2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練：三角形壓軸題綜合（原卷版）

專題10三角形壓軸題綜合

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換.............................................................................1

題型02三角形與平移變換.............................................................................4

題型03三角形與翻折變換.............................................................................4

題型04三角形類比探究問題...........................................................................7

中考練場(chǎng)............................................................................................10

熱點(diǎn)題型歸納

題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換

【解題策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.（2023?四川?中考真題）如圖1,已知線段N8,AC,線段ZC繞點(diǎn)A在直線N5上方旋轉(zhuǎn)，連接BC,以8C為邊

在2c上方作RtABDC,且ND3C=30°.

⑴若/BDC=90。，以為邊在AS上方作Rt/XBNE,且N/E8=90。，NEBA=30°,連接DE,用等式表示線段/C與

DE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DE_LAB,48=4,AC=2,求BC的長(zhǎng);

(3)如圖3,若/BCD=90。，AB=4,AC=2,當(dāng)4D的值最大時(shí)，求此時(shí)tan/CBN的值.

【變式演練】

1.（2023?貴州貴陽(yáng)?二模）在AABC中，ZCAB=90°,在V/DE中，ZEAD=90°,已知Rt△他C和RtA4DF有公共

頂點(diǎn)/,連接2。和CE.

圖②

（1）如圖①，若4B=/C,AD=AE,當(dāng)“3C繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)a（0°<c<360。），和CE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系

是;

（2）如圖②，若3：ZE=N3:/C=1：VL當(dāng)RtZ\4BC繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)a（0°<a<360。），（1）中2。和CE的數(shù)量關(guān)系與位

置關(guān)系是否依然成立，判斷并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若AD=2&,AB=43,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C,B,。三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出CE的長(zhǎng)度.

2.（2023?廣西桂林?一模）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小麗將兩副相同的三角板中的兩個(gè)等腰直角三角形按如圖1方式放置，

使AZ）斯的頂點(diǎn)D與小3C的頂點(diǎn)C重合，4）￡尸在繞點(diǎn)C的旋轉(zhuǎn)過程中，邊DE、。廠始終與的邊48分別交

于M、N兩點(diǎn).

圖1圖2

⑴老師提了一個(gè)問題：試證明/Af+ap=MV2.

小麗開動(dòng)腦筋，作了如下思考：考慮到C/=C2且44cB=90。，可將"av繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至A/CM位置，連

結(jié)兒W',若能證明BN、分別等于RSNW的另兩邊則可以解決問題.

請(qǐng)幫小麗繼續(xù)完成證明過程.

證明：將Mav繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至A/CN'位置，連結(jié)w；

(2)如圖2,小昆另取一塊與“3C相同的三角板，放在A4BG位置，邊CE與邊/G相交于點(diǎn)〃，連NH、NG.

①小昆猜想：ZCNH=9Q°,請(qǐng)幫他給出證明；

②圖2中始終與CN相等的線段有_；

③請(qǐng)?zhí)剿?N、BN、之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論：

3.(2023?吉林?一模)如圖，“8C和VADE是有公共頂點(diǎn)的直角三角形，NA4C=NDNE=90。，點(diǎn)尸為射線8。，CE

的交點(diǎn).

（1）如圖1,若AABC和V4DE是等腰三角形，求證：ZABD=ZACE；

（2）如圖2,若NADE=NABC=30°,問：（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由.

⑶在（1）的條件下，AB=6,AD=4,若把VADE繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NE/C=90。時(shí)，請(qǐng)直接寫出尸3的長(zhǎng)度.

題型02三角形與平移變換

【解題策略】

「著香了荃等三房形的河運(yùn)前正貳一有徽三痛形而到適布桂扇廠率毯面函貳一三?形丙箱而兔踵的應(yīng)甬廠芍庭急建「廨1

|題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

ii

Ii

ts柯分布r

例.（2023?四川攀枝花?中考真題）如圖1,在AABC中，AB=BC=2AC=8,AASC沿8c方向向左平移得到△￡）色,

4、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是。、￡.點(diǎn)尸是線段3E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接距，將線段所繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段NG,使得

ABAD=ZFAG,連接尸G.

