北京市豐臺(tái)區(qū)某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)試題

北京市豐臺(tái)區(qū)怡海中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中

考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合z=次|一1<￥<0}|61=-1<^<}，則/U3（）

A.|-1<%<0}B.|-1<x<1}

C-{x|-l<x<0}D-{x|-l<x<l）

2.若復(fù)數(shù)z滿足1+iz=i,則三=（）

A.1.B.1.C.1.D..

l-i-l-il+i-l+i

3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在（o,+e）上單調(diào)遞增的是（）

3

A.B.〃x）=xC./（x）=cosxD.f-iOg2|x|

4.在四棱錐尸中，"BC//AD”是"5C//平面PND"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5?在V4BC中，“C分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且c-ccos6+2cosC=0，

則C=（）

A-0°B'60°C-90°D,1200

6.已知角a的終邊不在坐標(biāo)軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（）

AB

,sina,cosa,tana?sina,tana,cosa

試卷第11頁(yè)，共33頁(yè)

C?sin2(z,cos(z,tan2(zD-cos2tt,sincu,tan26Z

7.已知函數(shù)〃x）="T過(guò)定點(diǎn)M,點(diǎn)M在直線M+町=1上且也則工+工的最小值

mn

為（）

A-3+2V2B-4+2V2c-3+V2D-4+V2

8.霉菌有著很強(qiáng)的繁殖能力，主要依靠抱子進(jìn)行繁殖.已知某種霉菌的數(shù)量y與其繁殖時(shí)

間I（天）滿足關(guān)系式：^=加4.若繁殖5天后，這種霉菌的數(shù)量為20,10天后數(shù)量為

40,則要使數(shù)量達(dá)到200大約需要（）（lg2合0.3,結(jié)果四舍五入取整）

A.20天B.21天C.22天D.23天

9.北京市餐飲品牌《南城香》每個(gè)門店，當(dāng)客人點(diǎn)完餐之后，服務(wù)人員給10分鐘計(jì)時(shí)沙

漏，保證在10分鐘之內(nèi)上完餐.沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)儀器，根據(jù)沙子從一個(gè)容器漏到另

一容器的時(shí)間來(lái)計(jì)時(shí).如圖，沙漏可視為上下兩個(gè)相同的圓錐構(gòu)成的組合體，下方的容器中

裝有沙子，沙子堆積成一個(gè)圓臺(tái)，若該沙漏高為8,沙子體積占該沙漏容積的衛(wèi)，則沙子

128

堆積成的圓臺(tái)的高為（）

34

A.1B.C.2D.J

10.已知函數(shù)〃x）=[f3+3xx>a）有最大值，并將其記為尸（。），則說(shuō)法正確的是

\2x-ax<a

試卷第21頁(yè)，共33頁(yè)

A.。的最小值為一2,尸（q）的最大值為2B.a的最大值為-2,尸（°）的最

小值為*2

C.。的最大值為*W,尸⑷的最大值為2D.。的最小值為一2,尸⑷的

最小值為F2

二、填空題

11.已知向量力$滿足同=1，6=（一1，2）為3=1,貝巾+.=.

12.二項(xiàng)式上一4］展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,n=—；該展開(kāi)式中一項(xiàng)的系數(shù)為一

13-在V/2C中，a=、c=3,B=2U則V/8C的面積為一■

14.設(shè)公比不為1的等比數(shù)列｛%｝滿足％出％=一8,且生,出,％成等差數(shù)列，則公比4=——

，數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)的和為

15.已知函數(shù)了（耳=加出］］工+*|（4>0,0為夕<的部分圖象如圖1所示，,出分別為圖

象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過(guò)人作x軸的垂線，交x軸于H，點(diǎn)c為該部分圖象與x軸的交點(diǎn).

將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時(shí)|/同=而，則下列結(jié)論正確

的有______

試卷第31頁(yè)，共33頁(yè)

①2②怔*③圖2中，/氏/0=5

④圖2中，S是“8C及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合?設(shè)集合7={°€刈/0區(qū)2}，則？表示的區(qū)

域的面積大于工

4

三、解答題

16.在△NBC中，角。為銳角且滿足cos2c=2sin2c.

⑴求c；

(2)若6=6，且V4BC的周長(zhǎng)為66+6，求V/BC的面積.

