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文檔簡介
函數(shù)圖象中的數(shù)形結(jié)合思想
知識(shí)方法精講
1.兩點(diǎn)間的距離公式
兩點(diǎn)間的距離公式:
設(shè)有兩點(diǎn)/(XI,yi),B(X2,>2),則這兩點(diǎn)間的距離為48=J(X]-X2)2+。]-(2)2,
說明:求直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離可直接套用此公式.
2.動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象
函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合,圖象應(yīng)用信息廣泛,通過看圖獲取信息,不僅可以解決生活中
的實(shí)際問題,還可以提高分析問題、解決問題的能力.
用圖象解決問題時(shí),要理清圖象的含義即會(huì)識(shí)圖.
3.一次函數(shù)圖象與幾何變換
直線(kWO,且左,b為常數(shù))
①關(guān)于x軸對(duì)稱,就是x不變,y變成-y:-y=kx+b,即y=-依-6;
(關(guān)于X軸對(duì)稱,橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)是原來的相反數(shù))
②關(guān)于y軸對(duì)稱,就是y不變,x變成-x:y=k(-x)+b,即y=-kx+b;
(關(guān)于y軸對(duì)稱,縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)是原來的相反數(shù))
③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,就是x和y都變成相反數(shù):-y=k(-x)+b,BPy=kx-b.
(關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱,橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù))
4.一次函數(shù)與一元一次不等式
(1)一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系
從函數(shù)的角度看,就是尋求使一次函數(shù)y=Ax+6的值大于(或小于)。的自變量x的取值范
圍;
從函數(shù)圖象的角度看,就是確定直線y=fcc+6在x軸上(或下)方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所
構(gòu)成的集合.
(2)用畫函數(shù)圖象的方法解不等式fcc+6>0(或<0)
對(duì)應(yīng)一次函數(shù)它與x軸交點(diǎn)為(-2,0).
k
當(dāng)左>0時(shí),不等式fcv+b>0的解為:工,不等式fci+bVO的解為:x<-A;
kk
當(dāng)人<0,不等式依+6>0的解為:X<上,不等式依+6<0的解為:x>上.
kk
5.一次函數(shù)與二元一次方程(組)
(1)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系:由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為"+6=0(a,
6為常數(shù),。片0)的形式,所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為:當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí),
求相應(yīng)的自變量的值,從圖象上看,這相當(dāng)于已知直線確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
值.
(2)二元一次方程(組)與一次函數(shù)的關(guān)系
元一次方程一次函數(shù)
表達(dá)式:ax+6y+c=0_'''--匕'
DD
圖象上的坐標(biāo)點(diǎn)am.n),J(
方程的解:x=m?y=n
Um為橫坐標(biāo).n為總坐標(biāo)
m.。*齊實(shí)教(m.n)表示平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)
(3)一次函數(shù)和二元一次方程(組)的關(guān)系在實(shí)際問題中的應(yīng)用:要準(zhǔn)確的將條件轉(zhuǎn)化為
二元一次方程(組),注意自變量取值范圍要符合實(shí)際意義.
6.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題
反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo),把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解,若方程
組有解則兩者有交點(diǎn),方程組無解,則兩者無交點(diǎn).
(2)判斷正比例函數(shù)〉=%x和反比例函數(shù)y=絲在同一直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可總結(jié)為:
X
①當(dāng)k\與fo同號(hào)時(shí),正比例函數(shù)〉=所%和反比例函數(shù)歹=奧■在同一直角坐標(biāo)系中有2個(gè)
x
交點(diǎn);
ko
②當(dāng)h與上異號(hào)時(shí),正比例函數(shù)和反比例函數(shù)y=—當(dāng)在同一直角坐標(biāo)系中有0個(gè)
x
交點(diǎn).
7.二次函數(shù)的圖象
(1)二次函數(shù)(aWO)的圖象的畫法:
①列表:先取原點(diǎn)(0,0),然后以原點(diǎn)為中心對(duì)稱地選取x值,求出函數(shù)值,列表.
②描點(diǎn):在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點(diǎn).
③連線:用平滑的曲線按順序連接各點(diǎn).
④在畫拋物線時(shí),取的點(diǎn)越密集,描出的圖象就越精確,但取點(diǎn)多計(jì)算量就大,故一般在
頂點(diǎn)的兩側(cè)各取三四個(gè)點(diǎn)即可.連線成圖象時(shí),要按自變量從小到大(或從大到小)的順序
用平滑的曲線連接起來.畫拋物線QWO)的圖象時(shí),還可以根據(jù)它的對(duì)稱性,先用
描點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè),再利用對(duì)稱性畫另一側(cè).
(2)二次函數(shù)yuad+fer+c(aWO)的圖象
二次函數(shù)y=ax2+6x+c(aWO)的圖象看作由二次函數(shù)y=o?的圖象向右或向左平移|上_|
2a
個(gè)單位,再向上或向下平移|個(gè)單位得到的.
