2025年中考數(shù)學(xué)大題與幾何壓軸題：圓壓軸 （講練）（解析版）

專題12圓壓軸

目錄

考情分析

考點(diǎn)圓壓軸

【真題研析?規(guī)律探尋】

題型01與圓有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

題型02與圓有關(guān)的平移問題

題型03與圓有關(guān)的翻折問題

題型04與圓有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

題型05與圓有關(guān)的最值問題

題型06與圓有關(guān)的動點(diǎn)問題

題型07與圓有關(guān)的新定義問題

題型08阿氏圓

題型09圓、幾何圖形、銳角三角函數(shù)綜合

題型10與圓有關(guān)的存在性問題

題型11與圓有關(guān)的定值問題

【核心提煉?查漏補(bǔ)缺】

【好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)】

考點(diǎn)要求命題預(yù)測

在中考中，涉及圓壓軸題的相關(guān)題目單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以解答

實(shí)數(shù)的分類題形式出現(xiàn)，常結(jié)合其它幾何圖形、銳角三角函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大，所占分

值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).

考點(diǎn)一圓壓軸

?真題研析-規(guī)律探尋

題型01與圓有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

1.（2022?湖北武漢?中考真題）如圖，點(diǎn)尸是。。上一點(diǎn)，4B是一條弦，點(diǎn)C是APB上一點(diǎn)，與點(diǎn)。關(guān)

于2B對稱，4）交。。于點(diǎn)E,CE與4B交于點(diǎn)R5.BD||CE.給出下面四個結(jié)論：①CD平分NBCE；②

BE=BD；③AE2=aFx4B；④BD為。。的切線.其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)點(diǎn)N8為。的垂直平分線，得出3￡>=3C,ND=NC,根據(jù)等邊對等角得出N3￡）C=N3CD,利

用平行線性質(zhì)可判斷①正確；利用A4D3三A4C8（SSS）得出乙EABNCAB,利用圓周角弧與弦關(guān)系可判斷

②正確；根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得乙4瓦今乙48E,從而可得A4Eb與ZU8E不相似，即可判斷③；連

結(jié)。8,利用垂徑定理得出O81CE,利用平行線性質(zhì)得出0813。，即可判斷④正確.

【詳解】解：,點(diǎn)。是/P8上一點(diǎn)，與點(diǎn)。關(guān)于對稱,

為CD的垂直平分線，

；,BD=BC,AD=AC,

；.乙BDC=cBCD,

?；BD||CE,

：.A：CD=cCDB,

，4CD~BCD,

：,CD平分乙BCE,故①正確；

在和△4C5中，

?：AD=AC,BD=BC,AB=AB,

??.△ADB三AACB(SSS),

.?.S4B=cCAB,

??.BE=BC,

：.BE=BC=BD,故②正確；

“C豐AE,

.,.AC^AE,

:?UEF豐LABE,

.?.△4防與不相似，故③錯誤；

連結(jié)OB,

-BE=BC,CE為弦,

???OB工CE,

?；BD||CE,

???她為。。的切線.故④正確，

??.其中所有正確結(jié)論的序號是①②④.

故答案為①②④.

D

【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判斷于性質(zhì)，垂徑定理,

切線判斷，掌握軸對稱性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判斷于性質(zhì)，垂徑定理，

切線判斷是解題關(guān)鍵.

2.（2021?廣東廣州?中考真題）如圖，正方形48CD的邊長為4,點(diǎn)E是邊8c上一點(diǎn)，且BE=3,以點(diǎn)N

為圓心，3為半徑的圓分別交/3、AD于點(diǎn)RG,DF與AE交于點(diǎn)、H.并與。力交于點(diǎn)K,連結(jié)“G、

C”.給出下列四個結(jié)論.（1）〃是尸K的中點(diǎn)；（2）AHGD=AHEC；（3）SAAHGZSAO//C=9：16；

（4）DK=l，其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）.

BEC

【答案】（1）（3）（4）.

【分析】由正方形的性質(zhì)可證明△?D4F三則可推出乙4HF=90。，利用垂徑定理即可證明結(jié)論（1）

正確；過點(diǎn)H作MN〃AB交8C于N,交AD于M,由三角形面積計(jì)算公式求出4H=茅，再利用矩形的判

定與性質(zhì)證得MG=NE,并根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)分別求出MH=募NH=||,則最后利用銳角三

角函數(shù)證明NMGHHNHEN,即可證明結(jié)論（2）錯誤；根據(jù)（2）中結(jié)論并利用相似三角形的性質(zhì)求得

AM=||,即可證明結(jié)論（3）正確；利用（1）所得結(jié)論DK=DF—2FH并由勾股定理求出切，再求得

DK,即可證明結(jié)論（4）正確.

【詳解】解：（1）???四邊形/BCD是正方形，

.-.AD=AB=4,ND4F=N4BE=90°.

又???/F=BE=3,

--.ADAF=AABE.

：.Z.AFD=乙BEA.

,：Z-BEA+乙BAE=90°,

??ZAFD+Z.BAE=90°,

.?Z4"F=9O。，

.-.AH1FK,

：.FH=KH,

即，是FK的中點(diǎn)；故結(jié)論(1)正確；

(2)過點(diǎn)”作MN〃4B交8C于N,交/。于

由（1）得4HJ.FK,則'。?力F=^O尸

,?,OF=V-4F2+AD2=5,

“7T12

>,.AH=—.

