2025年中考數(shù)學復習：二次函數(shù)圖象的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合問題（3題型）（解析版）

搶分秘籍14二次函數(shù)圖象的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合問題

（壓軸通關）

目錄

【中考預測】預測考向，總結(jié)常考點及應對的策略

【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點

【搶分通關】精選名校模擬題，講解通關策略（含新考法、新情境等）

中考預測

二次函數(shù)圖象的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合問題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年

都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

i.從考點頻率看，二次函數(shù)圖象的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問題是幾何綜合，綜合性比較強，同時也是高頻

考點、必考點，所以必須對幾何和函數(shù)圖象的性質(zhì)定理很熟練和貫通。

2.從題型角度看，以解答題的最后一題或最后第二題為主，分值12分左右，著實不少！

<（搶分通關

題型一二次函數(shù)圖象的平移綜合問題

典例精講

【例1】（2024■浙江溫州?一模）如圖，直線了=-gx+2分別交x軸、了軸于點A,B,拋物線y=-f+機x

經(jīng)過點A.

⑴求點3的坐標和拋物線的函數(shù)表達式；

⑵若拋物線向左平移〃個單位后經(jīng)過點3,求”的值.

【答案】⑴點3的坐標為（0,2）,y=-f+M；

⑵%=2-&,n2-2+V2.

【分析】（1）由題意可得點A、B的坐標，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的表達式即可解答；

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律"左加右減，上加下減"得到平移后的拋物線的表達式，再把B的坐標代入

求解即可；

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握知識

點的應用是解題的關鍵.

【詳解】（1）由y=+2可知，令x=0,則y=2,

-2

.?.點B的坐標為（0,2）,

令y=_；x+2=0,貝!|x=4,

.??點A的坐標為（4,0）,

代入拋物線的表達式，得-42+4%=0,解得〃?=4,

.??拋物線的函數(shù)表達式為y=-/+4x；

（2）由（1）得y=-%2+4x=+4,

???平移后的拋物線為＞=-（%-2+〃『+4,將點5（0,2）代入，得-（-2+〃『+4=2,

解得nx=2-V2,%=2+^2.

通關指導

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移，熟練

掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【例2】（2024?江西贛州?模擬預測）如圖，已知拋物線4：了=*與直線尸-1相交于4B.

（1）AB=______；

⑵拋物線右隨其頂點沿直線y=向上平移，得到拋物線4,拋物線4與直線y=T相交于C,D（點、C

在點。左邊），已知拋物線右頂點M的橫坐標為%

①當根=6時，拋物線乙的解析式是，CD=；

②連接當△MCD為等邊三角形時，求點M的坐標.

【答案】⑴2

(2)①y=-(x-6)2+3；4；0(4,2)

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與直線交點問題，等邊三角形的性質(zhì)，正切的定義：

(1)令y=-l,解方程即可求解；

(2)①根據(jù)題意可得拋物線右的頂點坐標為(6,3),從而得到拋物線4的解析式為y=-(x-67+3,再令

y=T,解方程即可求解；②根據(jù)題意可得從而得到拋物線4的解析式為y=-(x-加

令V=T,可得。。=而百，過點M作九OLCE于點E,則腔=gm+l,CE="；+4,然后根據(jù)是

等邊三角形，得出/MCE=60。，再根據(jù)銳角三家函數(shù)即可求解.

【詳解】(1)解：對于了=-2,

當歹=一1時，-1=-X2,

解得：x=±l,

???點4(—1,—1),5。,—1),

???AB=2；

故答案為：2

(2)解：①對于y=

當x=6時，y=gx6=3,

.??拋物線右的頂點坐標為(6,3),

；?拋物線4的解析式為y=-(x-6)2+3,

當y=_］時，_I=_(X—6)2+3,

解得：x=8或4,

.\C(4,-1),5(8,-1)

：.CD=4；

故答案為：y=-(x-6)2+3；4

②解：：點M在直線y=；X上，

Mym^mj,

1

.??拋物線右的解析式為N=-（X-加）2+—m,

2

,S1

當y=_l時，_]=_（1_冽）+—m,

々刀/曰Y2ni+45V2m+4

用牛將：x=-----------F冽或x=---------------Fm，

22

、'/2冽+4、

：.C+m,-1,D+—1,

2

77

***CD=V2m+4，

N2m+4

如圖，過點M作MD_LCE于點￡,貝+CE=

22

???△MCD是等邊三角形,

：.ZMCE=60°,

-m+\

tanZMC￡=—2

2

解得：加=4或-2（不合題意，舍去）,

???點M的坐標為（4,2）.

