2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)圖象的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題（3題型）（解析版）

搶分秘籍14二次函數(shù)圖象的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題

（壓軸通關(guān)）

目錄

【中考預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)考向，總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）

中考預(yù)測(cè)

二次函數(shù)圖象的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年

都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

i.從考點(diǎn)頻率看，二次函數(shù)圖象的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題是幾何綜合，綜合性比較強(qiáng)，同時(shí)也是高頻

考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須對(duì)幾何和函數(shù)圖象的性質(zhì)定理很熟練和貫通。

2.從題型角度看，以解答題的最后一題或最后第二題為主，分值12分左右，著實(shí)不少！

<（搶分通關(guān)

題型一二次函數(shù)圖象的平移綜合問(wèn)題

典例精講

【例1】（2024■浙江溫州?一模）如圖，直線了=-gx+2分別交x軸、了軸于點(diǎn)A,B,拋物線y=-f+機(jī)x

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

⑴求點(diǎn)3的坐標(biāo)和拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵若拋物線向左平移〃個(gè)單位后經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,求”的值.

【答案】⑴點(diǎn)3的坐標(biāo)為（0,2）,y=-f+M；

⑵%=2-&,n2-2+V2.

【分析】（1）由題意可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的表達(dá)式即可解答；

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律"左加右減，上加下減"得到平移后的拋物線的表達(dá)式，再把B的坐標(biāo)代入

求解即可；

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握知識(shí)

點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）由y=+2可知，令x=0,則y=2,

-2

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2）,

令y=_；x+2=0,貝!|x=4,

.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）,

代入拋物線的表達(dá)式，得-42+4%=0,解得〃?=4,

.??拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-/+4x；

（2）由（1）得y=-%2+4x=+4,

???平移后的拋物線為＞=-（%-2+〃『+4,將點(diǎn)5（0,2）代入，得-（-2+〃『+4=2,

解得nx=2-V2,%=2+^2.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移，熟練

掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?江西贛州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線4：了=*與直線尸-1相交于4B.

（1）AB=______；

⑵拋物線右隨其頂點(diǎn)沿直線y=向上平移，得到拋物線4,拋物線4與直線y=T相交于C,D（點(diǎn)、C

在點(diǎn)。左邊），已知拋物線右頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為%

①當(dāng)根=6時(shí)，拋物線乙的解析式是，CD=；

②連接當(dāng)△MCD為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】⑴2

(2)①y=-(x-6)2+3；4；0(4,2)

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與直線交點(diǎn)問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)，正切的定義：

(1)令y=-l,解方程即可求解；

(2)①根據(jù)題意可得拋物線右的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,3),從而得到拋物線4的解析式為y=-(x-67+3,再令

y=T,解方程即可求解；②根據(jù)題意可得從而得到拋物線4的解析式為y=-(x-加

令V=T,可得。。=而百，過(guò)點(diǎn)M作九OLCE于點(diǎn)E,則腔=gm+l,CE="；+4,然后根據(jù)是

等邊三角形，得出/MCE=60。，再根據(jù)銳角三家函數(shù)即可求解.

【詳解】(1)解：對(duì)于了=-2,

當(dāng)歹=一1時(shí)，-1=-X2,

解得：x=±l,

???點(diǎn)4(—1,—1),5。,—1),

???AB=2；

故答案為：2

(2)解：①對(duì)于y=

當(dāng)x=6時(shí)，y=gx6=3,

.??拋物線右的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,3),

；?拋物線4的解析式為y=-(x-6)2+3,

當(dāng)y=_］時(shí)，_I=_(X—6)2+3,

解得：x=8或4,

.\C(4,-1),5(8,-1)

：.CD=4；

故答案為：y=-(x-6)2+3；4

②解：：點(diǎn)M在直線y=；X上，

Mym^mj,

1

.??拋物線右的解析式為N=-（X-加）2+—m,

2

,S1

當(dāng)y=_l時(shí)，_]=_（1_冽）+—m,

々刀/曰Y2ni+45V2m+4

用牛將：x=-----------F冽或x=---------------Fm，

22

、'/2冽+4、

：.C+m,-1,D+—1,

2

77

***CD=V2m+4，

N2m+4

如圖，過(guò)點(diǎn)M作MD_LCE于點(diǎn)￡,貝+CE=

22

???△MCD是等邊三角形,

：.ZMCE=60°,

-m+\

tanZMC￡=—2

2

解得：加=4或-2（不合題意，舍去）,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,2）.

名校模擬

1.（2024?陜西西安三模）已知拋物線。:了="2+笈-4的對(duì)稱(chēng)軸為x=2,且過(guò)點(diǎn)/（1,2）.

