2025年中考數(shù)學(xué)大題與幾何壓軸題：四邊形壓軸（講練）（解析版）

專題11四邊形壓軸

目錄

考情分析

考點(diǎn)四邊形壓軸

【真題研析?規(guī)律探尋】

題型01與四邊形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

題型02與四邊形有關(guān)的平移問題

題型03與四邊形有關(guān)的翻折問題

題型04與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

題型05與四邊形有關(guān)的最值問題

題型06與四邊形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

題型07與四邊形有關(guān)的新定義問題

題型08與四邊形有關(guān)的閱讀理解問題

題型09與四邊形有關(guān)的存在性問題

題型10四邊形與圓綜合

題型11四邊形與函數(shù)綜合

【核心提煉?查漏補(bǔ)缺】

【好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)】

考點(diǎn)要求命題預(yù)測

在中考中，涉及四邊形壓軸題的相關(guān)題目單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以

四邊形壓軸選擇、填空題型出現(xiàn)，但是四邊形結(jié)合其它幾何圖形、函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大,

所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).

考點(diǎn)四邊形壓軸

真題研析-規(guī)律探尋

題型01與四邊形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

1.（2023?黑龍江?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，點(diǎn)E,F分別是力上的動(dòng)點(diǎn)，且AF1DE,垂足為

G,將△ABF沿AF翻折，得到交DE于點(diǎn)尸，對(duì)角線8。交4F于點(diǎn)“，,下列

結(jié)論正確的是：?XF=DE；②BMIIDE；③若CM1FM,則四邊形是菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到4B的

中點(diǎn)，tanzSWF=2V2：@EP-DH=2AG-BH.（）

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

【答案】B

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得乙=從而證明△48F三△ZED,即可判斷①；由折疊的性質(zhì)可

得再由平行線的判定即可判斷②；由CM1FM可得4M,C在同一直線上，從而可得

ZMCF=ZMFC=45°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得N"BF==45。，BF=MF,再根據(jù)菱形的判定即可判

斷③;設(shè)正方形48CD的邊長為2a,則4E=BF=a,利用勾股定理求得DE==AF,證明△AHD-△FHB,

可得4"=|4?=竽。，從而證得△AGE“△ABF,可得DG=^a,GH=^-a,即可判斷④；證明

△EAG^△PAG,可得EG=》EP,從而證明△4HDFHB,可得警=黑，再證明△瓦4Gs△F4B,可得

ZDnDr

EG-DH=AG-BH,進(jìn)而可得：EP?DH=4G?B”，即可判斷⑤.

【詳解】解：；四邊形4BCD是正方形，

NZME=AABF=90°,DA=AB,

AF1DE,

??.Z.BAF+A.AED=90°,

vZ.BAF+Z-AFB=90°,

Z.AED=Z.BFA,

.-.AABF=△i4E￡)(AAS),

?-AF=DE,故①正確，

???將△48尸沿/F翻折，得到△AMF,

-AF1DE,

?-BMWDE,故②正確，

當(dāng)CM1FM時(shí)，ZCMF=90°,

???Z.AMF=4ABF=90°,

/.AAMF+Z.CMF=180°,即4M,C在同一直線上，

??.ZMCF=45°,

.??/.MFC=90°-ZMCF=45°,

通過翻折的性質(zhì)可得N”BF=ZJ7MF=45。，BF=MF,

:.乙HMF=cMFC,乙HBC=^MFC,

???BC\\MHfHB\\MF,

???四邊形BHM尸是平行四邊形，

???BF—MF,

???平行四邊形是菱形，故③正確，

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到4B的中點(diǎn)，如圖，

設(shè)正方形4BCD的邊長為2a,貝|4E=BF=a,

在RtZk/EO中，DE=y/AD2+AE2=V5a=AF,

vZ.AHD=乙FHB,乙ADH=MBH=45°,

/.△AHDFFHB,

.FH_BF

''~AH~'AD_2a~2f

???/”=|/F=亭，

v^AGE=^ABF=90°f

.-.AAGE-AABF,

.AE__EG__AG___^__V5

''~AF~~BF~^B~V5a-~9

EG=^-BF=^-a,AG=^-AB=^a,

：.DG=ED-EG=^a,GH=AH-AG=^-a,

,:乙BHF=^DHA,

在RtaDGH中，tanNBHF=tanNDH4=黑=3,故④錯(cuò)誤,

由折疊的性質(zhì)可得，△48F三△4MF,

：.Z-EAG=乙PAG,

在△EAG和△PAG中，

(Z-EAG=Z.PAG

AG=AG,

VZ.EGA=/.PGA

.?.△E/G三△PAG(ASA),

：,EG=PG,

??.EG=，P,

-ADWBC,

：.4AHD?叢FHB,

PH_AD

???麗一~BF"

'.'AD=AB,

PH_AB

：'~BH~~BF9

乙

^^AGE=Z.ABF=90°fEAG=^FAB,

△EAG-AFAB,

EG_BF

''~AG~~AB'

