2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：分式方程（4類題型歸納與訓(xùn)練）解析版

專題07分式方程

考情聚焦

課標(biāo)要求考點(diǎn)考向

分式方

1.能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫

程的運(yùn)考向一解分式方程

現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；

考向二分式方程的解

2.能解可化為一元一次方程的分式方程：

3.能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理.

分式方考向一列分式方程

程的應(yīng)

考向二分式方程的實(shí)際應(yīng)用

用

真題透視A

考點(diǎn)一分式方程的運(yùn)算

易錯(cuò)易混提醒

解分式方程過(guò)程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：

（1）去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；

（2）忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解.

（3）增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根，若這個(gè)整式方程本身無(wú)

解，當(dāng)然原分式方程就一定無(wú)解.

A考向一解分式方程

1.（2024?海南?中考真題）分式方程工=1的解是（）

x-2

A.x=3B.x=—3C.x=2D.x=—2

【答案】A

【分析】本題主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化為整式方程，再解方程，最后檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：一二=1

x-2

去分得：1=%-2,

解得x=3,

檢驗(yàn)，當(dāng)x=3時(shí)，x—2r0,

Elx=3是原方程的解，

故選：A.

2.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）解分式方程1-丁二=-:7^時(shí)，去分母變形正確的是（）

3x-l2-ox

A.2—6%+2=—5B.6x—2—2——5

C.2—6%—1—5D.6%—2+1=5

【答案】A

【分析】本題考查通過(guò)去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡(jiǎn)公分母，即可去分

母.

【詳解】解：方程兩邊同乘2-6x,得2-6x-（2-6x）x^---=————x（2—6x},

3x-l2-6x

整理可得：2-6x+2=-5

故選：A.

12

3.（2024?四川瀘州?中考真題）分式方程一=-3=4的解是（）

x—22—x

75

A.x=—B.x=—lC.x=—D.x=3

33

【答案】D

【分析】本題考查解分式方程，根據(jù)解分式方程方法和步驟（去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)

化為1.檢驗(yàn)）求解，即可解題.

【詳解】解：3=----

x—2----2—x

1-3（尤-2）=-2,

1—3x+6=-2,

x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)％=3是該方程的解，

故選：D.

4.（2024?四川廣元?中考真題）若點(diǎn)。（x,y）滿足,+1=工，則稱點(diǎn)。為“美好點(diǎn)”，寫出一個(gè)"美好點(diǎn)"的

xyxy

坐標(biāo).

【答案】（2,-1）（答案不唯一）

【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時(shí)乘以孫后去分母，令X代入一個(gè)數(shù)值，得到y(tǒng)的值，

以此為點(diǎn)的坐標(biāo)即可，正確解分式方程是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：等式兩邊都乘以孫，得x+y=l,

令x=2,則丫=-1,

回"美好點(diǎn)"的坐標(biāo)為（2,-1）,

故答案為（2,-1）（答案不唯一）

2

5.（2024?浙江?中考真題）若—=1,貝h=________

x-l

【答案】3

【分析】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"轉(zhuǎn)化思想"，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.解

分式方程一定注意要驗(yàn)根.分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得

到分式方程的解.

【詳解】解：去分母得：2=x-l,

移項(xiàng)合并得：-x=-3,

解得.x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=3是分式方程的解，

故答案為：3

6.（2024?北京?中考真題）方程丁二+工=。的解為________.

2x+3x

【答案】x=T

【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關(guān)鍵.

先去分母，轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，注意要檢驗(yàn)是否有增根.

【詳解】解：-^―+-=o

2x+3x

x+2x+3=0,

解得：x=-l,

經(jīng)檢驗(yàn)：元=-1是原方程的解，

所以，原方程的解為x=-l,

故答案為：x=-l.

7.（2024?陜西?中考真題）解方程：告2+—x\=1.

元-1

【答案】x=-3

【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對(duì)方程

的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：三2+―三x=1,

X-1x-l

去分母得：2+x(x+l)=r—1,

去括號(hào)得：2+x2+x=X1-1,

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：x=-3

檢驗(yàn)：把％=—3代入（x+D（x—l）得：（-3+1乂-3—1）=8H0,

國(guó)彳=-3是原方程的解.

