2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【分類討論】不等式（組）中的分類討論思想 （原卷版）

不等式（組）中的分類討論思想

知識方法精講

1.解一元一次不等式

根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式

基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項;

④合并同類項；⑤化系數(shù)為1.

以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3,即可能變不等號方向，其他

都不會改變不等號方向.

注意：符號和y分別比和各多了一層相等的含義，它們是不等號與

等號合寫形式.

2.解一元一次不等式組

（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組

成的不等式組的解集.

（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分.

解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到.

3.一元一次不等式組的整數(shù)解

（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）.

解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的

限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解.

（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值.

一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根

據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案.

4.分類討論思想

每個數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們

所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)

一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不

同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，

即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這

種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。

一.選擇題（共1小題）

1.（2021春?鼓樓區(qū)校級期末）解不等式（x-2）（x-l）>0時，我們可以將其化為不等式組

廠一2>°或5得到的解集為》<]或》>2,利用該題的方法和結(jié)論，則不等式

[x—1>01x—1<0

（X-3）（x-2）（x-l）>0的解集為（）

A.x>3B.1<x<2C.x<1D.x>3或l<x<2

二.填空題（共7小題）

x+26

2.（2021春?涪城區(qū)校級月考）若關(guān)于無的不等式組-的所有整數(shù)解的和是-12,

x<m

則"的取值范圍為一.

3.（2021春?鄲都區(qū)校級期中）若關(guān)于x的不等式組?一加>°的所有整數(shù)解的和是15,則加

[13-2xK

的取值范圍是—.

4.（2020?拱墅區(qū)一模）已知關(guān)于x的不等式組I-一的所和

的取值范圍是—.

5.（2021秋?讓胡路區(qū)期末）若關(guān)于x的不等式組/一尤+1,恰有2個整數(shù)解，則。的取

1X—4<0

值范圍為—.

I3Y+<-0

6.（2020秋?芙蓉區(qū)月考）已知關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和為-9,加的

[%>-5

取值范圍是—.

2%+1+3〉—1

7.若關(guān)于x的不等式組2的所有整數(shù)解的和是-7,則加的取值范圍是—.

x<m

X—TT1'>0

8.若關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和是18,則切的取值范圍是—.

[13-2xK

三.解答題（共12小題）

9.（2021秋?西城區(qū)校級期中）閱讀下列材料：

根據(jù)絕對值的定義，|x|表示數(shù)軸上表示數(shù)x的點與原點的距離，那么，如果數(shù)軸上兩點P、

0表示的數(shù)為X],X?時，點P與點0之間的距離為尸。=|王-超|.

根據(jù)上述材料，解決下列問題：

如圖，在數(shù)軸上，點/、3表示的數(shù)分別是-4,8（/、3兩點的距離用43表示），點M是

數(shù)軸上一個動點，表示數(shù)"7.

（1）AB=個單位長度；

（2）若|+41+1加-81=20,求加的值；（寫過程）

（3）若關(guān)于x的方程|x-l|+|x+l|+|x-5|=a無解，則。的取值范圍是.

A0B

10.（2021秋?平谷區(qū)校級期中）若分式一^值為正，求”的取值范圍.

2m-1

關(guān)于這道題，某同學(xué)根據(jù)分式即除法，根據(jù)除法處理符號的原則，同號相除得正，得2加-1>0,

求得m>—.

2

根據(jù)這位同學(xué)的做法，若土二%<0,求加的取值范圍—.

-5

若Qt2〉o,求加的取值范圍—.

2加+3

若曰<0,求他的取值范圍—.

3-m

11.(2021春嚼城區(qū)期末)例：解不等式(x-2)(x+3)>0

解：由實數(shù)的運算法則：“兩數(shù)相乘，同號得正”

[x—2>0.[x—2<0

得①〈，或r②〈，

[x+3>0[x+3<0

解不等式組①得，x>2,

解不等式組②得，x<-3,

所以原不等式的解集為x>2或x<-3.

閱讀例題，嘗試解決下列問題：

(1)平行運用：解不等式/-9>0；

(2)類比運用：若分式二±1的值為負數(shù)，求x的取值范圍.

12.(2021春?西城區(qū)校級月考)閱讀材料：解分式不等式義出<o.

解根據(jù)實數(shù)的除法法則：同號兩數(shù)相除得正數(shù)，異號兩數(shù)相除得負數(shù)，因此，原不等式可轉(zhuǎn)

化為：①+或②(3x+6：°解不等式組①得無解，解不等式組②得一2<》<1,所以

x—1>0x—1<0

原不等式的解集是-2<x<l.

請仿照上述方法解下面的分式不等式:

2%+5

13.(2021春?三元區(qū)校級月考)先閱讀理解下面的例題，再按要求完成后面的問題:

例：解不等式(x-2)(尤+1)>0.

解：由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負”得：

II：①或x—2<0

②,

x+1<0

解不等式組①，得：x>2；

解不等式組②，得：x<-l.

所以(x-2)(x+l)>0的解集為x>2或.

根據(jù)上述方法解答下列問題：

(1)解一元二次不等式/一4>0；

(2)解不等式衛(wèi)1<0.

2x-3

14.(2021?商河縣校級模擬)閱讀下面材料，根據(jù)要求解答問題：求不等式(2x-1)(尤+3)>0

的解集.

解：根據(jù)“同號兩數(shù)相乘，積為正”可得:①信或②

解不等式組①得：x>-.解不等式組②得x<-3.

2

不等式(2x-l)(x+3)>0的解集為?或x<-3.

請你仿照上述方法解決下列問題：

(1)求不等式(2》-3)(》+1)<0的解集.

L-i

(2)求不等式3口的解集.

%+2

15.（2021秋?龍鳳區(qū)期中）先閱讀理解，再解答問題.

解不等式：^>1

解：把不等式五\>1進行整理'得/pl>。'即公>。-

1—X>0-1—x<0

則有（1）_，或（2）

2%—1>02%—1<0

解不等式組（1）,得

2

解不等式組（2）,得其無解.

所以原不等式的解集為

請根據(jù)以上解不等式的方法解不等式:一<2.

3x+2

16.（2021春?豐臺區(qū)校級期末）已知實數(shù)。是不等于3的常數(shù),解不等式組

'-2x+3聲3①

,小一初+夫〈。②并依據(jù)。的取值情況寫出其解集.

17.（2021春?西秀區(qū)期末）閱讀理解題:

閱讀：解不等式（x+l）（x-3）>0

解：根據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正，原不等式可以轉(zhuǎn)化為：1+1>°或1+1<°

[x-3>0[x-3<0

解不等式組（x+j°得：x>3

[x—3>0

解不等式組+得：%<-1

所以原不等式的解集為：x>3或

問題解決：根據(jù)以上閱讀材料，解不等式（x-2）（尤+3）<0.

18.（2021春?武城縣期末）感知：解不等式立2>0.根據(jù)兩數(shù)相除，同號得正，異號得

x-1

負，得不等式組①卜+2>°,或不等式組②卜+2<0.解不等式組①，得》>1；解不

[x—1>0[x—1<0

等式組②，得x<-2,所以原不等式的解集為x>l或x<-2.

探究：解不等式在於<0.

x+1

應(yīng)用：不等式（x-