8.二次函數(shù)的性質(zhì)
2
二次函數(shù)y=ax2+6x+c(aWO)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-3_4ac-b),對(duì)稱軸直線x=-&
2a4a2a
二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象具有如下性質(zhì):
①當(dāng)a>0時(shí),拋物線y=a/+6x+c(aWO)的開口向上,x<-且時(shí),y隨x的增大而減小;
2a-
2
X>一旦時(shí),夕隨X的增大而增大;x=--L時(shí),y取得最小值立*一,即頂點(diǎn)是拋物線
2a2a4a
的最低點(diǎn).
②當(dāng)a<0時(shí),拋物線(QWO)的開口向下,X<-時(shí),y隨工的增大而增大;
2a
2
時(shí),y隨X的增大而減??;x=-M時(shí),y取得最大值,420一,即頂點(diǎn)是拋物線
2a2a4a
的最高點(diǎn).
③拋物線ynad+bx+cCaWO)的圖象可由拋物線>=辦2的圖象向右或向左平移|-生_|個(gè)單
2a
位,再向上或向下平移了a;個(gè)單位得到的.
9.二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
2
二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象是拋物線,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-上一,二c-b一).
2a4a
①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x=-梃成軸對(duì)稱,所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,且都滿足
函數(shù)函數(shù)關(guān)系式.頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn).
②拋物線與》軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的C值.
③拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是(XI,0),(X2,0),則其
對(duì)稱軸為x=紅?2.
2
10.二次函數(shù)圖象與幾何變換
由于拋物線平移后的形狀不變,故。不變,所以求平移后的拋物線解析式通??衫脙煞N方
法:一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出解析式;二是只考慮
平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo),即可求出解析式.
11.拋物線與X軸的交點(diǎn)
求二次函數(shù)y=ax2+6x+c(a,6,c是常數(shù),aWO)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),令y=0,BPa^+bx+c
=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo).
(1)二次函數(shù)〉=62+區(qū)+。(a,b,c是常數(shù),aWO)的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+6x+c=0
根之間的關(guān)系.
△=房-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
△=廬-4℃>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);
△=廬-4℃=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);
△=廬-4℃<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn).
(2)二次函數(shù)的交點(diǎn)式:y=a(x-xi)(x-X2)(a,b,c是常數(shù),aWO),可直接得到拋
物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)(XI,0),(X2,0).
12.二次函數(shù)與不等式(組)
二次函數(shù)y=ax2+6x+c(a>b、c是常數(shù),aNO)與不等式的關(guān)系
①函數(shù)值y與某個(gè)數(shù)值/之間的不等關(guān)系,一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式,解不等式求得
自變量x的取值范圍.
②利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍,可作圖利用交
點(diǎn)直觀求解,也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解.
13.二次函數(shù)綜合題
(1)二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題
解決此類問題時(shí),先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào),然后判斷新的函數(shù)關(guān)系
式中系數(shù)的符號(hào),再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征,則符合所有特征的圖象即
為正確選項(xiàng).
(2)二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用
將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵
是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題,善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí),
并注意挖掘題目中的一些隱含條件.
(3)二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題
從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系,建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建,建立
直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象,然后數(shù)形結(jié)合解決問題,需要我們注意的是自變量及函數(shù)的
取值范圍要使實(shí)際問題有意義.
14.數(shù)形結(jié)合思想
1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直
觀化、生動(dòng)化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì);另外,由于使用
了數(shù)形結(jié)合的方法,很多問題便迎刃而解,且解法簡捷。
2.所謂數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問
題的思想,實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合,常與以下內(nèi)容有關(guān):(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系;(2)函
數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系;(3)線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系;(4)所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯
的幾何意義。如等式。
3.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題,可起到事半功倍的效果,數(shù)形
結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。
4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛,常見的如在解方程和解不等式問題中,在求函數(shù)的值域、
最值問題中,運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想,不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑,而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理,
大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越,要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí),要
爭(zhēng)取胸中有圖見數(shù)想圖,以開拓自己的思維視野。
一.選擇題(共5小題)
1.(2021秋?莊河市期末)已知°片0,函數(shù)y=ax與y=-ox?+。在同一直角坐標(biāo)系中的大
xx
C.D.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì);正比例函數(shù)的性質(zhì)
【分析】分。>0和“<0兩種情況分類討論即可確定正確的選項(xiàng).
【解答】解:當(dāng)。>0時(shí),函數(shù)y=ox的圖象位于一、三象限,了=-辦2+。的開口向下,交
y軸于正半軸,/選項(xiàng)符合;
當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)y="的圖象位于二、四象限,了=-辦2+。的開口向上,交y軸于負(fù)半軸,
沒有符合的選項(xiàng).
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正比例函數(shù)的圖象及二次函數(shù)的圖象的知識(shí),解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例系
數(shù)的符號(hào)確定其圖象的位置,難度不大.