?四邊形/BCD是正方形，MN//AB,

.-.Z.DAB=/.ABC=乙AMN=90°.

???四邊形48NM是矩形.

,-.MN=AB=4fAM=BN.

-AG=BE,

?，AG-AM=BE-BN.

即MG=NE.

?:AD/IBC,

.?ZMAH=LAEB.

-Z.ABE=Z.AMN=90°,

△MAH-△BEA.

AH_MH

：'~AE~'AB'

—MH

即NN產(chǎn)了

解得“”=募

則N"=4—MH=元.

???tanzMGW=黑tan4HEN="

MGNE

?；MG=NE,MH手NH,

MGNE

?-----w------

“MHNH'

；ZMGHH乙HEN.

"DGHW（CEH.

??.△HGD與△HEC不全等，故結(jié)論（2）錯誤；

（3）vAMAHBEA,

AHAM

：'~AE~'BE'

睚=等.

53

解得ZM=||.

由（2）得S4AHG=^MH'AG，S^DHC=^DC-（^AD-AM）.

48

???毅=而黯而=31r卷故結(jié)論（3）正確；

（4）由（1）得，〃是尸K的中點(diǎn)，

.-.DK=DF-2FH.

由勾股定理得FH=7AF2—AH2=卜_（裝）2=|1

Q7

.?.DK=5—2x￡=（；故結(jié)論⑷正確.

故答案為：（1）（3）（4）.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的綜合問題，掌握特殊四邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?湖南岳陽?中考真題）如圖，在RtaABC中，zC=90°,4B的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、

E,BE=8,。。為△BCE的外接圓，過點(diǎn)E作。。的切線EF交于點(diǎn)尸，則下列結(jié)論正確的是.（寫

出所有正確結(jié)論的序號）

@AE=BC-②4AED=XBD；③若ND8E=40。，則南的長為笫=￡；⑤若EF=6,貝|

CE=2.24.

c

【答案】②④⑤

【分析】①根據(jù)線段垂直平分線定理，BE為。。的直徑，BC為。。的弦，即可得出結(jié)論；

②根據(jù)段垂直平分線得出入1+乙4瓦)=90。，再證乙4+乙48c=90。，等量代換即可；

③根據(jù)已知條件先得出NE3C的度數(shù)，再利用圓周角定理得NEOC=2乙組C,根據(jù)弧長公式計(jì)算即可；

④根據(jù)角角相似證明△￡口>“八8尸￡即可得出結(jié)論；

⑤先根據(jù)勾股定理得出8尸的長，再根據(jù)等面積法得出ED,根據(jù)角角相似證明必△/ZJEsbzMCB,得出

竿=笠，即可計(jì)算出結(jié)果.

/1L/ID

【詳解】解:①「DE是AB的垂直平分線

:.AE=BE

???BE為O。的直徑，8c為。。的弦

BE>BC

AE>BC.

故①不正確.

@-：DE是的垂直平分線

.?.DEL4B

?"+々￡7)=90°

vzC=90°

山+05090。

.,.Z.AED=Z.CBD

故②正確.

③連接。。

c

「乙DBE=40°

Z-EOD=2（EBD=80°

???BE—8

1

:?OE=OB=遼BE=4

麗的長為瑞兀-4=9r.

lot）y

故③錯誤.

@-：DELAB,E尸是。。的切線

：.Z.FEB=Z.EDF=90°

又乙EFD=AEFD

??.△EFDFBFE

DF_EF

：''EF~~BF'

故④正確.

（5）---EF=6,BE=8

:.BF=7EF2+BE2=V36+64=10

■:^EF-BE=-ED

.-.ED=誓=4.8

在RtAEDB中，

BD=、BE2—ED2=V82-4.82=6.4,

???DE是AB的垂直平分線，

.-.AD^DB^GA,AE=BE=8,

?在RtAADE和RtAACB中，

A4=A4,UDE=UCB=90°

■■■RtAADE-RtAACB

AD_AE

"~AC~'AB

.6.4_8

"~AC~12.8

■.AC=10.24

又AE=BE=8

.■.CE=AC-AE=W.24-S=2.24.

故⑤正確.

綜上所述：正確的有②④⑤.

故答案為：②④⑤.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及定理、勾股定理、切

線的性質(zhì)、等面積法是常用的計(jì)算邊長的方法、靈活進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵

4.（2020?湖南岳陽?中考真題）如圖，AB為半的直徑，M,C是半圓上的三等分點(diǎn)，AB=8,BD與半

OO相切于點(diǎn)B,點(diǎn)P為瓶上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)4M重合），直線PC交BD于點(diǎn)D,1851。。于點(diǎn)日延長BE

交PC于點(diǎn)尸，則下列結(jié)論正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

@PB=PD；②后？的長為§r；@Z.DBE=45°；（4）ABCF-APFB-,⑤CF-CP為定值.

