2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【猜想歸納】圖案規(guī)律中的猜想歸納思想（解析版）

圖案規(guī)律中的猜想歸納思想

知識(shí)方法精講

1.規(guī)律型：圖形的變化類

圖形的變化類的規(guī)律題

首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過(guò)分析找到各部分的變化

規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來(lái)解決這類問(wèn)題.

2.認(rèn)識(shí)圖形

(1)幾何圖形：從實(shí)物中抽象出的各種圖形叫幾何圖形.幾何圖形分為立體圖形和平面圖

形.

(2)立體圖形：有些幾何圖形(如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球等)的各部分不都在

同一個(gè)平面內(nèi)，這就是立體圖形.

(3)重點(diǎn)和難點(diǎn)突破：

結(jié)合實(shí)物，認(rèn)識(shí)常見的立體圖形，如：長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等.能

區(qū)分立體圖形與平面圖形，立體圖形占有一定空間，各部分不都在同一平面內(nèi).

3.猜想歸納思想

歸納猜想類問(wèn)題也是探索規(guī)律型問(wèn)題，這類問(wèn)題一般給出一組具有某種有規(guī)律的數(shù)、式、

圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過(guò)程，或某一具體的問(wèn)題情境，通過(guò)認(rèn)真觀察、分析

推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。考查學(xué)生的歸納、概括、類

比能力。有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性。

解決歸納猜想類問(wèn)題的基本思路是“觀察一歸納一猜想一證明(驗(yàn)證)”，具體做法：

(1)認(rèn)真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系；

(2)根據(jù)它們之間的關(guān)系分析、概括，歸納它們的共性和蘊(yùn)含的變化規(guī)律，猜想得出一個(gè)

一般性的結(jié)論；

(3)結(jié)合題目所給的材料情景證明或驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

4.歸納猜想類問(wèn)題可以分成四大類：

(1)數(shù)式歸納猜想題

這類題通常是先給出一組數(shù)或式子，通過(guò)觀察、歸納這組數(shù)或式子的共性規(guī)律，寫出一個(gè)一

般性的結(jié)論。找出題目中規(guī)律，即不變的和變化的，變化的部分與序號(hào)的關(guān)系是解這類題的

關(guān)鍵。

(2)圖形歸納猜想題

此類題通常給出一組圖形的排列(或操作得到一系列的圖形)探求圖形的變化規(guī)律，以圖形為

載體考查圖形所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。其解題關(guān)鍵是找出相鄰兩個(gè)圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)

系。

(3)結(jié)論歸納猜想題

結(jié)論歸納猜想題常考數(shù)值結(jié)果、數(shù)量關(guān)系及變化情況。發(fā)現(xiàn)或歸納出周期性或規(guī)律性變化,

是解題的關(guān)鍵。

(4)類比歸納猜想題

類比歸納猜想題通常是指由兩類對(duì)象的具有某些相同或相似的性質(zhì)，和其中■類對(duì)象的某些

已知的性質(zhì)，推斷出另一類對(duì)象也具有這些性質(zhì)的一種題型，有時(shí)也指兩個(gè)對(duì)象在研究方法、

學(xué)習(xí)過(guò)程上類比，考查類比歸納推理能力。

一.選擇題(共19小題)

1.(2021?巴南區(qū)自主招生)把四邊形和三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中圖案①中共

有4個(gè)三角形，圖案②中共有7個(gè)三角形，圖案③中共有10個(gè)三角形，…，若按此規(guī)律拼

圖案，則圖案⑧中共有()

漫畫…一

①②③

A.13個(gè)三角形B.19個(gè)三角形C.25個(gè)三角形D.31個(gè)三角形

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】由題意可以得出第〃個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為：3n+\,據(jù)此可求第⑧個(gè)圖案的三

角形個(gè)數(shù).+

【解答】解：第①個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為：4,

第②個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為：7=4+3,

第③個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為：10=4+3+3,

則第〃個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為：4+3("-1)=3〃+1,

，第⑧個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為：3x8+1=25.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類，解答的關(guān)鍵是由題意得出第〃個(gè)圖案中三角

形的個(gè)數(shù)為：3?+1.

2.（2019?渝北區(qū)自主招生）下列圖形都是由相同的☆按一定規(guī)律組成的，其中，第①個(gè)圖

形中一共有3個(gè)☆，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)☆，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)☆，…，則第

7個(gè)圖形中☆的個(gè)數(shù)為（）

☆

☆☆

☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

*☆☆☆☆

①②③④

A.51B.57C.73D.74

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)題意得出得出第"個(gè)圖形中☆的個(gè)數(shù)為/+〃+1；由此代入求得第7個(gè)圖形中

☆的個(gè)數(shù).