BH_EG

**DH-'AG9

??.EGDH=AGBH,

:^EP-DH=AG-BH,

???EP-DH^2AG-BH,故⑤正確；

綜上分析可知，正確的是①②③⑤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的概念，熟練按照要求

做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?湖北黃岡?中考真題）如圖，在矩形/BCD中，AB<BC,連接/C,分別以點(diǎn)，，C為圓心，大

1

于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M,N,直線分別交BC于點(diǎn)、E,

F.下列結(jié)論：

①四邊形/EC尸是菱形；

②UFB=2UCB；

③AC?EF=CF,CD；

④若/尸平分乙&4C,貝l|CF=22尸.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)作圖可得MN，2C,且平分力C,設(shè)4?與MN的交點(diǎn)為0,證明四邊形4ECF為菱形，即可判斷

①，進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角即可判斷②，根據(jù)菱形的性質(zhì)求面積即可求解.判斷③，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可

得BF=FO,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)4C與MN的交點(diǎn)為。，

根據(jù)作圖可得MN_L4C,且平分4C,

???AO=OC,

???四邊形48co是矩形，

^AD\\BC,

???Z-EAO=zJJCF,

Xv^AOE=Z.COF,A0=C0,

.'.AA0E=AC0Ff

??.AE=FC,

???AEWCF,

四邊形2EC尸是平行四邊形，

MN垂直平分4C,

???EA=EC,

???四邊形2ECF是菱形，故①正確；

②???FA=FC,

Z.ACB=Z.FAC,

:.UFB=2UCB；故②正確；

③由菱形的面積可得3c故③不正確，

@---四邊形4BCD是矩形，

???Z.ABC=90°,

若4F平分34C,FB1AB,FO1AC,

貝l|BF=F。，

Z.BAF=/.FAC,

vZ-FAC=Z.FCA,

v￡.BAF+^FAC+Z.FCA=90°,

???乙ACB=30°,

.■.FO=^FC,

???po=BF,

■.CF=2BF.故④正確；

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形

的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?四川南充?中考真題）如圖，在矩形4BCD中，AB=15,BC=20,把邊48沿對(duì)角線AD平移,

點(diǎn)4,9分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)/,B.給出下列結(jié)論：①順次連接點(diǎn)A,B',C,。的圖形是平行四邊形；②點(diǎn)C到

它關(guān)于直線44'的對(duì)稱點(diǎn)的距離為48；③AC—B'C的最大值為15；④AC+B'C的最小值為9g.其中正

確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】c

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點(diǎn)C到3。的距離，從而對(duì)②

做出判斷，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷③，如圖，作。關(guān)于44的對(duì)稱點(diǎn)D,交24于M,連接B。，過

。作）N1BC于N,分別交于K,H,證明。C是最小值時(shí)的位置，再利用勾股定理求解。C,對(duì)④做出

判斷.

【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得/皮/4/

且AB=A'B'

???四邊形48CZ）為矩形

.-.ABUCD,AB=CD=15

：.A'B'HCD且

四邊形49CD為平行四邊形，

當(dāng)點(diǎn)皮與。重合時(shí)，四邊形不存在，

故①錯(cuò)誤

在矩形ABCD中，BDZAB2+協(xié)川期+202=25

過/作CN1BD,貝ijNAf=CN

15x20

■■.AM=CN=

25

二點(diǎn)C至IM4的距離為24

???點(diǎn)C到它關(guān)于直線A4'的對(duì)稱點(diǎn)的距離為48

??.故②正確

■：A'C-B'C<A'B'

.??當(dāng)4,9,C在一條直線時(shí)4c-BK最大，

此時(shí)9與D重合

■.A'C-的最大值=49=15

故③正確，

如圖，作。關(guān)于44的對(duì)稱點(diǎn)”交44于M,連接B。，過。作。N1BC于N,分別交2M,BD于K,H,

貝=KH=15,KM為△07/。的中位線，BD1DD',

D'

D'K=HK=15,

由口49CD可得9C=A'D,

B'C=A'D=A'D',

A'C+B'C=A'C+A'D'=D'C,此時(shí)最小,

由②同理可得：DM=D'M=12,

DCHN

■,■c^DBC=-=-15=-3=—,

設(shè)HN=3x,貝!]BN=4居

由勾股定理可得：DD'2+BD2=BD'2=BN2+D'N2,

22

25+24=(30+3x)2+(軌下,

整理得：25x2+180x-301=0,

???(5%-7)(5%+43)=0,

7AQ

解得：=*t2=-三(負(fù)根舍去)，

72171

NC=20-4%=”N=早

D'C'J二9V17,

.?.故④正確

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，

熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4.2023?山東日照?中考真題)如圖，矩形A8CD中，715=6,4。=8,點(diǎn)尸在對(duì)角線B。上，過點(diǎn)尸作MN1BD,

交邊AD,BC于點(diǎn)N,過點(diǎn)M作ME12。交8。于點(diǎn)E,連接EN,BM,DN.下列結(jié)論：①EM=EN；②

四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)4M:MD=1:2時(shí)，SAMPE=g；④+MN+ND的最小值是20.其中所

有正確結(jié)論的序號(hào)是.