⑴求拋物線C的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo);

⑵對(duì)稱(chēng)軸直線工=2與x軸的交于點(diǎn)。，與拋物線。交于點(diǎn)N.平移拋物線。得到拋物線U,使得拋物線C

的頂點(diǎn)〃在直線x=2的右側(cè).若等腰三角形。NM面積為8,請(qǐng)敘述平移過(guò)程.

x

【答案】⑴y=-2x?+8x-4,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）；

⑵將拋物線C向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C'；或?qū)佄锞€C向右平移

4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C,或?qū)佄锞€C向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋

物線C.

【分析】此題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移：

（1）由對(duì)稱(chēng)軸為x=2,得6=-4。，將點(diǎn)41,2）代入了="2-4?-4,得。=-2,由此得到拋物線的解析

式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)平移的距離為刀，根據(jù)等腰三角形DW面積為8,得到為該等腰三角形的高，4為底，拋物線。的

頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2,求出〃=4,即可得到平移的過(guò)程.

【詳解】（1）.??對(duì)稱(chēng)軸為x=2,

---=2,即b=-Aa,

2a

將點(diǎn)4（1,2）代入^=〃工2一44%一4,

a—4。—4=2,

解得〃=-2,

y=-2f+8尤-4=-2（x-2『+4

；.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）；

（2）?.?頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）,

.?.D（2,0）,N（2,4）,

DN=4,

設(shè)平移的距離為人

當(dāng)=（時(shí)，如圖，

???等腰三角形0W面積為8,

二〃為該等腰三角形的高，4為底，拋物線C的頂點(diǎn)”的縱坐標(biāo)為2,

—x4A=8,

2

解得〃=4,

.\M（2+4,2）,即M（6,2）,

.?.將拋物線C向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C，.

當(dāng)。M=DN=4時(shí)，如圖，

可得M（6,0）,

...將拋物線C向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C<

當(dāng)=時(shí)，如圖，

可得M（6,4）

.?.將拋物線C向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C'

2.（2024?貴州安順?一模）如圖，二次函數(shù)必=2/+法+。與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)為4-1,0）,且

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式，并用頂點(diǎn)式來(lái)表示；

⑵將二次函數(shù)%=2Y+6x+c向左平移1個(gè)單位，得函數(shù)%=;%與>軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

⑶在(2)的條件下，將直線45向下平移〃(〃>0)個(gè)單位后與函數(shù)外的圖象有唯一交點(diǎn)，求〃的值.

1Q

【答案】(1)必=2(x+：)—石

4o

5Q

⑵%=2。+：)2_3，(0,2)

4o

(3)H=1

【分析】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題.

(1)用待定系數(shù)法直接將點(diǎn)42代入即可;

(2)涉及函數(shù)圖象的平移，記得左加右減，求與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)令x=o即可;

(3)先求出直線N3的解析式，再跟拋物線解析式聯(lián)立，只有一個(gè)交點(diǎn)即根的判別式為0.

【詳解】(1)解：將4T0),8(1,2)代入％B2鏟+瓜+。得

2-b+c=0b=l

2+—解得

c=-l

ia

該二次函數(shù)的表達(dá)式為必=2x2+x-l=2(x+：)-g；

48

19

(2),?*—2(xH—)—

148

iaia59

將二次函數(shù)必=2(x+/w向左平移1個(gè)單位，得函數(shù)外⑶+小尸/叱/人

令尤=0得%=2

%與了軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)；

(3)設(shè)直線48解析式為歹=h+6

將/(-1,0),8(1,2)代入得

-k+b=0k=l

k+b=2解得

b=l

1.V=X+1

將直線45向下平移n(n>0)個(gè)單位得y=x+\-n

y=x+l-n

59

59得2(x+—y——=x+\-n

由，y=2(x+-)29--i18

48

整理得2x2+4x+n+l=0

y=x+l-〃與函數(shù)外的圖象有唯一交點(diǎn)

A=16—8(〃+1)=0

..M—1.

3.(2024?安徽池州?二模)如圖，拋物線匚了="2+法+。與X正半軸交于點(diǎn)/(3,0),與y軸交于點(diǎn)8(0,3),

對(duì)稱(chēng)軸為直線尤=1.

圖②

⑴求直線的解析式及拋物線的解析式;

(2)如圖①，點(diǎn)尸為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸軸，垂足為C,PC交于點(diǎn)D,求當(dāng)點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)為多少時(shí)，PD+AD最大;

⑶如圖②，將拋物線Cy=ax2+bx+c向左平移得到拋物線/，直線ZB與拋物線少交于V、N兩點(diǎn)，若

點(diǎn)B是線段的中點(diǎn)，求拋物線Z的解析式.

