2025年中考數(shù)學大題專練：圓中的證明與計算問題（8大題型）（原卷版）

中考大題06圓中的證明與計算問題

考情分析-直擊中考

中考數(shù)學中，圓的基本性質(zhì)、與圓有關的位置關系一直都是必考的考點，難度從基礎到綜合都有通常

選擇填空題會出圓的基本性質(zhì)，如弧長、弦長、半徑、圓周角等的關系,基本都是基礎應用，難度不大，個

別會出選擇題的壓軸題，難度稍大.簡答題部分，一般會把切線的問題和相似三角形、銳角三角函數(shù)等結合

考察，這是一般都是中等難度的問題.還有一些城市會把圓的基本性質(zhì)等與其他動點問題綜合考察,此時一

般都是壓軸題，難度很大，這時候就需要考生綜合思考的點比較多.

琢題突破?保分必拿

圓與全等/相似三角形的綜合

圓幕定理

四點共圓正多邊形與圓

題型一：圓中的角度和線段計算問題

蘢能》大題典例

1.（2023,浙江杭州?中考真題）如圖，在。。中，直徑4B垂直弦CD于點E,連接2。/。,灰7,作CF12D于

點K交線段。B于點G（不與點。方重合）,連接。F.

B

（1）若BE=1,求GE的長.

（2）求證：BC2=BGBO.

（3）若FO=FG,猜想NC4D的度數(shù)，并證明你的結論.

2.（2023?山東?中考真題）如圖，已知4B是。。的直徑，CD=CB,BE切。。于點B,過點C作CF1OE交BE

于點/，若EF=2BF.

圖1圖2

⑴如圖1,連接BD,求證：△ADBm4OBE；

（2）如圖2,N是力。上一點，在4B上取一點M,使NMCN=60。，連接MN.請問：三條線段MN,BM,DN有

怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論.

圓的基礎定理：垂徑定理、圓周角定理、切線長定理的內(nèi)容和常考題型要熟悉，也要結合幾何圖形各自的

特征，綜合應用起來解決相關問題.

垂徑定理臂型三更三：

如圖，可得①AB過圓心②AB_LCD③CE=DE④最=前⑤前=俞

【總結】垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的

弦不是直徑）（4）平分弦所對的優(yōu)弧（5）平分弦所對的劣弧，若已知五個條件中的兩個，那么可推出其

中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應靈活運用該定理.

常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt2X,用勾股，求長度；

2）有弦中點，連中點和圓心，得垂直平分.

【利用圓周角定理解題思路】

1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，在同圓中可以

利用圓周角定理進行角的轉化.

2）在證明圓周角相等或弧相等時，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?

3）當已知圓的直徑時，常構造直徑所對的圓周角.

4）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉化.比如圓心角與圓周角間的轉化；同弧或等弧

的圓周角間的轉化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉化等.

蔻變式訓級

1.（2023?河南商丘?模擬預測）如圖，過。。外一點尸作。。的兩條切線，切點分別為/,B,過點8作

BCIP4交。。于點C連接4B,AC.

（2）若2P=6,AB=4,求O。的半徑.

2.（2023?廣東深圳?模擬預測）如圖，在Rt^ABC中，”=90。，以4B為直徑的半圓交BC于。，過。作圓

(1)AE=CE；

{2}CD*CB=4DE2.

題型二：求弓形面積或不規(guī)則圖形面積

龍麓?大題典例

1.（2023,江蘇南通?中考真題）如圖，等腰三角形OAB的頂角N40B=120。，O。和底邊4B相切于點C,并

與兩腰04。8分別相交于D,E兩點，連接CD,CE.

（1）求證：四邊形。DCE是菱形；

⑵若。。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.

2.（2023?江蘇宿遷?中考真題）⑴如圖，是。。的直徑，4C與。。交于點凡弦4D平分NBAC,點E

在4c上，連接DE、DB,.求證：.

從①DE與。。相切；②DE14C中選擇一個作為已知條件，余下的一個作為結論，將題目補充完整（填寫

序號），并完成證明過程.

（2）在（1）的前提下，若4B=6,/.BAD=30°,求陰影部分的面積.