⑴當(dāng)點(diǎn)廠與點(diǎn)。重合時(shí)，求FG的長(zhǎng)；

⑵如圖2,連接BG、DF.在點(diǎn)下的運(yùn)動(dòng)過程中：

①BG和。尸是否總是相等？若是，請(qǐng)你證明；若不是，請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)3月的長(zhǎng)為多少時(shí)，能構(gòu)成等腰三角形？

【變式演練】

1.（2023?遼寧大連?模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，AB=AC=亞,NBAC=90。,DE經(jīng)過點(diǎn)、4,且DELBC,垂足為E,

NDCE=60°.

（1）以點(diǎn)￡為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ACDE,使旋轉(zhuǎn)后的AC'DZ'的邊C'D'恰好經(jīng)過點(diǎn)/,求此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大小;

⑵在（1）的情況下，將AC力沿BC向右平移，（0</<1）.設(shè)平移后的圖形與08C重疊部分的面積為S,求S與1

的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出/的取值范圍.

2.（2023?四川成都?一模）如圖1,在“3C中，AC=4,以為底邊作等腰AP/B,連接尸C,作APCD,使得尸C=PD,

且ZCPD=NAPB.

⑴如圖2,若N4尸3=60。，請(qǐng)按題意補(bǔ)全圖形，并寫出畫圖步驟；

（2）將線段。沿CD的方向平移得到線段DE,連接3E,

①如圖3,若ZCPD=NAPB=90°,求BE的長(zhǎng)；②若4尸3=36。，直接寫出3E的長(zhǎng).

題型03三角形與翻折變換

【解題策略】

著者亍至尊三鬲形的河蔻而桂原「鬧彳以三鬲形的至0死前E瓦一折前而在貳一三鬲形丙函而遺函面盯為胺年逾;

解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

TISW1

例.(2023?湖北武漢?中考真題)問題提出：如圖(1),E是菱形/BCD邊8c上一點(diǎn)，△/￡尸是等腰三角形，AE=EF,

乙IEF=ZABC=a(a290°),AF交CD于點(diǎn)G,探究NGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

(1)(2)(3)

問題探究：

(1)先將問題特殊化，如圖(2),當(dāng)a=90。時(shí)，直接寫出NGCF的大小;

(2)再探究一般情形，如圖(1),求NGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

問題拓展:

口「1Dp

⑶將圖(1)特殊化，如圖(3),當(dāng)。=120。時(shí)，若==求券的值.

CG2CE

【變式演練】

1.(2024?安徽阜陽(yáng)?一模)(1)如圖1,在矩形/BCD中，AB=5,BC=4,點(diǎn)、E為邊BC上一點(diǎn)、,沿直線DE將矩

形折疊，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)。處.求NC'的長(zhǎng)；

(2)如圖2,展開后，將AOC'E沿線段48向右平移，使點(diǎn)C'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)2重合，得到△OBE"DE與BC交于點(diǎn)、

F,求線段EF的長(zhǎng)；

(3)在圖1中，將ADC'E繞點(diǎn)C'旋轉(zhuǎn)至/,C,￡三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出CQ的長(zhǎng).

2.(2023?陜西榆林?一模)【問題背景】

(1)如圖1,在矩形48CD中，BC=6,點(diǎn)￡是3C上一點(diǎn)，連接AE,DE,若AAEB+ZCED=90°,則AE2+DE2=______

\/

BLE----LC

圖1

(2)如圖2,在正方形48co中，46=8,點(diǎn)E在邊上，將V/DE沿/E翻折至△4FE,連接CF,求△(?￡■尸周長(zhǎng)

的最小值；

S

圖2

【問題解決】

(3)如圖3,某植物園在一個(gè)足夠大的空地上擬修建一塊四邊形花圃48cZ),點(diǎn)〃■是該花圃的一個(gè)入口，沿DM和CM

分別鋪兩條小路，且/DWC=135。，AD+BC=am,AM=60m,BM=80m.管理員計(jì)劃沿CD邊上種植一條綠化帶

(寬度不計(jì))，為使美觀，要求綠化帶的長(zhǎng)度盡可能的長(zhǎng)，那么管理員是否可以種植一條滿足要求的長(zhǎng)度最大的綠化

帶C0?若可以，求出滿足要求的綠化帶C0的最大長(zhǎng)度(用含。的式子表示)；若不可以，請(qǐng)說明理由.