名校模擬

1.（2024?陜西西安三模）已知拋物線。:了="2+笈-4的對稱軸為x=2,且過點/（1,2）.

⑴求拋物線C的表達式及頂點坐標;

⑵對稱軸直線工=2與x軸的交于點。，與拋物線。交于點N.平移拋物線。得到拋物線U,使得拋物線C

的頂點〃在直線x=2的右側(cè).若等腰三角形。NM面積為8,請敘述平移過程.

x

【答案】⑴y=-2x?+8x-4,頂點坐標為（2,4）；

⑵將拋物線C向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到拋物線C'；或?qū)佄锞€C向右平移

4個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到拋物線C,或?qū)佄锞€C向右平移4個單位長度，得到拋

物線C.

【分析】此題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移：

（1）由對稱軸為x=2,得6=-4。，將點41,2）代入了="2-4?-4,得。=-2,由此得到拋物線的解析

式及頂點坐標；

（2）設平移的距離為刀，根據(jù)等腰三角形DW面積為8,得到為該等腰三角形的高，4為底，拋物線。的

頂點M的縱坐標為2,求出〃=4,即可得到平移的過程.

【詳解】（1）.??對稱軸為x=2,

---=2,即b=-Aa,

2a

將點4（1,2）代入^=〃工2一44%一4,

a—4?！?=2,

解得〃=-2,

y=-2f+8尤-4=-2（x-2『+4

；.頂點坐標為（2,4）；

（2）?.?頂點坐標為（2,4）,

.?.D（2,0）,N（2,4）,

DN=4,

設平移的距離為人

當=（時，如圖，

???等腰三角形0W面積為8,

二〃為該等腰三角形的高，4為底，拋物線C的頂點”的縱坐標為2,

—x4A=8,

2

解得〃=4,

.\M（2+4,2）,即M（6,2）,

.?.將拋物線C向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到拋物線C，.

當。M=DN=4時，如圖，

可得M（6,0）,

...將拋物線C向右平移4個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到拋物線C<

當=時，如圖，

可得M（6,4）

.?.將拋物線C向右平移4個單位長度，得到拋物線C'

2.（2024?貴州安順?一模）如圖，二次函數(shù)必=2/+法+。與x軸有兩個交點，其中一個交點為4-1,0）,且

⑴求該二次函數(shù)的表達式，并用頂點式來表示；

⑵將二次函數(shù)%=2Y+6x+c向左平移1個單位，得函數(shù)%=;%與>軸的交點坐標為

⑶在(2)的條件下，將直線45向下平移〃(〃>0)個單位后與函數(shù)外的圖象有唯一交點，求〃的值.

1Q

【答案】(1)必=2(x+：)—石

4o

5Q

⑵%=2。+：)2_3，(0,2)

4o

(3)H=1

【分析】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題.

(1)用待定系數(shù)法直接將點42代入即可;

(2)涉及函數(shù)圖象的平移，記得左加右減，求與y軸的交點坐標時令x=o即可;

(3)先求出直線N3的解析式，再跟拋物線解析式聯(lián)立，只有一個交點即根的判別式為0.

【詳解】(1)解：將4T0),8(1,2)代入％B2鏟+瓜+。得

2-b+c=0b=l

2+—解得

c=-l

ia

該二次函數(shù)的表達式為必=2x2+x-l=2(x+：)-g；

48

19

(2),?*—2(xH—)—

148

iaia59

將二次函數(shù)必=2(x+/w向左平移1個單位，得函數(shù)外⑶+小尸/叱/人

令尤=0得%=2

%與了軸的交點坐標為(0,2)；

(3)設直線48解析式為歹=h+6

將/(-1,0),8(1,2)代入得

-k+b=0k=l

k+b=2解得

b=l

1.V=X+1

將直線45向下平移n(n>0)個單位得y=x+\-n

y=x+l-n

59

59得2(x+—y——=x+\-n

由，y=2(x+-)29--i18

48

整理得2x2+4x+n+l=0

y=x+l-〃與函數(shù)外的圖象有唯一交點

A=16—8(〃+1)=0

..M—1.

3.(2024?安徽池州?二模)如圖，拋物線匚了="2+法+。與X正半軸交于點/(3,0),與y軸交于點8(0,3),

對稱軸為直線尤=1.

