常用邏輯用語（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第02講常用邏輯用語

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識.................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點一遍過...........................................5

高頻考點一：充分條件與必要條件的判斷............................5

高頻考點二：充分條件與必要條件的應(yīng)用............................7

高頻考點三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結(jié)構(gòu)對比...........10

高頻考點四：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷...............12

高頻考點五：含有一個量詞的命題的否定...........................15

高頻考點六：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù)...................16

第四部分：典型易錯題型.............................................18

注意：“的”字結(jié)構(gòu)倒裝...........................................18

注意：最高項系數(shù)含參數(shù)，容易忽略系數(shù)為0.......................18

注意：給定的區(qū)間是非R區(qū)間，不能用判別法......................19

注意：給定的區(qū)間是人區(qū)間，可用判別法..........................19

第五部分：新定義題（解答題）......................................20

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、充分條件、必要條件與充要條件的概念

⑴若P=q,則"是q的充分條件，q是p的必要條件；

(2)若pnq且44P,則P是4的充分不必要條件；

(3)若q且q=。，則P是q的必要不充分條件；

(4)若poq,則P是4的充要條件；

(5)若24q且44p,則P是q的既不充分也不必要條件.

拓展延伸一：等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件

(1)P是q的充分不必要條件or是f的充分不必要條件；

(2)p是q的必要不充分條件or是-p的必要不充分條件；

(3)p是q的充要條件or是一的充要條件；

(4)P是q的既不充分也不必要條件Of是一P的既不充分也不必要條件.

拓展延伸二：集合判斷法判斷充分條件、必要條件

若P以集合A的形式出現(xiàn)，4以集合6的形式出現(xiàn)，即P：A={x\p{x)},q：B={x\q{x)},則

(1)若AqB,則P是4的充分條件；

(2)若則P是4的必要條件；

(3)若則P是4的充分不必要條件;

(4)若則P是4的必要不充分條件;

(5)若A=5,則2是4的充要條件；

(6)若且則P是4的既不充分也不必要條件.

拓展延伸三：充分性必要性高考高頻考點結(jié)構(gòu)

(1)P是4的充分不必要條件opnq且44P(注意標志性詞：“是”，此時P與“正常順序)

(2)P的充分不必要條件是40qn。且24Q(注意標志性詞：“的”，此時P與4倒裝順序)

2、全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞

短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示.

(2)存在量詞

短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“三”表示.

(3)全稱量詞命題及其否定(高頻考點)

①全稱量詞命題：對M中的任意一個x,有p(x)成立；數(shù)學(xué)語言：X/x&M,p(x).

②全稱量詞命題的否定：大

(4)存在量詞命題及其否定(高頻考點)

①存在量詞命題：存在〃中的元素X,有p(x)成立；數(shù)學(xué)語言：3%eM,p(x).

②存在量詞命題的否定：

(5)常用的正面敘述詞語和它的否定詞語

正面詞語等于(=)大于。)小于(<)是

否定詞語不等于(豐)不大于(W)不小于(>)不是

正面詞語都是任意的所有的至多一個至少一個

否定詞語不都是某個某些至少兩個一個也沒有

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)已知a,6eR,"a2=b1a2+b2=lab"K()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.

【詳解】由"=方2,貝!］。=±。，當(dāng)。=一620時4+/=2仍不成立，充分性不成立；

由a2+〃=2",則(”4=0,即。=6,顯然"=〃成立，必要性成立；

所以/=是/+"=2他的必要不充分條件.

故選：B

VX

2.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)若孫片0,則"x+y=0"是"2+—=-2”的()

xy

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】解法一：由土+2=-2化簡得到無+y=。即可判斷；解法二：證明充分性可由x+y=0得到》=-八

yx

代入土+2化簡即可，證明必要性可由二+上=-2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可

yxy%

xyxv

由一+上通分后用配湊法得到完全平方公式，再把x+y=o代入即可，證明必要性可由一+2通分后用配湊

yxyx

法得到完全平方公式，再把x+y=o代入，解方程即可.

【詳解】解法一：

因為七。，且,各2

所以爐+,2=_2孫，即九2+,2+2孫=。，即（x+y）2=0,所以x+y=O.