3x

8.(2024?福建?中考真題)解方程：一=+1=—=

x+2x-2

【答案】尤=10.

【分析】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題.

【詳解】解：-^-+1=^-

x+2x-2

方程兩邊者B乘(x+2)(x_2),得3@_2)+(%+2)@_2)=彳口+2).

去括號(hào)得：3x-6+x2-4=x2+2x,

解得％=10.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原方程的根.

A考向二分式方程的解

，vyi_

9.(2024?四川遂寧?中考真題)分式方程二=1-/一的解為正數(shù)，則，"的取值范圍()

x-1x—1

A.m>-3B.根>一3且加。一2

C.m<3D.機(jī)<3且相。一2

【答案】B

【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解

的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以x-1得，2=x-l-m,

解得％=機(jī)+3,

回分式方程3=1-二的解為正數(shù)，

回〃1+3>0,

0m>-3,

又回"1,

即機(jī)+3wl,

0m-2,

0優(yōu)的取值范圍為"Z>-3且加w-2,

故選：B.

10.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知關(guān)于x的分式方程二三-2=3無(wú)解，則左的值為（）

x—33—x

A.左=2或左=—1B.k=—2C.左=2或左=1D.k=—1

【答案】A

【分析】本題考查了解分式方程無(wú)解的情況，理解分式方程無(wú)解的意義是解題的關(guān)鍵.先將分式方程去分

母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可.

【詳解】解：去分母得，履-2（x-3）=-3,

整理得，（々-2口=-9,

當(dāng)％=2時(shí)，方程無(wú)解，

當(dāng)左r2時(shí)，令x=3,

解得我=-1,

kx3

所以關(guān)于尤的分式方程3-2=3無(wú)解時(shí)，k=2或k=—l.

x—33—x

故選：A.

11.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如果關(guān)于x―的分式方程!-'-=（）的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是（）

A.m<lS.m^0B.m<lC.m>\D.

【答案】A

【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的

解是負(fù)數(shù)得到并結(jié)合分式方程的解滿足最簡(jiǎn)公分母不為0,求出機(jī)的取值范圍即可，熟練掌握解

分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以x（x+l）得，x+1-mx-O,

解得x=一二，

m-1

團(tuán)分式方程的解是負(fù)數(shù)，

0m—1<0,

回機(jī)<1,

又回x（x+l）W。，

團(tuán)％+lwO,

1?

團(tuán)----。一1,

m-1

團(tuán)機(jī)wO,

團(tuán)"2<1且相。0,

故選：A.

Z￡±l<3

12.（2024?重慶?中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組3_的解集為x<4,且關(guān)于'的分式

4x—2<3x+a

方程--3二=1的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是_______.

y+2y+2

【答案】12

【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，先解不等式組中的

兩個(gè)不等式，再根據(jù)不等式組的解集求出a>2；解分式方程得到丁=三更，再由關(guān)于'的分式方程

二-一5=1的解均為負(fù)整數(shù)，推出a<10且ar6且。是偶數(shù)，則2<a<10且。/6且。是偶數(shù)，據(jù)此確

y+2y+2

定符合題意的a的值，最后求和即可.

^±1<3①

【詳解】解：3一口

4x—2<3x+a@

解不等式①得：％<4,

解不等式②得-x<a+2,

團(tuán)不等式組的解集為1<4,

團(tuán)〃+2>4,

團(tuán)?！?；

解分式方程W一上7=1得y=三3，

y+2y+22

團(tuán)關(guān)于y的分式方程上［--\=i的解均為負(fù)整數(shù),

y+2y+2

0--------<0且-----是整數(shù)且y+2=--------+2w0,

222

Ela<10且aw6且。是偶數(shù)，

回2<a<10且aw6且a是偶數(shù)，

團(tuán)滿足題意的a的值可以為4或8,

團(tuán)所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是4+8=12.

故答案為：12.