圖②

⑴求直線的解析式及拋物線的解析式;

(2)如圖①，點尸為第一象限拋物線上一動點，過點P作尸軸，垂足為C,PC交于點D,求當點P

的橫坐標為多少時，PD+AD最大;

⑶如圖②，將拋物線Cy=ax2+bx+c向左平移得到拋物線/，直線ZB與拋物線少交于V、N兩點，若

點B是線段的中點，求拋物線Z的解析式.

【答案】⑴>=-x+3,y=-x2+2x+3；

⑵點尸的橫坐標為三"時，PD+4D有最大值;

2

215

⑶y=-x—x+二.

4

【分析】(1)利用待定系數(shù)法解答即可求解；

(2)設點尸的橫坐標為乙則尸”,-〃+2/+3),C(z,0),D(t,-t+3),先證明ANCA為等腰直角三角形，得

到/。=0蟲7=血(3-。，進而得到9+/。=-1-匕自]+上￡2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

I2)4

(3)設平移后拋物線〃的解析式y(tǒng)=-(x-〃7)2+4,聯(lián)立函數(shù)解析式得-X+3=-(X-〃?)2+4,整理得，

22

x-(2m+l)x+?7-l=0,設M(X],必)，N(x2,y2),則為，蒞是方程x?-(2加+1)尤+病_1=。的兩根，由B

為MV的中點可得2加+1=0,求出機即可求解；

本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象

的平移，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：???拋物線二y=#+6x+c與x正半軸交于點出3,0),與y軸交于點8(0,3),對稱軸為直線

X=1,

9〃+3b+c=0a=-l

，<。=3,解得<6=2,

bic=3

-----=1L

、2a

?*.拋物線L的解析式為y=-x2+2x+3；

設直線AB的解析式為y=丘+3(后H0),把A(3,0)代入得，

3左+3=0,

解得上=7，

直線AB的解析式為y=-x+3；

(2)解：設點尸的橫坐標為乙則尸?,-》+2/+3),C?,0),D(t,-t+3),

AC=3—Z，PD=—t~+3t,

?.?/(3,0),8(0,-3),

;.OA=OB=?>,

.?.△NOB為等腰直角三角形，

NOAB=45°,

,.?PC_Lx軸，

.?.△/CD為等腰直角三角形，

.-.AD=y/2AC=y/2(3-t),

：.PD+AD=-f+3f+3V2-41t=-[t-~^]+"+2

I2J4

???當/=匕2時，PD+4D有最大值，

2

即點P的橫坐標為三正時，尸有最大值；

2

(3)解：由(1)可知，直線45的解析式為>=-x+3,

拋物線￡為：y--x2+2x+3=-(x-1)2+4,

???設平移后拋物線L'的解析式y(tǒng)=-(X-加)2+4,

y=-X+3

聯(lián)立函數(shù)解析式得，

y=-(x-m丫+4'

—x+3——(x—冽)？+4,

整理得，x2-(2m+l)x+m2-1=0,

設N(%2J2)，則項，才2是方程X2-(2加+l)x+/T=0的兩根，

：.X]+工2=2加+1,

???5為的中點,

玉+々=0，

2m+1=0,

解得加=,

2

：+4-x+”.

拋物線少的解析式》=-

?4

4.(2024?廣東佛山?一模)綜合運用：已知，拋物線y=ax?+法+2如圖1所示，其對稱軸是x=l.

圖1圖2

⑴①寫出。與6的數(shù)量關系；

②證明：拋物線與直線夕=-2尤+2有兩個交點;

⑵如圖2,拋物線經(jīng)過點(-將此拋物線記為片，把拋物線月先向左平移2個單位長度，再向上平移

1個單位長度，得拋物線旦.

①求拋物線用與x軸的交點坐標；

②點尸為拋物線耳上一動點，過點尸作x軸的垂線，交拋物線外于點。，連接尸。，以點尸為圓心、尸。的

長為半徑作。尸.當。尸與x軸相切時，求點尸的坐標.