2.(2020秋?青島期末)如圖,函數(shù)/=依+6(左片0)與夕='(相片0)的圖象交于點(diǎn)/(2,3),
X
5(-6,-1),則不等式履+6>'的解集為()
A.x<-6或0cx<2B.-6<x<0或x>2C.x>3或一l〈x〈0D.x>2
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題
【分析】不等式區(qū)+6>'的解集,在圖象上即為一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方
X
時(shí)的自變量的取值范圍.
【解答】解:?.?函數(shù)y=H+6(左片0)與了=%(〃-0)的圖象相交于點(diǎn)/(2,3),5(-6,-1),
二.不等式履+6〉%的解集為:x>2或-6Vx<0,
x
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)
用.
3.(2021秋?金安區(qū)期中)如圖,在矩形中,48=4,/。=8,點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),
以每秒1個(gè)單位的速度沿著3f4f。運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速
度沿著CfDf運(yùn)動(dòng),其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),設(shè)59加=5,時(shí)間
為[s),則S與f之間的函數(shù)圖象大致為()
【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象
【分析】利用分類討論的思想方法分四種情況討論解答:①(MW,②2<f<4,③4寸力,
④6<會(huì);依據(jù)?的取值范圍畫出對(duì)應(yīng)的圖形,求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式,根據(jù)解析式的大致
圖象即可得出結(jié)論.
【解答】解:①當(dāng)時(shí),此時(shí),點(diǎn)”在48上,點(diǎn)N在CO上,
由題意得:CN=2t,
DN=CD-CN=4-2t.
.?.S=;DN.NO=;x(4-2/)x8=16-87.
???0,
此時(shí)函數(shù)的圖象是以(0,16)和(2,0)為端點(diǎn)的線段;
②當(dāng)2<,<4時(shí),此時(shí)點(diǎn)M在48上,點(diǎn)N在4。上,如圖,
B
由題意得:DN=2t—4,MB=t.
AM=AB-BM=4-t,
11
...S.ON./M=Q-4)(4-)=-r9+6"8=-3)29+1.
2</<4,
.?.此時(shí)函數(shù)的圖象為開口向下,對(duì)稱軸為直線y3的拋物線的一段;
③當(dāng)4vb時(shí),此時(shí)點(diǎn)",N均在線段/。上,
此時(shí)s=0,函數(shù)圖象為x軸上以(4,0)和(6,0)為端點(diǎn)的線段;
④當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)M在線段4D上,點(diǎn)N在線段48上,如圖,
:.DM=AD-AM=U-t.
11,
:.S=-DM-AN=-(]2-。⑵-12)=-〃+18-72.
6<,
.?.當(dāng)t=8時(shí),S=8.
二.此時(shí)的函數(shù)的圖象是拋物線S=-產(chǎn)+1&-72上以(6,0)和(8,8)為端點(diǎn)的一段.
綜上,符合上述特征的函數(shù)圖象為8,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)的圖形,利用分類討論的方法求出相應(yīng)的函數(shù)的解析
式是解題的關(guān)鍵.
4.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的思想方法,試運(yùn)用這一思想方法確定函數(shù)y=/+l與y=3的
X
交點(diǎn)的橫坐標(biāo)X。的取值范圍是()
A.0<x0<1B.1<x0<2C.2<x0<3D.-1<x0<0
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的圖象
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系,然后利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出函數(shù)V=Y+1與的圖象,即可
得解.
【解答】解:如圖,函數(shù)了=Y+i與>=3的交點(diǎn)在第一象限,橫坐標(biāo)七的取值范圍是
X
1<x0<2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象,反比例函數(shù)圖象,準(zhǔn)確畫出大致函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵,
此類題目利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更加簡便.
5.如圖,直線>=履+6交坐標(biāo)軸于/(-3,0)、8(0,5)兩點(diǎn),則不等式一區(qū)一6<0的解集為(
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式
【分析】首先根據(jù)不等式的性質(zhì)知,不等式-6<0的解集即為不等式b+6>0的解集,
然后由一次函數(shù)的圖象可知,直線>=履+6落在x軸上方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值,即為不
等式質(zhì)+6>0的解集,從而得出結(jié)果.
【解答】解:觀察圖象可知,當(dāng)x>-3時(shí),直線y=fcc+6落在x軸的上方,
即不等式kx+b>0的解集為x>-3,
*.*—kx—6<0
:.kx+b>Q,
-kx-b<0解集為x>-3.
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與不等式(組)的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.解決此類問題
關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形,注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(交點(diǎn)、原點(diǎn)等),做到數(shù)形結(jié)合.
二.填空題(共17小題)
6.(2020秋?張店區(qū)期末)如圖,直線y=辦+6與x軸交于N點(diǎn)(4,0),與直線y=交于2
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次方程;一次函數(shù)的性質(zhì)
【分析】由圖象可知直線y=ox+6與直線>=〃式的交點(diǎn)是2(2,〃),則可求方程的解.