考點(diǎn)二分式方程的應(yīng)用

A考向一列分式方程

13.（2024?四川巴中?中考真題）某班學(xué)生乘汽車從學(xué)校出發(fā)去參加活動(dòng)，目的地距學(xué)校60km,一部分學(xué)

生乘慢車先行0.5h,另一部分學(xué)生再乘快車前往，他們同時(shí)到達(dá).已知快車的速度比慢車的速度每小時(shí)快

20km,求慢車的速度？設(shè)慢車的速度為xkm/h,則可列方程為（）

6060160601

A--------------=——B.—

xx+202x-20x2

6060160601

C.--------------=—D.--------------=一

x+20x2xx-202

【答案】A

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用.設(shè)慢車的速度為xkm/h,則快車的速度是（x+20）km/h,再根

據(jù)題意列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)慢車的速度為xkm/h,則快車的速度為（x+20）km/h,根據(jù)題意可得：

60601

xx+202

故選：A.

14.（2024?四川廣元?中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進(jìn)城市更新行動(dòng)的有效抓手，從2023

年開始通過(guò)拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個(gè)小而美的“口袋公園".現(xiàn)需要購(gòu)買A、8兩種綠植,

已知A種綠植單價(jià)是B種綠植單價(jià)的3倍，用6750元購(gòu)買的A種綠植比用3000元購(gòu)買的B種綠植少50

株.設(shè)8種綠植單價(jià)是x元，則可列方程是（）

6750s30003000s6750

A.---------50=-------B.---------50=-------

3xx3xx

675053000300056750

C.------+50=-------D.------+50=-------

3xx3%x

【答案】C

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)B種綠植單價(jià)是x元，則A種綠植單價(jià)是3%元，根據(jù)用6750

元購(gòu)買的A種綠植比用3000元購(gòu)買的2種綠植少50株，列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)8種綠植單價(jià)是x元，則A種綠植單價(jià)是3x元，根據(jù)題意得：

6750/3000

------+50=-------,

3xx

故選：C.

15.（2024?甘肅臨夏?中考真題）端午節(jié)期間，某商家推出〃優(yōu)惠酬賓〃活動(dòng)，決定每袋粽子降價(jià)2元銷售.細(xì)

心的小夏發(fā)現(xiàn)，降價(jià)后用240元可以比降價(jià)前多購(gòu)買工0袋，求：每袋粽子的原價(jià)是多少元？設(shè)每袋粽子的

原價(jià)是元元，所得方程正確的是（）

240240240240

A.=10B.=10

Xx+2Xx—2

240240240240

c.=10D.=10

x—2Xx+2X

【答案】c

【分析】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程.根據(jù)

降價(jià)后用240元可以比降價(jià)前多購(gòu)買10袋，可以列出相應(yīng)的分式方程.

【詳解】解：由題意可得,

240”10,

x—2x

故選：C.

16.（2024?山西?中考真題）某校組織學(xué)生開展〃茶韻與書畫〃為主題的研學(xué)課程，已知學(xué)校用于購(gòu)買扇子的

費(fèi)用為4000元，購(gòu)買茶具的費(fèi)用為3200元，其中購(gòu)買扇子的數(shù)量是購(gòu)買茶具數(shù)量的2倍，并且扇子的單

價(jià)比茶具的單價(jià)便宜3元.設(shè)購(gòu)買扇子的單價(jià)為x元.則x滿足的方程為（）

4000個(gè)320040003200

A.----=2x------B.2x

xx+3xx+3

4000小320040003200

C.----=2x------D.2x

x-3xx-3x

【答案】A

【分析】題目主要考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)購(gòu)買扇子的單價(jià)為元元，則茶具的單價(jià)為（1+3）元，根據(jù)〃購(gòu)買

扇子的數(shù)量是購(gòu)買茶具數(shù)量的2倍〃列出分式方程即可，理解題意是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)購(gòu)買扇子的單價(jià)為X元，則茶具的單價(jià)為（X+3）元,

根據(jù)題意得：幽。幽

xx+3

故選：A.

A考向二分式方程的實(shí)際應(yīng)用

17.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）A,8兩種機(jī)器人都被用來(lái)搬運(yùn)化工原料，A型機(jī)器人比8型機(jī)器人

每小時(shí)多搬運(yùn)30千克，A型機(jī)器人搬運(yùn)900千克所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)600千克所用時(shí)間相等.A,B

兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少干克化工原料？（）

A.60,30B.90,120C.60,90D.90,60

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)3型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)x千克，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)（x+30）

千克，根據(jù)"A型機(jī)器人搬運(yùn)900千克所用時(shí)間與8型機(jī)器人搬運(yùn)600千克所用時(shí)間相等"列分式方程求解即

可.