【解答】解：第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)+，3=12+2；

第②個(gè)圖形中共有7個(gè)☆，7=2?+3；

第③個(gè)圖形中共有13個(gè)☆,13=32+4；

第"個(gè)圖形中☆的個(gè)數(shù)為：〃2+〃+1；

第7個(gè)圖形中☆的個(gè)數(shù)為：72+7+1=57.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.

3.（2021?康巴什校級(jí)三模）將一些相同的病毒“?”按如圖所示的規(guī)律依次擺放成類似“蝙

蝠俠”的圖案，觀察下列“蝙蝠俠”圖案中病毒的排列規(guī)律，則第21個(gè)圖形中

的個(gè)數(shù)為（）

①②③④

A.347B.385C.425D.467

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)圖形的變化歸納出第〃個(gè)圖形有+個(gè)即可.

【解答】解：由圖知，第1個(gè)圖形有Oxl+5=5個(gè)“?”，

第2個(gè)圖形有l(wèi)x2+5=7個(gè)"?力

第3個(gè)圖形有2x3+5=11個(gè)“?”，

第4個(gè)圖形有3x4+5=17個(gè)“?”，

第〃個(gè)圖形有皿〃-1）+5］個(gè)“?”，

.?.第21個(gè)圖形中的個(gè)數(shù)為21x（21-1）+5=425,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化歸納出第〃個(gè)圖形有+個(gè)

是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?淄川區(qū)一模）如圖所示，根據(jù)你的觀察，下面四個(gè)選項(xiàng)中的圖片，適合填補(bǔ)圖中

空白處的是（）

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)圖形的變化規(guī)律可以看出，每行每列的總點(diǎn)數(shù)都是10,根據(jù)此規(guī)律即可得出

結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)圖形的變化規(guī)律可得，每行每列的總點(diǎn)數(shù)都是10,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，觀察出每行每列的總點(diǎn)數(shù)都是10,是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?泗水縣一模）將一列有理數(shù)-1,2,-3,4,-5,6,....如圖所示有序排列.根

據(jù)圖中的排列規(guī)律可知，有理數(shù)4在“峰1”中C的處.則有理數(shù)-2021在（）

A.峰403￡處B.峰403。處C.峰404。處D.峰404￡處

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】由圖形變化規(guī)律知，除了起始數(shù)字-1外，其余數(shù)字中，每5個(gè)數(shù)字就開始一個(gè)峰,

共有（2021-1）+5=404個(gè)峰，且奇數(shù)峰起始數(shù)字是偶數(shù)，偶數(shù)峰時(shí)，起始數(shù)字是奇數(shù)，由

此判斷即可.

【解答】解：???除了起始數(shù)字-1外，其余數(shù)字中，每5個(gè)數(shù)字就開始一個(gè)峰，

共有（2021-1）+5=404個(gè)峰，

???奇數(shù)峰起始數(shù)字是偶數(shù)，偶數(shù)峰時(shí)，起始數(shù)字是奇數(shù)，

.?.第404個(gè)峰起始數(shù)字都是奇數(shù)，且-2021在￡處，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，靈活把握每個(gè)峰的構(gòu)成特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?渝中區(qū)校級(jí)三模）用大小相同的圓點(diǎn)擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放,

則第8個(gè)圖案中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

n=ln=2n=3n=4

A.34B.40C.49D.59

【考點(diǎn)】規(guī)律型:圖形的變化類

【分析】觀察與比較每個(gè)圖案相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，得出后一個(gè)圖案總是在與之相鄰的前一個(gè)圖

案基礎(chǔ)上有規(guī)律地增加圓點(diǎn)數(shù)，即在前一個(gè)圖案的基礎(chǔ)上增加比圖案序號(hào)數(shù)多一個(gè)的圓點(diǎn)數(shù),

從而解決該題.

【解答】解：當(dāng)〃=1時(shí)，第1個(gè)圖案的圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是必=5+2=7個(gè).

當(dāng)〃=2時(shí)，第2個(gè)圖案的圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是％=必+3=5+2+3=10個(gè).

當(dāng)〃=3時(shí)，第3個(gè)圖案的圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是%=%+4=5+2+3+4=14個(gè).

當(dāng)〃=4時(shí)，第4個(gè)圖案的圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是”=%+5=5+2+3+4+5=19.