17.已知函數(shù)/(力=》3一3辦+2,且曲線y=在點(diǎn)(1J0))處的切線/與直線

x-9y=0相互垂直.

⑴求/的方程；

⑵求/(X)的極值.

18.己知四棱錐p-AgcD中，底面45CO是正方形，P￡>_L平面48czTPD=AB'E是

試卷第41頁(yè)，共33頁(yè)

PB的中點(diǎn).

(1)求證：BC//^ADE-

(2)求面ADE與面所成角的大?。?/p>

19.如圖所示，M是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)尸在單位圓上，ZMOP=x'平行四邊

形。MQP的面積為S,函乙而+s，》6@0,口。,

(1)求函數(shù)/(x)的表達(dá)式及單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若在［o刁上僅存在兩個(gè)零點(diǎn)，求f的取值范圍.

20.如圖，在四棱錐尸-48co中，底面45。是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZADC=60°)△尸"。

為正三角形，0為4c，的中點(diǎn)，且平面尸40j_平面48a)，屈是線段尸c上的點(diǎn).

試卷第51頁(yè)，共33頁(yè)

p

⑴求證：OMYBC'

(2)當(dāng)點(diǎn).為線段尸c的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)M到平面PAB的距離；

(3)是否存在點(diǎn)新，使得直線與平面的夾角的正弦值為叵.若存在，求出此時(shí)

10

PM

正的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù)〃x)=lnx-ox(。為常數(shù)).

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)為，%滿足/(網(wǎng))=/(%),求證：xx+x2>—.

a

⑶若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)為，%,證明：_L+_L>2.

In項(xiàng)Inx2

試卷第61頁(yè)，共33頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案BADCCDACAB

1.B

【分析】由并集的定義求解.

【詳解】集合力=｛*|一1<￥<0｝[61=次-\<x<｝，

貝U/u8=｛x|_]4x<l｝。

故選：B.

2.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求z,根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的定義求三即可.

【詳解】由題設(shè)Z=U=-i(i-l)=i+l,則Z=1T.

i

故選：A

3.D

【分析】根據(jù)相關(guān)賽函數(shù)單調(diào)性判斷A、B；由余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C；利用奇偶性定義及

對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷D.

【詳解】A：〃x)=_x2為偶函數(shù)，且在￡o，w04上遞減，不符合；

B：/(力=/為奇函數(shù)，不符合；

C：八尤)=cosx在上不單調(diào)，不符合；

D：/(-x)=log2|-x|=log2M=f(x)且定義域?yàn)椋鹸|xw0｝，即/(x)=log2國(guó)為偶函數(shù)，

由”ix|在￡o,三上遞增，>=bgj在定義域上遞增，故/(X)在￡°，.上遞

增，符合.

故選：D

4.C

【分析】利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合充分、必要條件的定義進(jìn)行判定.

答案第11頁(yè)，共22頁(yè)

【詳解】

由8C//Z。，BCa平面尸/zr4Du平面尸/zr得BC//平面p/zr

由BC//平面P4D，8Cu平面4BCD，平面NBCZ)n平面42=，得BC//AD，

故"BC/IAD"是"gc//平面PAD"的充要條件，

故選：C.

5.C

【分析】利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的和差公式得至Jin8cosc=0,進(jìn)而得到

cosC=0，從而得解.

【詳解】因?yàn)?-CCOS6+6COSC=O'

所以由正弦7E理得sin4-sinCeos5+sin8cos。=0'

則sinCcosB-sinBcosC=sinA=sinCcosB+sinBcosC'

所以sin5cosc=0'

因?yàn)?。<5<180。，所以sinBwO，則cosC=0'

所以C=go。-

故選：C.

6.D

答案第21頁(yè)，共22頁(yè)

【分析】對(duì)于ABC,舉反例排除即可；對(duì)于D,利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可判斷

.20、上丁?“，，一盧工I‘cosaw0sinawOtanaw0sina

【詳解】角的終邊不在坐標(biāo)軸上，有，，tana=-------

cosa

對(duì)于A,令a則w冬c°sc=冬tai，

」,①，

8s%sinatana=^xl=gpcos2awsin?tana，A不是;

222

“工口人兀rmi,2i?1日ntan2awcosasinaR木日

對(duì)于B,令。=—,則tana=Lcosasina=—,即，b不正；

42

令a哈則sin2a=(y=l,cosa=^,tan2?=(多=1，

對(duì)于C,

22

工曰23.2,2111日ncos2awsinatanar木縣

jzecosa=—,sinatana=—x—=一，B|J，id'/e；

44312

對(duì)于D，sina=cosatana，則sida=cc^atan?［，貝1Jcos2Q,sinQ,tan2a一定成等比數(shù)列，

D是.