【詳解】解：設(shè)8型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)X千克，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)（X+30）千克,

，0900600

根據(jù)題意,得-----=——

x+30x

解得x=60,

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=60是原方程的解,

0x+3O=9O,

答：A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)90千克，8型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)60千克.

故選：D.

18.（2024?黑龍江綏化?中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h,它以該航速沿江順流航行120km所

用時(shí)間，與以該航速沿江逆流航行80km所用時(shí)間相等，則江水的流速為（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

【答案】D

【分析】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，利用順?biāo)?靜水速+水速，逆水速=靜水速-水速，設(shè)未知數(shù)

列出方程，解方程即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)江水的流速為xkm/h,根據(jù)題意可得：

12080

40+尤40-尤'

解得:x=8,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=8是原方程的根，

答：江水的流速為8km/h.

故選：D.

19.（2024?山東?中考真題）為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)

100件，改造后生產(chǎn)600件的時(shí)間與改造前生產(chǎn)400件的時(shí)間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（）

A.200B.300C.400D.500

【答案】B

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為x,則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（x-100）,根據(jù)“改造后生產(chǎn)600件的

時(shí)間與改造前生產(chǎn)400件的時(shí)間相同”列出分式方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為x,則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（X-100）,

400

根據(jù)題意，得：---

―100

解得：x=300,

經(jīng)檢驗(yàn)％=300是分式方程的解，且符合題意,

答：改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)300.

故選：B.

20.（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）2024年春晚吉祥物"龍辰辰"，以十二生肖龍的專屬漢字"辰”為名.某廠家生

產(chǎn)大小兩種型號(hào)的“龍辰辰"，大號(hào)"龍辰辰"單價(jià)比小號(hào)"龍辰辰"單價(jià)貴15元，且用2400元購(gòu)進(jìn)小號(hào)"龍辰

辰”的數(shù)量是用2200元購(gòu)進(jìn)大號(hào)"龍辰辰"數(shù)量的1.5倍，則大號(hào)"龍辰辰"的單價(jià)為元.某網(wǎng)店在該

廠家購(gòu)進(jìn)了兩種型號(hào)的“龍辰辰”共60個(gè)，且大號(hào)“龍辰辰”的個(gè)數(shù)不超過(guò)小號(hào)"龍辰辰”個(gè)數(shù)的一半，小號(hào)"龍

辰辰”售價(jià)為60元，大號(hào)"龍辰辰，的售價(jià)比小號(hào)"龍辰辰，的售價(jià)多30%.若兩種型號(hào)的“龍辰辰”全部售出，

則該網(wǎng)店所獲最大利潤(rùn)為元.

【答案】551260

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.設(shè)大號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為x元，則小號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為（x-15）元，根據(jù)題意建立分式方

程，解方程即可得；設(shè)購(gòu)進(jìn)小號(hào)"龍辰辰"的數(shù)量為。個(gè)，則購(gòu)進(jìn)大號(hào)“龍辰辰"的數(shù)量為（60-°）個(gè)，先求出。

的取值范圍，再設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤(rùn)為w元，建立w關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】解：設(shè)大號(hào)“龍辰辰"的單價(jià)為了元，則小號(hào)“龍辰辰"的單價(jià)為（x-15）元,

由題意得

x-15x

解得x=55,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=55是所列分式方程的解，

所以大號(hào)“龍辰辰"的單價(jià)為55元，小號(hào)"龍辰辰"的單價(jià)為40元.

設(shè)購(gòu)進(jìn)小號(hào)“龍辰辰"的數(shù)量為。個(gè)，則購(gòu)進(jìn)大號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量為（60-a）個(gè),

由題意得：0<60—6（<—G,

2

解得40Wa<60,

設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤(rùn)為w元，

貝IJw=（60—40）a+[60x（l+30%）—55]（60—a）=—3a+1380,

由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在40Va<60內(nèi)，卬隨。的增大而減小,

則當(dāng)a=40時(shí)，卬取得最大值，最大值為-3x40+1380=1260,

即該網(wǎng)店所獲最大利潤(rùn)為1260元，

故答案為：55；1260.