蘢龍》犀黃揖號.

設。O的半徑為R,n。圓心角所對弧長為I,n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則

扇形弧長公式1=鬻（弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關，且n表

loU

示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位.）

扇形面積公式S扇形=需=夕R

圓錐側面積公式S圓錐側=nrl（其中1是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）

圓錐全面積公式S圓錐全=nrl+nr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

圓錐的高h,圓廠2+=]2

錐的底面半徑r

【陰影部分面積求解問題解題思路】求陰影部分面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規(guī)則

的圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積.常用的方法有：

直接公式法

常

用直接和差法

方構造和差法

法全等法

等面積法

和差法割補法平移法

旋轉法

對稱法

容斥原理

蘢塞》要其訓級

1.（22-23九年級上?江蘇揚州?期末）如圖，CD是。。的直徑，點B在。。上，點4為DC延長線上一點，過

點。作OEIIBC交力B的延長線于點E,且4?=NE

（1）求證：4E是。。的切線；

⑵若線段0E與。。的交點F是0E的中點，。。的半徑為3,求陰影部分的面積.

2.（2023?江蘇常州?一模）如圖1,將一個三角形紙板△力BC繞點力逆時針旋轉。到達的位置，那么

可以得到：AB=AB',AC=AC,BC=B'C,Z.BAC=/.B'AC,乙ABC=LAB'C,/.ACB=Z.AC

B'.（）圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變"中蘊含著"不變"，這是我們解決

圖形旋轉的關鍵.故數(shù)學就是一門哲學.

①上述問題情境中"()”處應填理由：;

(2)如圖2,將一個半徑為4cm,圓心角為60。的扇形紙板48C繞點。逆時針旋轉90。到達扇形紙板4夕67的位

置.

①請在圖中作出點0；

②如果BB，=6cm,則在旋轉過程中，點8經(jīng)過的路徑長為cm；

⑶如果將與(2)中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置.另一個在弧

的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止.此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少(如圖

3)?

題型三：正多邊形與圓

(2021?湖北隨州?中考真題)等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學解題方法.它是利用"同一個圖形的面積

相等"、"分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積"、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等"

等性質(zhì)解決有關數(shù)學問題，在解題中，靈活運用等面積法解決相關問題，可以使解題思路清晰，解題過程

簡便快捷.

(1)在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4,則該直角三角形斜邊上的高的長為,其內(nèi)切圓的半

徑長為;

(2)①如圖1,P是邊長為a的正△ABC內(nèi)任意一點，點。為△力BC的中心，設點P到△4BC各邊距離分別

為h],%2，％3，連接/尸，BP,CP,由等面積法，易知、（八1+八2+h3）=SaABC=3SA0/B，可得自+九2+八3

=;（結果用含。的式子表示）

②如圖2,尸是邊長為Q的正五邊形4BCDE內(nèi)任意一點，設點P到五邊形ZBCDE各邊距離分別為后，h2,h3,

心,九5,參照①的探索過程，試用含a的式子表示后+九2+上+魚+的的值.（參考數(shù)據(jù)：tan36。七卷,

11

tan54°?—O）

(圖3)（圖4）

（3）①如圖3,已知。。的半徑為2,點2為O。外一點，04=4,4B切o。于點8,弦BC”0A,連接

AC,則圖中陰影部分的面積為；（結果保留冗）

②如圖4,現(xiàn)有六邊形花壇2BCDEF,由于修路等原因需將花壇進行改造.若要將花壇形狀改造成五邊形

ABCDG,其中點G在4F的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點G的位置，并說明理

由.

龍麓》舞黃揖號.

正多邊形的常用公式

邊長a=2R-sin^（Rn為正多邊形外接圓的半徑）

nnn

周長Pn=n-an外角/中心角度數(shù)360°

n

面積Sn=ganTn,n對角線條數(shù)n(n—3)

2

邊心距內(nèi)角和(n-2)X180°.

rn=Rn?COSn

內(nèi)角度數(shù)(n-2)x180°n邊形的邊數(shù)(內(nèi)角和+180°)+2

n

an,Rn、rn的關系解=溫+苧（an、Rn、0為構成直角三角形的三邊長，已知其中兩個值，第三個值

可以借助勾股定理求解.）

【解題思路】正多邊形與圓的計算問題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成

2n個全等的直角三角形，而每個直角三角形都集中地反映了這個正n邊形各元素間的關系,

故可以把正n邊形的計算轉化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計算.