【解答】解:?.?3(2,〃)是直線y=ax+6與直線y=的交點(diǎn),
二一元一次方程"+6=mx的解為x=2,
故答案為:x=2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程,熟練掌握一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系,數(shù)
形結(jié)合解題是關(guān)鍵.
7.(2021秋?崇川區(qū)校級(jí)月考)如圖,若反比例函數(shù)必=?與一次函數(shù)%="+6的圖象交
于/(2,%)、兩點(diǎn),則不等式巾+6>4的解集為_-l<x<0或x>2_.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo),即可得出不等
式的解集.
【解答】解:觀察函數(shù)圖象,發(fā)現(xiàn):當(dāng)-2<x<0或x>l時(shí),一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖
象的下方,
貝IJ不等式ax+6>—的解集是一l<x<0或x>2.
X
故答案為:-l<x<0或x>2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩函數(shù)圖象的上
下位置關(guān)系解不等式.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時(shí),根據(jù)兩函數(shù)圖象的
上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)得出不等式的解集是關(guān)鍵.
8.(2021秋?天長市月考)已知,在同一坐標(biāo)系中二次函數(shù)必="2+6x+c與一次函數(shù)
+〃的圖象如圖,它們相交于點(diǎn)8(0,2),C(3,8),拋物線的頂點(diǎn)。(1,0),直線8c交
x軸于點(diǎn)A.
(1)當(dāng)必<%時(shí),x的取值范圍是—0<x<3—.
(2)當(dāng)弘力>0時(shí),x的取值范圍是.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式(組);拋物線與x軸的交點(diǎn)
【分析】(1)觀察圖象,即可得出答案;
(2)先求出點(diǎn)/的坐標(biāo),再結(jié)合圖象,即可得出答案.
【解答】解:(1)?.?在同一坐標(biāo)系中二次函數(shù)必=o%2+bx+c與一次函數(shù)%=/x+"的圖象
如圖,它們相交于點(diǎn)3(0,2),C(3,8),
二當(dāng)功<%時(shí),x的取值范圍是0<x<3,
故答案為:0<x<3.
(2)?.?一次函數(shù)%KS+”的圖象經(jīng)過點(diǎn)3(0,2),C(3,8),
{n=\
[3m+〃=4
解得:
n=\
y2=x+l,
當(dāng)y=0時(shí),x+l=O,
解得:x=-1,
必%>0,
yi>%異號(hào),
?在同一坐標(biāo)系中二次函數(shù)必-ax2+6x+c與一次函數(shù)為=mx+n的圖象相交于點(diǎn)8(0,2),
C(3,8),拋物線的頂點(diǎn)。(1,0),直線3C交x軸于點(diǎn)N(-l,0),
.,.當(dāng)弘%>0時(shí),x的取值范圍是x>-l且xwl.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì),二次函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系,一次函數(shù)圖象和
性質(zhì),學(xué)會(huì)觀察圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵.
9.(2021秋?黔西南州期中)如圖,拋物線y=f在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)(橫坐標(biāo)、縱
坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))依次為4,4,4,…4,將拋物線>=/沿直線/;>=x向上平移,
得到一系列拋物線,且滿足條件:①拋物線的頂點(diǎn)“廠M2,M3,都在直線y=x
上;②拋物線依次經(jīng)過點(diǎn)4,4,4,…,4,則頂點(diǎn)“2021的坐標(biāo)為—(4041,4041)
L
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換;二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;一次函數(shù)圖象與幾何變
換;規(guī)律型:點(diǎn)的坐標(biāo);二次函數(shù)的性質(zhì)
【分析】根據(jù)拋物線的解析式結(jié)合整數(shù)點(diǎn)的定義,找出點(diǎn)4的坐標(biāo)為(〃,/),設(shè)點(diǎn)的坐
標(biāo)為(a,°),則以點(diǎn)M“為頂點(diǎn)的拋物線解析式為y=(x-a)2+a,由點(diǎn)4的坐標(biāo)利用待定系
數(shù)法,即可求出。值,將其代入點(diǎn)"”的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.
【解答】解:???拋物線歹=尤2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)(橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))
依次4,^2,,...,4“,...,
.,.點(diǎn)4的坐標(biāo)為(〃,〃2).
2
設(shè)點(diǎn)Mn的坐標(biāo)為(a,a),則以點(diǎn)Mn為頂點(diǎn)的拋物線解析式為y=(x-a)+a,
?.,點(diǎn)4,(凡"2)在拋物線y=(x-a)2+a上,
n2=(M-a)2+a,
解得:a=2〃—1或a=0(舍去),
Mn的坐標(biāo)為(21,21),
:.M2O2l的坐標(biāo)為(4041,4041).
故答案為:(4041,4041).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)
法求二次函數(shù)解析式,根據(jù)點(diǎn)4的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出a值是解題的關(guān)鍵.
