(shù)列也｝為/數(shù)列，/(〃)=〃，記且對(duì)任意的〃eN*，都有g(shù)<c…求數(shù)列匕｝的通項(xiàng)公式.

【典例3-2】(2024?山東泰安?一模)已知各項(xiàng)均不為0的遞增數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為a,且

a

\=2,a2=4,anan+l=2Sn(S?+1+-2S?)(n6N,，且”22).

⑴求數(shù)列,勺前〃項(xiàng)和1;

(2)定義首項(xiàng)為2且公比大于1的等比數(shù)列為“G-數(shù)列”.證明：

①對(duì)任意1M5且壯N*,存在“G-數(shù)列”低｝,使得仁名叫〈心成立;

②當(dāng)上且丘N*時(shí)，不存在“G-數(shù)列”｛c“｝,使得%<%?4+］對(duì)任意正整數(shù)機(jī)V上成立.

【變式3-1］(2024?江西南昌?一模)對(duì)于各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛g｝,我們定義：數(shù)列［干J為數(shù)列｛g｝的“無-

比分?jǐn)?shù)列”.已知數(shù)列｛%｝,也｝滿足/=仇=1,且｛見｝的“1-比分?jǐn)?shù)列”與｛"｝的“2-比分?jǐn)?shù)列”是同一個(gè)數(shù)列.

⑴若｛"｝是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和反；

(2)若抄“｝是公差為2的等差數(shù)列，求勺.

題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算

【典例4-1】(2024?江蘇徐州?一模)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列P定義變換工將數(shù)列尸變

換成數(shù)列彳(0)：〃嗎-1嗎-1，…必T.對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列。：配&…也，定義

義0)=2(4+22+...+〃仍/+"+后+...+叱，定義變換豈,4將數(shù)列0各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零

的項(xiàng),得到數(shù)列%

⑴若數(shù)列片為2,4,3,7,求5年(多))的值;

(2)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列令%=%(4(E)),左eN.

⑴探究5口(均)與S(ZJ)的關(guān)系；

(ii)證明：s(%Jvs⑶.

【典例4-2】(2024?江西贛州一模)設(shè)數(shù)列/：%,外，…,而322).如果對(duì)小于"(2的每個(gè)正整數(shù)上都有

ak>.則稱〃是數(shù)列A的一個(gè)“D時(shí)亥!記。(/)是數(shù)列A的所有時(shí)刻”組成的集合，。⑷的元素個(gè)數(shù)記

為card(￡),/).

(1)對(duì)數(shù)歹!]A:-1,1,-2,2,-3,3,寫出。(⑷的所有元素；

⑵數(shù)列/：生,g,…,必滿足｛%，%，…,。6)=｛123,4,5,6｝,若card(￡),4)=4.求數(shù)列A的種數(shù).

(3)證明：若數(shù)列A滿足an-an_x2-1(〃=2,3,4,…,N),則card(明A)>ax-aN.

【變式4-51(2024?高三?山東?開學(xué)考試)在無窮數(shù)列｛%｝中，令1=%gLan，若V〃eN*,4e｛a“｝,則稱｛%｝

對(duì)前〃項(xiàng)之積是封閉的.

(1)試判斷：任意一個(gè)無窮等差數(shù)列｛4｝對(duì)前〃項(xiàng)之積是否是封閉的？

(2)設(shè)｛4｝是無窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)4=2,公比為/若｛%｝對(duì)前"項(xiàng)之積是封閉的，求出的兩個(gè)值；

⑶證明：對(duì)任意的無窮等比數(shù)列｛4｝,總存在兩個(gè)無窮數(shù)列抄」和上｝,使得?！?”?的("eN*),其中也｝

和匕｝對(duì)前〃項(xiàng)之積都是封閉的.

【變式4-6](2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))(a,b)表示正整數(shù)a,6的最大公約數(shù)，若

c｛1,2,eN*),且Vxe｛為',,(x,m)=l,則將左的最大值記為夕(加)，例如:

9⑴=1，9(5)=4.

⑴求。⑵,夕⑶，夕(6)；

(2)已知(%")=1時(shí),(p(mri)=(p(m)(p[n).

⑴求夕(6")；

(ii)設(shè)6“=39(；卜/數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和為小證明：T"嗅.