蘢皿笠式訓等

1.（2024?遼寧鞍山?三模）【發(fā)現(xiàn)問題】

蜂巢的結構非常精美，每個巢室都是由多個正六邊形組成（如圖1）,某數(shù)學興趣小組的同學用若干個形狀,

大小均相同的正六邊形模具，模仿蜂巢結構拼成如圖2所示的若干個圖案，同學們發(fā)現(xiàn)：在每個拼接成的

圖案中，所需正六邊形模具的總個數(shù)隨著第一層（最下面一層）正六邊形模具個數(shù)的變化而變化.

【提出問題】

在拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個數(shù)y與第一層正六邊形模具的個數(shù)x之間有怎樣的函數(shù)關系?

【分析問題】

同學們結合實際操作和計算得到如下表所示的數(shù)據(jù)

第一層正六邊形模具的個數(shù)X1234

拼接圖案中所需正六邊形模具的總個數(shù)y171937

然后在平面直角坐標系中描出上面表格中各對數(shù)值所對應的點得到圖3,同學們根據(jù)圖3中點的分布情況,

猜想其圖象是二次函數(shù)圖象的一部分.

圖3圖4圖5圖6

為了驗證猜想，同學們從"形"的角度出發(fā)，借助"害I補”的方法，把某一拼接圖案中上半部分的正六邊形模具

（虛線部分）移到下面（如圖4）,并把第一層缺少的正六邊形模具（陰影部分）補全，再拼接到一起（如

圖5）,使每一層正六邊形模具的數(shù)量相同，借此圖求出正六邊形模具的總個數(shù)，再減去用于補全圖形的正

六邊形模具的個數(shù)，即可求出y與x之間的關系式.

【解決問題】

（1）直接寫出〉與x的關系式；

⑵若同學按圖2的方式拼接圖案，共用了169個正六邊形模具，求拼接成的圖案中第一層正六邊形模具的

個數(shù)；

⑶如圖6,作正六邊形模具的外接圓，圓心為O,A,8為正六邊形模具相鄰的兩個頂點，瓶的長為|7Tcm,

現(xiàn)有一張長：LOOcm,寬80cm的長方形桌子，若按圖2的拼接方式拼接圖案（模具間的接縫忽略不計），最

多可以放下多少個正六邊形模具？（遮=1.732）

2.（2023,河北邯鄲?二模）摩天輪（如圖1）是游樂場中受歡迎的游樂設施之一，它可以看作一個大圓和六

個全等的小圓組成（如圖2）,大圓繞著圓心。勻速旋轉，小圓通過頂部掛點（如點尸，N）均勻分布在大

圓圓周上，由于重力作用，掛點和小圓圓心連線（如PQ）始終垂直于水平線/.

圖1

⑴乙NOP='

（2）若。4=16,。。的半徑為10,小圓的半徑都為1：

①在旋轉一周的過程中，圓心M與/的最大距離為；

②當圓心H到/的距離等于。力時，求?！钡拈L；

③求證：在旋轉過程中，MQ的長為定值，并求出這個定值.

題型四：切線的性質(zhì)與判定

龍龍》大題典例

1.（2023?黑龍江大慶?中考真題）如圖，力B是。。的直徑，點C是圓上的一點，CD1力。于點D,力。交O。

于點F,連接4C,若4C平分ND48,過點尸作FG148于點G,交"于點延長AB,DC交于點E.

⑴求證：CD是。。的切線；

（2）求證：AF-AC=AE-AH；

（3）若sinADR4=］求霍的值.

3rn

2.（2023?湖北恩施?中考真題）如圖，△ABC是等腰直角三角形，N4CB=90。，點。為力B的中點，連接C。

交。。于點E,。。與AC相切于點。.