【答案】⑴>=-x+3,y=-x2+2x+3；

⑵點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為三"時(shí)，PD+4D有最大值;

2

215

⑶y=-x—x+二.

4

【分析】(1)利用待定系數(shù)法解答即可求解；

(2)設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為乙則尸”,-〃+2/+3),C(z,0),D(t,-t+3),先證明ANCA為等腰直角三角形，得

到/。=0蟲(chóng)7=血(3-。，進(jìn)而得到9+/。=-1-匕自]+上￡2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

I2)4

(3)設(shè)平移后拋物線〃的解析式y(tǒng)=-(x-〃7)2+4,聯(lián)立函數(shù)解析式得-X+3=-(X-〃?)2+4,整理得，

22

x-(2m+l)x+?7-l=0,設(shè)M(X],必)，N(x2,y2),則為，蒞是方程x?-(2加+1)尤+病_1=。的兩根，由B

為MV的中點(diǎn)可得2加+1=0,求出機(jī)即可求解；

本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象

的平移，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：???拋物線二y=#+6x+c與x正半軸交于點(diǎn)出3,0),與y軸交于點(diǎn)8(0,3),對(duì)稱(chēng)軸為直線

X=1,

9〃+3b+c=0a=-l

，<。=3,解得<6=2,

bic=3

-----=1L

、2a

?*.拋物線L的解析式為y=-x2+2x+3；

設(shè)直線AB的解析式為y=丘+3(后H0),把A(3,0)代入得，

3左+3=0,

解得上=7，

直線AB的解析式為y=-x+3；

(2)解：設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為乙則尸?,-》+2/+3),C?,0),D(t,-t+3),

AC=3—Z，PD=—t~+3t,

?.?/(3,0),8(0,-3),

;.OA=OB=?>,

.?.△NOB為等腰直角三角形，

NOAB=45°,

,.?PC_Lx軸，

.?.△/CD為等腰直角三角形，

.-.AD=y/2AC=y/2(3-t),

：.PD+AD=-f+3f+3V2-41t=-[t-~^]+"+2

I2J4

???當(dāng)/=匕2時(shí)，PD+4D有最大值，

2

即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為三正時(shí)，尸有最大值；

2

(3)解：由(1)可知，直線45的解析式為>=-x+3,

拋物線￡為：y--x2+2x+3=-(x-1)2+4,

???設(shè)平移后拋物線L'的解析式y(tǒng)=-(X-加)2+4,

y=-X+3

聯(lián)立函數(shù)解析式得，

y=-(x-m丫+4'

—x+3——(x—冽)？+4,

整理得，x2-(2m+l)x+m2-1=0,

設(shè)N(%2J2)，則項(xiàng)，才2是方程X2-(2加+l)x+/T=0的兩根，

：.X]+工2=2加+1,

???5為的中點(diǎn),

玉+々=0，

2m+1=0,

解得加=,

2

：+4-x+”.

拋物線少的解析式》=-

?4

4.(2024?廣東佛山?一模)綜合運(yùn)用：已知，拋物線y=ax?+法+2如圖1所示，其對(duì)稱(chēng)軸是x=l.

圖1圖2

⑴①寫(xiě)出。與6的數(shù)量關(guān)系；

②證明：拋物線與直線夕=-2尤+2有兩個(gè)交點(diǎn);

⑵如圖2,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-將此拋物線記為片，把拋物線月先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移

1個(gè)單位長(zhǎng)度，得拋物線旦.

①求拋物線用與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②點(diǎn)尸為拋物線耳上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線，交拋物線外于點(diǎn)。，連接尸。，以點(diǎn)尸為圓心、尸。的

長(zhǎng)為半徑作。尸.當(dāng)。尸與x軸相切時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴①6=-2.,②見(jiàn)解析

⑵①(-1,0),(3,0)；②(-3,-13)或(1,3)或(3+而,-11一4而)或(3-廂,-11+4W)

【分析】(1)①根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸是x=l,列式-，=1,即可求解，②聯(lián)立拋物線與直線方程，計(jì)算A并配方,

2a

即可求解，

(2)①將(-1,-1)代入y=ax2-2ox+2,求出拋物線片的表達(dá)式:y=-x2+2%+2,頂點(diǎn)式：y=-(x-1)2+3,

根據(jù)坐標(biāo)的平移，得到拋物線鳥(niǎo)的表達(dá)式，當(dāng)y=0時(shí)，即可求解②，根據(jù)PQ與p點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等,

列出等式，即可求解，

本題考查了，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，求拋物線解析式，二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意列出等

量關(guān)系式.