題型五：數(shù)列定義新情景

【典例5-1】(2024?海南?模擬預(yù)測(cè))若有窮數(shù)列%,…(〃是正整數(shù))，滿足為=%+(eN,且IViV”)，

就稱該數(shù)列為“S數(shù)列”.

⑴已知數(shù)列低｝是項(xiàng)數(shù)為7的S數(shù)列，且4也也也成等比數(shù)列，仄=20=8,試寫出也｝的每一項(xiàng)；

⑵已知｛的｝是項(xiàng)數(shù)為24+1億N1)的S數(shù)列，且…心皿構(gòu)成首項(xiàng)為100,公差為-4的等差數(shù)列，數(shù)

列｛c“｝的前2左+1項(xiàng)和為邑則當(dāng)《為何值時(shí)，邑“1取到最大值？最大值為多少？

(3)對(duì)于給定的正整數(shù)?>1,試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2加的S數(shù)列，使得1,2,22,…,2"一成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng);

當(dāng)機(jī)>1500時(shí)，試求這些S數(shù)列的前2024項(xiàng)和邑024.

【典例5-21(2024?高三?全國?專題練習(xí))將平面直角坐標(biāo)系中的一列點(diǎn)4(1，/)、4(2,。2)、1、?"(〃,4)、

L,記為｛4｝，設(shè)/(")=詬二其中7為與〉軸方向相同的單位向量.若對(duì)任意的正整數(shù)"，都有

/(n+l)>/(n),則稱｛4｝為T點(diǎn)列.

⑴判斷4(1,1)、412,￡|、4卜L、L是否為T點(diǎn)列，并說明理由；

（2）若｛4｝為7點(diǎn)列，且。2>4?任取其中連續(xù)三點(diǎn)4、4+八4+2,證明A44+M/+2為鈍角三角形；

⑶若｛4｝為T點(diǎn)列，對(duì)于正整數(shù)左、I,比較京；?了與的大小，并說明理由.

【變式5-1]（2024?遼寧葫蘆島?一模）大數(shù)據(jù)環(huán)境下數(shù)據(jù)量積累巨大并且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，要想分析出海量數(shù)據(jù)所蘊(yùn)

含的價(jià)值，數(shù)據(jù)篩選在整個(gè)數(shù)據(jù)處理流程中處于至關(guān)重要的地位，合適的算法就會(huì)起到事半功倍的效果.現(xiàn)

有一個(gè)“數(shù)據(jù)漏斗”軟件，其功能為；通過操作刪去一個(gè)無窮非減正整數(shù)數(shù)列中除以M余數(shù)為N的

項(xiàng)，并將剩下的項(xiàng)按原來的位置排好形成一個(gè)新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列.設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為=3"T,

〃eN+,通過“數(shù)據(jù)漏斗”軟件對(duì)數(shù)列｛。,J進(jìn)行”3,1）操作后得到他,｝,設(shè)｛%+4｝前〃項(xiàng)和為S“.

⑴求%

（2）是否存在不同的實(shí)數(shù)p,q/eN+,使得邑，邑，斗成等差數(shù)列？若存在，求出所有的（p,q/）；若不存

在，說明理由；

⑶若2=不、,〃eN+,對(duì)數(shù)列包｝進(jìn)行“3,0）操作得到優(yōu)｝,將數(shù)列優(yōu)｝中下標(biāo)除以4余數(shù)為0,1

2（3-1）

的項(xiàng)刪掉，剩下的項(xiàng)按從小到大排列后得到也｝,再將歷,｝的每一項(xiàng)都加上自身項(xiàng)數(shù)，最終得到｛4｝,證

明：每個(gè)大于1的奇平方數(shù)都是｛cj中相鄰兩項(xiàng)的和.

題型六：差分?jǐn)?shù)列、對(duì)稱數(shù)列

【典例6-1】（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）給定數(shù)列｛?！埃?稱｛%-4-｝為｛叫的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱數(shù)列

的差數(shù)列為｛??）的二階差數(shù)列……

（1）求｛2"｝的二階差數(shù)列；

（2）用含m的式子表示｛2"｝的m階差數(shù)列，并求其前?項(xiàng)和.

