乘法公式的四種題型大全（解析版）-2021-2022學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題

專題06乘法公式的四種題型大全

類型一、平方差公式與幾何圖形綜合

例1.乘法公式的探究及應(yīng)用.

圖1圖2

(1)如圖1可以求出陰影部分的面積是;

(2)如圖2若將陰影部分裁剪下來,重新拼成一個長方形，它的寬是，長是，面積是

(3)比較圖1、圖2的陰影部分面積，則可以得到乘法公式；(用含。，b的式子表示)

(4)小明展示了以下例題：計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1.

解：原式=(2-1)(2+1乂22+1乂24+1)(28+1)(*+1)+1=Q2—1)(2?+1)(2,+1)啰+1)(*+1)+1

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要學(xué)會觀察，嘗試從不同角度分析問題，這樣才能學(xué)會數(shù)學(xué).請計算：

2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1.

【答案】(1)a2-b2；(2)a-b,a+b,(a+b)(a-b)；(3)a2-b2-(a+fa)(a-b)；(4)332

【詳解】解：(1)大的正方形邊長為a,面積為a2,小正方形邊長為b,面積為按，

因為陰影部分的面積為大的正方形面積減去小的正方形面積，陰影部分面積=。2-按，故答案為：標(biāo)》2；

(2)拼成矩形的長是a+b,寬是a-b,面積是(a+b)(a-b),

故答案為：a-b,a+b,(a+b)(a-b)；

(3)因為圖1的陰影部分與圖2面積相等，所以。2一按=(a+b)(a-b),故答案為：a2-b2=(a+b)(a-b)；

(4)原式=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1

=(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1

=(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)+1

=(38-1)(38+1)(316+1)+1

=(316-1)(316+1)+1=332-1+1=332.

故答案為：332.

【變式訓(xùn)練1］下面的圖是由邊長為a的正方形剪去一個邊長為b的小正方形后余下的圖形.把圖剪開后,

再拼成一個長方形，可以用來驗證公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

將播示意圖

（1）（操作）用兩種方法對所給圖進(jìn)行剪拼.要求：①在原圖上畫剪切線（用虛線表示）;

②拼成四邊形，在右側(cè)畫出示意圖；③在拼出的圖形上標(biāo)出已知的邊長.

（剪切方法一）

博將示音囪-

（剪切方法二）

（2）（驗證）選擇其中一種拼法寫出驗證上述公式的過程.

（3）（延伸）給你提供數(shù)量足夠多的長為。，寬為b的長方形，請你通過構(gòu)圖來驗證恒等式:

(a-b)2=(a+b)2-4ab.(畫出示意圖)

b

a

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）見詳解

【詳解】解：（1）剪切方法一:

b

(2)利用圖①證明，

因為拼接前后的兩個圖形面積相等，拼接前的面積=。2-按，拼接后的面積="b)(a+b),

所以a2-b2—(a-b)(。+b)；

(3)如圖所示：

上述圖形的面積，可以驗證：(a-6)2=(a+b)2-4ab.

【變式訓(xùn)練2】從邊長為。的正方形剪掉一個邊長為6的正方形(如圖1),然后將剩余部分拼成一個長方形

(如圖2).

圖1圖2

(1)上述操作能驗證的等式是(請選擇正確的一個).

A.a2-2ab+b2=(tz-Z?)2

B.Q2―/=(Q+6)(〃

C.a1+ab=a^a+b^

(2)若——9/=12,x+3y=4f求％—3y的值；

⑶計算:(TmT＞，擊，就4

【答案】(1)B；(2)x-3y=3；(3)瑞

【詳解】解：(1)根據(jù)陰影部分面積相等可得：a2-b2=(a+b)(a-b),

上述操作能驗證的等式是B,故答案為：B；

(2)vx2~9y2-(x+3y)(x-3y)=12,x+3y=4：.x-3y=3

20202Jc20212J

1K1131425320222020

----1--------=—X—X—X—X—X—X…X----x----

2021A2021J22334420212021

220212021

【變式訓(xùn)練3】(1)如圖1所示，若大正方形的邊長為。，小正方形的邊長為b,則陰影部分的面積是

;若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2所示的一個長方形，則它的面積是

圖1圖2

(2)由(1)可以得到一個乘法公式是

(3)利用你得到的公式計算：20212-2022x2020.