以此類推，第〃個(gè)圖案的圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是%=5+2+3+4+...+（〃+1）

_j"（2+〃+1）_<+3）A

-D?-D|?

22

，當(dāng)〃=8時(shí)，第8個(gè)圖案的圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是%=5+8x（：+3）=49個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)生的觀察能力，運(yùn)用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想解決此類規(guī)律題.

7.（2021?江北區(qū)校級(jí)模擬）下列圖形是用棋子按照一定規(guī)律擺成的，第①個(gè)圖中有2枚棋

子，第②個(gè)圖中有6枚棋子，第③個(gè)圖中有12枚棋子，…，按照這種擺法，第8個(gè)圖形中

共有棋子（）

?????

?????????...

???????

?????????

①②③④

A.42B.56C.64D.72

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】觀察并比較分析每個(gè)圖形的相同點(diǎn)與不同點(diǎn),得出每個(gè)圖形的每行的棋子數(shù)相等.另

外，任意兩個(gè)相鄰的圖形中后一個(gè)圖形的棋子的行數(shù)總是比前一個(gè)圖形的棋子多1行，且每

一行棋子數(shù)比前一個(gè)的圖形的每一行棋子數(shù)對(duì)一個(gè)，進(jìn)而得出圖形棋子數(shù)的變化規(guī)律，從而

解決該題.

【解答】解：第①個(gè)圖形的棋子數(shù)為乂=2枚.

第②個(gè)圖形的棋子數(shù)為%=2x3=6枚.

第③個(gè)圖形的棋子數(shù)為%=3x4=12枚.

第④個(gè)圖形的棋子數(shù)為"=4x5=20枚.

以此類推，第〃個(gè)圖形的棋子數(shù)為"="(〃+1)枚.

二第⑧個(gè)圖形的棋子數(shù)為以=8x9=72枚.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)生觀察與比較分析能力，運(yùn)用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想解決此類規(guī)律

題.

8.(2021?九龍坡區(qū)模擬)下列圖形都是由同樣大小的實(shí)心圓點(diǎn)按一定規(guī)律組成的，其中第

①個(gè)圖形一共有5個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，第②個(gè)圖形一共有8個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，第③個(gè)圖形一共有11個(gè)

實(shí)心圓點(diǎn)，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

①②③…

A.19B.20C.22D.23

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】觀察并比較分析圖形的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，得出每?jī)蓚€(gè)相鄰的圖形中后一個(gè)圖形總是

在前一個(gè)圖形的底部增加1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，頂部的兩側(cè)各增加1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，進(jìn)而歸納任意兩

相鄰的圖形中后一個(gè)圖形實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)比前一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)多3個(gè)，從而得出圖形實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)

的一般變化規(guī)律.

【解答】解：第①個(gè)圖形的實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)是必=5個(gè).

第②個(gè)圖形的實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)是%=%+3=5+3=8.

第③個(gè)圖形的實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)是%=%+3=5+3+3=5+3x2.

第④個(gè)圖形的實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)是北=%+3=5+3+3+3=5+3X3.

以此類推，第〃個(gè)圖形的實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)是”=5+3(〃-1)個(gè).

.?.當(dāng)〃=7時(shí)，第⑦個(gè)圖形的實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)是%=5+3x6=23個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)生觀察與比較分析得能力，運(yùn)用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想可解決此類

規(guī)律題.

9.（2021秋?平陰縣期末）將全體自然數(shù)按下面的方式進(jìn)行排列，按照這樣的排列規(guī)律，2022

應(yīng)位于（）

1—*25f6

tl

03—47―?...—12）—*■

A.?位B.?位C.?位D.?位

【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，因?yàn)?022是第2023個(gè)數(shù)，

所以用2023除以4,再根據(jù)商和余數(shù)的情況確定2022所在的位置即可.

【解答】解：由圖可知，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，

???2022是第2023個(gè)數(shù)，

2023+4=505.......3,

二.2023應(yīng)位于第506循環(huán)組的第3個(gè)數(shù)，在。位.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)

鍵，要注意2022是第2023個(gè)數(shù).

10.（2021秋?中原區(qū)校級(jí)期末）找出以下圖形變化的規(guī)律，則第2022個(gè)圖形中黑色正方形

的數(shù)量是（）

■=?口0......

A.3030B.3031C.3032D.3033

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類.

【分析】仔細(xì)觀察圖形并從中找到規(guī)律，然后利用找到的規(guī)律即可得到答案.