【答案】②⑤

【分析】①先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得=90。，再根據(jù)半圓上的三等分點(diǎn)可得NCOB=60。，然后根據(jù)

圓周角定理可得NBPC=30。，最后假設(shè)P8=PD,根據(jù)角的和差、三角形的外角性質(zhì)可得乙4OP=30。，這

與點(diǎn)P為而上一動點(diǎn)相矛盾，由此即可得；

②根據(jù)弧長公式即可得；

③先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NOBE=30。，再根據(jù)角的和差即可得；

④先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得APFB=NBCF+4CBF,從而可得對應(yīng)角NPFB與NBCF不可能相等，由此

即可得；⑤先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得備=罟，從而可得CF-CP=CB2,再根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)可得=。8=4,由此即可得.

【詳解】如圖，連接OP

8。與半。0相切于點(diǎn)B

???乙ABD=90°

???C是半圓上的三等分點(diǎn)

1

z.C05=-x180°=60°

???OB=OC

??.△BOC是等邊三角形

由圓周角定理得：zBPC=|zCOS=30°

假設(shè)PB=PD,則NPBD=ZD=|(180°-乙BPC)=75°

???4ABp=/.ABD-4PBD=15°

???^AOP=2乙ABP=30°

又???點(diǎn)P為萬聲上一動點(diǎn)

???”O(jiān)P不是一個定值，與乙4OP=30。相矛盾

即PB與PD不一定相等，結(jié)論①錯誤

AB=8

1

0B=0C=-AB=4

則前的長為督=》，結(jié)論②正確

???△BOC是等邊三角形，BE1OC

11

???乙OBE=Z,CBE=-乙OBC=-x60°=30°

22

???4DBE=/.ABD-LOBE=90°-30°=60°,貝悌論③錯誤

?；4PFB=Z.BCF+乙CBF>Z.BCF,即對應(yīng)角NPFB與4BCF不可能相等

??.△BCF與△PFB不相似，則結(jié)論④錯誤

在△BC尸和△PCB中，｛"%常請?！?/p>

???△BCF-△PCB

.?喘=號,^CF-CP=CB2

又???△BOC是等邊三角形，。8=4

:.CB=0B=4

CF?CP=42=16

即CF-CP為定值，結(jié)論⑤正確

綜上，結(jié)論正確的是②⑤

故答案為：②⑤.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)、弧長公式、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的

判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，較難的題①，先假設(shè)結(jié)論成立，再推出矛盾點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

題型02與圓有關(guān)的平移問題

1.(2022?湖北宜昌?中考真題)已知，在△4BC中，AACB=90°,BC=6,以BC為直徑的。。與48交于

點(diǎn)、H,將△48C沿射線2C平移得到△DEF,連接BE.

圖1圖2

(1)如圖1,DE與。。相切于點(diǎn)G.

①求證：BE=EG；

②求BE-CD的值；

(2)如圖2,延長H。與O。交于點(diǎn)K,將△DEF沿DE折疊，點(diǎn)F的對稱點(diǎn)P恰好落在射線BK上.

①求證：HK\\EF\

②若KF'=3,求4C的長.

【答案】(1)①見解析；②BE-CD=9

(2)①見解析；②2C的長為2K

【分析】(1)①用切線的性質(zhì)定理或切線長定理進(jìn)行證明即可；

②連接。凡OD,OG,證明△OOG”2\EOG,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到；

(2)①延長HK交BE于點(diǎn)Q,設(shè)"lBC=a,利用題目中平移，折疊的對應(yīng)角相等，NBQ。和N8EF'用a表示

出來，得至IjABQO=NBEF'即可；

②連接FF',交DE于點(diǎn)N,證明△/?/＜三ZXENF,設(shè)BK=x,利用算出x；在RtAHBK

中，sinNBHK=f^=l='，在Rt△ABC中，即可求出47的長

KrioZ

【詳解】(1)①如圖1

???△ABC沿射線2C方向平移得到△DEF

.-.BEWCF

■.■Z.ACB=90°

WBE=^ACB=90°

方法一：連接。G,OE

???DE與。。相切于點(diǎn)G

.-.^OGE=90°

"OBE=/.OGE=90°

■：OB=OG,OE為公共邊

：.Rt△BOEmRt△GOE(HL)

.-.BE=GE

方法二：rBC是O。的直徑

??.BE與O。相切于點(diǎn)B

???DE與。。相切于點(diǎn)G

.-.BE=GE

②如圖2

BME

ACD

圖2

方法一：

過點(diǎn)。作DM，BE于點(diǎn)M

"DMB=90°

由(1)已證NCBE=4BCF=90。

四邊形BCDM是矩形

.-.CD=BM,DM=BC

由(1)已證：BE—GE

同理可證：CD=DG

設(shè)BE=x,CD—y

在RtzXDME中，DM2+ME2=DE2

.1.(%—y)2+62=(x+y)2

■?■xy=9

即BE?CD=9

方法二：

圖3,連接。E,OD,OG

BE

圖3

???DE與。。相切于點(diǎn)G,BE與O。相切于點(diǎn)B,CD與。。相切于點(diǎn)C

11

：.BE=GE,CD=DG,Z,OEG=-^BEG,Z-ODG=^CDG

-BEWCF

"BEG+ACDG=180°

...4OEG+(ODG=90°

：.Z.EOD=90°

：,Z-DOG+乙GOE=90°

又?:DE與。。相切于點(diǎn)G

.,.OG1DE

；/DOG+乙ODG=90°

：.Z-GOE=Z.ODG

??.△ODGEOG

??罌=票,^OG2=DG-EG

UuU(J

■：O。的直徑為6

.-.OG=3

.-.BE?CD=9

(2)①方法一：

如圖4

BQE

圖4

延長HK交BE于點(diǎn)Q

設(shè)N4BC=a

?.?在O。中，OB=OH

,"BHO=乙OBH=a

"BOQ=Z.BHO+乙OBH=2a

：/BQO=90°-2a

???△ABC沿射線4C方向平移得到△DEF,△DEF沿DE折疊得到△DEF'