【答案】⑴①6=-2.,②見解析

⑵①(-1,0),(3,0)；②(-3,-13)或(1,3)或(3+而,-11一4而)或(3-廂,-11+4W)

【分析】(1)①根據(jù)對稱軸是x=l,列式-，=1,即可求解，②聯(lián)立拋物線與直線方程，計算A并配方,

2a

即可求解，

(2)①將(-1,-1)代入y=ax2-2ox+2,求出拋物線片的表達式:y=-x2+2%+2,頂點式：y=-(x-1)2+3,

根據(jù)坐標的平移，得到拋物線鳥的表達式，當y=0時，即可求解②，根據(jù)PQ與p點縱坐標的絕對值相等,

列出等式，即可求解，

本題考查了，拋物線的對稱軸，求拋物線解析式，二次函數(shù)圖象的平移，解題的關鍵是：根據(jù)題意列出等

量關系式.

【詳解】(1)解:①?.?拋物線y=a/+bx+2的對稱軸是X=l,

=1,即：b=-2a，

2a

???拋物線方程為：y=ax2-2ax+2,

y——2x+2

②聯(lián)立拋物線與直線方程,

y-ax2-2ax+2

整理得：ax2+(2-2Q)X=0,

Va<0,

???A=(2->0,

???拋物線與直線y=-2x+2有兩個交點，

故答案為：@b=-2a,

(2)解：(J)將(一1,—1)代入歹=ox?—2ox+2,得：一1=a(—I)?—2〃.(一1)+2,

解得：a=-\,

???拋物線表達式為：y=+2x+2,頂點式為：y=—(x—l『+3,

??,拋物線片先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得拋物線8，

?,?拋物線鳥的表達式為：)=-(%+巾+4=-x2-2%+3,

當歹=0時，o=—――2X+3,

解得：再=-3,%2=1,

???拋物線月與x軸的交點坐標為：(-3,0),(1,0),

②)根據(jù)題意得：卜工2+2x+2—(―%2—2x+3)|=|—%2+2%+3，

-x?+2x+2-(-——2%+3)-—+2x+2,-+2x+2-(--2%+3)--2x-2,

整理得：x2+2x-3=0,或工2_6工-7=0,

解得：x=-3^x=l^x=3+V10x=3-V10,

當x=—3時，y=—(―3)2+2x(-3)+2=—13,P(—3,—13),

當x=l時，y=—(1『+2x(l)+2=3,。(1,3),

當x=3+而時，y=—(3+而『+2義(3+而卜2=—11—4跖，尸(3+廂,—11—4歷)，

當x=3—而時，y=—(3—M『+2x(3—而卜2=—11+4跖，尸(3—麗,—11+4歷)，

故答案為：(―3,—13)或(1,3)或(3+廂,—11一4麗)或(3—麗11+4w).

5.(2024?江西南昌?一模)綜合與實踐

特例感知

(1)如圖1,對于拋物線必=—5(x—1)(%—3)+3,%=—萬工(%—4)+3,%=—5(x+1)(%—5)+3,

”=-g(x+2)(x-6)+3,下列結(jié)論正確的序號是.

①拋物線必，%,%，乂的對稱軸是直線》=2;

②拋物線乂，%，力，乂由拋物線y=依次向上平移2個單位長度得到；

③拋物線乂，%,力，”與直線y=3的交點中，對稱軸兩側(cè)相鄰兩點之間的距離相等.

概念形成

把滿足紇=-，》+“-2)(尸〃-2)+3的拋物線稱為“族拋物線

知識應用

如圖2,“族拋物線的頂點依次為Mj,M2,M，/，…，M".

(2)試求線段的長.(用含〃的代數(shù)式表示)

(3)"族拋物線"乂，%,%,…，然上分別有點月，鳥，鳥，...，Pn,它們的橫坐標分別是2,3,4,

〃+1.試判斷點P2,P3,勺是否在同一條直線上，如果在，求出此直線的解析式；如果不在，請說

明理由.

【分析】

(1)求出每個拋物線的頂點坐標和對稱軸，及其與直線y=3的交點坐標，即可得出答案；

z2

(2)先將尤=-；(x+"-2)(尤---2)+3變形為”=一!(02)2+且+3,得出”的頂點坐標為％2,g+3

222I，

(n+1)2

并得出2,乙乙+3,求出結(jié)果即可；

(3)先求出點月，P2,月，…，P?,然后求出直線耳巴的解析式，再說明月，P…匕在直線上.

【詳解】解：（1）y1=-1（x-l）（x-3）+3

x2+2x+—

22

(x-2)2+—,

2V72

頂點坐標為（2,g

.??拋物線的對稱軸為直線x=2,

>2=_}(%_4)+3

=—%2+2x+3

2

=_*-2)2+5,

.?.拋物線的對稱軸為直線&=2,頂點坐標為（2,5）；

%=_,(%+1)(%_5)+3

12c11

—X+2xH—

22

1Zc\215

=——(x-2)+—,

2V72

頂點坐標為12,蔡.