【解答】解：觀察圖形可知：

第1個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是2,

第2個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是3,

第3個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是5,

發(fā)現(xiàn)規(guī)律:

:當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，第〃個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是("+[?)個(gè)；

2

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，第"個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是5+生上)個(gè)，

2

...第2022個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是：2022+Lx2022=3033(個(gè)),

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)的觀察圖形并正確的找

到規(guī)律.

11.(2021秋?泉州期末)如圖所示的數(shù)陣叫“萊布尼茨調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)

組成的，第〃行有〃個(gè)數(shù)，且兩端的數(shù)均為工，每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，若用

n

36)表示第0行從左到右第6個(gè)數(shù)，如(2,2)表示的數(shù)是(3,2)表示的數(shù)是(4,3)表

26

示的數(shù)是則(7,5)表示的數(shù)是()

1

1

11

22

11_1_

36T

1111

41212T

R111

A.—rn

42105210420

【考點(diǎn)】倒數(shù)；規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)圖形的變化規(guī)律可得，第〃行有〃個(gè)數(shù)，且兩端都是工，每個(gè)數(shù)是它下一行左

n

右相鄰兩數(shù)的和，根據(jù)此規(guī)律寫出第5,6,7行從左往右第一個(gè)數(shù)，第6,7行從左往右第

二個(gè)數(shù)，第7行從左往右第三個(gè)數(shù)即可得到(7,5)表示的數(shù).

【解答】解：由圖形的變化可知，

第〃行有"個(gè)數(shù)，且兩端都是工，每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，

n

.?.第5,6,7行從左往右第一個(gè)數(shù)分別是1,-；

567

第6,7行從左往右第二個(gè)數(shù)分別是工-工=工，

56306742

第7行從左往右第三個(gè)數(shù)為—-—=

3042105

由圖形的特征可得（7,5）表示的數(shù)是第7行從左往右第五個(gè)，它和（7,3）表示同一個(gè)數(shù)，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形歸納出第〃行有〃個(gè)數(shù)，且兩端都是工，

n

每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和是解題的關(guān)鍵.

12.（2021秋?秦淮區(qū)期末）在某多媒體電子雜志的某一期上刊登了“正方形雪花圖案的形

成”的演示案例：作一個(gè)正方形，設(shè)每邊長(zhǎng)為4a,將每邊四等分，作一凸一凹的兩個(gè)邊長(zhǎng)

為。的小正方形，得到圖形如圖（2）所示，稱為第一次變化，再對(duì)圖（2）的每個(gè)邊做相同

的變化，得到圖形如圖（3）,稱為第二次變化，如此連續(xù)作幾次，便可得到一個(gè)絢麗多彩的

雪花圖案.如不斷發(fā)展下去到第"次變化時(shí)，圖形的面積和周長(zhǎng)分別為（

第一次變化第二次變化

A.16/和2"+'B.16a2和2"%C.32a2和2-3aD.32a?和4"a

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)對(duì)正方形每進(jìn)行1次分形，周長(zhǎng)增加1倍；每增加一個(gè)小正方形同

時(shí)又減少一個(gè)相同的小正方形，即面積不變.

【解答】解：周長(zhǎng)依次為32a,64a,128a,…，2"%,即無(wú)限增加，

所以不斷發(fā)展下去到第〃次變化時(shí)，圖形的周長(zhǎng)為2"+%；

圖形進(jìn)行分形時(shí)，每增加一個(gè)小正方形同時(shí)又減少一個(gè)相同的小正方形，即面積不變，是一

個(gè)定值16/.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圖形的變化類，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和概括能力，觀察出后一個(gè)圖

形的周長(zhǎng)比它的前一個(gè)增加1倍是解題的關(guān)鍵，本題有一定難度.

13.（2021秋?順德區(qū)期末）用木棒按如圖所示的規(guī)律擺放圖形，第100個(gè)圖形需要木棒根

數(shù)是（）

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形

A.501B.502C.503D.504

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】不難看出，后一個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多了5根木棒，據(jù)此可表示出第"個(gè)圖形中木

棒的根數(shù)，從而可求第100個(gè)圖形需要的木棒根數(shù).

【解答】解：?.?第1個(gè)圖形需要的木棒根數(shù)為：6,

第2個(gè)圖形需要的木棒根數(shù)為：11=6+5=6+5x1,

第3個(gè)圖形需要的木棒根數(shù)為：16=6+5+5=6+5x2,

.?.第"個(gè)圖形需要的木棒根數(shù)為：6+5（/7-1）=5/1+1,

.?.第100個(gè)圖形需要的木棒根數(shù)為：5x100+1=501（根），

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形分析出所存在的規(guī)律.