"DEF=乙DEF'=4ABe=a

：.Z.BEF'=90°-2a

；，BQO=乙BEF

：.HK\\EF'

方法二：

?；HK是O。的直徑，

.,.NHBK=90。，

設(shè)N4BC=a,在OO中，0B=0H,

■■.Z-BHO=Z.OBH=a,

"HKF'=90°+a,

???△ABC沿射線力C方向平移得到△DEF,

△DEF沿DE折疊得到△DEF',

:.乙DEF=乙DEF'=Z.ABC=a,

;/BEF'=90°-2a,

?：Z.EBF'=/.ABC=a,

在△BEF'中，Z.BF'E=180°-Z.EBF'-Z.BEF'=90°+a,

:.乙HKF'=LBF'E,

.-.HKWEF'.

方法三：

如圖，延長8F'交DN于點(diǎn)N

???△48C沿射線4C方向平移得到△DEF

:.ABWE,AABC=△DEF

△DEF沿DE折疊得至!]△DEF'

△DEF'=△DEF

△DEFH△ABC

乙ABC=^DEF',EF'=BC

■：OB=OH,

：./.OBH=Z.OHB,

.-.Z.BHK=乙DEF'

■:HK=BC

.-.EF'=HK

???HK是直徑

；ZABK=90°

■：ABWE

:.Z.ABK=4BNE=90°

△HBKm△ENF'

:"BKH=乙EF'N

.-.180°-Z.BKH=180°-4EF'N

即4HKF=乙EF'K

:.HK\\EF'

②連接尸尸，交DE于點(diǎn)、N,如圖6

.-.ED1FF',FN=^FF'

?:HK是。。的直徑

：/HBK=90。，點(diǎn)F'恰好落在射線上

：.BF'1AB

???△48。沿射線AC方向平移得到△DEF

.-.ABWDE,BC=EF

.??點(diǎn)8在FF'的延長線上

:點(diǎn)B,F',F這三點(diǎn)在同一條直線上

而BC為。。的直徑

.-.HK=BC=EF

在△HBK和△ENF中

乙HBK=AENF；4BHO=￡NEF；HK=EF

??.△HBK=△ENF

：.BK=NF

設(shè)BK=x,則BF=BK+KF'+F'F=%+3+2%=3%+3

-OB=OK

?"BK=乙OKB

而乙HBK=乙BCF=90°

???△HBKFCB

BK_HK

x6

A6=3x+3

解得：%i=3,X2=—4(不合題意，舍)

-.BK=3

RKQ-1

在HBK中，sm^BHK=—Kn=1O=-Z

：/BHK=30°

.?.乙4BC=30°

在RtZkABC中，tanNABC=tan30°=三AC

.-.AC=6-tan30°=6X券=2y/3

即4C的長為2舊

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)

等，綜合性較強(qiáng)；巧妙構(gòu)造輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

-1

2.(2023?四川樂山?中考真題)已知01,%),(%242)是拋物G：V=—犬+bx(6為常數(shù))上的兩點(diǎn)，當(dāng)%1+

%2=。時，總有力=、2

⑴求6的值；

1

(2)將拋物線3平移后得到拋物線C2：y=—式久一m)2+l(m>0).

探究下列問題：

①若拋物線Ci與拋物線C2有一個交點(diǎn)，求力的取值范圍；

②設(shè)拋物線。2與x軸交于N,B兩點(diǎn),與〉軸交于點(diǎn)C,拋物線。2的頂點(diǎn)為點(diǎn)△4BC外接圓的圓心為點(diǎn)

F,如果對拋物線的上的任意一點(diǎn)P,在拋物線C2上總存在一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等.求EF長的

取值范圍.

【答案】⑴0

(2)①2<m<2+2V2@|<￡F<!

【分析】(1)根據(jù)％=—+6久1，丫2=—+b久2，且+%2=0時，總有力=丫2，變形后即可得到結(jié)論;

(2)按照臨界情形，畫出圖象分情況討論求解即可.

bx

【詳解】⑴解：由題可知：yi=-^xl+bx1,y2=-+2

,?,%1+%2=0時，總有了1=丫2,

22

???-jXi+bxi=-^x2+bx2.

則外2+Xi)(x2-Xi)-b(x2-Xi)=0,

,■,(x2-xl)[^(x2+xl)_b]=0，

—b(x2—Xi)=0總成立,且X2—*0,

???b=0；

(2)①注意到拋物線C2最大值和開口大小不變,m只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意的兩種臨界情形:

⑺當(dāng)拋物線C2過點(diǎn)(0,0)時，如圖所示，

(zz)當(dāng)拋物線C2過點(diǎn)(2,—1)時，如圖所示,

解得皿=2+2魚或2—2魚(舍)，

綜上，2WmW2+2VL

②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形：

(/)當(dāng)拋物線過點(diǎn)(0,—1)時，如圖所示,

此時，x=O,y=—1m2+1=—1,解得m=2位或—2近（舍）.