AMD

【答案】②③④

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可知MP=PN,可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出=10,

MN=S,利用S四邊形MBND=%NX8D判斷②；根據(jù)相似可以得到產(chǎn)=（察）：判斷③；利用將軍飲

乙乙◎△DAB'tiL），

馬問題求出最小值判斷④.

【詳解】解：?.,EM=EN,MN上BD,

.-.MP=PN,

在點(diǎn)尸移動(dòng)過程中，不一定MP=PN,

相矛盾，

故①不正確；

AMD

延長ME交BC于點(diǎn)H,

則為矩形，

■■BD=7AB2+=V62+82=10

■.■ME1AD,MN1BD,

??/MED+AMDE=乙MEP+乙EMN=90°,

：./.MDE=/.EMN,

AMHN^ADAB,

MH_HN_MN

'''AD~~AB~~BD9

口口6HNMN

即『甘=而，

QIC

解得：HN=l，MN若,

???S四邊形MBND=S4BMN+^ADMN=NxBP+^MNxDP=^MNxBD=|xx10=

故②正確；

-ME||AB,

MDME~ADAB,

ME_MD_2

''~AB~~AD

.-.ME=4,

?;乙MDE=(EMN,zMPE=Zi4=90°,

??.△MPEMDAB,

.S^MPE_(ME)2_4

S△DAB\BD)25，

44196

=WX^X6X8=—,

故③正確，

15

BM+MN+ND=BM+ND吟,

即當(dāng)MB+NO最小時(shí)，BM+MN+ND的最小值，作反。關(guān)于40、的對(duì)稱點(diǎn)8八Dr,

Q

把圖1中的CD】向上平移到圖2位置，使得CD=于連接8m1，即外。1為MB+ND的最小值，則47=8%=

7

5,BBi=12,

這時(shí)｛BDF+BBF=Jg)+122=y,

即BM+MN+ND的最小值是20,

故④正確；

故答案為：②③④

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

題型02與四邊形有關(guān)的平移問題

1.（2023?吉林?中考真題）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，使重合

的部分構(gòu)成一個(gè)四邊形EFMN.轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條，發(fā)現(xiàn)四邊形EFMN總是平行四邊形其中判定的依據(jù)是

【探究提升】取兩張短邊長度相等的平行四邊形紙條力BCD和EFGH（AB<BC,FG<BC）,其中=

乙B=LFEH,將它們按圖②放置，EF落在邊8C上，F(xiàn)G,與邊力D分別交于點(diǎn)N.求證：口EFMN是

菱形.

【結(jié)論應(yīng)用】保持圖②中的平行四邊形紙條4BCD不動(dòng)，將平行四邊形紙條EFGH沿BC或CB平移，且EF始

終在邊BC上.當(dāng)MD=MG時(shí)，延長CD,HG交于點(diǎn)P,得至U圖③.若四邊形ECPH的周長為40,sin/EFG=

【答案】（操作發(fā)現(xiàn)），兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（探究提升），見解析；（結(jié)論應(yīng)

用），8

【分析】

（操作發(fā)現(xiàn)），根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形解答即可；

（探究提升），證明四邊形2BEN是平行四邊形，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明結(jié)論成立；

（結(jié)論應(yīng)用），證明四邊形ECPH是菱形，求得其邊長為10,作GQ1BC于0,利用正弦函數(shù)的定義求解即

可.

【詳解】解：（操作發(fā)現(xiàn)），???兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，

:.MN\\EF,NEWMF,

二四邊形EFMN是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形），

故答案為：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

（探究提升）,"MNWEF,NEWMF,

.?.四邊形EFMN是平行四邊形，

=乙FEH,

??.NE||4B,

XANWBE,

???四邊形Z8EN是平行四邊形，

：.EF=AB=NE,

??.平行四邊形EFMN是菱形；

(結(jié)論應(yīng)用),???平行四邊形紙條EFGH沿BC或CB平移,

.-.MDWGP,PDWMG,

，四邊形MNHG、CDMF、PGMD是平行四邊形，

■.■MD=MG,

.??四邊形PGMD是菱形，

?.?四邊形EFMN是菱形，

.??四邊形ECPH是菱形，

?.?四邊形ECPH的周長為40,

GF=10,

作GQJLBC于0,

4

vsinZ.EFG=-,

GQ_4

??,蒜?M，

:.GQ=8,

???四邊形ECPH的面積為10X8=8O.

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要

的條件.

2.(2023?天津?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，菱形48CD的頂點(diǎn)4(71,0),8(0,1),

(1)填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為,點(diǎn)G的坐標(biāo)為,

(2)將矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形EPG7?,點(diǎn)E,F,G,H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為k，F(xiàn)',G',

H'.設(shè)矩形EFG7?與菱形ABC。重疊部分的面積為S.

①如圖②，當(dāng)邊EF與4B相交于點(diǎn)〃、邊GK與BC相交于點(diǎn)N,且矩形EFGE與菱形ABCD重疊部分為五

邊形時(shí)，試用含有t的式子表示S,并直接寫出f的取值范圍：

②當(dāng)竽wtw竽時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

【答案】⑴（百,2）,（-乃今.