14.（2021秋?豐臺(tái)區(qū)期末）如圖是用棋子擺成的圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第⑨個(gè)圖

案需要的棋子個(gè)數(shù)為（

)①②③④

A.81B.91C.109D.111

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)圖形的變化歸納出第”個(gè)圖案需要黑色棋子個(gè)數(shù)為：n2+n+l,即可求解.

【解答】解：由圖知，第1個(gè)圖案中黑色棋子的個(gè)數(shù)為l+2=F+i+i,

第2個(gè)圖案中黑色棋子的個(gè)數(shù)為4+3=2z+2+1,

第3個(gè)圖案中黑色棋子的個(gè)數(shù)為9+4=3?+3+1,

第4個(gè)圖案中黑色棋子的個(gè)數(shù)為16+5=代+4+1,

第n個(gè)圖案需要黑色棋子個(gè)數(shù)為n2+n+l,

，第⑨個(gè)這樣的圖案需要黑色棋子個(gè)數(shù)為92+9+1=81+10=91,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化歸納出第〃個(gè)圖案需要黑色棋子個(gè)

數(shù)為（/+〃+1）是解題的關(guān)鍵.

15.（2021秋?新都區(qū)期末）用火柴棒按如圖所示的方式擺大小不同的“3”，按此規(guī)律擺下

去，第2021個(gè)“3”需要火柴棒的根數(shù)為（

C.6068D.8085

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】通過(guò)觀察圖形易得每個(gè)圖案需要火柴棒的根數(shù)都比前面的圖案需要火柴棒的根數(shù)多

4根，利用圖形序號(hào)”來(lái)表示出規(guī)律即可.

【解答】解：由圖可知

第1個(gè)圖中：需要火柴棒的根數(shù)是5=1+4x1；

第2個(gè)圖中：需要火柴棒的根數(shù)是9=l+4x2；

第3個(gè)圖中：需要火柴棒的根數(shù)是13=1+4x3；

第"個(gè)圖中：需要火柴棒的根數(shù)是477+1.

當(dāng)”=2021時(shí)，4?+1=8085.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形的變化類規(guī)律.從變化的圖形中找到與圖形序號(hào)變化一致的信

息是解題的關(guān)鍵.

16.（2021秋?錦江區(qū)校級(jí)期末）如圖，用菱形紙片按照如下規(guī)律拼成下列圖案，若第〃個(gè)

圖案中有2021張紙片，則〃的值為（）

A.503B.504C.505D.506

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)圖形歸納出第〃個(gè)圖形中有(4〃+1)個(gè)菱形紙片，然后列方程求解即可.

【解答】解：由圖知，第一個(gè)圖案中有5張菱形紙片，以后每個(gè)圖案都比前一個(gè)多4張菱形

紙片，

故第"個(gè)圖形中有(4?+1)張菱形紙片，

由圖知4n+l=2021,

解得n=505，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化歸納出第"個(gè)圖形中有(4〃+1)個(gè)

菱形紙片是解題的關(guān)鍵.

17.(2021秋?西山區(qū)期末)將正方形做如下操作，第1次分別連接各邊中點(diǎn)如圖2,得到5

個(gè)正方形；第2次將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3,得到9個(gè)正方形...，以此

類推，根據(jù)以上操作，若要得到2025個(gè)正方形，則需要操作的次數(shù)為()

圖1圖3

A.503C.505D.506

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】從特殊到一般，探究規(guī)律后利用規(guī)律即可解決問(wèn)題;

【解答】解：???第1次：分別連接各邊中點(diǎn)如圖2,得到4+1=5個(gè)正方形;

第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3,得到4x2+1=9個(gè)正方形,

以此類推，根據(jù)以上操作，則第〃次得到4”+1個(gè)正方形,

由題意4〃+1=2025,

解得n=506，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的變化類，根據(jù)已知得出正方形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

18.（2021秋?嵩縣期末）有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，以它的一條邊為斜邊，向外作一個(gè)直

角三角形，再分別以直角三角形的兩條直角邊為邊，向外各作一個(gè)正方形，稱為第一次“生

長(zhǎng)”（如圖1）;再分別以這兩個(gè)正方形的邊為斜邊，向外各自作一個(gè)直角三角形，然后分別

以這兩個(gè)直角三角形的直角邊為邊，向外各作一個(gè)正方形，稱為第二次“生長(zhǎng)”（如圖2）…

如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長(zhǎng)”了2021次后形成的圖形

中所有的正方形的面積和是（）

（圖1）

A.1B.2020C.2021D.2022

【考點(diǎn)】勾股定理；規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】利用勾股定理得其+Sc=l,則“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面

積和為2,同理可得：“生長(zhǎng)”了2次后形成的圖形中所有的正方形面積和為3,找到規(guī)律即

可解答.