【典例6-2]（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?一模）若有窮數(shù)列為,出，…，%（"是正整數(shù)），滿足為=%T+CeN*,

且就稱該數(shù)列為“S數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列低｝是項(xiàng)數(shù)為7的S數(shù)列，且乙，b2,b3,4成等比數(shù)列，4=2,4=8,試寫出｛"｝的每一項(xiàng);

⑵已知｛與｝是項(xiàng)數(shù)為2左+1(左21)的S數(shù)列，且%1，，+2,…，。2國構(gòu)成首項(xiàng)為100,公差為-4的等差數(shù)列,

數(shù)列｛c“｝的前2左+1項(xiàng)和為%w，則當(dāng)無為何值時(shí)，$2口取到最大值？最大值為多少？

(3)對(duì)于給定的正整數(shù)必＞1,試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2加的S數(shù)列，使得1,2,2?…2"i成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；

當(dāng)機(jī)＞1500時(shí)，試求這些S數(shù)列的前2024項(xiàng)和S2024.

【變式6-1](2024?河南開封?二模)在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA

加密算法中的應(yīng)用.設(shè)0,?是兩個(gè)正整數(shù)，若p,q的最大公約數(shù)是1,則稱°,q互素.對(duì)于任意正整數(shù)

n,歐拉函數(shù)是不超過〃且與〃互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為9(〃).

⑴試求研3),研9),夕⑺，0(21)的值;

(2)設(shè)〃是一個(gè)正整數(shù)，p,q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù).試求。(3"),夕(M)與。⑵和研外的關(guān)系；

(3)RSA算法是一種非對(duì)稱加密算法，它使用了兩個(gè)不同的密鑰：公鑰和私鑰.具體而言：

①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)0,g；

②計(jì)算”=P4,歐拉函數(shù)就”)；

③求正整數(shù)公使得初除以夕(〃)的余數(shù)是1;

④其中色,4)稱為公鑰，(〃肉稱為私鑰.

已知計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是(187,17).若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得到

一列數(shù)記為數(shù)列也｝,數(shù)列匕｝滿足80g=或+47,求數(shù)列｛tanc“-tan.J的前”項(xiàng)和7；.

【變式6-2](2024?貴州?三模)差分密碼分析(DifferentialCryptanalysis)是一種密碼分析方法，旨在通過觀察

密碼算法在不同輸入差分下產(chǎn)生的輸出差分，來推斷出密碼算法的密鑰信息.對(duì)于數(shù)列N*),規(guī)定

｛△*｝為數(shù)列｛%｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△%=%+「%；規(guī)定｛A?。,｝為｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列，其中

2

Aa?=A??+l-A%.如果｛叫的一階差分?jǐn)?shù)列滿足|聞手|Aa7|(Vf,/eN*,iW力，則稱｛a,｝是“絕對(duì)差異數(shù)列”;

2

如果｛4｝的二階差分?jǐn)?shù)列滿足尺力=|Aa7|(Vz,JeN*),則稱｛%｝是“累差不變數(shù)列”.

⑴設(shè)數(shù)列A:1,3,7,9,13,15,判斷數(shù)列A是否為“絕對(duì)差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，請(qǐng)說明理由；

⑵設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。,=2"2+M〃eN*）,分別判斷｛Aa“｝,｛Aa｝是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由；

（3）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛g｝為“累差不變數(shù)列”，其前〃項(xiàng)和為S“，且對(duì)V〃eN*，都有方]，=1%,

左=1

對(duì)滿足〃+m=2k（m豐〃）的任意正整數(shù)凡見k都有c?產(chǎn)c?,且不等式5?+Sm>。恒成立，求實(shí)數(shù)，的最大直

題型七：非典型新定義數(shù)列

【典例7-1】（2024?高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛。“｝的各項(xiàng)為互不相等的正整數(shù)，前"項(xiàng)和為S,,稱滿足條

件“對(duì)任意的加，〃eN*，均有（"-僅電+”,=（〃+僅）（5“-的數(shù)列｛叫為“好”數(shù)列.

⑴試分別判斷數(shù)列｛%｝,也｝是否為“好”數(shù)列，其中％=2〃-1,b?=T-l,〃eN*并給出證明；

（2）已知數(shù)列｛c,J為“好”數(shù)列，其前n項(xiàng)和為7；.

①若。2。24=2025,求數(shù)列｛c,｝的通項(xiàng)公式；

②若q=P，且對(duì)任意給定的正整數(shù)s（s>l）,有q,q,q成等比數(shù)列，求證：f2s?.