⑵技?y|<5<V3

【分析】（1）根據(jù)矩形及菱形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；

（2）①由題意易得EF=EF=g,EH=E7f=l,然后可得〃B0=60。，則有6"=孚，進(jìn)而根據(jù)割補(bǔ)法

可進(jìn)行求解面積S；②由①及題意可知當(dāng)竽WtW竽時(shí)，矩形EFGTf和菱形4BCD重疊部分的面積S是增

大的，當(dāng)竽<tw竽時(shí)，矩形和菱形4BCD重疊部分的面積S是減小的，然后根據(jù)題意畫出圖形計(jì)

算面積的最大值和最小值即可.

【詳解】⑴解：???四邊形EFGH是矩形，且E（0,—但）武嗚），

：.EF=GH=y/3,EH=FG=1,

連接4C,BD,交于一點(diǎn)“，如圖所示：

???四邊形4BCD是菱形，且4(汽,0),8(0,1),。(2行,1)，

：.AB=AD=J(V3-0)2+(0—1)2=2,AC1.BD,CM=AM=OB=1,BM=MD=OA=通,

：.AC=2,

.?.C(V3,2),

故答案為（V§（2）,（—VJ,|）；

（2）解：①?.?點(diǎn)E（0,9，點(diǎn)F（—舊]）,點(diǎn)H（0,|）,

二矩形EFGH中，￡T||x軸，EH_Lx軸，EF=y/3,EH=1.

矩形E'F'G'H'中，E'F'llx軸，E'H'_Lx軸，E'F'=y[3,E'H'=1.

由點(diǎn)2（返0）,點(diǎn)得。4=低。8=1.

在RtZi4B。中，tan/AB。=空=g，得4480=60°.

（JD

在RtZXBME中，由EM=EB?tan60°,EB=1—：=也得引”浮

=~EB-EM=同理,得5/^汽//=4.

OO

,-EE'-3得s矩形EETTH=EE，，EH=t.

又S=S矩形EE，H，H-S^BME-S4BNH，

???S=t-哼，

當(dāng)W=EM=乎時(shí)，則矩形EFGr和菱形ABC。重疊部分為△BE'H',

??.t的取值范圍是亨

②由①及題意可知當(dāng)竽＜tW竽時(shí)，矩形EFGH，和菱形4BCD重疊部分的面積S是增大的，當(dāng)竽＜t＜竽

時(shí)，矩形EFGH，和菱形4BCD重疊部分的面積S是減小的,

...當(dāng)1=竽時(shí)，矩形EFG7T和菱形ABC。重疊部分如圖所示：

此時(shí)面積S最大，最大值為S=1XV3=V3；

當(dāng)t=竽時(shí)，矩形EFGH，和菱形力BCD重疊部分如圖所示:

4

圖②

由⑴可知2、。之間的水平距離為2收則有點(diǎn)。到GF的距離為g一（衛(wèi)番一2旬=空，

由①可知：4D==60°,

??.矩形FFG/和菱形力BCO重疊部分為等邊三角形，

???該等邊三角形的邊長為2XV二3_=1i

tan60°N

??.此時(shí)面積S最小，最小值為1x]x哼=為

乙乙4lo

綜上所述：當(dāng)竽WY竽時(shí)，則叫WSW?

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形、菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)、圖形與坐標(biāo)，熟練掌握矩形、菱形的性質(zhì)及三角函

數(shù)、圖形與坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?山東淄博?中考真題）已知：在正方形4BCD的邊BC上任取一點(diǎn)尸，連接力F,一條與4F垂直的直

線/（垂足為點(diǎn)P）沿4F方向，從點(diǎn)4開始向下平移，交邊力B于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)直線I經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)D時(shí)，如圖1所示.求證：AE=BF；

（2）當(dāng)直線I經(jīng)過4F的中點(diǎn)時(shí)，與對(duì)角線BD交于點(diǎn)Q,連接FQ,如圖2所示.求“FQ的度數(shù)；

（3）直線/繼續(xù)向下平移，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在對(duì)角線BD上時(shí)，交邊CD于點(diǎn)G,如圖3所示.設(shè)

AB=2,BF=x,DG=y,求y與比之間的關(guān)系式.

A—?Y

【答案】（1）見詳解；（2）乙4FQ=45。；（3）丫=竟

【分析】（1）由題意易得4。=43/￡;4。=4尸84=90。，進(jìn)而可得乙FAB=NED4貝lj有△4BF三△ZL4E,

然后問題可求證；

（2）連接/。，過點(diǎn)0作。于點(diǎn)/，并延長交3C于點(diǎn)N,由題意易得40=尸0,乙403=45。,

則有。進(jìn)而可得證△4MQ三然后可得NMQF=90。，則問題可求解；

(3)過點(diǎn)。作。句IEG,交AB于點(diǎn)〃，由題意易證四邊形HEGD是平行四邊形，則有

AH=BF=x,HE=DG=y,進(jìn)而可得第=案=需=條然后可得干=泉?jiǎng)t問題可求解.