C

圖3

題型04三角形類比探究問題

【解題策略】

著香了圣馨三鬲形的河運(yùn)麗強(qiáng)質(zhì)廠而彳以三鬲形的的正前I面「導(dǎo)布丙鬲而是踵的應(yīng)甬廠芍底運(yùn)甌二廨窗的買鍵星孰1

i

練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論。

____________________________________________________________________________________________________________1

【典例分析】

例.（2023?浙江湖州?中考真題）【特例感知】

（1）如圖1,在正方形Z8CD中，點(diǎn)尸在邊48的延長(zhǎng)線上，連接尸D,過點(diǎn)。作?！?尸。，交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.求

證：ADAPQADCM.

【變式求異】

（2）如圖2,在RtA4SC中，N4BC=90。，點(diǎn)。在邊上，過點(diǎn)。作。0_L/8,交NC于點(diǎn)。，點(diǎn)尸在邊48的

延長(zhǎng)線上，連接尸0,過點(diǎn)。作。M_LP。，交射線2c于點(diǎn)/.已知BC=8,AC=10,AD=2DB,求品的值.

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在RtAABC中，/A4c=90。，點(diǎn)P在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在邊NC上（不與點(diǎn)/,。重合），連接

PQ,以0為頂點(diǎn)作/尸QM=/P8C,N尸。"的邊W交射線BC于點(diǎn)M.若AC=mAB,CQ=nAC（加，〃是常數(shù)），

求需的值（用含如

"的代數(shù)式表示）.

圖1圖2圖3

【變式演練】

1.（2023?河南洛陽(yáng)?三模）在“8C中，乙4c8=90。,/。=8C,點(diǎn)。是直線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)4臺(tái)重合），連

接C0,在C。的右側(cè)以C0為斜邊作等腰直角三角形CDE,點(diǎn)H是3。的中點(diǎn)，連接E8.

【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)。是的中點(diǎn)時(shí)，線段即與的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是

【猜想證明】（2）如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)。在邊NB上且不是的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)僅

就圖（2）中的情況給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

【拓展應(yīng)用】⑺若AC=BC=26,其他條件不變，連接/E，BE.當(dāng)ABCE是等邊三角形時(shí)，直接寫出VADE的

面積.

2.（2023?湖北十堰?二模）【問題背景】⑴如圖1,ZACB=ZADE=90°,AC=BC,AD=DE.求證：BE=CCD;

【變式遷移】（2）如圖2,E為正方形Z3CD外一點(diǎn)，/￡=45。，過點(diǎn)。作。尸，3E,垂足為尸，連接CF.求的

CF

值；

【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3,A是內(nèi)一點(diǎn)，BE=BF,AF=2,ZEAB=90°,ZFEA=ZBFA,AE=2AB,直接

寫出的長(zhǎng).

圖1

3.（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,“8C和VADE是直角三角形，NABC=N4DE=90。,

行iCB=AED,求證：ADABs^EAC；

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在與RMEOC中，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)C,點(diǎn)。在上，NBAC=NDEC,且

sinNB4C=g,連接NE,若BD=2,求4E1的長(zhǎng)；

【拓展提高】（3）如圖3,若/。3=90。，NE=ZABC,tanZ￡=—,BD=5CD,過/作40，4D交仍延長(zhǎng)線

3

Ar

于°,求質(zhì)的值.

中考練場(chǎng)

1.（2023?浙江湖州?中考真題）【特例感知】

（1）如圖1,在正方形48co中，點(diǎn)尸在邊48的延長(zhǎng)線上，連接尸D,過點(diǎn)。作。“,尸。，交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求

證：ADAPQADCM.

【變式求異】

（2）如圖2,在RtA4SC中，N4BC=90。，點(diǎn)。在邊上，過點(diǎn)。作。0_L/8,交NC于點(diǎn)。，點(diǎn)尸在邊48的

延長(zhǎng)線上，連接P0,過點(diǎn)。作。M，P。，交射線2C于點(diǎn)已知BC=8,AC=10,AD=2DB,求品的值.

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在RtAABC中，/A4c=90。，點(diǎn)P在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在邊NC上（不與點(diǎn)/,。重合），連接

PQ,以0為頂點(diǎn)作/尸QM=/P8C,NP0M的邊0/交射線BC于點(diǎn)若4c="MB,CQ=nAC（加，〃是常數(shù)），

求冬■的值（用含小"的代數(shù)式表示）.