【答案】(1)a2-b2,(a+b)(o-b)；(2)(o+b)(a-b)=a2-b2；(3)1

【詳解】解：(1)圖①陰影部分的面積為：。2一按，圖②長方形的長為a+b,寬為a-b,所以面積為：(a+b)

(o-b),故答案為：a2-b2,(o+b)(o-b)；

(2)由(1)可得：(o+b)(a-b)=a2-b2,故答案為：(o+b)(o-b)=a2-b2；

(3)20212-2022X2020=20212-(2021+1)(2021-1)=20212-20212+l=l.

類型二、完全平方公式變形

例.已知(x+y)2=25,(x-y)2=9,求孫與d+f的值.

【答案】xy=4,x2+y2=H

【詳解】???(x+?=25,(x-?=9,

(x+?-(x-y)2=4xy=25-9=16,

xy=4,

???(x+?+(x-?=2(x2+/)=25+9=34,

/.x2+y2=17.

【變式訓(xùn)練1】已知|5-町|+(x+y-7)z=0,求的值.

【答案】34

【詳解】解：根據(jù)非負(fù)性，得：5-孫=0,x+y-7=0,

*1-xy=5,x+y=7,x?+_xy=(x+y)~—3xy-49—15=34,

x2+/-中的值是34.

【變式訓(xùn)練2】已知。+6=3,1=2,求(11/+/的值；(2)。的值.

【答案】(1)a2+b2=5-(2)a-b=+l.

【詳解】解：(1)?.?。+6=3,。6=2,又???(a+6)2=/+2.6+62,

.-.a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2x2=5；

(2)?-,(a-b)2=a2-lab+b2=5-2x2=l,a-b=±1.

【變式訓(xùn)練3】若把代數(shù)式x?-2x-2化成(x+機(jī))，左的形式，其中加，左為常數(shù)，則機(jī)+左=.

【答案】-4

22

【詳解】解：■.-X-2X-2=X-2X+1-3=(x-1)2-3,k=-3,

；.m+k=-4.故答案為：-4.

類型三、完全平方公式字母的值

例L當(dāng)k取何值時，100/一加+49/是一個完全平方式？

【答案】人=±140

【詳解】解：rl00x2-kxy+49y2是一個完全平方式，-k=±2xl0x7,

.?.k=±140,

即當(dāng)k=±140時，100x2_kxy+49y2是一個完全平方式.

【變式訓(xùn)練1】如果V+6x+左2是一個完全平方公式，求k的值.

【答案】k=±3.

【詳解】由題意得：X2+6x+/^=(%+3)2,即/+6x+k2=/+6x+9,則左2=9

解得k-+3.

【變式訓(xùn)練2】若一個數(shù)能表示成某個整數(shù)的平方的形式，則稱這個數(shù)為完全平方數(shù)，完全平方數(shù)是非負(fù)

數(shù).例如：0=02,1=12,4=22,9=32,16=42,25=52,36=62,121=112....

(1)若28+2叫2"是完全平方數(shù),求n的值.

(2)若一個正整數(shù)，它加上61是一個完全平方數(shù)，當(dāng)減去11是另一個完全平方數(shù)，寫所有符合的正整

數(shù).

【答案】(1)"=4或n=10；(2)所有符合的正整數(shù)是20、60或300.

【詳解】(1)解：■.-a2+b2+2ab=(a+b)2,二若28=標(biāo),210=b2,

則a=23b=25,2n=2ab=2w,解得：n=10

若28=。2,2w=2ab,所以b=25,

則2"=b2=2”,解得:n=10,

若21()=。2,28=2。3所以b=22,則2"=b2=24,解得：n=4,

所以n=4或n=10；

(2)解：設(shè)正整數(shù)為x,則x+61=a2,x-U=b2(a>b,且a,b是正整數(shù)),

貝IJ。2-匕2=*+61-x+ll=72,故(a+b)(a-b)=72,

由于a+b與a-b同奇偶，

故;\a+b=lS\a+b=36\a+b=12

入/或入?；蛘呷腱?，

[a-b=4[a-b=2[a-b=6

當(dāng)《[〃+b=18(a=11

,A時,解得：\k,."=爐+11=60；

[a-b=4\b=!

當(dāng);\a+b=36[a=19

,c時，解得：\,“=按+11=300；

[a-b=2S=17

當(dāng),\a+b=\2[a=9

,＜時，解得：,，一”=枕+11=20.所以所有符合的正整數(shù)是20、60或300.

a-o=6\b=3

類型四、完全平方公式與幾何圖形

例1.數(shù)學(xué)活動課上，張老師準(zhǔn)備了若干個如圖①的三種紙片，A種紙片是邊長為。的正方形，B種紙片是

邊長為b的正方形，C種紙片是長為b,寬為。的長方形，并用A種紙片一張，8種紙片一張，C種紙片兩

張拼成如圖②的大正方形.