【詳解】(1)證明：??,四邊形是正方形，

.-.AD=AB,Z,EAD=MBA=90°,

??,AFtED,

?“PE=90°,

.\Z-BAF+Z.AEP=Z.AEP+4ADE=90°,

：.Z-FAB=/.EDA,

??.△ABF=△DAE(ASA),

：.AE=BF；

(2)解：連接/。，過點(diǎn)。作。Ml/。于點(diǎn)“，并延長九Q,交8C于點(diǎn)N,如圖所示：

??,點(diǎn)尸是/尸的中點(diǎn)，AF1EQ,

■■AQ=FQ,

,??四邊形4BCD是正方形,

■.AD=DC/ADC=NC=90°,zXDB=45°,

二四邊形MNCD是矩形，△M。。是等腰直角三角形,

:.MN=CD=AD,MD=MQ,

.-.AM=QN,

△AMQ=△QNF(HL),

:.^.AQM=乙QFN,

,:4FQN+乙QFN=9Q。,

.?ZFQN+N4QM=9O。，即乙4QF=90。，

??.△2QF是等腰直角三角形，

.-.ZXFQ=45°；

(3)過點(diǎn)。作D//IIEG,交AB于點(diǎn)、H,如圖所示：

D

圖3

???四邊形TffiGD是平行四邊形，

:,DG=HE,

-AFLEG,

.?.AFtHD,

由（1）中結(jié)論可得=

-AD//BFtAB//CD,

???AAPD?4FPB,ABPEFDPG,

BF_BPBE_BP

??詬一而而一而'

,.,AB=2,BF=x,DG=y,

：.AD=AB=2AH=BF=x,HE=DG=yf

.,.BE=2—x—y,

BE_BF_BP_三

'''DG~~AD~~PD~2，

2—x—yx

與x之間的關(guān)系式為y=三亨.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、函數(shù)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定,

熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、函數(shù)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

題型03與四邊形有關(guān)的翻折問題

1.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，將矩形ABC。（4?！礎(chǔ)8）沿對(duì)角線8。翻折，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，以矩

形力BCD的頂點(diǎn)4為圓心、r為半徑畫圓，04與B。相切于點(diǎn)E,延長D4交。4于點(diǎn)尸，連接EF交2B于點(diǎn)

G.

(1)求證：BE=BG.

(2)當(dāng)r=l,4B=2時(shí)，求BC的長.

【答案】(1)見解析

⑵BC=2V3

【分析】(1)連接4E,由切線的性質(zhì)得N4EB=90。，貝此力EG+NBEG=90。，由矩形的性質(zhì)得

^BAD=^BAF=90°,再由直角三角形兩銳角互余得4尸+ZJ1GF=90。，根據(jù)對(duì)頂角相等和同圓的半徑相等

得N8GE=N4GE,=然后由等角的余角相等得N8GE=NBEG,最后由等角對(duì)等邊得出結(jié)論；

Af-1

(2)由銳角三角函數(shù)得，sin乙4BE=R=3，得N4BE=30。，由翻折得NCBD=NOB。，由乙4BE+/CB'

ADZ

D+^CBD=W^CBD=30°,再由矩形對(duì)邊相等得=CD,最后在Rt△BCD中解直角三角形即可得出

結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖，連接/瓦

???。4與8。湘切于點(diǎn)￡,

=90°,

??Z/EG+乙BEG=90°.

???四邊形436是矩形，

"BAD=乙BAF=90°,

.?"+乙4GF=90。.

vAE=AF,

.*.zF=Z-AEG.

MBGE=Z.AGF,

：.Z.BGE=(BEG,

.,.BE=BG.

(2)解：在RtZ\BCO中，AE=1,AB=2,

cLAE1

--.sinzX71BE

：^ABE=30°,

???四邊形ZBCD是矩形，

??."BC=90。，

由翻折可知，乙CBD=乙CBD=|(zXBC-UBE)=1x(90°-30°)=30°,

???四邊形力BCD是矩形，

??.CD=AB=2,

rn

在RtaBCD中，tan/CBD=tan30°=￡,

DC.

2

'-BC=c：=v?=2V3.

tan30—

【點(diǎn)睛】本題是四邊形與圓的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、翻折的有關(guān)性質(zhì)、銳角三角函數(shù)

的定義，正確作出輔助線，巧用解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2023?江蘇無錫?中考真題）如圖，四邊形2BCD是邊長為4的菱形，乙4=60。，點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，P為線

段4B上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PBCQ.

⑴當(dāng)“PB=45。時(shí)，求四邊形BBCC的面積；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段48上移動(dòng)時(shí)，設(shè)8P=x,四邊形88￡￡的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】⑴4b+8

（2）S=^^+4V3

【分析】（1）連接BD、BQ,根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得△BDC為等邊三角形，根據(jù)NQPB=45。,

可得aPEQ為等腰直角三角形，貝UPB=2g,PQ=2通，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得NBPB，=90。，PB=PB',

則BB'=2，^,PE=向理CQ=2,CC=2V2^>QF=進(jìn)而根據(jù)S四邊形g夕c工=2S梯形尸3出一^APBBL

SMQC，即可求解；

（2）等積法求得BE=子義，貝UQE=7』，根據(jù)三角形的面積公式可得S^QEB=需，證明

Vx2+12-vxz4-lz'*+12

△BEQQFC,根據(jù)相似二角形的性質(zhì),得出S^XQFC=\胃l"，根據(jù)S=2(S2\QEB+S^BQC+SM")即可求

解.