21.（2024?山東東營(yíng)?中考真題）水是人類賴以生存的寶貴資源，為節(jié)約用水，創(chuàng)建文明城市，某市經(jīng)論證

從今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格，每立方米水費(fèi)上漲原價(jià)的「小麗家去年5月份的水費(fèi)是28元，而

今年5月份的水費(fèi)則是24.5元.已知小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3.設(shè)該市去

年居民用水價(jià)格為x元/nA則可列分式方程為.

2824.5

【答案】丁一晨

4X

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)該市去年居民用水價(jià)格為x元/nA則今年居民用水價(jià)格為

-^%/m3,根據(jù)小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3,列出方程即可.

4

【詳解】解：設(shè)該市去年居民用水價(jià)格為X元/m3,則今年居民用水價(jià)格為+；卜元/n?,根據(jù)題意得：

2824.5°

-------^—=3

x1■

4

2824.5

故答案為：.

4A

22.（2024?江蘇常州?中考真題）書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國(guó)具

有民族傳統(tǒng)的一門特殊藝術(shù).如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是L2mx0.8m,裝裱后，上、下、左、右邊

襯的寬度分別是am、bm、cm、dm.若裝裱后A8與AD的比是16:10,且。=6,c-d,c-2a,求四周邊

襯的寬度.

【答案】上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分別表示出A氏/⑦的長(zhǎng)，列出分式方程，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：AB=1.2+c+tZ=1.2+2c=1.2+4fl,AD=0.8+a+b=0.8+2a,

(BAB與AD的比是16:10,

1.2+4a16

團(tuán)--------=—,

0.8+2。10

解得：。=0.1,

經(jīng)檢驗(yàn)〃=0.1是原方程的解.

團(tuán)上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m.

23.（2024?黑龍江大慶?中考真題）為了健全分時(shí)電價(jià)機(jī)制，引導(dǎo)電動(dòng)汽車在用電低谷時(shí)段充電，某市實(shí)施

峰谷分時(shí)電價(jià)制度，用電高峰時(shí)段（簡(jiǎn)稱峰時(shí)）：7:00-23：00,用電低谷時(shí)段（簡(jiǎn)稱谷時(shí)）：23：00—

次日7:00,峰時(shí)電價(jià)比谷時(shí)電價(jià)高0.2元/度.市民小萌的電動(dòng)汽車用家用充電樁充電，某月的峰時(shí)電費(fèi)為

50元，谷時(shí)電費(fèi)為30元，并且峰時(shí)用電量與谷時(shí)用電量相等，求該市谷時(shí)電價(jià).

【答案】該市谷時(shí)電價(jià)0.3元/度

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)該市谷時(shí)電價(jià)為了元/度，則峰時(shí)電價(jià)（x+0.2）元/度，根據(jù)題意列

出分式方程，解方程并檢驗(yàn)，即可求解.

【詳解】解：設(shè)該市谷時(shí)電價(jià)為x元/度，則峰時(shí)電價(jià)（x+0.2）元/度，根據(jù)題意得，

5030

x+0.2x

解得：x=0.3,經(jīng)檢驗(yàn)x=0.3是原方程的解，

答：該市谷時(shí)電價(jià)0.3元/度.

24.（2024?山東泰安?中考真題）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國(guó)各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某

農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個(gè)組共35名工人.甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品,

已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，求甲、乙兩組各有

多少名工人？

【答案】甲組有20名工人，乙組有15名工人

【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)甲組有x名工人，則乙組有（35-x）名工人.根據(jù)題意得

2700=2292x1.2,據(jù)此即可求解.

35TX

【詳解】解：設(shè)甲組有X名工人，則乙組有（35-力名工人.

坦=叫

根據(jù)題意得1.2,

35-xx

解答：x=20,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是所列方程的解，且符合題意,

.-.35-x=35-20=15.

答：甲組有20名工人，乙組有15名工人.