10.(2021秋?宜州區(qū)期中)已知二次函數(shù)〉=亦2+酗+。的圖象如圖所示,貝IJ方程
ax2++c=0的兩根之和是2
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn);根與系數(shù)的關(guān)系
【分析】由二次函數(shù)的圖象可知了="2+法+。=0(0w0)和工軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為-1和3,
進(jìn)而可求出方程ax?+6x+c=0的兩根之和.
【解答】解:由圖象可知y=ax?+bx+c=O(aW0)和x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為-1和3,
方程ax?+bx+c=Q的兩根之和為-1+3=2,
故答案為:2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn),熟知拋物線與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的
關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.
11.(2021秋?臺(tái)州期中)如圖,“心”形是由拋物線夕=-/+6和它繞著原點(diǎn)O,順時(shí)針旋
轉(zhuǎn)60。的圖形經(jīng)過取舍而成的,其中點(diǎn)C是頂點(diǎn),點(diǎn)N,8是兩條拋物線的兩個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)£,
F,G是拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),則48=_6G_,FG=,CE=.(寫出其中
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì);二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;二次函數(shù)圖象與幾何變換;拋物
線與X軸的交點(diǎn)
【分析】如圖1,連接OD,過點(diǎn)3作瓦/10C于點(diǎn)8,設(shè)比/,則03=2°,可得2(°,風(fēng)),
根據(jù)拋物線>=-爐+6經(jīng)過點(diǎn)8,建立方程可求得N3;由拋物線了=-/+6繞著原點(diǎn)。,
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。的圖形與x軸交于點(diǎn)G,ZBOG=60°,可得G(26,0),再令y=0,可
求得尸,0),即可求出尸G;如圖2,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0J),設(shè)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)前的點(diǎn)為
則?!?/,過點(diǎn)M作血軸于點(diǎn)N,可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1-/,-萬。,代入拋物線
>=_f+6,即可求得答案.
【解答】解:如圖I,連接?!?,過點(diǎn)2作8〃_L0C于點(diǎn)”,
?.?拋物線了=-f+6和它繞著原點(diǎn)。,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。的圖形交于/、3兩點(diǎn),
ZCOD=60°,C、。關(guān)于直線對(duì)稱,
ZCOB=ZBOD=30°,
■:ZOHB=90°,
OB=2BH,設(shè)BH=a,貝U=2a,
OH—VOB2—BH2—-J(2a)2—a2=\[?>a,
B(a,s/3a),
?.?拋物線了=-V+6經(jīng)過點(diǎn)8,
s/3u=—a~+6,
解得:0=6或一,
B(也,3),/(-2百,-6),
AB=7(-2V3-73)2+(-6-3)2=60,
?.?拋物線了=-d+6繞著原點(diǎn)。,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。的圖形與x軸交于點(diǎn)G,ZBOG=60°,
OG=OB=7(V3-0)2+(3-0)2=2V3,
GQ6,0),
在y=-x2+6中,令y=0,貝!|x=±V6,
/.F(―,0)f
FG=2y/3-(-V6)=2用#,
如圖2,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,。,設(shè)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)前的點(diǎn)為M,則=
過點(diǎn)M作MN1x軸于點(diǎn)N,
ZMOE=60°,AMON=30°,
1h
:.MN=—t,ON=—t,
22
.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(^-t,--t),
二,點(diǎn)M《t,—g。在拋物線>=—Y+6上,
--r=-(—02+6,
22
解得:”上工亙,
3
.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1一,),
???C(0,6),
,「口,1-V73歷+17
..CE—6-------------------------,
33
故答案為:673,2V3+V6,阮+17.
圖2
圖1
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),兩點(diǎn)之間距離公式,直角三角形
性質(zhì),解題關(guān)鍵是理解題意,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想.
4
12.(2021?福州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,己知點(diǎn)尸(見2-加),點(diǎn)。(〃,一),則線段尸。的
長度的最小值是—亞
【考點(diǎn)】勾股定理;兩點(diǎn)間的距離公式
【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可知點(diǎn)P在直線y=-x+2上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)。在雙曲線夕=±上運(yùn)動(dòng),則
根據(jù)圖象的對(duì)稱性可知:作直線y=x交圖象與尸、。點(diǎn),此時(shí)尸。最小,即可解決問題.
【解答】解:;尸(見2-加),點(diǎn)0(〃,3),
4
點(diǎn)尸在直線y=-x+2上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)。在雙曲線》=一上運(yùn)動(dòng),
根據(jù)圖象的對(duì)稱性可知:作直線y=x交圖象與尸、0點(diǎn),此時(shí)尸。最小,
.?.0(2,2),尸(1,1),
尸。最小值為亞,
故答案為:41■
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征,反比例函數(shù)和一次
函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性等知識(shí),利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.