（/Z）當(dāng)拋物線C2過點(diǎn)（2,。）時，如圖所示，

1

此時，%=2,y=--（2—m）2+1=0,解得m=4或0（舍）.

綜上2魚<m<4,

如圖，由圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)E、尸在線段的垂直平分線上.

2

令y=—i（x—m）+1=0,解得孫=m—2,xB=m+2,

???HB=m+2—m=2,

???FB=FC,

FH2+HB2=FG2+GC2,

設(shè)FH=t,

...步+22=件—1_）+混，

二件T）2—2（苧—l）t+/-4=0,

二件—1）（苧—2t+3）=0,

m>2y[2,

???斗―170,

4

.?岑一2t+3=0,即1=噂+'，

-■?2V2<m<4.

vEF=FH+1,

79

:.一vEFv—

2--2

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂徑定理、解一元二次方程等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是

解題的關(guān)鍵.

3.（2021?湖南株洲?中考真題）將一物體（視為邊長為5米的正方形力BCD）從地面PQ上挪到貨車車廂

內(nèi).如圖所示，剛開始點(diǎn)B與斜面EF上的點(diǎn)E重合，先將該物體繞點(diǎn)B（E）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至正方形a/C/i

的位置，再將其沿EF方向平移至正方形2c2。2的位置（此時點(diǎn)&與點(diǎn)G重合），最后將物體移到車廂平

臺面MG上.已知MG〃PQ,NFBP=30。，過點(diǎn)F作FH1MG于點(diǎn)H,=：米，EF=4米.

（1）求線段FG的長度；

（2）求在此過程中點(diǎn)力運(yùn)動至點(diǎn)42所經(jīng)過的路程.

【答案】（1）（米；（2）4米.

【分析】（1）利用直角三角形bG”即可求解；

（2）連接出山，則必過點(diǎn)。，分別求出小小和奉的長，即可求出點(diǎn)/經(jīng)過的路程.

【詳解】解：（1）■■-MGWPQ,

：.dGM=(FBP=3(y\

???在RtZkFG”中，

19

FG=2FH=2=§(米).

（2）連接出血，則必過點(diǎn)。/，且四邊形48G42是矩形.

210

??.AIA2=BG=BF?GF=4一§=目（米）.

,?,四邊形ABCD和四邊形//GD都是正方形，

：.AB=AiB,AA1BCI=/LABC=90°.

oo

.4B4=18O°-Z^75C7-ZF75P=180-90°-30=60°.

j60x?rx—2/、［/.、

■-l-=----支=w（米）.

AAi1803

???在整個運(yùn)動過程中，點(diǎn)/運(yùn)動至4的路程為：

優(yōu)+4遇2=|+與=4（米）.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、矩形和正方形的性質(zhì)、平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟知旋轉(zhuǎn)和

平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型03與圓有關(guān)的翻折問題

1.（2021?湖北武漢?中考真題）如圖，A8是。。的直徑，BC是。。的弦，先將前沿BC翻折交4B于點(diǎn)D.再

將前沿AB翻折交BC于點(diǎn)E.若篇=礪，設(shè)乙48C=a,貝ija所在的范圍是（）

A.21.9°<a<22.3°B.22.3°<a<22.7°

C.22.7°<a<23.1°D.23.1°<a<23.5°

【答案】B

【分析】將O。沿BC翻折得到O。'，將O。，沿AD翻折得到O。"，則O。、OO'、。。"為等圓.依據(jù)在同

圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等可證明公=虎=礪=而，從而可得到弧4C的度數(shù)，由弧/C的度數(shù)

可求得乙8的度數(shù).

【詳解】解：將。。沿2C翻折得到O。'，將翻折得到O。"，則O。、O。'、O。"為等圓.

?■-0（9與O。'為等圓，劣弧NC與劣弧CD所對的角均為ZABC,

：.AC-CD.

同理：DE=CD.

又?.方是劣弧8。的中點(diǎn)，

.'.DE=BE.

.-.AC^DC^DE^EB.

???弧/C的度數(shù)=180。+4=45。.

.?.Z5=1x45°=22.5°.

??.a所在的范圍是22,3。<a<22.7°；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了翻折的性質(zhì)、弧、弦、圓周角之間的關(guān)系、

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，找出圖形中的等弧是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?四川自貢?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，E是4B上的一點(diǎn)，連接DE,將ZUDE進(jìn)行翻折，恰

好使點(diǎn)4落在8c的中點(diǎn)F處，在DF上取一點(diǎn)0,以點(diǎn)。為圓心，。尸的長為半徑作半圓與CD相切于點(diǎn)G;若

4。=4,則圖中陰影部分的面積為一.

D

C

【答案】等.

【分析】連接0G,證明△DOGsaDFC,得出尊=喘，設(shè)OG=OF=r,進(jìn)而求出圓的半徑，再證明aCIFQ

rCUr

為等邊三角形，則可由扇形的面積公式和三角形的面積公式求出答案.