故選：D

7.A

【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題設(shè)有相+〃=i，應(yīng)用基本不等式的代

換求目標(biāo)式最小值.

【詳解】由題設(shè)，/（工）=廣1恒過(guò)點(diǎn)M（1,1），貝?。┘?〃=1，

Geri12.12.,._n2m_

歷以—I--=(—I——)(m+〃)=3H-----1----->3+2=3+2行，

mnmnmn

當(dāng)且僅當(dāng)加=&_1,”=2-亞時(shí)等號(hào)成立，

所以目標(biāo)式最小值為3+2收.

答案第31頁(yè)，共22頁(yè)

故選：A

8.C

【分析】利用待定系數(shù)求出參數(shù)，再求解自變量/的值，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求得結(jié)果.

【詳解】由題可得：=，兩式相除可得2=/,即°=2(,

[40=ma'°

設(shè)繁殖,天后數(shù)量達(dá)到200,

則200=ma1又20=ma5則200ma1

20ma5

(“一5

10」'尸=1°,即口

:?7,則=10,

log210=^--l,

A^=51og210+5=5x^^+5=5x—+5?22，

1g20.3

則要使數(shù)量達(dá)到200大約需要22天.

故選：C.

9.A

【分析】若圓錐體積為“，沙子體積為匕，根據(jù)題設(shè)可得匕二匕=幺，結(jié)合圓臺(tái)和圓錐中

V64

的等比性質(zhì)求圓臺(tái)的高.

【詳解】由題意，若圓錐體積為「，沙子體積為匕，

則工也空=衛(wèi)，故」后，

2K128V64V64

設(shè)沙子堆積成的圓臺(tái)的高為加沙漏下圓錐的高為4,

答案第41頁(yè)，共22頁(yè)

4-A?7

結(jié)合圓臺(tái)、圓錐的性質(zhì)’有(丁)3=才

故選：A

10.B

【分析】先求出/(工)=_工3+3%的增減情況，再結(jié)合題意可得到-24。VI，從而可求解?

【詳解】由題意知‘當(dāng)x"時(shí),/(x)=-/+3x，求導(dǎo)得廣(X)=-3X2+3=3(X+1)(X—1)，

當(dāng)xe/*(%)<0)

當(dāng)/,(x)>0,

當(dāng)xe(l,+oo)，W<0，

所以/Ex。在區(qū)間(l,+oo)單調(diào)遞減，在(7,1)單調(diào)遞增，

由題意知當(dāng)x<a時(shí)，y(x)=2x_q為增函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)/I》。有最大值，

則可得當(dāng)xH1時(shí)，/(i)=_i+3=2，

此時(shí)，令/(x)=_/+3x=2，解得，或x=-2,

令-a，+3a=2。-。，解得。=血或。=-&'

當(dāng)-2WaV0時(shí)，此時(shí)的最大值為尸⑷=2，

當(dāng)°4-2時(shí)，此時(shí)的最大值為尸(。)=/(°)=-03+34,

當(dāng)0<〃<0■時(shí)，此時(shí)的最大值為尸(0)=2，

答案第51頁(yè)，共22頁(yè)

當(dāng).=0時(shí)，此時(shí)/曾的最大值為尸(可=/，

當(dāng)a＞也時(shí)，此時(shí)/行內(nèi)無(wú)最大值，

綜上：。的最大值為6,b(°)的最小值為小5.故B正確.

故選：B.

lh2V2

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則求出答案.

【詳解】因?yàn)楸?(T2),所以%=J(一if+2?=75,

故歸+,="@+盯=sla2+2a-b+b2=V1+2+5=272.

故答案為：2五

12.5-5

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為2"求出"，再寫出展開(kāi)式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)計(jì)算展開(kāi)式中/

項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則有2"=32,得”=5；

5r

二項(xiàng)式口」j展開(kāi)式的通項(xiàng)為j=c；x-^--J=(-l)C；一,0W廠W5且reN,

令5-2r=3，解得r=l,所以展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù)為=-5.