【詳解】(1)如圖，連接80、BQ,

???四邊形為菱形，

.?.CB=CD=4,乙4="=60。，

△BOC為等邊三角形.

???Q為CD中點(diǎn)，

???CQ=2,BQVCD,

BQ=2V3,QBLPB.

???乙QPB=4S。,

???△尸BQ為等腰直角三角形，

??.PB=2V3,PQ=2V6,

v翻折，

匕BPB'=90。,PB=PB'

???BBr=2V6,PE=V6;.

同理CQ=2,

CC=2V2,QF=V2,

‘S四邊形BBCC二2s梯形PR”—S^PBB，+SACQC=2xIx(2+2V3)x2V3—1x(2V3)+|x22=4V3+8；

(2)如圖2,連接BQ、B'Q,延長PQ交CO于點(diǎn)E

圖2

PB=%,BQ=2V3,乙PBQ=90°,

???PQ=Vx2+12.

,?'△PBQ=^PQXBE=xBQ

.n—BQxPB2總

-PQ-V^T12,

12

QE=Vx2+12,

12

2V3xx_12V3x

,e,=5X22

S4QEBVx2+12V%+12-x+121

???乙BEQ=LBQC=cQFC=90。，貝！JNEQB=90。-4CQF=4FCQ,

???△BEQ-△QFC,

.Wc_/2A2_I

-SwEQ-W—5)-3，

.G_4V3x

-=

,：SABQC=5x2x2^3—2V3,

?1?S=2(S&QEB+SABQC+SAQFC)=2(籌+2遍+磊)=篝+4V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形與折疊問題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形

的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?山東煙臺(tái)?中考真題）【問題背景】

如圖1,數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形ABC。進(jìn)行如下操作：①分別以點(diǎn)8,C

為圓心，以大于匏C的長度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E,F,作直線EF交BC于點(diǎn)0,連接2。；②將△AB。

沿2。翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線AP交CD于點(diǎn)Q.

【問題提出】

在矩形2BCD中，AD=5,AB=3,求線段CQ的長.

【問題解決】

經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：

方案一：連接0Q,如圖2.經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長；

方案二：將△TIB。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。至△RC。處，如圖3.經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長.

請(qǐng)你任選其中一種方案求線段CQ的長.

【答案】線段CQ的長為得

【分析】方案一：連接。Q,由翻折的不變性，知AP=4B=3,OP=OB=2.5,證明△QP。三△QCO(HL),

推出PQ=CQ,設(shè)PQ=CQ=x,在RtaADQ中，利用勾股定理列式計(jì)算求解即可；

方案二：將△ZB。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。至△RC。處，證明N04Q=NR,推出Q4=QR,設(shè)CQ=久，同方案一即

可求解.

【詳解】解：方案一：連接。Q,如圖2.

?.?四邊形ABCD是矩形，

.-.AB=CD=3,AD=BC=5,

由作圖知B。=0C=^BC=2.5,

由翻折的不變性，知力P=4B=3,OP=0B=2.5,^APO=ZB=90°,

.-.OP=OC=2.5,“P0=”=90。，又OQ=OQ,

△QPO=△QCO(HL),

：.PQ=CQ,

設(shè)PQ=CQ=x,則4Q=3+x,DQ=3—x,

在RtZkADQ中，AD2+QD2^AQ2,即52+（3—乂/=（3+刀尸,

解得無=n，

???線段”的長為9

方案二：將△4B0繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。至△/?“）處，如圖3.

?.?四邊形4BCD是矩形，

.-.AB=CD=3,AD=BC=5,

由作圖知B。=OC=1BC=2.5,

由旋轉(zhuǎn)的不變性，知CR=4B=3,NBA。=NR,乙B=￡OCR=9Q°,

貝此。CR+乙OCD=90°+90°=180°,

:.D、C、R共線，

由翻折的不變性，知/"4。=/。仙，

：.Z-OAQ=乙R,

-'-QA—QR,

設(shè)CQ=%,則Q/=QR=3+%,DQ=3-x,

222

在RtaZOQ中，AD+QD=AQf即5?+（3—％尸=（3+Q2,

解得久=n，

???線段CQ的長闿!.

【點(diǎn)睛】本題考查了作線段的垂直平分線，翻折的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性

質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

4.（2023?四川達(dá)州?中考真題）⑴如圖①，在矩形力BCD的4B邊上取一點(diǎn)E,將△4DE沿OE翻折，使點(diǎn)

Af

4落在BC上4處，若4B=6,8C=10,求若的值；

(2)如圖②，在矩形ABC。的BC邊上取一點(diǎn)E,將四邊形4BED沿DE翻折，使點(diǎn)B落在DC的延長線上9處,

若BC-CE=24,4B=6,求BE的值；

(3)如圖③，在△A8C中，Z.BAC=45°4D1BC,垂足為點(diǎn)=10/E=6,過點(diǎn)E作EF14D交4c于

點(diǎn)、F,連接DF,且滿足NDFE=2ND4C,直接寫出8。+(EF的值.