所以〃％+y=0〃是〃2+2=-2〃的充要條件.

yx

解法二：

充分性：因為孫w0,且無+y=。，所以％=一丫,

所以2+2=口+且=_1_1=_2,

yXy-y

所以充分性成立；

必要性：因為知*0,且日+』=-2,

yx

所以—+y2=_2孫，即九2+,2+2孫=0,即（x+y『二O,所以％+丁=。.

所以必要性成立.

所以"x+y=O〃是"二+）=-2"的充要條件

yx

解法三：

充分性：因為孫W0,且無+y=0,

22

所以'x+y+2xy-2xy_(%+-2xy_-2xy_?

yxxyxyxyxy

所以充分性成立;

必要性：因為孫*。,且泮=2

/+)222

X-+y+2xy-2xy(x+y)2-2xy(%+y『__

所以'+?=----------------------------------------=-------------------------------=----------------------z=-z

y尤孫xyxyxy

所以W^=o,所以（x+y）2=0,所以無+y=0,

所以必要性成立.

所以，+y=。"是q++-2”的充要條件

故選：c

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：充分條件與必要條件的判斷

典型例題

例題1.（2024上?河北承德■高一統(tǒng)考期末）若ae[0,7t],則"a=是"sin2a=cos]c"的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，判斷￡'和"sin2a=cos[a+：|"之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.

__?7T..小.2兀?兀）5兀.,兀57r、.27r

L當(dāng)a=一日寸，sinzcr=sin——,cosa+—=cos——=sm（--------）=sin——,

99<6）182189

即sin2a=cosa+f成立；

7171—

所以2a=—a+2kn,女EZ或2an-----a=TI+2kR,kGZ,

33

結(jié)合aw[0,7r],解得&=e或a=與或1=與，

即sin2tz=cos]a+F）成立，推不出a=^,

故"a=§"是"sin2a=cos]a+胃"的充分不必要條件.

故選：B

例題2.（2024下?云南昆明?高二統(tǒng)考開學(xué)考試）若集合A=司2?},集合B={x|lnx〉0},則“xeA"是"尤e3"

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)不等式的解法分別解出集合A、B,結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可.

【詳解】集合4={工2*>1}={小>0},

集合3=｛卻謁。｝=｛中〉1｝,

則2是A的真子集，

所以"xeA"是"xeB"的必要不充分條件，

故選：B.

例題3.（2024上?江蘇連云港?高一統(tǒng)考期末）"同＞網(wǎng)"是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】D

【分析】舉出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案.

【詳解】設(shè)4=-2,6=0,此時滿足時＞同，但不滿足充分性不成立，

設(shè)口=2,6=-3,此時滿足a＞6,但不滿足同＞例，必要性不成立，

故時＞同是的既不充分也不必要條件.

故選：D

練透核心考點

1.（2024上?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末）設(shè)xeR,貝iJ"lnx+l＜0"是"2田-1＞0”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得不等式的解集，結(jié)合充分條件、必要條件的判

定方法，即可求解.

【詳解】由不等式lnx+l＜0,可得lnx＜-l,解得0＜》＜「，

又由不等式2*包-1＞0,即2川＞1，可得x+l＞0,解得尤＞-1,

因為集合｛x|0＜尤＜e-｝是集合｛x|x＞T｝的真子集，

所以"lnx+l＜0"是"2田-1＞0"的充分不必要條件.

故選：B.

b

2.（2024上?浙江寧波?高一余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）"一＜1"是"°＜人＜0"的（）

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

bb

【詳解】當(dāng)一＜1時，不妨取力=1,。=2,則a＞b＞0,所以，"一＜l"N"a＜b＜（T,

aa

h

另一方面，當(dāng)。<b<0時，由不等式的基本性質(zhì)可得2<1,

a

b

所以，〃一<l〃u〃a<b<0〃，

a

b

因此，"2<1"是的必要不充分條件.

a

故選：B.

3.(2024上?上海?高一上海市大同中學(xué)?？计谀?已知b為非零實數(shù)，則是"!成立的()

ab

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】D

【分析】舉反例結(jié)合充分必要條件的定義分析即可.

【詳解】顯然a>0>匕時不能推出上<4,反之工<0時也不能推出">人，

abab

則"a>b〃是"工<；〃成立的既非充分又非必要條件.

ab

故選：D

高頻考點二：充分條件與必要條件的應(yīng)用

典型例題

例題1.(2024下,上海?高一開學(xué)考試)已知p:x2-(2a+3)x+a(a+3)W0,例若P是「的必要不

充分條件，則實數(shù)。的取值范圍是—.