故答案為：5；-5.

13-572

【分析】應(yīng)用正弦定理、倍角正弦公式得6=6cosC，再由余弦定理及倍角余弦公式求得

答案第61頁(yè)，共22頁(yè)

cosC=?，進(jìn)而得b=2而,且$吊0="，最后應(yīng)用三角形面積公式求面積.

33

【詳解】由一也=上-,結(jié)合題設(shè)有—L=——2——=_3_=b=6cosC,

sin8sinCsin2C2sinCcosCsinC

又〃=/+。2-2accosB=34-30cos2C，即36cos2C-34-30cos2C,

7R=C

所以36cos之C=64-60cos2Cncos?C=—,在三角形中，必有為銳角，

3

所以c°sC=逅，故'=2指，且smC=也，

33

故△NBC的面積為_(kāi)1〃從山。=,義5、2后x3=5亞?

223

故答案為：5亞.

14--2-5

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)及等差中項(xiàng)，并結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求基本量，進(jìn)而

寫出前4項(xiàng)即可得前4項(xiàng)和.

【詳解】由題設(shè)〃]〃2〃3=〃==-8=>〃2=-2，且。3+%=2%=-4，

229

所以a2q+a2q=q+q-2=(q+2)(q-1)=0又qwl，故夕=一2,

所以%=L%=-2,〃3=4,%=-8，則前4項(xiàng)的和為-5-

故答案為：一2，一5

15.①②③

【分析】在圖2中，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，oc>石的方向分別為V、7軸的正方向建立空

間直角坐標(biāo)系O-x》，，根據(jù)已知條件求出4的值，即可判斷①；結(jié)合夕的取值范圍求出

答案第71頁(yè)，共22頁(yè)

。的值，可判斷②；利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷③；求出cos/BHC，結(jié)合扇

形的面積公式可判斷④.

/(X)竺

【詳解】函數(shù)的最小正周期為一萬(wàn)

2

在圖2中，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，玩、石的方向分別為y'、z，軸的正方向建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系O-x'y'z，，

設(shè)點(diǎn)H(Oj,O)，則點(diǎn)/(Oj")，8(4,7+2,0)，

\AB\^^(O-A)2+(Z-?-2)2+(A-O)2=收儲(chǔ)+4=Vio,

因?yàn)?1>0，解得;1=6，故①正確;

所以/。)=，^11]5+0],則/(0)=gsinp=孝，可得sin9=；,

又因?yàn)楹瘮?shù)/⑴在、=°附近單調(diào)遞減，且。<0<%,所以夕=也，故②正確;

6

所以f(X)=也sin號(hào)—,

由/?)=Gsin[T9彳J=G，可得=1，

答案第81頁(yè)，共22頁(yè)

又因?yàn)辄c(diǎn)A是函數(shù)"X）的圖象在'軸左側(cè)距離'軸最近的最高點(diǎn)，則變*」=—,可得

262

2

3

因?yàn)辄c(diǎn)C是函數(shù)"X）在,軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心，所以，二％+生=兀，可得％=,，

26。3

翻折后，則有/（o,-1,6）、?",（（）］、c（o,；,oj、

所以就=(0,1,_6),Zs=(V3,2,-V3),

所以在圖2中，蘇就=0+2、1+（-a2=5,故③正確；

在圖2中，設(shè)點(diǎn)，小。），陷二卜+b+g；+gV3卜2,

可得x2+,+|141,

五二（。,1,。），衣=（后2,。），：=M.亞=3=正>見(jiàn)

\AC\-\AB\1x7772

易知"4C為銳角，則。

所以，區(qū)域7是坐標(biāo)平面￡0/內(nèi)以點(diǎn)H為圓心，半徑為|HC|=1,且圓心角為NB/'C的扇

形及其內(nèi)部，

1TTTT

故區(qū)域T的面積*<4%X12=—,故④錯(cuò)誤.

T248

故答案為：①②③.

答案第91頁(yè)，共22頁(yè)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

本題考查翻折問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)空間向量法來(lái)求解相應(yīng)問(wèn)

題.

16.⑴C=.