...拋物線的對稱軸為直線x=2,

y4=(x+2)(%-6)+3

1

=—x9+2x+9

2

=_#_2)2+"，

.??拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點坐標為（2,11）；

①拋物線必，%，力，乂的對稱軸是直線》=2,故①正確；

②拋物線必，%，力，乂由拋物線》=-；（苫-2）2向上平移得到，但不是2個單位，故②錯誤;

③拋物線yi=-1（x-l）（x-3）+3與直線y=3的交點坐標為4（1,3）,4（3,3）；

拋物線％=_：x（尤-4）+3與直線片3的交點坐標為鳥（0,3）,4（4,3）；

拋物線力=-；（x+l）（x-5）+3與直線y=3的交點坐標為員（-1,3）,A3（5,3）；

拋物線y4=-1(x+2)(x-6)+3與直線y=3的交點坐標為54(-2,3),4(6,3)；

拋物線乂，外，為，乂與直線V=3的交點中，對稱軸兩側(cè)相鄰兩點之間的距離相等，故③正確.

綜上分析可知，正確的是①③；

一—4、一〃2+4)+3

???"族拋物線"約的頂點坐標為M“[2,g+3],

("+1)2

則M向2,^^+3,

?"A/_(〃+1)2Q/I々)_2〃+1

MM

??nn+\=---+3-1萬+3]=2；

(3)把＞2代入必=_*-2)2+：得：%=g,則+，.

把x=3代入力=-；(x-2p+5得：%=g,則巴卜，|]；

把"4代入力=-；卜一2)2+：得：%=?,貝

把x=5代入乂=-g(x-2『+ll得：%=葭，則心，,：)；

把》="+1代入%=(無一2『+L+3得：”="+■!，貝！1匕[〃+1,〃+|*

222I2.

7

79

設直線48的解析式為廣丘+6,把用2,2

29

2

解得：

3

???直線肥的解析式為＞='+

把x=4代入y=x+：3得11

313

把x=5代入了=x+：得y=

35

把》=〃+1代入了=》+5得了="+5，

.?.點A、片、￡在直線耳心上，

.?.點耳，P2,A，…，匕在同一條直線上.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，二次函數(shù)的性質(zhì)，求一次函數(shù)解析，解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練

掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

題型二二次函數(shù)圖象的翻折綜合問題

典例精講

【例1】（2024?湖北孝感?一模）如圖1,拋物線夕=。/+樂+：與x軸相交于/；,（）］、o］兩點，與y

軸交于點C,連接8C,拋物線頂點為點

⑴直接寫出a,b的值及點M的坐標;

⑵點N為拋物線對稱軸上一點，當/N+CN最小時，求點N的坐標;

⑶平移直線BC得直線y=mx+n.

①如圖2,若直線N=Mx+〃過點M,交x軸于點。，在x軸上取點E,連接EM,求/。血化的度數(shù).

②把拋物線>="2+區(qū)+（在x軸下方圖象沿x軸翻折得到新圖象（如圖3）.當直線^=加關+〃與新圖象有

兩個公共點時，請直接寫出n的取值范圍.

【答案】⑴。=1,6=-3,點W的坐標為］|,一1

⑵點N的坐標為

i529

⑶①勿磔=45。；②當直線'=加工+〃與新圖象有兩個公共點時，〃的取值范圍為]<〃<1或"〉記.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

3

(2)點N為直線3C與直線x=彳的交點時，/N+CN最小，利用待定系數(shù)法求得直線BC解析式，據(jù)此求

2

解即可；

(3)①如圖2,過點E作E尸于尸，過點“作軸于X,利用解直角三角形求得E尸、FM,

再利用三角形外角的性質(zhì)即可求解；

②由題意可得翻折后的圖象的解析式為了=-1-|]直線8C平移后的解析式為

y=-i1-x+n,聯(lián)立方程得-r-97+〃+：5=0,利用根的判別式求得〃=2檔9，即可求得答案.