由題意得：=1,

由勾股定理得：SB+SC=1,

■.“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得：“生長(zhǎng)”了2次后形成的圖形中所有的正方形面積和為3,

“生長(zhǎng)”了3次后形成的圖形中所有正方形的面積和為4,

“生長(zhǎng)”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2022,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)圖形變化找到前3次“生長(zhǎng)”后所有正方形的面積

是解題的關(guān)鍵.

19.（2021秋?大埔縣期末）如圖所示，直線/B,CD相交于點(diǎn)。，“阿基米德曲線”從點(diǎn)。

開始生成，如果將該曲線與每條射線的交點(diǎn)依次標(biāo)記為1,-2,3,-4,5,-6....那么標(biāo)

記為“2021”的點(diǎn)在（）

A.射線ON上B.射線上C.射線0c上D.射線8上

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)圖形的變化，每四條射線為一組，從。/開始，由2021+4=505..」，即可得出

結(jié)論.

【解答】解：觀察圖形的變化可知：

奇數(shù)項(xiàng)：1、3、5、…為正整數(shù)）；

偶數(shù)項(xiàng)：-2、-4、-6、...-In.

???2021是奇數(shù)項(xiàng)，每四條射線為一組，04為始邊，

.-.2021H-4=505...1,

二.標(biāo)記為“2021”的點(diǎn)在射線。4上.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了規(guī)律型-圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形的變化尋找規(guī)

律.

二.填空題（共6小題）

20.（2020?通遼）如圖，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1個(gè)正方形需要4個(gè)小正

方形，拼第2個(gè)正方形需要9個(gè)小正方形...，按這樣的方法拼成的第（〃+1）個(gè)正方形比第〃

個(gè)正方形多_(2〃+3)_個(gè)小正方形.

【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，所需要的小正方形的個(gè)數(shù)都是平方數(shù)，然后根據(jù)相應(yīng)的序數(shù)與正方

形的個(gè)數(shù)的關(guān)系找出規(guī)律解答即可.

【解答】解：???第1個(gè)正方形需要4個(gè)小正方形，4=22,

第2個(gè)正方形需要9個(gè)小正方形，9=3?,

第3個(gè)正方形需要16個(gè)小正方形，16=7,

第"+1個(gè)正方形有(〃+1+1)2個(gè)小正方形，

第n個(gè)正方形有+1)2個(gè)小正方形，

故拼成的第n+1個(gè)正方形比第n個(gè)正方形多("+2)2-(〃+1)2=(2M+3)個(gè)小正方形.

故答案為：(2〃+3).

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是圖形數(shù)字的變化類問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)圖形找出規(guī)律，按規(guī)律求

解.

21.(2021?安溪縣模擬)北京天壇的國(guó)丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，如圖所示分上、中、下三層，

上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外

每環(huán)依次增加9塊，下層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，

已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)27

環(huán).

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】設(shè)每層有〃環(huán)，則第一層由9+18+27+36+…+9〃塊扇面形石板，第二層由

9(〃+1)+9(〃+2)+9(〃+3)+…+9(〃+〃)塊扇面形石板，第三層由

9(2〃+1)+9(2?+2)+9(2〃+3)+…+9(2〃+ri),再根據(jù)下層比中層多729塊求出/值即可.

【解答】解：設(shè)每層有〃環(huán)，則第一層由9+18+27+36+...+9"塊扇面形石板，

第二層由9(n+1)+9(H+2)+9(n+3)+...+9(n+n)塊扇面形石板，

第三層由9(2〃+1)+9(2〃+2)+9(2〃+3)+…+9(2?+〃)，

...9(2〃+1)+9(2〃+2)+9(2幾+3)+…+9(2〃+川)一[9(幾+1)+9(及+2)+9(n+3)+...+9(n+n)]=729

即9?2=729,

n=99

「.9x3=27,

故答案為：27.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化得出下層比中層多〃個(gè)9〃是解題

的關(guān)鍵.