⑵

【分析】(1)由倍角公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，化簡(jiǎn)c°s2c=2sin2c得tan2c=；,

角C為銳角，有tanC=立，可求角0;

3

(2)b=6,得a+c=6G,余弦定理得02=1+36_2xax6x且，求出“，由公式

2

S.=—absinC求的面積.

LXADBIC-2

［詳解)(1)由cos2C=2sin2C可得cos?。-sin2c=2sin2C?

則cos2c=3sin2。，得tan2c=g,

因?yàn)榻荂為銳角，有tanC=立，可得C=￡?

36

(2)因?yàn)橹荛L(zhǎng)4+6+0=68+6'6=6，所以a+c=6g①，

又因?yàn)镃=B，所以/=/+62.2a6cosc=/+36-2xax6x^^②，

62

答案第101頁(yè)，共22頁(yè)

由①②得a=4#,所以S^BC=ga?sinC=；x4Qx6x；=.

17.(l)j;=-9x

(2)極大值為18，極小值為_(kāi)14

【分析】(1)根據(jù)題意，得至11,⑴=一9,求得。=4,得至！l〃i)=_9,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何

意義，即可求解；

(2)由(1)得((耳=3@+2)卜_2)，求得函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)的極值?

【詳解】(1)解：由函數(shù)/(力=/-3以+2,可得/(x)=3x2_3a，

可得/⑴=3-3a=-9,解得。=4，所以-12x+2

又因?yàn)?(l)=ET2xl+2=-9，

故所求切線方程為y+9=-9(xT)，即y=-9x.

(2)解：由(1)可知，/(力=3/-12=3，-4)=3(》+2乂工-2)，

令/<x)=0,解得x=±2,

當(dāng)xe(—8,-2)時(shí),f'(x)>01/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(-2,2)時(shí)，f,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(2,+oo)時(shí)，f,(x)>0,/(X)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間(_q_2)上遞增，在區(qū)間(-2,2)上遞減，在區(qū)間(2,+oo)上遞增，

故的極大值為〃_2)=(-2)3-12x(-2)+2=18，

答案第1H頁(yè)，共22頁(yè)

18.(1)證明見(jiàn)解析；

(2)45°.

【分析】(1)由題設(shè)有Be///。，根據(jù)線面平行的判定證結(jié)論;

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的大小.

【詳解】(1)是正方形，

:.BC//AD,BCcz面/DE,ADu面ADE,

BC"面ADE，

尸。_1平面48。。，4D,CDu平面48CD

/.PD1AD,PD1CD,

又/BCD是正方形，則ADLCD'

￡)4OC,OP兩兩垂直以￡)為原點(diǎn)如圖建系，設(shè)尸￡)H245H1，

A

喙

,2)(0,0,0)41,0,0)mo,i)

??，

方=(1,0,0),歷=[.in

l，2,2)

答案第121頁(yè)，共22頁(yè)

又尸。_L平面/BCD,平面的法向量而=(0,0,1),

設(shè)平面NOE的法向量萬(wàn)=(x,y,z)，則而_L3，DELn,

DA-n=x=0z=l不=(0,-1,1)

_iii，令，則

DE-n=-x+-y+-z=Q

22"2

DPn_1—也

,?cos(DP,n)

\DP\-\ii\~l-y[2^2

.?.面ADE與面ABD所成角的大小45o

19.(l)y=岳in[x+：J+l，遞減區(qū)間為甘+2總手2句(42)；

(2)/e|■兀,3兀).

【分析】(1)應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示得而=(i+cosx,sinx)，應(yīng)用面積公式、向量數(shù)量積的

坐標(biāo)表示、三角恒等變換得/(x)=V^sinx+：+1，進(jìn)而求其單調(diào)區(qū)間即可;

(2)問(wèn)題化為sin[+W=_；有兩個(gè)根，結(jié)合了=,苗”的圖象確定/+[的范圍，即可求

參數(shù)范圍.