【詳解】(1)解:①?.?拋物線y=a/+bx+2的對(duì)稱(chēng)軸是X=l,

=1,即：b=-2a，

2a

???拋物線方程為：y=ax2-2ax+2,

y——2x+2

②聯(lián)立拋物線與直線方程,

y-ax2-2ax+2

整理得：ax2+(2-2Q)X=0,

Va<0,

???A=(2->0,

???拋物線與直線y=-2x+2有兩個(gè)交點(diǎn)，

故答案為：@b=-2a,

(2)解：(J)將(一1,—1)代入歹=ox?—2ox+2,得：一1=a(—I)?—2〃.(一1)+2,

解得：a=-\,

???拋物線表達(dá)式為：y=+2x+2,頂點(diǎn)式為：y=—(x—l『+3,

??,拋物線片先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得拋物線8，

?,?拋物線鳥(niǎo)的表達(dá)式為：)=-(%+巾+4=-x2-2%+3,

當(dāng)歹=0時(shí)，o=—――2X+3,

解得：再=-3,%2=1,

???拋物線月與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：(-3,0),(1,0),

②)根據(jù)題意得：卜工2+2x+2—(―%2—2x+3)|=|—%2+2%+3，

-x?+2x+2-(-——2%+3)-—+2x+2,-+2x+2-(--2%+3)--2x-2,

整理得：x2+2x-3=0,或工2_6工-7=0,

解得：x=-3^x=l^x=3+V10x=3-V10,

當(dāng)x=—3時(shí)，y=—(―3)2+2x(-3)+2=—13,P(—3,—13),

當(dāng)x=l時(shí)，y=—(1『+2x(l)+2=3,。(1,3),

當(dāng)x=3+而時(shí)，y=—(3+而『+2義(3+而卜2=—11—4跖，尸(3+廂,—11—4歷)，

當(dāng)x=3—而時(shí)，y=—(3—M『+2x(3—而卜2=—11+4跖，尸(3—麗,—11+4歷)，

故答案為：(―3,—13)或(1,3)或(3+廂,—11一4麗)或(3—麗11+4w).

5.(2024?江西南昌?一模)綜合與實(shí)踐

特例感知

(1)如圖1,對(duì)于拋物線必=—5(x—1)(%—3)+3,%=—萬(wàn)工(%—4)+3,%=—5(x+1)(%—5)+3,

”=-g(x+2)(x-6)+3,下列結(jié)論正確的序號(hào)是.

①拋物線必，%,%，乂的對(duì)稱(chēng)軸是直線》=2;

②拋物線乂，%，力，乂由拋物線y=依次向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到；

③拋物線乂，%,力，”與直線y=3的交點(diǎn)中，對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等.

概念形成

把滿足紇=-，》+“-2)(尸〃-2)+3的拋物線稱(chēng)為“族拋物線

知識(shí)應(yīng)用

如圖2,“族拋物線的頂點(diǎn)依次為Mj,M2,M，/，…，M".

(2)試求線段的長(zhǎng).(用含〃的代數(shù)式表示)

(3)"族拋物線"乂，%,%,…，然上分別有點(diǎn)月，鳥(niǎo)，鳥(niǎo)，...，Pn,它們的橫坐標(biāo)分別是2,3,4,

〃+1.試判斷點(diǎn)P2,P3,勺是否在同一條直線上，如果在，求出此直線的解析式；如果不在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【分析】

(1)求出每個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸，及其與直線y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案；

z2

(2)先將尤=-；(x+"-2)(尤---2)+3變形為”=一!(02)2+且+3,得出”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為％2,g+3

222I，

(n+1)2

并得出2,乙乙+3,求出結(jié)果即可；

(3)先求出點(diǎn)月，P2,月，…，P?,然后求出直線耳巴的解析式，再說(shuō)明月，P…匕在直線上.

【詳解】解：（1）y1=-1（x-l）（x-3）+3

x2+2x+—

22

(x-2)2+—,

2V72

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,g

.??拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,

>2=_}(%_4)+3

=—%2+2x+3

2

=_*-2)2+5,

.?.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線&=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,5）；

%=_,(%+1)(%_5)+3

12c11

—X+2xH—

22

1Zc\215

=——(x-2)+—,

2V72

頂點(diǎn)坐標(biāo)為12,蔡.

...拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,

y4=(x+2)(%-6)+3

1

=—x9+2x+9

2

=_#_2)2+"，

.??拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,11）；

①拋物線必，%，力，乂的對(duì)稱(chēng)軸是直線》=2,故①正確；

②拋物線必，%，力，乂由拋物線》=-；（苫-2）2向上平移得到，但不是2個(gè)單位，故②錯(cuò)誤;

③拋物線yi=-1（x-l）（x-3）+3與直線y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)為4（1,3）,4（3,3）；

拋物線％=_：x（尤-4）+3與直線片3的交點(diǎn)坐標(biāo)為鳥(niǎo)（0,3）,4（4,3）；

拋物線力=-；（x+l）（x-5）+3與直線y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)為員（-1,3）,A3（5,3）；

拋物線y4=-1(x+2)(x-6)+3與直線y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)為54(-2,3),4(6,3)；

拋物線乂，外，為，乂與直線V=3的交點(diǎn)中，對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等，故③正確.

綜上分析可知，正確的是①③；

一—4、一〃2+4)+3

???"族拋物線"約的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M“[2,g+3],

("+1)2

則M向2,^^+3,

?"A/_(〃+1)2Q/I々)_2〃+1

MM

??nn+\=---+3-1萬(wàn)+3]=2；

(3)把＞2代入必=_*-2)2+：得：%=g,則+，.

把x=3代入力=-；(x-2p+5得：%=g,則巴卜，|]；

把"4代入力=-；卜一2)2+：得：%=?,貝

把x=5代入乂=-g(x-2『+ll得：%=葭，則心，,：)；

把》="+1代入%=(無(wú)一2『+L+3得：”="+■!，貝！1匕[〃+1,〃+|*

222I2.

7

79

設(shè)直線48的解析式為廣丘+6,把用2,2

29

2

解得：

3

???直線肥的解析式為＞='+

把x=4代入y=x+：3得11

313

把x=5代入了=x+：得y=

35

把》=〃+1代入了=》+5得了="+5，

.?.點(diǎn)A、片、￡在直線耳心上，

.?.點(diǎn)耳，P2,A，…，匕在同一條直線上.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，求一次函數(shù)解析，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練

掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

題型二二次函數(shù)圖象的翻折綜合問(wèn)題

典例精講

【例1】（2024?湖北孝感?一模）如圖1,拋物線夕=。/+樂(lè)+：與x軸相交于/；,（）］、o］兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C,連接8C,拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)

⑴直接寫(xiě)出a,b的值及點(diǎn)M的坐標(biāo);

⑵點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)/N+CN最小時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo);

⑶平移直線BC得直線y=mx+n.

①如圖2,若直線N=Mx+〃過(guò)點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)。，在x軸上取點(diǎn)E,連接EM,求/。血化的度數(shù).

②把拋物線>="2+區(qū)+（在x軸下方圖象沿x軸翻折得到新圖象（如圖3）.當(dāng)直線^=加關(guān)+〃與新圖象有

兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出n的取值范圍.

【答案】⑴。=1,6=-3,點(diǎn)W的坐標(biāo)為］|,一1

⑵點(diǎn)N的坐標(biāo)為

i529

⑶①勿磔=45。；②當(dāng)直線'=加工+〃與新圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，〃的取值范圍為]<〃<1或"〉記.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

3

(2)點(diǎn)N為直線3C與直線x=彳的交點(diǎn)時(shí)，/N+CN最小，利用待定系數(shù)法求得直線BC解析式，據(jù)此求

2

解即可；

(3)①如圖2,過(guò)點(diǎn)E作E尸于尸，過(guò)點(diǎn)“作軸于X,利用解直角三角形求得E尸、FM,

再利用三角形外角的性質(zhì)即可求解；

②由題意可得翻折后的圖象的解析式為了=-1-|]直線8C平移后的解析式為

y=-i1-x+n,聯(lián)立方程得-r-97+〃+：5=0,利用根的判別式求得〃=2檔9，即可求得答案.