【答案】［-1,0］

【分析】問題轉(zhuǎn)化為：的解集是/_(2a+3)x+a(a+3)W0的解集的真子集，可解決此題.

［詳解］由尤2_(2a+3)x+a(a+3)W0解得xe(a,a+3),

由|無一1|<1解得xe(0,2),

根據(jù)題意得：(0,2)是(q,a+3)的真子集，

ftz<0「i

(等號不同時成立)，解得：ae-1,0.

［a+3>2

故答案為：

例題2.(2024?全國?高一專題練習(xí))給出如下三個條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請從中選擇

補充到下面橫線上.

已知集合2={引-1<》<5},S={x\2-m<x<3+2m\,存在實數(shù)加使得“xeP"是"xeS”的條件.

【答案】②，③

【分析】分別根據(jù)充要條件及充分不必要條件，必要不充分條件計算求解即可.

【詳解】①"xeP'是"xeS”的充要條件，則2-根=-1,3+2根=5,此方程無解，故不存在實數(shù)機，則不

符合題意；

②"xeP"是"xeS”的充分不必要條件時，2W-1,3+2祖25,2-m<3+2m；解得m23,符合題意；

③"xeP"是"xeS"的必要不充分條件時，當(dāng)S=0,2-m>3+2m,得機<g；

當(dāng)Sw0,需滿足2-帆43+2m，3+2m<5,解集為-gwmVl；

綜上所述，實數(shù)機的取值范圍<根<g.

故答案為：②，③.

例題3.（2023上?山西晉中?高一統(tǒng)考期末）已知不等式+的解集為/={x|-2Vx<4}.

⑴求不等式-依+1>0的解集T;

（2）設(shè)非空集合S=1x卜-機機若xeS是xwT的充分不必要條件，求小的取值范圍.

【分析】（1）先根據(jù)不等式的解集求出。，6,再根據(jù)一元二次不等式的解法即可得解;

（2）由xeS是xeT的充分不必要條件，可得S是T的真子集，列不等式組求解即可.

【詳解】（1）因為不等式9+亦+6<0的解集為“={x|-2Vx<4},

所以方程x2+ax+b=0的解為-2,4,

所以一2+4=—a,—2x4=%，得a=—2,b=—8,

則不等式bi-依+i>o即8/—2%—1<0,

解得一<x《，故解集人14；

（2）由（1）知，T=,而xeS是尤?T的充分不必要條件,

則S是T的真子集,

4

145

所以,解得工<〃?4：，

454

11

—m<—

42

（45

綜上所述，機的取值范圍是W，：,

154」

練透核心考點

1.（2024?全國?高一假期作業(yè)）已知集合4=1|展<11,8=卜|。別：a+3},若"xwA"是"xe3”的必要

條件，則實數(shù)”的取值范圍是.

【答案】a<-4或。>2

【分析】根據(jù)不等式求得集合A,再利用"xeA"是"xeB"的必要條件，得8=即可求得實數(shù)。的取值

范圍.

【詳解】解：---<1，---------1<0,即（]—2）（%+1）>。，解得％>2或x<—1

X+1X+1

.,.A={x\x<-l^x>2}

"xeA"是的必要條件，=且a+3>a恒成立

則a+3<-l或a>2,解得a<-4或a>2.

故答案為：。<-4或。>2

2.（2023上?江蘇蘇州?高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)命題，：實數(shù)x滿足/-46+3/<0,其中。>0；命題4：

Y—3

實數(shù)X滿足二:40,若力是r的充分不必要條件，則實數(shù)。的取值范圍為______.

x-2

【答案】（1,2]

【分析】先解不等式，根據(jù)充分、必要條件的知識列不等式，再求出。的取值范圍.

【詳解】對于命題P,x2-4?x+3a2=（x-a）（x-3a）<0,

因為a>0,所以avxv3a.

對于命題q,二W0，由卜二3）（：-2）W0,解得2<X?3.

x-2[x-2^0

因為M是F的充分不必要條件，

所以P是4的必要不充分條件，所以（2,3]乳a,3a）,

[a<24

所以。°，解得l<aW2,

[3a>3

所以。的取值范圍是。,2].