①求證：BC是。。的切線；

⑵延長C。交。。于點G,連接4G交。。于點R若4C=4VL求FG的長.

奧蔻》犀黃揖等

圓的切線垂直于過切點的半徑.（實際上過切點的半徑也可理解為過切點的直徑或經(jīng)過切點與圓

性質(zhì)心的直線.）

解題方法：當題目已知一條直線切圓于某一點時，通常作的輔助線是連接切點與圓心（這是圓中

作輔助線的一種方法）.根據(jù)切線的性質(zhì)可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關系進行有關的計

算或證明.

1）定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線.

2）數(shù)量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時，直線與圓相切.

3）判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

判定常見輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時,

1）若已知直線與圓的公共點時，把圓心和這個公共點連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，

簡稱“連半徑，證垂直”；

3）若直線與圓的公共點沒有明確，可過圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，

簡稱“作垂直，證半徑”.

龍A笠式訓級

1.（2023,廣西梧州?二模）如圖，在△ABC中，。為4C上一點，以點。為圓心，為半徑作圓，與8C相切

于點C,過點力作4。18。交B。的延長線于點D,且乙4。。=4艮4。.

⑴求證：48為O。的切線；

4

（2）若4B=10,sinzXSC=",求4D的長.

2.（22-23九年級上?河北保定?期中）如圖，在RtaABC中，zC=90°,4。平分ABAC,交BC于點D,。是

邊力8上的點，經(jīng)過點4。的。。交48于點E.

⑴求證:BC是。。的切線;

（2）若NB=30。，BD=V3.

①求OE的長；

②求陰影部分的面積.

題型五：四點共圓

龍塞》大題典例

1.（2023?山東日照?中考真題）在探究"四點共圓的條件”的數(shù)學活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面

內(nèi)，一組對角互補的四邊形的四個頂點共圓.請應用此結論.解決以下問題：

如圖1,△ABC中，AB=AC,ABAC=a（60。<a<180。）.點。是8c邊上的一動點（點D不與8,C重

合），將線段4。繞點/順時針旋轉a到線段力E,連接BE.

圖2備用圖

⑴求證：A,E,B,。四點共圓；

（2）如圖2,當=時，。。是四邊形2EBD的外接圓，求證：AC是。。的切線；

⑶已知a=120。，BC=6,點用■是邊BC的中點，此時OP是四邊形4E8D的外接圓，直接寫出圓心P與點M

距離的最小值.

2.（2023?廣東?中考真題）綜合運用

如圖1,在平面直角坐標系中，正方形。2BC的頂點A在乂軸的正半軸上，如圖2,將正方形。4BC繞點。逆時

針旋轉，旋轉角為a（0。<a<45。），4B交直線y=x于點E,BC交y軸于點F.

圖1圖2

⑴當旋轉角NCOF為多少度時，OE=OF；（直接寫出結果，不要求寫解答過程）

（2）若點4（4,3）,求FC的長；

（3）如圖3,對角線4C交y軸于點M,交直線y=x于點N,連接FN,將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與

S?,設5=$1—S2，AN=n,求S關于ri的函數(shù)表達式.

蘢莪》解:去揖號.

判定方法圖形證明過程

若四個點到一個定點的距離相等，到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上

（圓的定義）

則這四個點共圓（圓的定義）.

適用范圍：題目出現(xiàn)共端點，等

線段時，可利用圓的定義構造輔助0

圓.

若一個四邊形的一組對角互補，則反證法

這個四邊形的四個點共圓.

若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)反證法

對角，則這個四邊形的四個點共

圓.

同側共邊三角形且公共邊所對角反證法

相等的四個頂點共圓.

共斜邊的兩個直角三角形的四個連接AO、0D

頂點共圓.根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半

可得AO=BO=CO=DO

適用范圍：雙直角三角形共斜邊

...點A、B、C、D四點共圓

模型.