【答案】⑴*(2)5；(3)y

【分析】(1)由矩形性質(zhì)和翻折性質(zhì)、結(jié)合勾股定理求得4B=2,設(shè)AE=4E=x則

BE=AB-AE=6-x,Rt△4BE中利用勾股定理求得工=與，則IE=/，BE=6—學(xué)，進(jìn)而求解即可；

(2)由矩形的性質(zhì)和翻折性質(zhì)得到=證明△EBK”△9。4,利用相似三角形的性質(zhì)求得

8(=4,則9D=10,在RtZXABD中，利用勾股定理求得4。=8,

進(jìn)而求得BC=8,CE=3可求解；

(3)證明44￡1/52\4。。得到。。=9￡'￡則8D+|EF=BD+CD=BC；設(shè)EF=3k,CD=5k,過點(diǎn)。作

DH1AC^H,證明△￡?”￡)三△/=7〃)(ASA)得到DF=CD=5鼠在RtZkEFD中，由勾股定理解得k=l,進(jìn)

而可求得AC=5V5,在圖③中，過B作8G12C于G,證明NCBG=乙CDH=/.DAC,貝!Jsin/CBG=sm^DAC=

cos/CBG=cosAEMC=等，再證明4G=BG,在Rt△BCG中利用銳角三角函數(shù)和

AG+CG=BG+CG=AC求得BC即可求解.

【詳解】解：(1)如圖①，???四邊形4BCD是矩形，

.-.AD=BC=10,CD=AB=6,Nd=NB=NC=90°,

由翻折性質(zhì)得AO=AD=10,AE=A'E,

在Rt△4CD中，A'C=7AD2一CD2=V102-62=8,

.-.A'B=BC-A'C=2,

設(shè)力E=4E=x,則BE=4B-4E=6—x,

在RtZi4BE中，由勾股定理得BE?+4B2=4E2,

10

.,.(6—%)2+22=x2,解得％=可，

=SBE=6—曰=|,

w

zE5

3-

------

E084

03-

(2)如圖②，???四邊形488是矩形，

：.CD=AB=6,AD=BC,4A==4BCD=90。,

ff1

由翻折性質(zhì)得，AB=AB=6fA'D=ADf^.DA'B=Z.A'B'E=^BCD=z90°,

"EBt+乙ABD=90°=+"DA

,

.'./.EB'C=/LB'DA1

.?.△EB￡一△904,

CEB'C口口CEB'C-rj0「cu□A

'.行=標(biāo),即"=箭又B5CE=24,

,BC=^￡￡=F=4,

66

.㈤O=B￡+CD=10,

在RtZ\4B'D中，A'D=^B'D2-A'B'2=8,

:.BC=AD=A,D=8,則CE=3,

.-.BE=BC-CE=8-3=5；

(3)-AD1BCfEFLAD,

.-.EF\\BCf

AAEF-AADCf

-AD=10fAE=6,

^EF_AE_6_3

,?布一而一元一『

：.CD=^EF,則BD+|EF=80+CD=BC；

設(shè)EF=3/c,CD=5k,

過點(diǎn)。作。于“，如圖③，貝!]4。"。=乙40c=90。,

??/CDH=Z.DAC=90°-ZC；

圖③

-EFWBC,

.ZCDF=乙DFE=2^DAC=2乙CDH,

：.Z.CDH=乙FDH,

又?:DH=DH,乙CHD=(FHD=9G。，

???△CHD=△FHD(ASA),

：.DF=CD=5k,

在RtZkEFO中，由勾股定理得EF2+OE2=DF2,

.-.(3fc)2+42=(5/c)2,解得k=l,

??.EF=3,DF=CD=5f

在Rt△40C中，AC=7AD2+CD2="02+52=5V5,

在圖③中，過B作BG_L4C于G,貝！U8G4=NBGC=NCHD=90。，

：.BGWH,

:/CBG=乙CDH=Z.DAC,

.?.sinZ-CBG-sinzDXC=咯=,cos乙CBG-coszDXC=空=

ACsVS5AC5V55

■：^BAC=45°,乙4GB=90°,

：./.ABG=90°-Z.BAC=45°=/.BAC,貝!]4G=BG,

在RtzXBCG中，BG=BC-coszCBG=^-BC,CG=BC-sinzCFG=^-BC,

■,■AG+CG^BG+CG^AC,

.?誓BC+^-BC=5V5,則BC=y,

...BD+|EF=BC=京

圖③

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、翻折性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性

質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，較難，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握相關(guān)

知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線求解是解答的關(guān)鍵.

題型04與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

1.（2023?遼寧阜新?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CE處，旋轉(zhuǎn)角為a,

點(diǎn)尸在直線DE上，且4D=4F,連接BF.