22416

【詳解】⑴解：當(dāng)—時(shí)，片：,

設(shè)拋物線解析式為

把代入，得：|=?[o-|Jo

解得：a=X,

3

⑵解：由⑴得對(duì)稱(chēng)軸為直線戶鼻

/[J'。；兩點(diǎn)關(guān)于直線x=|對(duì)稱(chēng)，

3

???點(diǎn)N為直線6c與直線％=的交點(diǎn)時(shí)，ZN+CN最小,

2

設(shè)直線解析式為>=區(qū)+

4

把代入得0=:左+3，

U)24

解得左V

.??直線3C解析式為y=-1x+3，

24

、“321351

當(dāng)x=一時(shí)，y=—X—+—=—,

22242

.??點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m，；)；

(3)解：①直線BC解析式為＞=一;x+：,

直線BC平移后的解析式為y=-^x+n,

(3\1131

把點(diǎn)M的坐標(biāo)-,-1代入?=一彳%+幾得一1=一3、5+〃,解得〃=一］

二直線DM的解析式為y=-g尤

24

令y=o,WO—~~x~~f

24

解得：x=-(，

2

如圖2,過(guò)點(diǎn)￡作環(huán)，。河于R過(guò)點(diǎn)M作必/_Lx軸于凡

則嗚。）,

MH=1,DH==2,

在RtADA/H中，DM=NDH?+MH2=打+儼=下,

MH

sinABDM=----

DEPM

EF_1

5V5

3

DF2

L2A/5

FM=DM-DF=J5—--=—

在Rt^MEF中，tanZEMF=-----=1,

FM

:?/EMF=45。,即/DAffi*=45。；

②:y=—―31+：=卜一：1-1,

把拋物線在X軸下方圖象沿X軸翻折得到新圖象，如圖,

1=一0&+”

則翻折后的圖象的解析式為了=-口-￡|

?.?直線BC解析式為夕=-1X+。，

24

直線3c平移后的解析式為y=-gx+〃，

聯(lián)立方程得一（x-|]+l=-gx+〃，

75

整理得：x2----1+〃+—=0，

24

當(dāng)直線平移后與拋物線y=-1x-只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),

△二1—：]—4X1X]H+j=0,

解得：?,

16

當(dāng)直線3C平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)/化01時(shí)，0=-底：+”,解得：〃=1,

12）224

1s29

???當(dāng)直線＞=s+〃與新圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)’〃的取值范圍為或〃＞記.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、一元二次方程的根

與判別式的關(guān)系、解一元一次方程及解二元一次方程組，熟練利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式是解

題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?四川德陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，我們發(fā)現(xiàn)拋物線的形狀由二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)決

定.已知拋物線歹="2-4辦-4（a＞0）.

⑴如圖1，將拋物線＞=仆2-5-4在直線＞=-4下方的圖象沿該直線翻折，其余部分保持不變，得到一個(gè)

新的函數(shù)圖象"印翻折后，拋物線頂點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4恰好在x軸上，求拋物線、="2-4?-4的對(duì)稱(chēng)軸及

a的值；

⑵如圖2,拋物線y=aY-4辦-4（。＞0）的圖象記為"G”,與y軸交于點(diǎn)8；過(guò)點(diǎn)8的直線與（1）中的圖象

"冊(cè)（x＞2）交于尸,C兩點(diǎn)，與圖象"G"交于點(diǎn)D

①當(dāng)a=g時(shí)，求證：PC=CD；

PC

②當(dāng)awl時(shí)，請(qǐng)用合適的式子表示/（直接寫(xiě)結(jié)果）.

【答案】⑴X=2,4=1;

⑵①詳見(jiàn)解析；②F

-1+(2

【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形相似和三角形全等：

一4〃

(1)拋物線＞一4ax-4的對(duì)稱(chēng)軸為x=--，即為x=2,根據(jù)翻折可知點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為-8,即點(diǎn)/

2a

的坐標(biāo)為(2,-8),進(jìn)而求解；

(2)①證明AC9附ADCN(ASA),即可求解；

PCPQIk2a

②當(dāng)a＞0且awl時(shí)，證明ACPQSADPT,貝(]=房=^^=,即可求解；當(dāng)。＞1時(shí)，同理可

Z-Xji//CI1IQI1IQ

解.

【詳解】(l)解：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線：x=-?，即為x=2.

2a

根據(jù)翻折可知點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為-8,即點(diǎn)/的坐標(biāo)為(2,-8).

將點(diǎn)力的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：4a-8°-4=-8,

解得：a=l,

即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,a=l；

(2)解:-：a=1,

X2-4X-4（X<0^X>4）

圖象"FT的解析式為＞=＜

-X2+4X-4（0<X<4）

①證明：當(dāng)時(shí)，圖象"C"的解析式為y=|x2-1x-4.

設(shè)直線BD的解析式為、=依-4.

當(dāng)fcv-4=/一4%一4時(shí)，

解得了=0或x=4+左，

?,?點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為4+%.

當(dāng)kx—4=—x2+4%-4時(shí)，

解得x=0(舍去)或x=4-k,

???點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4—k.

14

當(dāng)kx-4=—x2——x-4時(shí),

33

角犁得％=0或x=4+3左，

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為4+3人.