【典例7-2]（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列％,出，…為〃（"=2,3,4,…）階“曼德拉數(shù)

列”：

①%+?%---%=0；（2）|tZ]|+|a2|+|a3|H-----1-\an|=1.

⑴若某2M左eN*）階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)a?^<n<2k,用左，〃表示）；

⑵若某2后+1（左eN*）階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)為（1W”W2左+1,用左,〃表示）；

⑶記〃階“曼德拉數(shù)列”｛0“｝的前左項(xiàng)和為1（左=1,2,3廣.,〃），若存在e｛l,2,3,…，小，使鼠=；，試問：數(shù)

列慨｝。=1,2,3,…，功能否為〃階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說明理由.

【變式7-1]（2024?湖南長沙一模）對(duì)于數(shù)列｛4｝,如果存在正整數(shù)T,使得對(duì)任意都有*=%,

那么數(shù)列｛%｝就叫做周期數(shù)列，7叫做這個(gè)數(shù)列的周期.若周期數(shù)歹式“｝,匕,｝滿足：存在正整數(shù)左，對(duì)每一

個(gè)市4始.eN*),都有〃=q,我們稱數(shù)列出｝和｛c“｝為“同根數(shù)列”.

=1

(1)判斷數(shù)列a“=sin〃7t、，=3,n=2是否為周期數(shù)列.如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理

bn_x-bn_2,n>?>

由；

(2)若｛。"｝和色｝是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是加+2和小+4?eN*),求上的最大值.

【過關(guān)測(cè)試】

1.(2024?天津和平?一模)若數(shù)列｛%｝滿足-=而二7(〃eN*),其中丘0,?！?gt;0,則稱數(shù)列｛%｝為屈數(shù)

列.

(1)已知數(shù)列｛%｝為M數(shù)列，當(dāng)”=1嗎=1時(shí).

(i)求證：數(shù)列?。堑炔顢?shù)列，并寫出數(shù)列｛0,｝(〃eN*)的通項(xiàng)公式；

Inni

("“這［(1+哨求±E"eN)

k=lk=\lk

?1

⑵若㈤｝是M數(shù)列(〃eN*),且d>0,證明：存在正整數(shù)".使得?；—>2024.

a

z=li

2.(2024?黑龍江?二模)如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都大于3,則稱這個(gè)數(shù)列為“G型

數(shù)列”.

⑴若數(shù)列｛%｝滿足2a“=S"+l,判斷｛%｝是否為“G型數(shù)列”，并說明理由；

(2)已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝為“G型數(shù)列”，6=1,數(shù)列也J滿足6“=°“+2,〃eN*,也｝是等比數(shù)列，公比為正

整數(shù)，且不是“G型數(shù)列”，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

3.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知實(shí)數(shù)440,定義數(shù)列｛為｝如下：如果"=%+2%+2?%+…+2G*,±e｛0,1｝,

1=0,1,2,…，左，貝！J4〃=%0+%2g2T—1乙夕.

(1)求。7和。8(用9表示)；

⑵令3=%一,證明：Z々=。2，_；

Z=1

⑶若l<q<2,證明：對(duì)于任意正整數(shù)〃，存在正整數(shù)加，使得+1.

4.(2024?天津?一模)若某類數(shù)列｛風(fēng)｝滿足“V〃22,N>2,且%r0”(〃eN*),則稱這個(gè)數(shù)列｛6｝為“G型

an-\

數(shù)列”.

⑴若數(shù)列｛氏｝滿足％=3,。"。向=3?"",求a2,a3的值并證明：數(shù)列｛%｝是“G型數(shù)列”；

(2)若數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且q=l,｛%｝為“G型數(shù)列"，記6”=?！?1,數(shù)列｛"｝為等比數(shù)列，公比鄉(xiāng)

為正整數(shù)，當(dāng)也｝不是“G型數(shù)列”時(shí)，

⑴求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

、小

(ii)求4證：ES-1^<n55/VzeN)■

k=lakak+\12

5.(2024?高三?浙江?階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系無Qv中，我們把點(diǎn)(了,頊％”^稱為自然點(diǎn).按如圖所示的

規(guī)則，將每個(gè)自然點(diǎn)(xJ)進(jìn)行賦值記為尸(X3),例如尸(2,3)=8,尸(4,2)=141(2,5)=17.