25.（2024?廣西?中考真題）綜合與實(shí)踐

在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略.

【洗衣過(guò)程】

步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干.重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達(dá)

到洗衣目標(biāo).

假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%,每次擰干后校服上都?xì)埩?.5kg水.

濃度關(guān)系式：d后=也畫.其中d前、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；W為單次漂洗所

加清水量（單位：kg）

【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過(guò)漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動(dòng)手操作】請(qǐng)按要求完成下列任務(wù)：

⑴如果只經(jīng)過(guò)一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要多少清水？

⑵如果把4kg清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，是否能達(dá)到洗衣目標(biāo)？

⑶比較（1）和（2）的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說(shuō)說(shuō)你的想法.

【答案】（1）只經(jīng)過(guò)一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

（2）進(jìn)行兩次漂洗，能達(dá)到洗衣目標(biāo)；

⑶兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)

【分析】本題考查的是分式方程的實(shí)際應(yīng)用，求解代數(shù)式的值，理解題意是關(guān)鍵；

（1）把%=0.01%,d前=0.2%代入J=&^L,再解方程即可；

0.5+w

（2）分別計(jì)算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；

（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果得出結(jié)論即可.

【詳解】⑴解：把4g=0.01%,1前=0.2%代入d=等畫

0.5+w

得0.0]%=吟02%

0.5+w

解得狡=9.5.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；

團(tuán)只經(jīng)過(guò)一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

（2）解：第一次漂洗：

把w=2kg,d前=0.2%代入d=等吟

0.5+w

0.5x0.2%

團(tuán)“后==0.04%

0.5+2

第二次漂洗：

寸巴iv=2kg,［前=0.04%代入d

0.5+w

0.5x0.04%

團(tuán)“后二=0.008%

0.5+2

ffij0.008%<0.01%,

團(tuán)進(jìn)行兩次漂洗，能達(dá)到洗衣目標(biāo)；

（3）解：由（1）（2）的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過(guò)兩次漂洗既能達(dá)到洗衣目標(biāo)，還能大幅度節(jié)約用水,

回從洗衣用水策略方面來(lái)講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí).

26.（2024?云南?中考真題）某旅行社組織游客從A地到B地的航天科技館參觀，已知A地到8地的路程為

300千米，乘坐C型車比乘坐。型車少用2小時(shí)，C型車的平均速度是。型車的平均速度的3倍，求。型

車的平均速度.

【答案】。型車的平均速度為100km/h

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)。型車的平均速度為xkm/h,則C型車的平均速度是3xkm/h,根

據(jù)"乘坐C型車比乘坐。型車少用2小時(shí)，"建立方程求解，并檢驗(yàn)，即可解題.

【詳解】解：設(shè)。型車的平均速度為xkm/h,則C型車的平均速度是3xkm/h,

300300?

根據(jù)意思可付，--------=2,

x3x

整理得，6%=600,

解得x=100,

經(jīng)檢驗(yàn)%=100是該方程的解，

答：。型車的平均速度為100km/h.

27.（2024?重慶?中考真題）為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對(duì)現(xiàn)有甲、乙兩類共30

條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代.

（1）為鼓勵(lì)企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺(tái)了相應(yīng)的補(bǔ)貼政策.根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線

的設(shè)備可獲得3萬(wàn)元的補(bǔ)貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬(wàn)元的補(bǔ)貼.這樣更新完這30條生產(chǎn)線

的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬(wàn)元的補(bǔ)貼.該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？

（2）經(jīng)測(cè)算，購(gòu)買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購(gòu)買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬(wàn)元，用200萬(wàn)

元購(gòu)買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬(wàn)元購(gòu)買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得

70萬(wàn)元的補(bǔ)貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？

【答案】（1）該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；

⑵需要更新設(shè)備費(fèi)用為1330萬(wàn)元

【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有尤條，則乙類生產(chǎn)線各有（30-“條，再利用更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該

企業(yè)可獲得70萬(wàn)元的補(bǔ)貼，再建立方程求解即可；

（2）設(shè)購(gòu)買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為優(yōu)萬(wàn)元，則購(gòu)買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為（〃?-5）萬(wàn)元，利用