13.(2021秋?江漢區(qū)校級(jí)月考)拋物線的部分圖象如圖所示,則當(dāng)夕<0時(shí),x的取值范圍
是—x<-l或x>3—.
x
【考點(diǎn)】拋物線與X軸的交點(diǎn);二次函數(shù)的性質(zhì)
【分析】由函數(shù)圖象可知拋物線的對(duì)稱軸為X=l,從而可得到拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)
坐標(biāo)為(-1,0),y<0,找出拋物線位于X軸下方部分X的取值范圍即可.
【解答】解:根據(jù)函數(shù)圖象可知:拋物線的對(duì)稱軸為x=l,拋物線與x軸一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)
為(3,0),
由拋物線的對(duì)稱性可知:拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).
y<Q,
x<—1或x>3.
故答案為:x<-l或x>3.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)與不等式的關(guān)系,根據(jù)函數(shù)圖象確定出拋物線與x軸兩
個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
14.(2021秋?姑蘇區(qū)期中)如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)/、C分別在y軸和x軸上,
4B//X軸,cos3=g.點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),以lc〃?/s的速度沿邊A4勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)。從點(diǎn)/出
發(fā),沿線段/O-OC-C5勻速運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P與點(diǎn)。同時(shí)出發(fā),其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),另一點(diǎn)也
隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(s),A5P。的面積為S(q"2),已知S與/之間的函數(shù)
關(guān)系如圖②中的曲線段OE、線段E尸與曲線段尸G.以下說法正確的是(填序號(hào))
①點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)速度為3"i/s;
②點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,18);
Q
③線段EF段的函數(shù)解析式為S=-t-,
2
④曲線尸G段的函數(shù)解析式為S=-,/+%;
⑤若NBPQ的面積是四邊形OABC的面積的,貝時(shí)間f=/或公”士普.
圖①圖②
【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象
【分析】結(jié)合函數(shù)圖象得出當(dāng)3秒時(shí),BP=3,此時(shí)ASP。的面積為13.50小,進(jìn)而求出NO
為9cm,即可得出。點(diǎn)的速度,進(jìn)而求出的長即可,進(jìn)而判斷①②;過點(diǎn)。作四_L48
于點(diǎn)根據(jù)三角形的面積公式可表達(dá)此時(shí)的S,進(jìn)而判斷③;畫出圖形可得出依=/,
?9
50=30-3/,則0M=1(30-3/)=18-1/,求出即可面積可判斷④;首先得出ASP0的面
積,分兩種情形分別列出方程即可解決問題進(jìn)而判斷⑤.
【解答】解:由題意可得出:當(dāng)3秒時(shí),A3P0的面積的函數(shù)關(guān)系式改變,則0在/。上運(yùn)
動(dòng)3秒,
當(dāng)3秒時(shí),BP=3,此時(shí)ASP。的面積為13.5c/,
AO為9cm,
.?.點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為:9+3=3(CM/S),故①正確;
當(dāng)運(yùn)動(dòng)到5秒時(shí),函數(shù)關(guān)系式改變,則CO=6cw,
4
,/cosB=一,
5
二.可求出N8=6+12=18(5。,
.?.5(18,9);故②錯(cuò)誤;
當(dāng)點(diǎn)。在OC上時(shí),如圖,?!盻1/8于點(diǎn)出,
y(cm)
如圖,PB=t,50=30—3/,過點(diǎn)。作于點(diǎn)
39
貝I」QM=W(30_3,)=18_?,
ioo
二?SAPS。=2*18-《,)=_歷?+%(5JJO),
Q
即曲線尸G段的函數(shù)解析式為:S=--t2+9t;故④正確;
10
.?.S.3=;(6+18)X9=108,
,-.5=-X108=12,
9
當(dāng)0<,<3時(shí),S=-t2,S=12時(shí),1=2后或—2后(舍棄),
2
9
當(dāng)5</<10時(shí),12=--/+%;;
10
解得彳J5+VI而或15-麗(舍棄),
33
綜上所述:1=2血或公”士咨,A5P。的面積是四邊形043c的面積的:.故⑤錯(cuò).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象以及三角形,面積求法和待定系數(shù)法求函數(shù)解
析式等知識(shí),具體的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)以分類討論的思想思考問題,學(xué)會(huì)理由方程的思想解決問題,
屬于中考?jí)狠S題.
15.(2021春?花都區(qū)期末)已知一次函數(shù)>=履+6的圖象如圖所示,則關(guān)于x的不等式
【考點(diǎn)】■次函數(shù)與元一次不等式;一次函數(shù)的圖象
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和一次函數(shù)的性質(zhì),可以得到不等式日+A4的解集,本題得以解決.
【解答】解:由圖象可得,
當(dāng)y=l時(shí),夕=丘+6對(duì)應(yīng)的自變量x的值是1,該函數(shù)圖象y隨x的增大而增大,
不等式Ax+A耳的解集為,
故答案為:.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式、一次函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答
問題是解答本題的關(guān)鍵.