故答案為：（1,2]

12,

3.（2023上?河南鄭州?高一校考階段練習(xí)）己知命題p：Vx,y>0滿足2尤+y=l,不等式—+—2標-2a恒

xy

成立，命題"：-4<。<5,則。是4的條件.

【答案】充分不必要

【分析】將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，然后利用基本不等式求最值即可.

12

【詳解】不等式—+—2/9一2〃恒成立,

%y

.羽，>。且滿足2x+y=l,

—+—=—>1（2^+）；）=4+—+—>4+2A/4=8,

yvxyJxy

當(dāng)且僅當(dāng)上y=—4Y即x=1=：1時，等號成立.

Xy42

所以82〃-2。，解得-2WaW4,

故命題P：-2Wa＜4,命題q:-4＜。＜5,

所以。是4的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要

高頻考點三：充分條件與必要條件（“是”，”的”）結(jié)構(gòu)對比

典型例題

例題1.（2024下?湖北?高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）下列選項中是“Hxe[1,2],

2/-如+6＞0”成立的一個必要不充分條件的是（）

A.m<8B.m>8C.m<4>/3D.m<8

【答案】A

【分析】變形得到機＜&*=2「+之],根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到

故機＜8，由于機＜8是

X\XJ

用48的真子集，故A正確，其他選項不合要求.

【詳解】3xe[l,2],2^-mx+6>0,

BPBxe[1,2],m<2x+6=2、+4,

在（62]上單調(diào)遞增，

其中尤=1時，y=2x[l+：]=8,當(dāng)x=2時，y=2x[2+g）=7,

故RY

=8,BPm<8,

max

由于相＜8是用＜8的真子集，故〃M＜8"的必要不充分條件為"m＜8w,

其他選項均不合要求.

故選：A

例題2.（2023上?貴州黔南?高一貴州省甕安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知條件。:無>1,條件q:-尤2-2x+340,

則P是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】解一元二次不等式結(jié)合充分不必要條件的定義即可得解.

【詳解】由題意條件。:》>1,條件q：-x2_2x+3V0=x<_3或所以P是9的充分不必要條件.

故選：A.

例題3.（2024上?安徽安慶?高一安慶一中?？计谀?關(guān)于x的不等式依2-2彳+1>0對以eR上恒成立"的

一個必要不充分條件是（）

A.a>0B.a>\

C.0<a<一D.a>2

2

【答案】A

【分析】分。=0、兩種情況討論，在。=0時，直接驗證即可；在。W0時，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)。

的不等式組，綜合可得出實數(shù)。的取值范圍，再根據(jù)必要不充分條件求解.

【詳解】當(dāng)。=0時，則有-2x+l>0,解得x<g,不合題意；

fa>0

當(dāng)。WO時，貝IJ人““八，解得”>1.

|A=4-4a<0

綜上所述，關(guān)于無的不等式依?-2尤+1>0對VxeR上恒成立”的充要條件為a>l,

所以一個必要不充分條件是a>Q.

故選：A.

練透核心考點

1.（2024?陜西西安?西安中學(xué)?？家荒＃┮阎?。也cwR,則下列選項中是"a<6”的充分不必要條件的是（）

A..>團B.ac2<bc2C.a2<b2D.3"<3”

ab

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分條件，必要條件的定義逐項判斷即可.

【詳解】對于A,當(dāng)。=滿足。<》，但忖不成立，

ab

當(dāng)a=l,6=-l,c=l時，滿足但不成立，故A錯誤；

ab

對于B,當(dāng)c=0時，a<bLac2<be1,但ac?<6c2n,故B正確;

對于C,。=-2,6=1時，a<6,但/〈Z??不成立，

22

a=l,b=-2時，a<b,但。<方不成立，故C錯誤；

對于D,因為指數(shù)函數(shù)y=3'在R上單調(diào)遞增，故。<6=3"<3〃，故D錯誤.

故選：B

2.（2024上?山東濟寧?高一統(tǒng)考期末）“l(fā)n（a—6）<0"是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條

件

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】若ln（a-6）<0=lnl,可得0<a—b<l,即即充分性成立；

若"b+l,例如a=6=0,貝丘-6=0,皿。-。）<0不成立，即必要性不成立；

綜上所述："山（°-。）<0"是"a<b+l〃的充分不必要條件.

故選：A.