%

7-,H?-

爭(zhēng),

6-

?，->T

5--,^

皎?

4-

①-(,e>

3-?43)--J--

⑥?4?-

2--

(4)-⑥-

rz

1-(2)-^

o--?

.,，.

O1234567人

⑴求尸(x,l)；

(2)求證:2尸(x,y)=P(x-l,y)+P(x,y+1)；

(3)如果尸(x,y)滿足方程P(x+1/-1)+尸(尤4+1)+尸(x+l,y)+P(x+l,y+1)=2024,求P(x,y)的值.

6.(2024?內(nèi)蒙古包頭?二模)已知數(shù)列｛%｝為有窮數(shù)列，且。“wN*,若數(shù)列｛%｝滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)

列｛4｝為加的上增數(shù)列：

①％+&+%+…+?！?m；

②對(duì)于1口</。，使得%<%的正整數(shù)對(duì)(/,7)有無個(gè).

⑴寫出所有4的1增數(shù)列；

⑵當(dāng)〃=5時(shí)，若存在加的6增數(shù)列，求加的最小值.

7.(2024?河南鄭州?二模)已知數(shù)列｛叫為有窮數(shù)列，且?！癳N*,若數(shù)列｛叫滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列｛叫

為機(jī)的左增數(shù)列：①為+%+%+…+%=〃?；②對(duì)于使得％的正整數(shù)對(duì)力有左個(gè).

⑴寫出所有4的1增數(shù)列；

(2)當(dāng)〃=5時(shí)，若存在機(jī)的6增數(shù)列，求加的最小值；

(3)若存在100的后增數(shù)列，求k的最大值.

8.(2024?安徽黃山?一模)隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛.差分和差分方程是描述離

散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用.對(duì)于數(shù)列｛%｝,規(guī)定於。"｝為數(shù)列｛%｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中

2

M--eN*),規(guī)定｛3“｝為數(shù)列｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列，其中A??=Aa?+1-A??(WeN,).

(1)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a”=/(〃eN*),試判斷數(shù)列｛△凡｝,｛於凡｝是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由？

(2)數(shù)列｛log/J是以1為公差的等差數(shù)列，且。>2,對(duì)于任意的〃eN*，都存在meN*，使得

求。的值；

(3)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列匕｝的前"項(xiàng)和為S"，且｛Ac?｝為常數(shù)列，對(duì)滿足m+n=2t,m^n的任意正整數(shù)m,n,t

都有c,“wc“，且不等式與+S,>25,恒成立，求實(shí)數(shù)2的最大值.

9.(2024?北京門頭溝?一模)已知數(shù)列{an}:al,a2,---,aM,數(shù)列也}：4也,…也，其中M>2,且

i=.記{a?},{bn}的前〃項(xiàng)和分別為S“，匕,規(guī)定及=4=0.記

S={SJ-Sl\i=W,--,M-j=\,2,--,M,且i<j},T={Tj-T,\i=Q,l,2,-,M-,j=l,2,---,M,且i<j}.

⑴若{叫:2,1,3,{6?}:1,3,3,寫出S,T.

(2)若$={2,3,5,6,8},寫出所有滿足條件的數(shù)列{a,,},并說明理由；

⑶若<a,.+1,Zj;<Z?;+1(z=l,2,---,M-l),a2>b2,且S=T.證明：3ze,使得bt=aM-ax.

10.(2024?河南?一模)在正項(xiàng)無窮數(shù)列｛%｝中，若對(duì)任意的“eN*，都存在meN*,使得。/通加=(%+?,『，

則稱｛%｝為加階等比數(shù)列.在無窮數(shù)列也,｝中，若對(duì)任意的〃eN*,都存在seN*,使得b“+>+瀏=2b,

則稱｛4｝為加階等差數(shù)列.

77

(1)若｛?！埃秊?階等比數(shù)列，(Zj+a+a=—,a3+a4+a5=—,求｛%｝的通項(xiàng)公式及前“項(xiàng)和；

23416

(2)若｛%｝為加階等比數(shù)列，求證：｛In%｝為加階等差數(shù)列；

(3)若｛。“｝既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，證明：｛4｝是等比數(shù)列.