16.(2021?阜寧縣二模)已知一次函數(shù)y=+6的圖象如圖所示,則關(guān)于x的不等式
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式;一次函數(shù)的圖象
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到6=4后,k<0,解不等式得到答案.
【解答】解:由題意得,一次函數(shù)>=履+6的圖象經(jīng)過(-4,0),左<0,
-4k+6=0,
/.b=4k,
不等式可化為:2丘-4左<0,
解得,x>2,
故答案為:x>2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)與不等式,掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一元一次不
等式的解法是解題的關(guān)鍵.
17.(2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期末)如圖,若直線y=丘+6經(jīng)過4,8兩點(diǎn),直線y=經(jīng)過
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式
【分析】觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x>1時(shí),直線y=kx+b都在直線y=mx的上方,即丘+6>mx.
【解答】解:當(dāng)x>l時(shí),kx+b>mx,即關(guān)于x的不等式履+6>/nr的解集為x>1.
故答案為x>l.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式從函數(shù)的角度看,就是尋求使一次函數(shù)
>="+6的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍;從函數(shù)圖象的角度看,就是確
定直線>=履+6在x軸上(或下)方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.
18.(2020?浙江自主招生)如圖,拋物線>=!/一7》+竺與x軸交于點(diǎn)4,B,把拋物線
22
在x軸及其下方的部分記作G,將G向左平移得。2,與x軸交于點(diǎn)3,D.若直線
17Q5
y=—x+/與G,共有3個(gè)不同的交點(diǎn),則〃7的取值范圍是―—上<加<-±_.
282
【考點(diǎn)】拋物線與X軸的交點(diǎn);一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象與幾何變換;二
次函數(shù)的性質(zhì)
【分析】先由題意得關(guān)于X的一元二次方程,從而求得點(diǎn)3和點(diǎn)/的坐標(biāo);再得出平移后的
解析式;然后分兩種情況得出臨界值:當(dāng)直線y+加過8,有2個(gè)交點(diǎn);當(dāng)直線
2
>=;》+〃?與拋物線。2相切時(shí),有2個(gè)交點(diǎn);最后根據(jù)圖形得出符合題意的取值范圍即可.
【解答】解:???拋物線=、竺與軸交于點(diǎn)/,
y2-7x+XB,
22
145
.,.令一X2-7XH----=0,解得:玉=5,x=9
222f
.-.5(5,0),4(9,0).
二.G向左平移4個(gè)單位長度得c2,
的解析式為:J=1(X-3)2-2,
當(dāng)直線y=+m過B,有2個(gè)交點(diǎn),
八55
0=—+冽,m=——;
22
當(dāng)直線y=+與拋物線。2相切時(shí),有2個(gè)交點(diǎn),
11、2
TYI——(x-3)-2,
x2—7x+5—2m—0,
v相切,
.?.△=49—20+8冽=0
295
-----<m<——;
82
故答案為:-竺■<冽
82
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線與'軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)圖象與幾何變換的知識(shí),解答本
題的關(guān)鍵是正確地畫出圖形,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題,此題有一定的難度.
19.(2021秋?揭東區(qū)期末)如圖,直線4:y=x+2與直線(:了=履+6相交于點(diǎn)/機(jī),4),
則方程組卜二:+:的解是
[y=kx+b
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與二元一次方程(組)
【分析】由兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(私4),先求出加,再求出方程組的解即可.
【解答】解:?.?尸》=2經(jīng)過尸(冽,4),
4=加+2,
:.m=2,
二.直線4:y=x+2與直線4:y=稅+J相交于點(diǎn)尸(2,4),
x=2
y=4
x=2
故答案為
y=4
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的交點(diǎn)與方程組的解的關(guān)系、待定系數(shù)法等知識(shí),解題的關(guān)鍵是
理解方程組的解就是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),屬于中考??碱}型.
20.(2021秋?青島期末)如圖,一次函數(shù)y=+6與y=x+2的圖象相交于點(diǎn)尸(加,4),則
方程組/=:+:的解是—
[y=kx+b
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與二元一次方程(組)
【分析】由兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(私4),先求出力,再求出方程組的解即可.
【解答】解:,.?y=x+2的圖象經(jīng)過尸(加,4),
/.4=m+2,
..IYI=2,
.\一次函數(shù)〉=履+6與》=;(:+2的圖象相交于點(diǎn)尸(2,4),
>=:+2八的解是x=2
二方程組
y=kx+b>=4
故答案為.
1?=4
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的交點(diǎn)與方程組的解的關(guān)系、待定系數(shù)法等知識(shí),解題的關(guān)鍵是
理解方程組的解就是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).
21.(2021春?營口期末)如圖,直線必=x+6與%=丘-1相交于點(diǎn)尸,則關(guān)于x的不等式
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式
【分析】觀察函數(shù)圖象得到,當(dāng)x>T,函數(shù)y=x+6的圖象都在函數(shù)^=米-1圖象的上方,
于是可得到關(guān)于x的不等式x+6>fcc-l的解集.