在4APB和4CPD中

在。0中，若弦AB、CD相交于點

JAP?DP=BP?CP

P,且AP?DP=BP?CP,則A,B,C,D四

1Z3=Z4

點共圓（相交弦定理的逆定理）

AAAPB^ACPD???N1=N2

則A、B、C、D四點共圓

在ZkAPC和Z\DPB中

在。。中，若AB、CD兩線段延長

\AP?BP=CP?DP

后相交于點P,且AP?BP=DP?CP,

L/P=/P.,.△APC^ADPB

則A,B,C,D四點共圓（割線定理）

D.\Z1=Z3而N2+N3=180°

.?.Zl+Z2=180°

則A、B、C、D四點共圓

若四邊形兩組對邊乘積的和等于

對角線的乘積，則四邊形的四個頂

點共圓（托勒密定理的逆定理）.

蘢變》萱式訓您

1.（2023?河南南陽?三模）綜合實踐課上，劉老師介紹了四點共圓的判定定理：若平面上四點連成四邊形

的對角互補或一個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點共圓.在實際應用中，如果運用這個定理，往往可以讓

復雜的問題簡單化，以下是小明同學對一道四邊形問題的分析，請幫助他補充完整.

圖1圖2

特殊情況分析

⑴如圖1,正方形A8CD中，點P為對角線AC上一個動點，連接PD,將射線PD繞點P順時針旋轉乙4DC的度

數(shù)，交直線BC于點Q.

小明的思考如下：

連接。Q，

\'AD\\CQ,zXDC=zDC（2=90°,

.\^ACQ=^DAC,（依據(jù)1）

?:乙DPQ=90°,

：.^DPQ+ADCQ=180°,

:.點、D、P、Q、C共圓，

：./-PDQ=/-PCQ,^DQP=/.PCD,（依據(jù)2）

:.乙PDQ=々DQP,

：.DP=QP.（依據(jù)3）

填空：①依據(jù)1應為,

②依據(jù)2應為,

③依據(jù)3應為；

一般結論探究

⑵將圖1中的正方形48CD改為菱形48CD,其他條件不變，（1）中的結論是否成立，若成立，請僅以圖2

的形式證明，若不成立，請說明理由；

結論拓展延伸

⑶如圖2,若NADC=120。，AD=3,當△PQC為直角三角形時，請直接寫出線段PQ的長.

2.（2023?云南昆明?模擬預測）【問題引入】

如圖1,在RtZ\48C中，ZC=9O°,過點B作直線MN,過點4作力E1MN于點E,判斷：點E一定一RtZXABC

如圖2,以線段4B上一點。為圓心，OB為半徑畫圓，交4B于點C,點D是異于點B,C的。。上一點，E為BD

的延長線上一點.當2E有最小值/時，止匕時DE=g,且=ZB.

（1）求證：4。是O。的切線；

（2）若f=8；以力為圓心，力。為半徑畫弧交射線BD于點F（與。不重合），G為BD的中點，判斷點40,

G,尸是否在一個圓上？如果在，請求出這個圓的面積；如果不在，請說明理由.

題型六：圓幕定理

龍麓?大題典例

1.（2022,湖南長沙?中考真題）如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于。0,對角線AC,8。相交于點E,點尸在邊力。

上，連接EF.

(1)求證：AABE-ADCE；

（2）當玩=而，NDFE=2NCDB時，則票一普=；■+蕭=；京+今一親=

.（直接將結果填寫在相應的橫線上）

⑶①記四邊形ZBCD,AABE,△CDE的面積依次為SMS，若滿足西=可+店，試判斷，4ABE,

△CDE的形狀，并說明理由.

②當反=而，AB=m,AD=n,CD=p時，試用含加，n,0的式子表示AE-CE.

2.（2022?湖南?中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓。，4B是直徑，點C是應）的中點，延長4。交BC的

延長線于點￡

⑴求證：CE=CD；

(2)若4B=3,BC=V3,求力。的長.