（1）仔細(xì)觀察圖①、圖②，請你寫出代數(shù)式（。+6）2,a2+b2,成之間的等量關(guān)系是.

（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系，解決下列問題：

①已知a+b=4,a1+b2=10,求仍的值；

②已知(x—2021?+(x—2019)2=52,求x—2020的值.

【答案】(1)(。+6)2=/+2仍+〃；(2)①3,②±5

【詳解】解：(1)(?+b)2=a2+2ab+b2.

(2)①,.,a+b=4,「.(〃+b)2=16.〃+2。6+/=16.

vtz2+Z>2=10,:.ab=3.

②設(shè)x-2020=a,貝曦-2021=。-1,x-2019=a+l.

v(x-2021)2+(x-2019)2=52,(a-1)2+(a+l)2=52.

.1.u~—2a+1+ci~+2a+1=52*2a~=50*cT—25"

即(x-2020>=25..-.x-2020=±5.

【變式訓(xùn)練1】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后

用四塊小長方形拼成一個"回形"正方形(如圖2)

(1)觀察圖2請你寫出(a+b)2、(a-b)2、ab之間的等量關(guān)系是；

,,,9

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，右x+y=5,xy=-,則x-y=；

2

(3)拓展應(yīng)用：若(2021-m)2+(m-2020)=7,求(2021-m)(m-2020)的值

【答案】(1)(a+6)2=(a-6)，4"；(2)4或-4；(3)-3

【詳解】解：(1)由圖知:(a+6)2=(a-6『+4.6

(2)???(x+y)2=(x-y^+Axy,???(x-j)2=(x+j^)2-4xy

9

x+y=5,xy=~,.-.(x-yy7=25-9=16,x-y=4或x-y=-4,故答案為：4或-4

(3)???(2021一〃z)2+(m-2020)2=(2021-加+加-2020)2一2(2021一機(jī))(加+2020)

且(2021-加)2+(加一2020)2=7,(2021-m)(m+2020)=-3

【變式訓(xùn)練2】數(shù)學(xué)課上，我們知道可以用圖形的面積來解釋一些代數(shù)恒等式，如圖1可以解釋完全平方公

式：+Z>)2=a2+2ab+b1.

(1)如圖2(圖中各小長方形大小均相等)，請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積(不化簡):

方法1：S陰影二；方法2：S陰影=.

(2)由(1)中兩種不同的方法，你能得到怎樣的等式？

(3)①已知(冽+〃『=16,mn=3,請利用(2)中的等式，求加-〃的值.

②已知(2加+=13,(2加-〃丫=5,請利用(2)中的等式，求加〃的值.

【答案】(1)4ab,+一(〃一6)2；(2)(Q+6)2-(Q-bp=4〃6；(3)①±2；@1

【詳解】解：(1)方法1：陰影部分面積為4個相同的小長方形的面積之和，，陰影部分面積二4"；

方法2：陰影部分面積二大正方形的面積-小正方形面積

???陰影部分面積=(a+b)2-(〃-6)2.故答案為：4ab,(a+Z?)2-(a-6)2；

(2)?:(1)中兩種方法求得的陰影部分面積相等，.?.(。+6)2-(〃-bp=4融；

(3)①...(機(jī)+〃y=16,mn=3,(m+n)2-(m-Amn,

/.(m-〃/=(冽+幾丫—4mn=16—12=4,：.m—n=±2；

②(2冽+〃)2=13,(2加-〃y=5,(2m+H)2-(2m-H)2==Smn,

Smn=(2m+n)2—(2m—n)2=8,???mn=1.

【變式訓(xùn)練3】閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式.

(1)例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)

學(xué)公式是.

(2)如圖③，請寫出(a+b)、(a-b)、ab之間的等量關(guān)系是

(3)利用(2)的結(jié)論，解決問題：己知x+y=8,xy=2,求(x-y)2的值.

(4)根據(jù)圖④，寫出一個等式：.

(5)小明同學(xué)用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形

紙片，用這些紙片恰好拼出一個面積為(3a+b)(a+3b)長方形，請畫出圖形，并指出x+y+z的值.

類似地，利用立體圖形中體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式.

(6)根據(jù)圖⑥，寫出一個等式：.

【答案】(1)(a-6)2=。2-2岫+按；(2)(a+b)2=(a-b)2+4ah；(3)56；(4)(a+b+c)2=a2+

b2+c2-\-2ab+