【詳解】解：連接OG,過O點(diǎn)作OH1BC于H點(diǎn)，設(shè)圓O與BC交于Q點(diǎn)，如下圖所示：

設(shè)圓的半徑為r,

???CD是圓的切線，

???OG1CD,

???△DOG-'ADFC,

.端=隔,由翻折前后對應(yīng)的線段相等可得DF=DA=4,

rLUr

??,F是BC的中點(diǎn)，.?.CF=BF=2,代入數(shù)據(jù)：

r__4-r

',2=~

4

??V~

o

：.OD=DF-OF=-,

:.sinZ-ODG=黑=［，

.-.ZODG=30°,.-.ZDFC=6O°,

且OF=OQ,.?.△OFQ是等邊三角形，

.-.ZDOQ=180°-60°=120°,

同理△OGQ也為等邊三角形，

??.OH=^°Q=且S扇形OG"S

扇形OQF

，S陰影=（S矩形OGCH—S扇形OGQ-S/OQH）+（S扇形/OQ尸—S4OQF）

3

二s矩形OGCH—'S/OFQ

故答案為：竽.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，切線的性質(zhì)，翻折變換，熟練掌握基本圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2018?云南曲靖?中考真題)如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，將前沿直線BC翻折，使前

的中點(diǎn)。恰好與圓心。重合，連接。C,CD,BD,過點(diǎn)C的切線與線段B4的延長線交于點(diǎn)尸，連接4D,

在PB的另一側(cè)作NMPB=AADC.

(1)判斷PM與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若PC=g,求四邊形OCDB的面積.

【答案】(1)PM與。。相切，理由見解析；

(2存

【分析】(1)連接。。并延長交PM于E,如圖，利用折疊的性質(zhì)得OC=DC,BO=BD,貝I]可判斷四邊形。BDC

為菱形，所以。D1BC,△。6和4。8。都是等邊三角形，從而計(jì)算出NCOP=4EOP=60。，接著證明

PMIIBC得到。E1PM,所以。E=[OP,根據(jù)切線的性質(zhì)得到0C1PC,貝ij0C=(0P,從而可判定PM是。。

的切線；

(2)先在RtZkOPC中計(jì)算出。C=l,然后根據(jù)等邊三角形的面積公式計(jì)算四邊形OCDB的面積.

【詳解】(1)「“與。。相切.

理由如下：連接。。并延長交PM于￡,如圖，

M

E

???前沿直線BC翻折，使前的中點(diǎn)D恰好與圓心。重合，

：.0C=DC,BO=BD,

???。。=DC=BO=BD,

???四邊形OBDC為菱形，

：.0D1BC,

???△OCD和△。8。都是等邊三角形，

:.乙COD=LBOD=6。。,

：.0E=0C乙COP=乙EOP=60°,

，:(MPB=4ADC,

而乙4OC=乙4BC,

：./-ABC=Z.MPB,

???PM||BC,

：.OELPM,

；.0E=g0P,

”C為。。的切線，

：.OC1PC,

：.oc=gop,

；.OE=OC,

而。E1PC,

??.PM是。。的切線；

(2)在RSOPC中，。。=爭C*x庠1,

四邊形OCDB的面積=2SAOCD=2xfx/=容

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑,

構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了直線與圓的關(guān)系、圓周角定理和折疊的性質(zhì).

題型04與圓有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

1.（2023?浙江嘉興?中考真題）一副三角板2BC和DEF中，ZC=ZD=90°,48=30。，NE=45。，

BC=EF=12.將它們疊合在一起，邊8c與EF重合，與4B相交于點(diǎn)G（如圖1）,此時線段CG的長

是,現(xiàn)將△DEF繞點(diǎn)C（F）按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2）,邊EF與4B相交于點(diǎn)”，連結(jié)在旋

轉(zhuǎn)0。到60。的過程中，線段掃過的面積是.

C（F）C（F）

，B(E)A

D

圖1

【答案】6V6-6V212TT-18V3+18

【分析】如圖1,過點(diǎn)G作GH1BC于“，根據(jù)含30。直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出

BH=S/3GH,GH=CH,然后由BC=12可求出GH的長，進(jìn)而可得線段CG的長；如圖2,將△DEF繞點(diǎn)C

順時針旋轉(zhuǎn)60。得到FEi與交于Gi，連接。道，4久，△。2岳2F是△DEF旋轉(zhuǎn)0。到60。的過程中

任意位置，作DN1C%于N,過點(diǎn)8作交。J）的延長線于首先證明△CD%是等邊三角形，

點(diǎn)小在直線2B上，然后可得線段掃過的面積是弓形。過2。的面積加上的面積，求出ON和

然后根據(jù)線段掃過的面積=S弓形￡＞心。+S^DIDB—S扇形CD[D—S&CD1D+列式計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖1,過點(diǎn)G作GH1BC于X,

■：^ABC=30°,4DEF=4DFE=45°,4GHB=^GHC=9?！?