犀黃揖等

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

已知圖形結論證明過程

在4APB^DACPD中

【基礎】在。0中，AP?DP=BP?CP

-

弦AB、CD相交于Z1=Z2(同弧所對圓周角相等)

點P[Z3=Z4AAAPB^ACPD

APRP

?,?云=而則AP?DP=BP?CP

【進階】在。0中，BP?CP=MP?NP同上

0P所在直線與。

二

0交于M、N兩點，r(r-OP)(r+OP)

為。0的半徑-Q=r2—OP2

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

已知圖形結論證明過程

如圖，線段ADC是一4B2=AD?ACVZ1=Z2(弦切角定理模型),

O0的一條割線，ABZA=ZA

是（30的一條切線，.,.AABD^AACB

切點為點B—貝MB2=AD?AC

ACAB

割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等.

已知圖形結論證明過程

【基礎】在?0AP?即連接AC、BD

中，弦AB、CD相

二CP?DP通過已知條件證明AAPCs4

交于點P,且點P

在圓外DPB

?'噌=啜貝"AP,BP=CP'DP

DDDPBP

（請嘗試連接AD,BC自行證

明）

【進階】若從圓外AP*BP同上

一點P引圓的兩條

二MP?NP

割線PAB和PMN,

且割線PMN經(jīng)過圓二(OP-rXOP+r)

心，r為00的半徑二OP2-r2

蘢麓》變式訓練

1.（2024?福建龍巖?二模）如圖，已知4B是O。的直徑，點。是圓上一點，過點。作。。的切線交B4延

長線于點C,連接AD,DC.

,2

(2)已知4。=3,sinzB=求4C的長.

2.(2023?河南商丘?一模)閱讀下列材料，完成相應任務：

弗朗索瓦?韋達，法國杰出數(shù)學家.第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘累，帶

來了代數(shù)學理論研究的重大進步，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學之父”.他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點引圓的切線和割線，

切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項(切割線定理).

如圖1,P是。。外一點，PC是。。的切線，P4是。。的一條割線，與。。的另一個交點為瓦則PC?

=PA-PB.

證明：如圖2,連接4C、BC,過點C作。。的直徑CD,連接4D.

；PC是。。的切線，.tPCICD,

：.^PCD=90°,即NPCB+N8CD=90°.

任務:

D

圖1D圖2

圖3

(1)請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分.

(2)如圖3,P4與。。相切于點4連接P。并延長與O。交于點8、C,乙P=^BAD,BC=8,AP=3BP,

連接CD.

①CD與4P的位置關系是____.

②求BD的長.

3.（2023,河南周口?二模）閱讀與思考

學習了圓的相關知識后，某數(shù)學興趣小組的同學們進行了如下探究活動，請仔細閱讀，并完成相應任務.

割線定理

如圖，N是。。外一點，過點/作直線4C,4E分別交。。于點2,C,D,E,則有

AB-AC=AD-AE.

■:乙BCD=KBED（依據(jù)：①）,4CAD=4EAB,

：.AACD?△AEB.

義②?

：.AB-ACAD-AE.

任務：

⑴上述閱讀材料中①處應填的內(nèi)容是,②處應填的內(nèi)容是.

⑵興趣小組的同學們繼續(xù)思考，當直線/￡與圓相切時，是否仍有類似的結論.請將下列已知、求證補充完

整，并給出證明.

己知：如圖，/是。。外一點，過點/的直線交。。于點2,C,.

求證：AE2=

題型七：圓與全等/相似三角形的綜合

1.（2023?浙江臺州?中考真題）我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點與直線上點的對應關系，用直

線上點的位置刻畫圓上點的位置，如圖，力B是。。的直徑，直線2是。。的切線，B為切點.P,Q是圓上兩

點（不與點4重合，且在直徑力B的同側），分別作射線2P,4Q交直線I于點C,點。.

AAA

⑴如圖1,當AB=6,BP的長為11時，求BC的長.

⑵如圖2,當器=1麗=而時，求籌的值.

/\DCU

⑶如圖3,當sin/B4Q=半，8C=CD時，連接AP,PQ,直接寫出券的值.

2.（2022?河北?中考真題）如圖，四邊形N8CD中，AD\\BC,ZABC=90a,ZC=30°,AD=3,AB=2

遮，DHLBC千點、H.將△PQW與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點尸與/重合，點3在上,

其中/Q=90。，ZQPM=30°,PM=4V3.