用200萬(wàn)元購(gòu)買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬(wàn)元購(gòu)買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，再建立分

式方程，進(jìn)一步求解

【詳解】（1）解：設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有x條，則乙類生產(chǎn)線各有（30-力條，則

3x+2（30-x）=70,

解得：x=10,

則30—x=20；

答：該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；

（2）解：設(shè)購(gòu)買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為加萬(wàn)元，則購(gòu)買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為（機(jī)-5）萬(wàn)元,

則

200180

mm—5

解得：機(jī)=50,

經(jīng)檢驗(yàn)：相=50是原方程的根，且符合題意；

則m-5=45,

則還需要更新設(shè)備費(fèi)用為10x50+20x45-70=1330（萬(wàn)元）；

28.（2024?重慶?中考真題）某工程隊(duì)承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、

乙兩人分別用A、8兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半.據(jù)測(cè)算需要A、8兩種外墻漆各300千克，購(gòu)買

外墻漆總費(fèi)用為15000元，已知A種外墻漆每千克的價(jià)格比8種外墻漆每千克的價(jià)格多2元.

⑴求A、B兩種外墻漆每千克的價(jià)格各是多少元？

（2）已知乙每小時(shí)粉刷外墻面積是甲每小時(shí)粉刷外墻面積的乙完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間比甲完成粉刷任務(wù)

所需時(shí)間多5小時(shí).問(wèn)甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是多少平方米？

【答案】（1）A種外墻漆每千克的價(jià)格為26元，則B種外墻漆每千克的價(jià)格為24元.

⑵甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是25平方米.

【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意建立方程是解本題的關(guān)鍵；

（1）設(shè)A種外墻漆每千克的價(jià)格為x元，則8種外墻漆每千克的價(jià)格為（彳-2）元，再根據(jù)總費(fèi)用為15000

元列方程求解即可；

（2）設(shè)甲每小時(shí)粉刷外墻面積為y平方米，則乙每小時(shí)粉刷外墻面積是2y平方米；利用乙完成粉刷任務(wù)

所需時(shí)間比甲完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間多5小時(shí).從而建立分式方程求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)A種外墻漆每千克的價(jià)格為X元，則B種外墻漆每千克的價(jià)格為（X-2）元，

0300%+300（^-2）=15000,

解得：x=26,

團(tuán)x—2—24,

答：A種外墻漆每千克的價(jià)格為26元，8種外墻漆每千克的價(jià)格為24元.

（2）設(shè)甲每小時(shí)粉刷外墻面積為'平方米，則乙每小時(shí)粉刷外墻面積是1y平方米；

5000500

-------5二---

團(tuán)4y,

5y

解得：y=25,

經(jīng)檢驗(yàn)：y=25是原方程的根且符合題意，

答：甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是25平方米.

新題特訓(xùn),

一、單選題

1.（2024?廣西賀州?三模）下列式子是分式方程的是（）

x+1514x

A.------——B.---------1---------

233x-l3x+l

x313-x,x-l

C.--------+---------=lD.-------+2=-------

2x—I2%+143

【答案】C

【分析】此題考查了分式方程，分母中含有未知數(shù)的有理方程是分式方程，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.*是一元一次方程，故選項(xiàng)不符合題意；

B.不是方程，故選項(xiàng)不符合題意；

C.+Q=1是分式方程，故選項(xiàng)符合題意；

2x-l2x+l

D.?+2==?是一元一次方程，故選項(xiàng)符合題意.

43

故選：C.

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）某生鮮超市在三月份用20000元進(jìn)購(gòu)一批鐵皮西紅柿，四月份這種鐵皮西紅柿

每千克降價(jià)了1元，此生鮮超市用18000元進(jìn)購(gòu)?fù)N鐵皮西紅柿，卻多進(jìn)貨500千克.求三月份這種鐵皮

西紅柿每千克多少元？設(shè)三月份這種鐵皮西紅柿每千克尤元，可列方程得（）

20000…18000士+500=18000

A.B.

x+1XX+1

20000…180003500=18000

C.D.

x-lXx-l

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)三月份這種鐵皮西紅柿每千克x元，則四月份這種鐵皮西紅柿

每千克（x-l）元，根據(jù)三月進(jìn)貨量+500=四月進(jìn)貨量，列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)三月份這種鐵皮西紅柿每千克x元，則四月份這種鐵皮西紅柿每千克（x-l）元，

「小、工口,曰20000“八18000

可列萬(wàn)程得-----+500=——-,

xx-1

故選：D.