:BH=#GH,GH=CH,

■■BC=BH+CH=y/3GH+GH=12,

.-.GH=6V3-6,

-'-CG=>/2GH=V2X(6V3-6)=6V6—6V2；

如圖2,將△DEF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△%EiF,FE1與交于Gi，連接。道,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：4EiCB=ADCDi=60。，CD=CD1,

??.△CD%是等邊三角形，

vZ.^C=30°,

??.“Gi8=90。，

：.CG1=^BCf

vCEi=BC,

.?CGi=#Ei，即力B垂直平分CEi，

???△C%Ei是等腰直角三角形，

二點(diǎn)在直線4B上，

連接4外,△是△DEF旋轉(zhuǎn)0。到60。的過程中任意位置，

則線段DH掃過的面積是弓形。山2。的面積加上△的面積,

■.■BC=EF=12,

：.DC=DB=曰BC=6近,

：.D^C=D]D=6V2,

作ONICDi于N,則N〃I=NC=3VL

■.DN=dDM—NDF=J(6@2_(3?2=3巫,

過點(diǎn)B作BM1%O交OiO的延長線于M,貝叱"=90°,

?.皿DC=60。，ACDB=90°,

."DM=180°-乙％DC-Z.CDB=30°,

：.BM=|B￡)=3V2,

???線段DH掃過的面積=S弓形以。20+S4D\DB'

=s扇形c°i。—S4CD'D+S/iOiDB，

60^.(6V2)2_1X6V2x3V6+1x6V2X3V2,

36022

=12TT-18V3+18,

故答案為：6V6-6V2,127T-18V3+18.

圖2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30。直角三角形的性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算，解直角三角形，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積計(jì)算等知識，作出圖形，證明點(diǎn)外在直線4B上是本題的突破點(diǎn),

靈活運(yùn)用各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?四川?中考真題)如圖1,已知線段AB,AC,線段AC繞點(diǎn)4在直線4B上方旋轉(zhuǎn)，連接BC,以BC

為邊在上方作RSBDC,且NDBC=30°.

(1)若N8DC=90。，以為邊在力B上方作RtZXBNE,且乙4EB=90。，Z.EBA=30°,連接DE,用等式表示

線段4C與DE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DE14B,AB=4,AC=2,求BC的長；

(3)如圖3,若乙BCD=9。。,4B=4,AC=2,當(dāng)4。的值最大時，求此時tan/CBA的值.

【答案】

⑵BC=2V7

(3百

【分析】

(1)在RtZkBDC中，ADBC=30°,RtABXE,且NAEB=90。，NEB4=30。，可得根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)得出，=霹，乙DBE=LCBA,進(jìn)而證明△ABCSAEBD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求

DCDD

解；

(2)延長DE交于點(diǎn)F,如圖所示，在RtaAEF中，求得EF//，進(jìn)而求得BF的長，根據(jù)(1)的結(jié)論，

得出=在中，勾股定理求得BD,進(jìn)而根據(jù)△ABCsaEBD,即可求解.

(3)如圖所示，以4B為邊在力B上方作Rt△84E,且NEAB=90。，^EBA=30°,連接BE,EA,ED.EC,

同(1)可得△BDEsaBC4進(jìn)而得出D在以E為圓心，竽為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)4,E,D三點(diǎn)共線時，AD

的值最大，進(jìn)而求得cosNB￡M=第，sinNBDA=亨，根據(jù)△4BC“△EBD得出N8DE=NBC4過點(diǎn)4作

AF1BC,于點(diǎn)F,分別求得4F,CF,然后求得BF,最后根據(jù)正切的定義即可求解.

【詳解】(1)

解：在RtZkBDC中，Z￡)5C=30°,RtABAE,且乙4EB=90°,/.EBA=30°,

AABEMCBD,Z.DBE+Z.EBC=^ABC+Z.EBC,BE=ABXcos/ABE=

AB_BE

~BC~~BD9Z.DBE=Z-CBA,

??.△ABCEBD

,AC__AB__"3_2V3

''~DE~~BE~苧ZB-

.■.AC=^3DE,

故答案為：AC=y3DE.

(2)---RtABAE,且乙4EB=90°,/.EBA30°,AB4

.-.AE=AB-sin/EBA=^AB=2,ABAE=60°,

延長DE交AB于點(diǎn)F,如圖所示，

D

■.■DELAB,

.-.ABFD=ADFA=90°,

.,.在RtzXAEF中，EF=AExsin^BAE=x2-V3,4F=/E=1,

.-.BF=AB-AF=4-1=3,

由(1)可得4。=酒羽

：.DE=^-AC=y[3,

:.DF=DE+EF=2V3,

在RtaBFD中，BD=7BF2+DF2=J32+(271)?=歷,

■.■AABC-AEBD,

.BC_AC_2V3

"''BD~'DE~^T9

：.BC—xV2T=2V7,

；.BC=2V7；

(3)解：如圖所示，以4B為邊在ZB上方作Rt△BAE,且NE4B=90。，AEBA=30°,連接BE,EA,

ED,EC,

同（1）可得△BCE-△8C4

則變=些=鳴

八，CBC3

?;4C=2,則￡)E=竽，

在RtzXAEB中，48=4,4E=4BxtanaEBA=4X逅=迪，

33

???D在以E為圓心，竽為半徑的圓上運(yùn)動，

???當(dāng)點(diǎn)4Mo三點(diǎn)共線時，4。的值最大，此時如圖所示，貝IMO=4E+OE=^,

在RtZkABD中，BD=7AB2+Q=心+管丫;早

.-.cosABDA=票=島=第,sin/BDA=需=金=亨，

?:AABCFEBD,

.\Z-BDE=乙BCA,

過點(diǎn)力作4F1BC,于點(diǎn)凡

???C尸=ACxcos^ACB=2x第=券,AF=ACxsinzACB=亨,

???408。=30。,

：.BC=叵BD=3X組=2V7,

223v

:.BF=BC—CF=2小一逅=貯,

77

AF2vH

Rt^AFB中，tanNCB4=箱=血=苧.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求圓外一點(diǎn)到圓

的距離的最值問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?山東濰坊?中考真題）筒車是我國古代利用水力驅(qū)動的灌溉工具，車輪縛以竹簡，旋轉(zhuǎn)時低則舀

水，高則瀉水.如圖，水力驅(qū)動筒車按逆時針方向轉(zhuǎn)動，竹筒把水引至/處，水沿射線4。方向?yàn)a至水渠

DE,水渠OE所在直線與水面PQ平行；設(shè)筒車為。。，。。與直線PQ交于尸，0兩點(diǎn)，與直線DE交于3,

C兩點(diǎn),恰有力"=連接4B/C.