22416

【詳解】⑴解：當—時，片：,

設拋物線解析式為

把代入，得：|=?[o-|Jo

解得：a=X,

3

⑵解：由⑴得對稱軸為直線戶鼻

/[J'。；兩點關于直線x=|對稱，

3

???點N為直線6c與直線％=的交點時，ZN+CN最小,

2

設直線解析式為>=區(qū)+

4

把代入得0=:左+3，

U)24

解得左V

.??直線3C解析式為y=-1x+3，

24

、“321351

當x=一時，y=—X—+—=—,

22242

.??點N的坐標為(m，；)；

(3)解：①直線BC解析式為＞=一;x+：,

直線BC平移后的解析式為y=-^x+n,

(3\1131

把點M的坐標-,-1代入?=一彳%+幾得一1=一3、5+〃,解得〃=一］

二直線DM的解析式為y=-g尤

24

令y=o,WO—~~x~~f

24

解得：x=-(，

2

如圖2,過點￡作環(huán)，。河于R過點M作必/_Lx軸于凡

則嗚。）,

MH=1,DH==2,

在RtADA/H中，DM=NDH?+MH2=打+儼=下,

MH

sinABDM=----

DEPM

EF_1

5V5

3

DF2

L2A/5

FM=DM-DF=J5—--=—

在Rt^MEF中，tanZEMF=-----=1,

FM

:?/EMF=45。,即/DAffi*=45。；

②:y=—―31+：=卜一：1-1,

把拋物線在X軸下方圖象沿X軸翻折得到新圖象，如圖,

1=一0&+”

則翻折后的圖象的解析式為了=-口-￡|

?.?直線BC解析式為夕=-1X+。，

24

直線3c平移后的解析式為y=-gx+〃，

聯(lián)立方程得一（x-|]+l=-gx+〃，

75

整理得：x2----1+〃+—=0，

24

當直線平移后與拋物線y=-1x-只有一個交點時,

△二1—：]—4X1X]H+j=0,

解得：?,

16

當直線3C平移后經(jīng)過點/化01時，0=-底：+”,解得：〃=1,

12）224

1s29

???當直線＞=s+〃與新圖象有兩個公共點時’〃的取值范圍為或〃＞記.

通關指導

本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三角形的應用、勾股定理、一元二次方程的根

與判別式的關系、解一元一次方程及解二元一次方程組，熟練利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式是解

題的關鍵.

【例2】（2024?四川德陽?模擬預測）學習了二次函數(shù)后，我們發(fā)現(xiàn)拋物線的形狀由二次函數(shù)的二次項系數(shù)決

定.已知拋物線歹="2-4辦-4（a＞0）.

⑴如圖1，將拋物線＞=仆2-5-4在直線＞=-4下方的圖象沿該直線翻折，其余部分保持不變，得到一個

新的函數(shù)圖象"印翻折后，拋物線頂點/的對應點4恰好在x軸上，求拋物線、="2-4?-4的對稱軸及

a的值；

⑵如圖2,拋物線y=aY-4辦-4（。＞0）的圖象記為"G”,與y軸交于點8；過點8的直線與（1）中的圖象

"冊（x＞2）交于尸,C兩點，與圖象"G"交于點D

①當a=g時，求證：PC=CD；

PC

②當awl時，請用合適的式子表示/（直接寫結(jié)果）.

【答案】⑴X=2,4=1;

⑵①詳見解析；②F

-1+(2

【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到三角形相似和三角形全等：

一4〃

(1)拋物線＞一4ax-4的對稱軸為x=--，即為x=2,根據(jù)翻折可知點/的縱坐標為-8,即點/

2a

的坐標為(2,-8),進而求解；

(2)①證明AC9附ADCN(ASA),即可求解；

PCPQIk2a

②當a＞0且awl時，證明ACPQSADPT,貝(]=房=^^=,即可求解；當。＞1時，同理可

Z-Xji//CI1IQI1IQ

解.

【詳解】(l)解：拋物線的對稱軸為直線：x=-?，即為x=2.

2a

根據(jù)翻折可知點/的縱坐標為-8,即點/的坐標為(2,-8).

將點力的坐標代入拋物線表達式得：4a-8°-4=-8,

解得：a=l,

即拋物線的對稱軸為直線x=2,a=l；

(2)解:-：a=1,

X2-4X-4（X<0^X>4）

圖象"FT的解析式為＞=＜

-X2+4X-4（0<X<4）

①證明：當時，圖象"C"的解析式為y=|x2-1x-4.

設直線BD的解析式為、=依-4.

當fcv-4=/一4%一4時，

解得了=0或x=4+左，

?,?點。的橫坐標為4+%.

當kx—4=—x2+4%-4時，

解得x=0(舍去)或x=4-k,

???點P的橫坐標為4—k.