【詳解】⑴由題意，得M(l,0),尸(cosx,sinx)，OQ=OM+OP=(l+cosx,sinx)>

則S=[兩J]而|sin/P(W=sinx,而.而=l+cosx

因止匕/(元)=OM-OQ+S=sinx+1+cosx=y/2sin+1,

答案第131頁(yè)，共22頁(yè)

即函數(shù)/（X）的表達(dá)式為了=3sin［x+：］+l，

令啤為2必+—<—+k（ke）,得至斗2左2g4—+k（ke）,

242''44v'

（X）的減區(qū)間為止4%,一如才（立）；

44

（2）"X）在［°川有兩個(gè)零點(diǎn)，即/（x）=onsin、+m=_］有兩個(gè)根，

由EM,則x+空「-J+-］，而函數(shù)1smx的圖象如下,

20.⑴證明見(jiàn)解析；

⑵巫；

5

（3）存在，且鬻=：

【分析】（1）連接.C、AC'證明出平面POC，利用線面垂直的性質(zhì)可得出

AD1PC<再結(jié)合4D//BC可證得結(jié)論成立；

（2）推導(dǎo)出尸0,平面/5CD，然后以點(diǎn)°為坐標(biāo)原點(diǎn)，0C、OD、0尸所在直線分別為

x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)M到平面尸的距離；

答案第141頁(yè)，共22頁(yè)

(3)設(shè)前^=2定，其中0W條1,利用空間向量法可得出關(guān)于2的方程，結(jié)合0W變1

可求得義的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接m、AC

因?yàn)樗倪呅?8co為菱形，則40=CD,因?yàn)?/DC=60°，則ANCD為等邊三角形，

因?yàn)椤銥?D的中點(diǎn)，故OC_LAD，

因?yàn)闉榈冗叾切危?為/￡)的中點(diǎn),則P0_L/Z)，

???ponoc=。，平面尸0C，;PCu平面尸0C，則/。_LPC，

QBCIIAD，故8C_LPC-

(2)解：因?yàn)槠矫嫫矫?8cD，平面尸NDc平面48cz)=4D，POLAD'POu

平面尸,poi^ABCD'

因?yàn)?C_L4D，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC'OD'0尸所在直線分別為x、y>z軸建立如

下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

答案第151頁(yè)，共22頁(yè)

則/（O，T，。）、8（百，-2,0）、。（省,0,0）、。（0」,0）、尸（0,0,百）、河[3°

——[2-2J

設(shè)平面尸"的法向量為蔡=（"/）,翦=萬(wàn)=（01,百），

m?AB=VJx—y=0x=lm=(1,V3-1)

取可得

m?AP=y+y/3z=0

XMPAB

'A/3V3AM-n^_V3_V15

AM=,所以點(diǎn)到平面的距離為1==

7Fl3~

（3）解:設(shè)府=尻=/（6,0,一@=（同0廠網(wǎng),其中0W條1,

1M=1P+PA7=（0,1,73）+（V3A,0,-V3A）=（A/3A,1,A/3-A/3Z））

I/____\!\AM口6^Jfo

由題意卜os/監(jiān)m）\=I,,,=//?—=甯,

1'71\AM\-\f^V6A2-6A+4-V510

整理可得知+3"2=0,因?yàn)?,解得力」，

3

因此，存在點(diǎn)亂，使得直線與平面尸的夾角的正弦值為巫，此時(shí)膽=！.

10PC3

21.（1）答案見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

（3）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論。的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）利用對(duì)數(shù)均值不等式i<如（">0,b>0,"*'）即可得證.

InQ—In62

答案第161頁(yè)，共22頁(yè)

(3)由題意得I”x27nxl=*要證，+」〉？，只需證：g強(qiáng)強(qiáng).土1，利用換

xx

2~\也再Inx2再21/x2J

元，令:三>1,只需證：inf<1，」〕，由對(duì)數(shù)均值不等式即得.

占2(t)

【詳解】(1)由/(x)=lnx_ox，得函數(shù)的定義域?yàn)榈?，亙°°。

Xf\x)=--a=—

XX

當(dāng)aWO時(shí)，/國(guó)訓(xùn)③0恒成立，所以「(X)在初,日上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí)，令/(x)=l^>0,得0<x<L；令/口)=^^<0,得x>L；

xaxa

所以，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為F，+")，單調(diào)遞增區(qū)間為/,［；

(2)由/(x)=lnx-",得.工「叼=In.？n'=%

a]nx2-Inxx

故欲證為+%>2,只需證：-=x^Xl.<^±^1,即證七一七<五七三，

aa1口x2—1口再2lnx2-In^2

又再W%2，石>0，%>0，

X2〉再X?一否<再+工2