（1）求證：4D為。。的切線；

（2）筒車的半徑為3m,AC=BC,AC=30°.當(dāng)水面上升，A,O,。三點(diǎn)恰好共線時，求筒車在水面下的最大

深度（精確至IJO.lm,參考值：V2?1.4,V3?1.7）.

【答案】（1）答案見解析

（2）0.9m

【分析】（1）連接力。并延長交。。于M,根據(jù)力M為。。的直徑可以得到^ABM=90°,繼而得到

^BAM+Z.AMB=90°,根據(jù)=B。?CD可證ADAB?ADCB,可以得至=NDC4,禾!|用等量代換

即可證明4。為O。的切線；

（2）根據(jù)4C=BC,4。=30。解出4乙43=/。&4=75。，根據(jù)4Q為。。的直徑得到

/.ABQ=/.APQ=90°,進(jìn)而得出NB4Q=60。，Z（?XC=15°,又根據(jù)PQ〃BC得出/QAC=/BQP=15。，

故可得到NPQ4=45。，過。作。尸，PQ交。。于凡交尸。于E,于是在等腰RtAOEQ中，根據(jù)銳角三角函

數(shù)求出0E長，進(jìn)而求出最大深度EF.

【詳解】（1）證明：連接4。并延長交O。于M,連接2”,

.MM為O。的直徑,

Z.ABM=90°,

???4BAM+Z.AMB=90°,

2

VAD=BD-CD,

AD_CD

又???ZD=Z_D,

???LDAB?M）CB,

???Z-DAB=Z-DCAf

又v/-BCA=4BMA,

???^BAM+4DAB=90°,

??/IMM=90。，

???40為。。的切線；

（2）解：如圖所示，

-AQ是。。的直徑，

??.448Q=4APQ=90。，

???"=30。,

???△4QB=4C=30。,

Z-BAQ=90°-Z-AQB=60°,

:.Z-QAC=ABAC-乙BAQ=75°-60°=15°,

???PQ//BC,

???BP=CQ,

???“4C=NBQP=15。，

???乙PQA=乙BQP+乙BQA=15°+30°=45°,

過。作。尸_LPQ交。。于F,交PQ于E,

A

°；

__E<l_

.?.△OEQ為等腰直角三角形,

???0Q=3,

???OE=OQsin45°=3X乎=苧，

二EF=OF—OE=3—苧=0,9（m）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線的判斷，等腰三角形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角

函數(shù)，掌握公式定理并且靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

題型05與圓有關(guān)的最值問題

1.（2023?陜西?中考真題）（1）如圖①，在△048中，。4=。8,乙40B=120。，715=24.若。。的半

徑為4,點(diǎn)P在。。上，點(diǎn)M在4B上，連接PM,求線段PM的最小值；

（2）如圖②所示，五邊形48CDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會在點(diǎn)8處，點(diǎn)E處是該市的一個交

通樞紐.已知：=ZXBC=Z.AED=90°,AB=AE=10000m,BC=DE=6000m.根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)

境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個半徑為30m的圓型環(huán)道。。；過圓心0,作

0MLAB,垂足為M,與。。交于點(diǎn)N.連接BN,點(diǎn)P在。。上，連接EP.其中，線段BN、EP及MN是要

修的三條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時環(huán)道。。的圓心。

到力B的距離。M的長.

【答案】(1)4V3-4；(2)4047.91m

【分析】

（1）連接。P,0M,過點(diǎn)。作。垂足為則PM20M—420M—4,由直角三角形的性質(zhì)得出

OM'=AM'-tan30°=443,則可得出答案；

(2)分別在BC,4E上作B夕=44=r=30(m),連接49，夕。、OP、OE、B'E.證出四邊形B90N是平

行四邊形.由平行四邊形的性質(zhì)得出8N=B'。.當(dāng)點(diǎn)。在9E上時，37+「岳取得最小值.作。。，，使圓心

。，在夕E上，半徑r=30(m),作O'MIAB,垂足為M,并與力團(tuán)交于點(diǎn)H.證明△B'O'H=△丁―由相似

三角形的性質(zhì)得出鬻=翳，求出。7/的長可得出答案.

EA'B'A'

【詳解】

解：(1)如圖①，連接OP,OM,過點(diǎn)。作。WJ.4B,垂足為

MM'

圖①

貝UOP+PM2OM.

???O。半徑為4,

???PM>OM-4>OM'-4,

vOA=OB.NAOB=120°,

ZX=3O°,

OM'—AM'-tan30°=12tan30°=4V3,

?-?PM>OM'—4=4V3—4,

線段PM的最小值為4K-4；

(2)如圖②，分別在BC,AEh^B