11.(2024?吉林白山，二模)已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為5"，若數(shù)列｛。"｝滿足：①數(shù)列｛%｝項(xiàng)數(shù)有限為N；②

N

%=0;③^㈤句，則稱數(shù)列｛%｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)列”.

i=l

(1)若等比數(shù)列｛%｝(1<H<10)為“10階可控?fù)u擺數(shù)列"，求｛??｝的通項(xiàng)公式；

(2)若等差數(shù)列｛%｝(14〃42%meN*)為“2機(jī)階可控?fù)u擺數(shù)列"，S.am>am+l,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

N

(3)已知數(shù)列｛%｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在使得2同=2S“，探究：數(shù)列｛5｝能否為"N階

1=1

可控?fù)u擺數(shù)列"，若能，請(qǐng)給出證明過程；若不能，請(qǐng)說明理由.

12.(2024?高三?貴州貴陽?開學(xué)考試)牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解

方程的方法.比如，我們可以先猜想某個(gè)方程/'(x)=0的其中一個(gè)根『在x=x。的附近，如圖所示，然后在

點(diǎn)(%,處作了(尤)的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是為，用為代替毛重復(fù)上面的過程得到巧；一

直繼續(xù)下去，得到吃,為，/，……，x?.從圖形上我們可以看到毛較迎接近『，得較4接近『，等等.顯

然，它們會(huì)越來越逼近于是，求『近似解的過程轉(zhuǎn)化為求當(dāng),若設(shè)精度為￡,則把首次滿足k-七」<￡

的x”稱為，的近似解.

已知函數(shù)/=/+(a-2)x+a,aeR.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，試用牛頓迭代法求方程/'(x)=0滿足精度￡=0.5的近似解(取/=-1,且結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后第

二位)；

(2)^/(x)-x3+x2lnx>0,求。的取值范圍.

13.(2024?高二?廣東?階段練習(xí))關(guān)于x的函數(shù)/■(x)=lru+2x-6(6>2),我們?cè)诒匦抟恢袑W(xué)習(xí)過“二分法

求其零點(diǎn)近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點(diǎn)近似值的方法——“牛頓切線法”.

⑴證明：/(x)有唯一零點(diǎn)。，且。€(1力)；

(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳∑(1,°)開始，實(shí)施如下步驟：

在(再,[(再))處作曲線/⑺的切線，交x軸于點(diǎn)伍,0)；

在值,/(%))處作曲線f(力的切線，交無軸于點(diǎn)值,0)；

在處作曲線/(x)的切線，交無軸于點(diǎn)(當(dāng)+“0)；

可以得到一個(gè)數(shù)列｛%｝,它的各項(xiàng)都是f(x)不同程度的零點(diǎn)近似值.

⑴設(shè)x“+i=g(%),求g(x“)的解析式(用馬表示xn+1);

(ii)證明：當(dāng)X]e(1,。)，總有xn<xn+l<a.

14.(2024?高三?山西呂梁?階段練習(xí))三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數(shù)=的圖象

恰如其形，因而得名三叉戟函數(shù)，因?yàn)榕ｎD最早研究了這個(gè)函數(shù)的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函

數(shù)〃=的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,8),且/■(-2)=0.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)用定義法證明：/'(x)在(-雙0)上單調(diào)遞減.

,、\a^a>b,/、\b,a>b,

15.(2024?河南信陽一模)定義：max｛a,b｝=\k入已知數(shù)列｛%｝滿足

[b,a<b,[a,a<b,

an+min｛a?+1,a,2+2｝=max｛a?+1,a?+2｝.

(1)若%=2,%=3,求％,%的值；

(2)若V"eN*,三左eN*,使得％4知恒成立.探究：是否存在正整數(shù)小使得<=。，若存在，求出p的可

能取值構(gòu)成的集合；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)若數(shù)列｛%｝為正項(xiàng)數(shù)列，證明：不存在實(shí)數(shù)4使得V"eN*,a“V/.

16.(2024?高三?江蘇鎮(zhèn)江?開學(xué)考試)對(duì)于數(shù)列｛%｝(〃€N*),記稱數(shù)列｛A4｝為數(shù)列｛叫的一

階差分?jǐn)?shù)列；記稱數(shù)列｛"與｝為數(shù)列｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列，…，一般地，對(duì)于

keN,記A"%=A(A%.)=規(guī)定：稱｛△%“｝為數(shù)列｛%｝的左階差分?jǐn)?shù)

列.對(duì)于數(shù)列｛《,｝,如果屋氏="片0("為