22.（2021?五華區(qū)一模）如圖所示，下列各圖形是由大小相同的黑點(diǎn)組成，圖1中有2個(gè)點(diǎn),

圖2中有7個(gè)點(diǎn)，圖3中有14個(gè)點(diǎn)，…，按此規(guī)律，那么圖8中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是79

圖1圖2圖3圖4

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】由圖形的變化規(guī)律可以看出，黑點(diǎn)組成的正方形少兩個(gè)黑點(diǎn)，第〃個(gè)圖的正方形邊

長(zhǎng)是(〃+1),所以第〃個(gè)圖形中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為("+1)2-2.

【解答】解：由圖形的變化規(guī)律可知，第〃個(gè)圖的正方形邊長(zhǎng)是("+1),

.??第〃個(gè)圖形中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為("+1)2-2,

.?.圖8中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(8+以-2=79,

故答案為：79.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，歸納出第"個(gè)圖形中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為［(“+1)2-2］是

解題的關(guān)鍵.

23.(2021?大慶模擬)把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第1個(gè)圖案中有1個(gè)黑

色三角形，第2個(gè)圖案中有3個(gè)黑色三角形，第3個(gè)圖案中有6個(gè)黑色三角形…按此規(guī)律

排列下去，則第5個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為15

△

△△△

△△△△△△

個(gè).第一個(gè)圖案第二個(gè)圖案第三個(gè)圖案

【考點(diǎn)】規(guī)律型:圖形的變化類

【分析】觀察圖形的變化即可得第5個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù).

【解答】解：???第1個(gè)圖案中有1個(gè)黑色三角形,

第2個(gè)圖案中有1+2=3個(gè)黑色三角形,

第3個(gè)圖案中有1+2+3=6個(gè)黑色三角形,

,按此規(guī)律排列下去，則第5個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3+4+5=15(個(gè)).

故答案為：15.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確找出圖形變化與數(shù)字的

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

24.(2021?黔東南州模擬)如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個(gè)圖

形中一共有4個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有8個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有14個(gè)圓，第4個(gè)圖

形中一共有22個(gè)圓...按此規(guī)律排列下去，第10個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是112個(gè).

第1個(gè)圖形第1個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)圖形得出第"個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是“(〃+1)+2進(jìn)行解答即可.

【解答】解：因?yàn)榈?個(gè)圖形中一共有1x(1+1)+2=4(個(gè))圓，

第2個(gè)圖形中一共有2x(2+l)+2=8(個(gè))圓，

第3個(gè)圖形中一共有3x(3+l)+2=14(個(gè))圓，

第4個(gè)圖形中一共有4x(4+l)+2=22(個(gè))圓；

可得第〃個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是["。?+1)+2](個(gè))；

所以第10個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)10x(10+1)+2=112(個(gè)).

故答案為：112.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的變換規(guī)律；根據(jù)圖形的排列規(guī)律得到下面圓的個(gè)數(shù)等于圖形的序號(hào)

與序號(hào)數(shù)多1數(shù)的積，上面圓的個(gè)數(shù)為2是解決本題的關(guān)鍵.

25.(2021秋?大同期末)觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第〃個(gè)

圖形中★的個(gè)數(shù)為_3〃+1

★

★★

★★★

★★★★

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

★★★★

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)每個(gè)圖形觀察發(fā)現(xiàn)，每個(gè)圖形上、左、右的五角星個(gè)數(shù)個(gè)圖形序號(hào)一致，下方

只有一個(gè)，根據(jù)規(guī)律即可求出答案.

【解答】解：根據(jù)已知圖形得：

第1個(gè)圖形五角星個(gè)數(shù)：4=1x3+1,

第2個(gè)圖形五角星個(gè)數(shù)：7=2x3+1,

第3個(gè)圖形五角星個(gè)數(shù)：10=3x3+1,

第4個(gè)圖形五角星個(gè)數(shù)：13=4x3+1,

由此規(guī)律得：

第”個(gè)圖形中共有(3〃+1)個(gè)圖形；

故答案為：3n+1.

【點(diǎn)評(píng)】題目考查了圖形的變化類，屬于規(guī)律型題目求解，解題關(guān)鍵是通過(guò)圖形的變化與圖

形序號(hào)的關(guān)系求出答案.

三.解答題（共3小題）

26.（2021?膠州市一模）問(wèn)題提出：

如果在一個(gè)平面內(nèi)畫出〃條直線，最多可以把這個(gè)平面分成幾部分？

問(wèn)題探究：

為解決問(wèn)題，我們經(jīng)常采用一般問(wèn)題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)到

復(fù)雜的情形，在探究的過(guò)程中，通過(guò)歸納得出一般性的結(jié)論，進(jìn)而拓展應(yīng)用.