14

當kx-4=—x2——x-4時,

33

角犁得％=0或x=4+3左，

???點。的橫坐標為4+3人.

如圖1,作尸W〃x軸，過點。作CA/_Lx軸交9于點M,

作CN〃工軸，過點。作DN^LCN交CN于點、N.

由各點橫坐標可得：PM=4+k—(4—k)=2k,CN=4+3k—4—k=2k,

：.PM=CN.

???尸M〃工軸，C7V〃x軸,

：.PM//CN,

：.ZDCN=ZCPM.

?：DN1CN,CM1PM,

：./CMP=/DNC=90。.

：.ACPM^ADCA^(ASA),

??.PC=CD.

②當〃〉0且awl時，圖象"G"的解析式為y=ax2-4ax-4(a>0S.a^V).

由①可知點尸的橫坐標為4-左，點。的橫坐標為4+k.

4/7+k

當丘一4=a/-4。無一4（。>0且〃R1）時，解得：尤="三

a

....點。的橫坐標為北堂

a

當0<a<l時，如圖2,作尸。〃1軸，過點。作軸，交?。于點。，過點。作。軸交?。于點T.

由各點的橫坐標可知尸。=4+4-（4-左）=2左，依=牝史_（4-左）=乂1H

aa

CQ1PQ,DTLPT,

???CQ\\DT.

?,.△CPQs△。尸了

PC_PQ_2k_2a

則

PDPTk(\+a)\+a'

當Q〉1時，如圖3,作尸?！╔軸，過點。作軸，交P0于點。，過點。作。軸交尸。于點T.

由各點的橫坐標可知PQ=4+k-（4-k）=2k,尸？=蟲土上（4一左）=乂3

aa

?：CQ1PQ,DTLPT,

???CQ\\DTf

?,.△CPQs△。尸了

則%=理=___2_k__=—2a

7PDPT左(1+a)\+a'

綜上所述，用含。的式子表示K為備

名校模擬

1.（2022?湖南衡陽?中考真題）如圖，已知拋物線j=--x-2交x軸于A、8兩點，將該拋物線位于x軸下

方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為"圖象沙"，圖象少交了軸于點C.

⑴寫出圖象少位于線段上方部分對應的函數(shù)關系式；

⑵若直線y=-x+6與圖象/有三個交點，請結(jié)合圖象，直接寫出6的值；

(3)P為x軸正半軸上一動點，過點尸作20〃y軸交直線3C于點交圖象用于點N,是否存在這樣的點

尸，使A&W與△03C相似？若存在，求出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴>=-x2+%+2(-l<x<2)

⑵6=2或6=3

⑶存在，(1,0)或［瞥2()］或(1+行,0)

【分析】(1)先求出點/、B、C坐標，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關系式即可;

(2)聯(lián)立方程組，由判別式△=()求得6值，結(jié)合圖象即可求解；

(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分/CMW=90。和/NCW=90。討論求解即可.

【詳解】(1)解：由翻折可知：C(0,2),

令--》-2=0,解得：玉=-1,X,=2,

.?./(TO),8(2,0),

設圖象甲的解析式為y=a(x+l)(x-2),代入“0,2),解得°=一1,

對應函數(shù)關系式為了=-(x+l)(x-2)=f2+x+2(-1<%<2).

=-x+b

(2)解：聯(lián)立方程組

——f+x+2

整理，得：x2-2x+b-2=0,

由△=4-4(6-2)二0得：b=3,此時方程有兩個相等的實數(shù)根，

由圖象可知，當加2或加3時，直線歹=f+6與圖象少有三個交點;

(3)解：存在.如圖1,當CN〃OB時，AOBCs^NMC,此時，N與C關于直線苫=1對稱,

二點N的橫坐標為1,；.P(l,0)；

如圖2,當CN〃。臺時，叢OBCs^NMC,此時，N點縱坐標為2,

由x2-x-2=2,解得X[=、+,x2=--(舍),

1222

???N的橫坐標為葉姮，

2

所以尸

I7

如圖3,當NNCN=90。時，AOBCsACMN,此時，直線CN的解析式為y=x+2,

聯(lián)立方程組："=x：2解得xi+氐尤=1一店(舍),

[y=x-x-2

的橫坐標為1+石，

所以網(wǎng)1+指,0),

題型三二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)綜合問題

典例精講

【例1】(新考法，拓視野)(2024?江西南昌?一模)如圖、在平面直角坐標系xOy中，拋物線G：y=f2+2x+3

與x軸交于點A,點B(點A在點3的左側(cè))，與V軸交于點C,尸為拋物線G的頂點，連接PB,將拋物線

G繞點。旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線G.