如圖1,作尸W〃x軸，過(guò)點(diǎn)。作CA/_Lx軸交9于點(diǎn)M,

作CN〃工軸，過(guò)點(diǎn)。作DN^LCN交CN于點(diǎn)、N.

由各點(diǎn)橫坐標(biāo)可得：PM=4+k—(4—k)=2k,CN=4+3k—4—k=2k,

：.PM=CN.

???尸M〃工軸，C7V〃x軸,

：.PM//CN,

：.ZDCN=ZCPM.

?：DN1CN,CM1PM,

：./CMP=/DNC=90。.

：.ACPM^ADCA^(ASA),

??.PC=CD.

②當(dāng)〃〉0且awl時(shí)，圖象"G"的解析式為y=ax2-4ax-4(a>0S.a^V).

由①可知點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為4-左，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為4+k.

4/7+k

當(dāng)丘一4=a/-4。無(wú)一4（。>0且〃R1）時(shí)，解得：尤="三

a

....點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為北堂

a

當(dāng)0<a<l時(shí)，如圖2,作尸?！?軸，過(guò)點(diǎn)。作軸，交?。于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。軸交?。于點(diǎn)T.

由各點(diǎn)的橫坐標(biāo)可知尸。=4+4-（4-左）=2左，依=牝史_（4-左）=乂1H

aa

CQ1PQ,DTLPT,

???CQ\\DT.

?,.△CPQs△。尸了

PC_PQ_2k_2a

則

PDPTk(\+a)\+a'

當(dāng)Q〉1時(shí)，如圖3,作尸?！╔軸，過(guò)點(diǎn)。作軸，交P0于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。軸交尸。于點(diǎn)T.

由各點(diǎn)的橫坐標(biāo)可知PQ=4+k-（4-k）=2k,尸？=蟲(chóng)土上（4一左）=乂3

aa

?：CQ1PQ,DTLPT,

???CQ\\DTf

?,.△CPQs△。尸了

則%=理=___2_k__=—2a

7PDPT左(1+a)\+a'

綜上所述，用含。的式子表示K為備

名校模擬

1.（2022?湖南衡陽(yáng)?中考真題）如圖，已知拋物線j=--x-2交x軸于A、8兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下

方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為"圖象沙"，圖象少交了軸于點(diǎn)C.

⑴寫(xiě)出圖象少位于線段上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若直線y=-x+6與圖象/有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出6的值；

(3)P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作20〃y軸交直線3C于點(diǎn)交圖象用于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)

尸，使A&W與△03C相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴>=-x2+%+2(-l<x<2)

⑵6=2或6=3

⑶存在，(1,0)或［瞥2()］或(1+行,0)

【分析】(1)先求出點(diǎn)/、B、C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關(guān)系式即可;

(2)聯(lián)立方程組，由判別式△=()求得6值，結(jié)合圖象即可求解；

(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分/CMW=90。和/NCW=90。討論求解即可.

【詳解】(1)解：由翻折可知：C(0,2),

令--》-2=0,解得：玉=-1,X,=2,

.?./(TO),8(2,0),

設(shè)圖象甲的解析式為y=a(x+l)(x-2),代入“0,2),解得°=一1,

對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為了=-(x+l)(x-2)=f2+x+2(-1<%<2).

=-x+b

(2)解：聯(lián)立方程組

——f+x+2

整理，得：x2-2x+b-2=0,

由△=4-4(6-2)二0得：b=3,此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

由圖象可知，當(dāng)加2或加3時(shí)，直線歹=f+6與圖象少有三個(gè)交點(diǎn);

(3)解：存在.如圖1,當(dāng)CN〃OB時(shí)，AOBCs^NMC,此時(shí)，N與C關(guān)于直線苫=1對(duì)稱(chēng),

二點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1,；.P(l,0)；

如圖2,當(dāng)CN〃。臺(tái)時(shí)，叢OBCs^NMC,此時(shí)，N點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,

由x2-x-2=2,解得X[=、+,x2=--(舍),

1222

???N的橫坐標(biāo)為葉姮，

2

所以尸

I7

如圖3,當(dāng)NNCN=90。時(shí)，AOBCsACMN,此時(shí)，直線CN的解析式為y=x+2,

聯(lián)立方程組："=x：2解得xi+氐尤=1一店(舍),

[y=x-x-2

的橫坐標(biāo)為1+石，

所以網(wǎng)1+指,0),

題型三二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題

典例精講

【例1】(新考法，拓視野)(2024?江西南昌?一模)如圖、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G：y=f2+2x+3

與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè))，與V軸交于點(diǎn)C,尸為拋物線G的頂點(diǎn)，連接PB,將拋物線

G繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線G.