探究一：

如圖1,當(dāng)在平面內(nèi)不畫（0條）直線時(shí)，顯然該平面只有1部分，可記為"0）=1.

探究二：

如圖2,當(dāng)在平面內(nèi)畫1條直線時(shí)，該平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可

記為f（1）=1+1=2.

探究三：

當(dāng)在平面內(nèi)畫2條直線，若兩條直線平行（如圖3）,該平面被分成3部分；若兩條直線相

交（如圖4）,交點(diǎn)將第2條直線分成2段，每一段將平面多分出1部分，因此比前一次多2

部分，該平面被分成4部分因此當(dāng)在平面內(nèi)畫2條直線時(shí)，該平面最多被分成4部分，可

記為/（2）=1+1+2=4,我們獲得的直接經(jīng)驗(yàn)是：直線相交時(shí)，平面被分成的部分多.

一一一、■一.9、、

,一\廣

1、

J'J

圖1圖2圖3圖4

一

圖5圜6圖7

探究四:

當(dāng)在平面內(nèi)畫3條直線，若3條直線相交于一點(diǎn)(如圖5),該平面被分成6部分；若3條

直線的交點(diǎn)都不相同時(shí)(如圖6),第3條直線與前兩條直線有2個(gè)交點(diǎn)，該直線被2個(gè)交

點(diǎn)分成了3段,每段將平面多分出1部分，所以比前一次多出3部分,該平面被分成7部分.因

此當(dāng)在平面內(nèi)畫3條直線時(shí)，該平面最多被分成7部分，可記為/(3)=1+1+2+3=7.我

們獲得的經(jīng)驗(yàn)是：直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，平面被分成的部分就越多.所以直接探索直線

交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情況即可.

探究五：

當(dāng)在平面內(nèi)畫4條直線(如圖7),第4條直線與前3條直線有3個(gè)交點(diǎn)，該直線被3個(gè)交

點(diǎn)分成了4段，每段將平面多分出1部分，所以比前次多出4部分，該平面被分成11部

分.因此當(dāng)在平面內(nèi)畫4條直線時(shí)，該平面最多被分成11部分，可記為/(4)

=1+1+2+3+4=11.

探究六：

在平面內(nèi)畫5條直線，最多可以把這個(gè)平面分成幾部分？(仿照前面的探究方法，寫出解答

過(guò)程，不需畫圖)

問(wèn)題解決：

如果在一個(gè)平面內(nèi)畫出"條直線，最多可以把這個(gè)平面分成優(yōu)+〃+2部分.

—2—

應(yīng)用與拓展：

(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的10條直線將平面分成了50個(gè)部分，再增加2條直線，則該平面至

多被分成一個(gè)部分.

(2)如果一個(gè)平面被直線分成了497部分，那么直線的條數(shù)至少有一條.

(3)一個(gè)正方體蛋糕切5刀，被分成的塊數(shù)至多為一塊.

【考點(diǎn)】認(rèn)識(shí)立體圖形；相交線；規(guī)律型：圖形的變化類；平行線的性質(zhì)

【分析】探究六：仿照探究五即可得出答案；

問(wèn)題解決：由探究一至探究六總結(jié)歸納得出規(guī)律即可；

應(yīng)用與拓展：

(1)運(yùn)用上述探究得出的規(guī)律，即可得出答案；

(2)運(yùn)用上述探究得出的規(guī)律，建立方程求解即可；

(3)將上述探究得出的規(guī)律，推廣運(yùn)用即可.

【解答】解：探究六：當(dāng)在平面內(nèi)畫5條直線，第5條直線與前4條直線有4個(gè)交點(diǎn)，該直

線被4個(gè)交點(diǎn)分成了5段，每段將平面多分出1部分，所以比前一次多出5部分，該平面被

分成16部分.因此當(dāng)在平面內(nèi)畫4條直線時(shí)，該平面最多被分成16部分，可記為/(5)

=1+1+2+3+4+5=16.

問(wèn)題解決：由探究一■至探究六可得：f(0)=1,f(1)=1+1=2,f(3)=1+1+2+3=7,

f(4)=1+1+2+3+4=11,/(5)=1+1+2+3+4+5=16,

n(n+1)n2+n+2

/.f(〃)=1+1+2+3+4+5+...+力=1+

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故答案為：丁

應(yīng)用與拓展:

(1)