ADAD

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)0。＜戊＜90。時(shí)，

①求NB2F的大小(用含a的式子表示).

②求證：EF=&BF.

(2)如圖2,取線段EF的中點(diǎn)G,連接4G,已知AB=2,請(qǐng)直接寫出在線段CE旋轉(zhuǎn)過程中(0。＜戊＜360。)

△力DG面積的最大值.

【答案】(1)①NB4F=90°—a；②見解析；

(2)△4DG面積的最大值為1+V2.

【分析】

(1)①利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得到立凡4。=180。一a,據(jù)此求解即可；②連接

BE,計(jì)算得到NBCE=90?！猘=NBAF,利用SAS證明△BCE三△B4F,推出△EBF是等腰直角三角形，據(jù)

此即可證明EF=V^BF；

(2)過點(diǎn)6作4。的垂直，交直線4D于點(diǎn)〃，連接4C、BD相交于點(diǎn)。，連接。G,利用直角三角形的性質(zhì)

推出點(diǎn)G在以點(diǎn)。為圓心，OB為半徑的一段弧上，得到當(dāng)點(diǎn)”、。、G在同一直線上時(shí)，GH有最大值，則

△4DG面積的最大值，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：①???四邊形4BCD是正方形，

:.AB=BC=CD=DA,/.ADC=乙BCD=4DAB=90°,

由題意得CD=CE,4DCE=a,

；ZCDE=ZCFD=|(180°—a)=90°-|a,

：.Z.ADF=90°-4CDE=90°-(90。=|a,

'：AD=AF,

1

：.Z-ADF—Z-AFD--a,

.-.Z.FAD=180°-Z.ADF-Z.AFD=180°-a,

.-.Z.BAF=Z.FAD-4BAD=180°-a-90°=90°-a；

②連接BE,

AD

,：Z-DCE=a,

;/BCE=90°—a=Z-BAF,

-：CD=CE=AD=AF=BC,

A^CE=AF?1F(SAS),

??.BF=BE,乙ABF=^CBE,

..N4BC=90。,

.-.ZEBF=9O°,

??.△EBF是等腰直角三角形，

:.EF=y/2BF；

(2)解：過點(diǎn)G作力。的垂線，交直線2。于點(diǎn)“，連接AC、8。相交于點(diǎn)。，連接。G,

AHD

E

由（1）得aEBF是等腰直角三角形，又點(diǎn)G為斜邊EF的中點(diǎn)，

：.BG1EF,即z_BGD=90。，

?.?四邊形ABC。是正方形，

?,QB=OD,

：.OB=OD=OG,

.??點(diǎn)G在以點(diǎn)。為圓心，OB為半徑的一段弧上，

當(dāng)點(diǎn)H、0、G在同一直線上時(shí)，GH有最大值，則△ADG面積的最大值,

：.GH=^AB+OG=^AB+^BD=gx2+gx2&=1+也

△ADG面積的最大值為京。xGH=1+魚.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、直角三角

形的性質(zhì)、勾股定理，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個(gè)含有45。角的三角尺

放在正方形ABCD中，使45。角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45。角的兩邊CM,

CN始終與正方形的邊4D,4B所在直線分別相交于點(diǎn)M,N,連接MN,可得△CMN.

NB

V圖①

【探究一】如圖②，把△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△酸”,同時(shí)得到點(diǎn)H在直線力B上.求證：

乙CNM=4CNH；

【探究二】在圖②中，連接8D,分別交CM,CN于點(diǎn)E,F.求證：△CEF“aCNM；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點(diǎn)E,F.連接4C

交BD于點(diǎn)0,求怒的值.

【答案】［探究一］見解析；［探究二］見解析；［探究三］篇=￥

【分析】［探究一］證明△CNM=△CNH,即可得證；

［探究二］根據(jù)正方形的性質(zhì)證明NCEF=/FNB,根據(jù)三角形內(nèi)角和得出=加上公共角

乙ECF=4NCM,進(jìn)而即可證明

［探究三］先證明△ECDYNCA,得出=京=*=%將△DMC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

/VCACV2

△BGC,則點(diǎn)G在直線48上.得出aNCG三aNCM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NMNC=Z_GNC,進(jìn)而可

得乙CNM=LCEF,證明△ECFMNCM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出黑=暮=累=+，即可得出結(jié)

NM/VCACV2

論.

【詳解】［探究一］

???把△COM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△CBH,同時(shí)得到點(diǎn)H在直線上，

.?.CM=CH/MCH=90°,

"NCH=乙MCH-乙MCN=90°-45°=45°,

"MCN=乙HCN,

在△GVM與△CNH中

(CM=CH

乙MCN=乙HCN

(CN=CN

??.△CNM=△CNH

"CNM=乙CNH

圖②

???四邊形4BC0是正方形，

??/DBA=45°,

又4MCN=45。，

??/FBN=Z.FCE=45°,

???Z.EFC=乙BFN,

"CEF=乙FNB,

又.：乙CNM=^CNH,

：,^CEF=乙CNM,

又??,公共角NECF=乙NCM,

??.△CEFCNM；

［探