3.（2024?上海寶山?一模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為；把一

份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多1天；如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)

間少3天.已知快馬的速度是慢馬的2倍.根據(jù)題意列方程為型?=絲，其中X表示（）

A.快馬的速度B.慢馬的速度C.規(guī)定的時(shí)間D,以上都不對(duì)

【答案】C

【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程以及數(shù)學(xué)常識(shí)，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系及所列的方程，找

出x的含義是解題的關(guān)鍵.由快、慢馬速度間的關(guān)系，結(jié)合所列的方程，可得出空表示慢馬的速度，絲

表示快馬的速度，結(jié)合快、慢馬所需時(shí)間與規(guī)定時(shí)間之間的關(guān)系，可得出X表示規(guī)定的時(shí)間.

【詳解】解：回快馬的速度是慢馬的2倍，所列方程為駕*2=駕，即當(dāng)=翼，

回駕表示慢馬的速度，駕表示快馬的速度；

x+1x-3

團(tuán)把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多1天；如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)

定時(shí)間少3天，

Six表示規(guī)定的時(shí)間.

故選：C.

4.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知x=5是分式方程「=1—4的解，則％的值為（）

x+22+x

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】本題主要考查了分式方程解的定義，分式方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把

x=5代入原方程求出左的值即可.

【詳解】解：：x=5是分式方4程-#I--的解，

x+22+x

5+22+5'

解得：左=3,

故選：C.

5.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）野豪豬內(nèi)卷會(huì)用6000元購(gòu)進(jìn)一批試卷，每套試卷含數(shù)理化三科，每套以比進(jìn)價(jià)

高10元的優(yōu)惠價(jià)格賣給成員，在銷售過(guò)程中，因多出5套試卷，以每套10元的白菜價(jià)送給了其他同學(xué)，

最后野豪豬內(nèi)卷會(huì)盈利950元，則一套試卷的進(jìn)價(jià)為（）

A.50元B.100元C.120元D.240元

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用.設(shè)每套試卷的進(jìn)價(jià)為x元，則每套試卷的售價(jià)為（x+10）元，根據(jù)題

意列出分式方程，解之即可，注意檢驗(yàn).

【詳解】解：設(shè)每套試卷的進(jìn)價(jià)為x元，則每套試卷的售價(jià)為（x+10）元，

3g44-6000U6000+950-5x10

根據(jù)題意得------5=----------------,

xx+10

整理得尤2+190%-12000=0,

解得網(wǎng)=50,%=-240（不合題意，舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)，x=50是原方程的解，且符合題意；

答：每套試卷的進(jìn)價(jià)為50元，

故選：A.

6.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）為改善生態(tài)環(huán)境，打造宜居城市，某市園林綠化部門計(jì)劃植樹20萬(wàn)棵，由于工

程進(jìn)度需要，實(shí)際每天植樹棵數(shù)比原計(jì)劃增加了25%,結(jié)果提前4天完成任務(wù).若設(shè)實(shí)際每天植樹x萬(wàn)棵，

則根據(jù)題意可得方程為（）

A20(1+25%)202020

-----=44B.--------------=44

XX25%xx

202042020/

C-(l+25%)xD.

XX(l+25%)x

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)實(shí)際每天植樹x萬(wàn)棵，則原計(jì)劃每天植樹O+3%）萬(wàn)棵，根

據(jù)"提前4天完成任務(wù)”列出方程即可.

%

【詳解】解：設(shè)實(shí)際每天植樹X萬(wàn)棵，則原計(jì)劃每天植樹（1+25%）萬(wàn)棵，

20204

--------------------4

根據(jù)題意可得方程為XX,

（1+25%）

整理為：20（1+25%）一型=.

XX

故選：A.

2x—QW—1

7.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于1的不等式組x+12%?有且只有兩個(gè)偶數(shù)解，且關(guān)于，的分式