⑴求拋物線C?的解析式.

(2)連接/C,BC,求sin乙4cs的值.

⑶連接CP，。是拋物線。2上的點，若滿足NQCO=N尸5C,求點。的坐標.

【答案】⑴y=/+2x-3

(2)sinZ^C5=|V5

(3)點0的坐標為(-2,-3)或(1,0)

【分析】

本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)以及與解直角三角形相關的計算：

(1)由G：y=r2+2x+3求出與x軸的交點3(3,0),頂點坐標尸(1,4),設C?的解析式為

y=a(x+l)2-4,將點A關于原點對稱的點的坐標(LO)代入，求出。=1,即可得C2的解析式；

(2)過點3作于點E,由兩點間距離公式求出JBC=3e',48=4,/C=J8,由三角形面積公式求

出8￡=她0,從而可求出sin//C8=26；

55

(3)證明△8PC是直角三角形且tan/P3C=；,分點。在了軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況，根據(jù)N0CO=NPBC

即tanAQCO=tanZPBC=1討論求解即可.

2

【詳解】(1)解：對于。+2x+3,當x=0時，v=3；當y=0時，-x+2x+3=0,

解得,占=-1,%=3,

.*.C(0,3),^(-1,0),5(3,0),

又G:y=-x?+2x+3=-(x-1)2+4,

.??拋物線的頂點P的坐標為(1，4),

設點A關于原點對稱的點0的坐標為(1,0),

由旋轉(zhuǎn)知，C2的頂點坐標為(-1,-4),且過點H(1,0),

，設。2的解析式為y=a(x+l/-4,

把代入得，4?-4=0,

解得，a=1,

C,的解析式為=(x+1)2-4=x2+2%-3；

(2)解：???C(0,3),/(-l,0),3(3,0),

^5=|3-(-1)|=4,AC=^(-1-0)2+(0-3)2=瓜BC=^(3-0)2+(0-3)2=372,OC=3,

???^sc=1^xOC=1x4x3=6,

過點2作于點E,如圖,

貝1JS/Bc=34CxBE=；義屈xBE=6,

'BE=^=梟*屈，

6A/10

,,sinZACB=^~=—42

BC372

（3）解：VP（l,4）,5（3,0）,C（0,3）,

:.PB2=（l-3）2+（4-0）2=20,SC2=（3-0）2+（0-3）2=18,PC2=（1-0）2+（4-3）2=2,

:.PC?+BC?=PB?,

：.APBC是直角三角形,

：.tanZPBC=—=g=-；

BC3V23

分兩種情況:

⑴當點。在y軸左側(cè)時，如圖，過點。作。尸,〉軸于點尸,

ZQCO=ZPBC,

：.tanZQCO=tanZPBC=1,

設點。的坐標為（加加+2加-3）,則：QF=-m,CF=3-m2-2m+3,,

.-m_1

3-m2—2m+33'

解得，嗎=-2,%=3,

經(jīng)檢驗，嗎=-2,加2=3是原方程的根,

又加＜0,

m=—2,

此時，點。的坐標為(-2,-3)；

(")當點。在，軸右側(cè)時，如圖,

?.,點/關于原點對稱的點H的坐標為(1，0),

???OH=1,

Q4'1

,

連接C4',則有：tanZACO=-=-f

tan/A'CO=tan/PBC,

點。與點H重合，

A2(1,0),

綜上，點。的坐標為(-2,-3)或(1,0)

通關指導

本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)以及與解直角三角形相關的計算.

【例2】(2023?陜西西安?模擬預測)已知拋物線/。="2-；芯-2與x軸相交于/、B兩點(點2在點/的

左側(cè))，點/的坐標是(4,0),與y軸相交于點C,將拋物線工繞點Q0)旋轉(zhuǎn)180。得到拋物線乙.

⑴求拋物線4的函數(shù)表達式.

⑵將拋物線4向左或向右平移，得到拋物線右，右與x軸相交于0、9兩點(點9在點H的左側(cè))，與?

軸相交于點C,要使5炭@。=25?4，求所有滿足條件的拋物線4的函數(shù)表達式.

1Q

［答案］⑴尸_j'_3