QM

圖1圖2圖3

2.（2023?遼寧錦州?中考真題）【問題情境】如圖，在“3C中，AB=AC,44cs=a.點(diǎn)。在邊8c上將線段。8

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段。E（旋轉(zhuǎn)角小于180。）,連接BE,CE,以CE為底邊在其上方作等腰三角形尸EC,使

乙FCE=a,連接上\

【嘗試探究】

（1）如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)，易知=

圖1

如圖2,當(dāng)&=45。時(shí)，則呼'與8E的數(shù)量關(guān)系為_；

（2）如圖3,寫出相與BE的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表示）.并說明理由;

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖4,當(dāng)。=30。，且點(diǎn)3,E,k三點(diǎn)共線時(shí).若BC=4療，AD=（BC,請(qǐng)直接寫出距的長(zhǎng).

3.（2023?湖北黃岡?中考真題）【問題呈現(xiàn)】

△C4B和ACDE都是直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,C5=mCA,CE=mCD,連接4D,BE,探究BE的位置

關(guān)系.

圖1圖2備用圖

⑴如圖1,當(dāng)根=1時(shí)，直接寫出3E的位置關(guān)系:

（2）如圖2,當(dāng)加工1時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

【拓展應(yīng)用］

（3）當(dāng)加=6,45=477,/方=4時(shí)，將ACDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使42E三點(diǎn)恰好在同一直線上，求BE的長(zhǎng).

4.（2023?四川成都?中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究.

AT）1

在RtzX/HC中，NC=90°,AC=BC,。是45邊上一點(diǎn)，且——=—（〃為正整數(shù)），E是/C邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作

BDn

DE的垂線交直線BC于點(diǎn)F.

【初步感知】

(1)如圖1,當(dāng)〃=1時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF=^AB,請(qǐng)寫出證明過程.

【深入探究】

(2)①如圖2,當(dāng)"=2,且點(diǎn)尸在線段2C上時(shí)，試探究線段BF,N8之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；

②請(qǐng)通過類比、歸納、猜想，探究出線段NE,BF,之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論(直接寫出結(jié)論，不必證明)

【拓展運(yùn)用】

(3)如圖3,連接E尸，設(shè)E尸的中點(diǎn)為若AB=2g，求點(diǎn)E從點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)(用

含〃的代數(shù)式表示).

5.(2022?廣東深圳?中考真題)(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形/BCD中，E為/。邊上一點(diǎn)，將A/EB沿

3E翻折到△AEF處，延長(zhǎng)E尸交邊于G點(diǎn).求證：ABFG四4BCG

圖①

(2)【類比遷移】如圖②，在矩形48。中，￡為4D邊上一點(diǎn)，且40=8,48=6,將4/股沿3￡翻折到48￡萬(wàn)處,

延長(zhǎng)EF交BC邊于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BF交CO邊于點(diǎn)“，且切=CH,求AE的長(zhǎng).

(3)【拓展應(yīng)用】如圖③,在菱形ABCD中，4B=6,E為CD邊上的三等分點(diǎn)，ZD=60°,將VADE沿AE翻折得到△/尸E,

直線E/交8C于點(diǎn)尸，求CP的長(zhǎng).

備用1備用2

6.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個(gè)含有45。角的三角尺放在正方

形48CD中，使45。角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45。角的兩邊CM,CN始終與正方

形的邊ZD,AB所在直線分別相交于點(diǎn)M,N,連接兒W,可得ACW.

【探究一】如圖②，把VCDW繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ACB”,同時(shí)得到點(diǎn)H在直線48上.求證：ZCNM=ZCNH；

【探究二】在圖②中，連接BD,分別交CM,CN于點(diǎn)E,F.求證：MEFs^CNM；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線8。與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點(diǎn)￡,F.連接ZC交2。

于點(diǎn)。，求黑的值.

7.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)

系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.

F

圖1

圖3

⑴發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在“3c和中，AB=AC,AE=AF,ABAC=ZEAF=30°,連接BE,CF,延長(zhǎng)3E交

CF于點(diǎn)、D.則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：,NBDC=°；

(2)類比探究：如圖2,在"3C和AN跖中，AB=AC,AE=AF,ABAC=AEAF=120°,連接BE,CF,延長(zhǎng)BE,

尸C交于點(diǎn)。.請(qǐng)猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及乙BDC的度數(shù)，并說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,和ANE尸均為等腰直角三角形，N