【解答】解:當(dāng)x>T,函數(shù)夕=x+6的圖象在函數(shù)y=Ax-l圖象的上方,
所以關(guān)于x的不等式x+6>kx-\的解集為x>-1.
故答案為x>-l.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式:從函數(shù)的角度看,就是尋求使一次函數(shù)
>=赤+6的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍;從函數(shù)圖象的角度看,就是確定直
線>=依+6在x軸上(或下)方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.
22.(2021春?雨花區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=丘和y=-x+6的圖象,如
圖所示,則不等式fcv<-x+6的解集為x<1.
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象;一次函數(shù)與一元一次不等式
【分析】結(jié)合圖象,寫出直線>=依在直線y=-x+6下方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可.
【解答】解:如圖所示:,一次函數(shù)y=Ax和y=-x+6的圖象交點(diǎn)為(1,2),
二.關(guān)于x的一元一次不等式fcc<-x+6的解集是:x<l,
故答案為:x<l.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式,利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.
三.解答題(共6小題)
23.(2021?和平區(qū)一模)如圖,拋物線>+*-豆,交>軸于點(diǎn)/,交x軸于2(-1,0),
C(5,0)兩點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為。,連接/C,CD.
(1)求直線/C的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo);
(3)過點(diǎn)。作x軸的垂線交AC于點(diǎn)G,點(diǎn)H為線段CD上一動(dòng)點(diǎn),連接GH,將NDGH沿
翻折至ijAGM?(點(diǎn)R,點(diǎn)G分別位于直線CD的兩側(cè)),GR交CD于點(diǎn)K,當(dāng)AGHK為
直角三角形時(shí).
①請(qǐng)直接寫出線段J/K的長為_,—;
②將此RtAGHK繞點(diǎn)〃逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為戊(0。<£<180。),得到AMW,若直線
分別與直線CD,直線。G交于點(diǎn)P,Q,當(dāng)ADPQ是以尸。為腰的等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接
寫出點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為—.
備用圖
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題
【分析】(1)先根據(jù)拋物線交y軸于點(diǎn)/,求出點(diǎn)/坐標(biāo),再運(yùn)用待定
系數(shù)法求直線4C的函數(shù)表達(dá)式即可;
(2)將8(-1,0),。(5,0)代入拋物線〉=獷2+/-b求出0,b,即可得拋物線解析式,
運(yùn)用配方法將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)①根據(jù)AG"為直角三角形,且點(diǎn)R,點(diǎn)G分別位于直線。的兩側(cè),可分三種情況:
ZGHK=90°或ZHGK=90°或ZGKH=90°,經(jīng)分析僅有ZGKH=90°符合題意,過點(diǎn)H作
血_1。6于點(diǎn)£,則HL=HK,先證明AGOKsACD尸,再運(yùn)用面積法即可求出答案;
②由AZ)尸。是以P。為腰的等腰三角形,可分兩種情況:PQ=DQ或PQ=DP,分別求出
點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)即可.
【解答】解:(1)設(shè)直線NC的函數(shù)表達(dá)式為:y=kx+c,
?.,拋物線卜=辦2+6x-§,交y軸于點(diǎn)/,
...4(0,_爭(zhēng),
將/(0,-三),C(5,0)分別代入〉=依+£:,
20
得:,二一丁,
5左+c=0
解得:9,
20
c=---
I9
直線4c的函數(shù)表達(dá)式為:=,
99
(2)???拋物線》="2+氏一三經(jīng)過5(7,0),。(5,0)兩點(diǎn),
720八
a-b-----=0
9
20
25。+56——=0
9
a=——
解得:9
6」
9
,拋物線的解析式為尸學(xué)9得,
416204,2,
?/y=—x2-----x------=—(x-2)-4,
9999
二頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,-4);
(3)①如圖1,?.?△G”為直角三角形,且點(diǎn)R,點(diǎn)G分別位于直線。的兩側(cè),
ZGHK=90°或ZHGK=90°或ZGKH=90°,
當(dāng)NGE/K=90。時(shí),NGHD=90。,點(diǎn)R落在直線。C上,不符合題意,
當(dāng)ZHGK=90。時(shí),ZDGH=ZHGK=90。,點(diǎn)尺,點(diǎn)G位于直線CD的同側(cè),不符合題意,
當(dāng)NGK〃=90。時(shí),點(diǎn)R,點(diǎn)G分別位于直線CD的兩側(cè),符合題意,
ZGKH=90°,ZDGH=ARGH,
過點(diǎn)H作HL工DG于點(diǎn)L,則HL=HK,
?1?D(2,-4),DG_Lx軸,
4
,G(2,_§),"2,0),
48
r>G=---(-4)=-,C尸=5-2=
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