⑴求證：叢PQM沿叢CHD；

⑵△尸。河從圖1的位置出發(fā)，先沿著8c方向向右平移（圖2）,當點P到達點。后立刻繞點。逆時針旋

轉（圖3）,當邊尸M旋轉50。時停止.

①邊P0從平移開始，到繞點。旋轉結束，求邊尸。掃過的面積；

②如圖2,點、K在BHk,且BK=9—4g.若△尸。M右移的速度為每秒1個單位長，繞點。旋轉的速度

為每秒5。，求點K在△尸區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；

③如圖3.在△尸旋轉過程中，設尸。，PAf分別交2c于點E,F,若BE=d,直接寫出C尸的長（用含

d的式子表示）.

蘢龍》擲黃揖號.

全等三角形的判定：

1.邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；

2.邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；

3.角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；

4.角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或

“AAS”）；

5.對于特殊的直角三角形：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”

或或L"）.

判定兩個三角形全等的思路：

判

定

兩

個

三

角

形

全

等

的

思

路

相似三角形的判定方法：

1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似.

2）兩個三角形相似的判定定理：

①三邊成比例的兩個三角形相似；

②兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；

③兩角分別相等的兩個三角形相似.

④斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似.

判定兩個三角形相似需要根據(jù)條件選擇方法.有時條件不具備，需從以下幾個方面探求：

1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；

2）兩個三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；

3）兩個三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例;

4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或兩邊成比例.

蘢塞》變式訓練

1.（2023,浙江寧波?模擬預測）如圖①，是O。的半徑，點尸是上一動點，過尸作弦弦4C,

（2）當。4IICD時，求證：AC=BC.

⑶如圖②，在（2）的條件下，連結。C.

①若△4BC的面積為12,cos乙4DB=g,求△4PD的面積.

②當尸是。4的中點時，求黑的值.

2.（2023?浙江溫州?模擬預測）如圖，在△4BC中，28=40=5,BC=6,4尸為482。的外角平分線，過

點4C及線段48上一點E作圓0,交射線4F于點。.

（2）試判斷器是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.

DC,

⑶作點4關于CD的對稱點4,當點4落在△2DE任一邊所在直線上時，求所有滿足條件的BE長.

題型八：圓與四邊形綜合

龍麓?大題典例

1.(2023,廣東?中考真題)綜合探究

如圖1,在矩形4BCD中(AB>2。)，對角線AC,BD相交于點。，點2關于8。的對稱點為4,連接44'交BD

于點E,連接C4.

圖1圖2圖3

(1)求證：AA：1CA'；

(2)以點。為圓心，OE為半徑作圓.

①如圖2,。。與CD相切，求證：AA'=V3CA'；

②如圖3,。。與CA相切，AD=1,求。。的面積.

2.(2022?上海?中考真題)平行四邊形ABCD,若P為BC中點，AP交BD于點、E,連接CE.

(1)若4E=CE,

①證明4BCD為菱形；

②若力B=5,AE=3,求BD的長.

(2)以4為圓心，4E為半徑，B為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點記為點F,且。石=岳民若F在直線CE

上，求器的值.

DC

蘢物要其訓等

1.(23-24九年級上?江蘇淮安?期中)在矩形4BCD中，已知BC=6,連接BD,ZCBD=30°,點。是邊BC

上的一動點，。。的半徑為定值幾

⑴如下圖，當。。經(jīng)過點C時，恰好與8D相切，求。。的半徑片

AD

⑵如下圖，點加?是。。上的一動點，求三角形ADM面積的最大值:

⑶若。。從8出發(fā)，沿方向以每秒一個單位長度向C點運動，同時，動點E,尸分別從點，，點C出

發(fā)，其中點E沿著4D方向向點。運動，速度為每秒1個單位長度，點尸沿著射線CB方向運動，速度為每

秒2個單位長度，連接EF,如下圖所示，當。。平移至點C（圓心。與點C重合）時停止運動，點￡,F

也隨之停止運動.設運動時間為/（秒）.在運動過程中，是否存在某一時間K使。。與EF相切，若存在,

請求出此時/的值；若不存在，請說明理由.