⑴求拋物線C?的解析式.

(2)連接/C,BC,求sin乙4cs的值.

⑶連接CP，。是拋物線。2上的點(diǎn)，若滿足NQCO=N尸5C,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】⑴y=/+2x-3

(2)sinZ^C5=|V5

(3)點(diǎn)0的坐標(biāo)為(-2,-3)或(1,0)

【分析】

本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及與解直角三角形相關(guān)的計(jì)算：

(1)由G：y=r2+2x+3求出與x軸的交點(diǎn)3(3,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)尸(1,4),設(shè)C?的解析式為

y=a(x+l)2-4,將點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)(LO)代入，求出。=1,即可得C2的解析式；

(2)過(guò)點(diǎn)3作于點(diǎn)E,由兩點(diǎn)間距離公式求出JBC=3e',48=4,/C=J8,由三角形面積公式求

出8￡=她0,從而可求出sin//C8=26；

55

(3)證明△8PC是直角三角形且tan/P3C=；,分點(diǎn)。在了軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況，根據(jù)N0CO=NPBC

即tanAQCO=tanZPBC=1討論求解即可.

2

【詳解】(1)解：對(duì)于。+2x+3,當(dāng)x=0時(shí)，v=3；當(dāng)y=0時(shí)，-x+2x+3=0,

解得,占=-1,%=3,

.*.C(0,3),^(-1,0),5(3,0),

又G:y=-x?+2x+3=-(x-1)2+4,

.??拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，4),

設(shè)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)0的坐標(biāo)為(1,0),

由旋轉(zhuǎn)知，C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-4),且過(guò)點(diǎn)H(1,0),

，設(shè)。2的解析式為y=a(x+l/-4,

把代入得，4?-4=0,

解得，a=1,

C,的解析式為=(x+1)2-4=x2+2%-3；

(2)解：???C(0,3),/(-l,0),3(3,0),

^5=|3-(-1)|=4,AC=^(-1-0)2+(0-3)2=瓜BC=^(3-0)2+(0-3)2=372,OC=3,

???^sc=1^xOC=1x4x3=6,

過(guò)點(diǎn)2作于點(diǎn)E,如圖,

貝1JS/Bc=34CxBE=；義屈xBE=6,

'BE=^=梟*屈，

6A/10

,,sinZACB=^~=—42

BC372

（3）解：VP（l,4）,5（3,0）,C（0,3）,

:.PB2=（l-3）2+（4-0）2=20,SC2=（3-0）2+（0-3）2=18,PC2=（1-0）2+（4-3）2=2,

:.PC?+BC?=PB?,

：.APBC是直角三角形,

：.tanZPBC=—=g=-；

BC3V23

分兩種情況:

⑴當(dāng)點(diǎn)。在y軸左側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)。作。尸,〉軸于點(diǎn)尸,

ZQCO=ZPBC,

：.tanZQCO=tanZPBC=1,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（加加+2加-3）,則：QF=-m,CF=3-m2-2m+3,,

.-m_1

3-m2—2m+33'

解得，嗎=-2,%=3,

經(jīng)檢驗(yàn)，嗎=-2,加2=3是原方程的根,

又加＜0,

m=—2,

此時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2,-3)；

(")當(dāng)點(diǎn)。在，軸右側(cè)時(shí)，如圖,

?.,點(diǎn)/關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1，0),

???OH=1,

Q4'1

,

連接C4',則有：tanZACO=-=-f

tan/A'CO=tan/PBC,

點(diǎn)。與點(diǎn)H重合，

A2(1,0),

綜上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2,-3)或(1,0)

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及與解直角三角形相關(guān)的計(jì)算.

【例2】(2023?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線/。="2-；芯-2與x軸相交于/、B兩點(diǎn)(點(diǎn)2在點(diǎn)/的

左側(cè))，點(diǎn)/的坐標(biāo)是(4,0),與y軸相交于點(diǎn)C,將拋物線工繞點(diǎn)Q0)旋轉(zhuǎn)180。得到拋物線乙.

⑴求拋物線4的函數(shù)表達(dá)式.

⑵將拋物線4向左或向右平移，得到拋物線右，右與x軸相交于0、9兩點(diǎn)(點(diǎn)9在點(diǎn)H的左側(cè))，與?

軸相交于點(diǎn)C,要使5炭@。=25?4，求所有滿足條件的拋物線4的函數(shù)表達(dá)式.

1Q

［答案］⑴尸_j'_3