2.（2023,重慶大渡口?三模）如圖，在正方形ABCD中，點尸為CB延長線上一點，連接2P.

⑴如圖1,連接PD,若NPDC=60。，AD=4,求tan乙4PB的值;

⑵如圖2,點/在DC上，連接4F.作乙4PB的平分線PE交4產(chǎn)于點E,連接DE、CE,若乙4PB=60。，且DE

平分"DF.求證：PA+PC=^PE；

⑶如圖3,在（2）的條件下，點。為AP的中點，點〃為平面內(nèi)一動點，且2Q=MQ,連接PM,以PM為

邊長作等邊若BP=2,直接寫出的最小值.

|必卜刷H大H題）

蘢涵好!模擬.

1.（2023?浙江寧波?一模）【教材呈現(xiàn)】以下是浙教版八年級下冊數(shù)學教材第85頁的部分內(nèi)容.先觀察下

圖，直線加陰，點/,3在直線辦上，點G，C2,C3,G在直線乙上.AABC],AABC2,/\ABC},/\ABC4

這些三角形的面積有怎樣的關系？請說明理由。

【基礎鞏固】如圖1,正方形A8CD內(nèi)接于O0,直徑MNIIAD,求陰影面積與圓面積的比值;

【嘗試應用】如圖2,在半徑為5的。。中，BD=CD,乙ACO=24BDO,cos乙BOC=x,用含x的代數(shù)式表

不S44BC；

【拓展提高】如圖3,48是。。的直徑，點尸是。B上一點，過點P作弦CD148于點P,點尸是。。上的

點，且滿足CF=CB,連接8F交CD于點E,若BF=8EP,SACEF=10V2,求O。的半徑.

圖3

2.（2023?陜西西安?模擬預測）在口4BCD中，4B14C,點E在邊力。上，連接BE.

（1）如圖1,4C交BE于點G,GH1AE,若BE平分N4BC,且NZMC=30。，CG=4,請求出四邊形EGCD的面

積；

（2）如圖2,點廠在對角線AC上，且4F=4B,連接BF,過點尸作1BE于點〃，連接2”,求證：HF+V2

AH=BH；

（3）如圖3,線段PQ在線段BE上運動，點R在8C上，連接CQ,PR.若BE平分N&BC,ND4c=30。，AB=

V3,AC=BE=2PQ=3,BC=4BR.求線段CQ+PQ+PR的和的最小值.

3.（2024?福建龍巖?二模）已知△48C,NB4C=90。，AB=AC=642.

探究一：如圖（1）,點。在BC上（點。不與點3,C重合），且BD=x.

①連接2。，當％=4時，AD=.

②在①的條件下，若以點A為旋轉中心把線段逆時針旋轉a（0。<a<360。），旋轉后點B的對應點為點

B',連接DB，，設DB，為最大值為a,的最小值為b,貝必?6=.

③如圖（2）,若把線段4。繞點N逆時針旋轉90。得線段AE,連接DE交4C于點尸，求CF的最大值.

探究二：建立如圖（3）所示的平面直角坐標系，把線段A8繞點/逆時針旋轉45。得線段2M,再把線段4M

逆時針旋轉90。得線段AN,MN交BC于點、P,NC與BM的延長線交于點0,請判斷射線AP是否經(jīng)過點Q.

4.（2024?湖南邵陽?一模）如圖，以邊△4BC的邊4B為直徑作圓。，交BC于。，E在弧BD上，連接4E、

ED、DA,J^Z-DAC=/-AED.

⑴求證：4C為。。切線；

（2）求證：AC2=CD-BC-,

⑶若點￡是弧BD的中點，AE與BC交于點尸，當BD=5,CD=4時，求DF的長.

5.（2024?陜西西安?二模）圖形旋轉是解決幾何問題的一種重要方法.如圖1,正方形4BCD中，E、F分別

在邊4B、8c上，且NEDF=45。，連接EF,試探究ZE、CF、EF之間的數(shù)量關系.解決這個問題可將△4DE

繞點。逆時針旋轉90。到△CDH的位置（易得出點H