3.（2023上?廣東?高一校聯(lián)考期末）"3">1"是"工>1"的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】解不等式，然后根據(jù)充分條件必要條件的概念得到答案.

【詳解】因為3*>1,所以尤>0,因為1>1,所以。<x<l.

X

故"3">1"是"工>1"的必要不充分條件.

X

故選：B

高頻考點四：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷

典型例題

例題1.（多選）（2023上,湖北孝感?高一湖北省孝感市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)國表示不超過尤的

最大整數(shù)，j?：[1.7]=1,[-1.7]=-2,>=[可又稱為取整函數(shù)，以下關(guān)于"取整函數(shù)”的描述，正確的是（）

A.y=[x]是奇函數(shù)

B.Vx,yeR,若[x]=[y],貝

C.V.xeR,[x]+x+；=[2x]

D.不等式2M_國_120的解集為{巾<0或xwl}

【答案】BCD

【分析】由"取整函數(shù)"的定義逐個選項分析即可.

【詳解】A.取x=-0.5和0.5,函數(shù)值分別為-1和0,故A不正確；

B.設(shè)[x]=[y]=〃z,則、=帆+乙0<?<1,y=m+s,OWscl,

則|x-y|=|（m+r）-（〃z+s）|=K-s|<l,因此故B正確；

C.設(shè)x=P+q（peZ,0<^<1）,

當(dāng)0〈q<0.5時，[%]+尤+；=2p,[2x]=2p,

此時[x]+x+；=[2x],

當(dāng)0.5Wq<l時，[x]+尤+J=P+p+l=2p+l,[2x]=\2p+2q\=2p+l,

此時[x]+x+；=[2x],

綜合可得，C正確；

D.不等式2[才-[尤]-120,可得：[x]21,或[x]W-g,

x>l,或無<0,因此不等式的解集為{x|x<0或r?l},故D正確.

故選：BCD.

例題2.（多選）（2023上?江西九江?高一九江一中?？计谥校┫铝忻}中，真命題的是（）

A.VXGR,者R有％2一2%+1〉0

B.3xe（0,+oo）,使得％+&=6

x

C.任意非零實數(shù)。、b,都有2

ab

21

D.若正實數(shù)工、>滿足％+2y=l,貝卜+—28

1y

【答案】BD

4

【分析】取x=l可判斷A選項；解方程％+—=6,可判斷B選項；取〃〉0,&<0,可判斷C選項；利用基

x

本不等式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，當(dāng)犬=1時，x2-*42x+l=l2-2xl+l=0,A錯;

對于B選項，由x+±=6可得9一6了+4=0,解得x=3土忖B對;

X

對于C選項，不妨取a>0,b<o,則2+色=￡1±^<0,C錯；

abab

對于D選項，若正實數(shù)尤、>滿足x+2y=l,

71

m-+1=(x+4+—+—>4+2=8,

xyy%

x_4y

1

y光x=-

:時，等號成立，故2+D對.

當(dāng)且僅當(dāng)x+2y=l時,即當(dāng)

1xy

x〉0,y>0y丁

故選：BD.

練透核心考點

1.（多選）（2023上?浙江杭州?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（）

A.eR,xH—=—1B.3x>0,x2=Y

x

C.VXGR,X2-X>-1D.Vx>0,lnx>0

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本不等式，求得尤+’的取值范圍，可判定A不正確；根據(jù)當(dāng)x=2時，得到無2=21可判定

X

B正確；結(jié)合配方法，可判定C正確；結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判定D不正確.

【詳解】對于A中，當(dāng)x>0時，則x+工22、口=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立；

XVX

當(dāng)x<0時，則x+L=T（-x）+J-]4-2j（-x>[-=-2,當(dāng)且僅當(dāng)犬=一1時，等號成立，

X-XV-X

所以1+,的取值范圍為（-8,-2][2,+8）,所以A不正確；

x

對于B中，當(dāng)x=2時，可得尤2=2”,所以命題*>0,尤2=2"為真命題，所以B正確；

133

對于C中，由尤2-％+1=（尤所以命題,€艮/一天2-1為真命題，所以C正確；

244

對于D中，當(dāng)0<x<l時，lnx<0,所以命題網(wǎng)>0,111%>0為假命題，所以D不正確.

故選：BC.

2.（多選）（2023上?廣東廣州?高一廣州市第二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)/（x）=2d-x+l,則下列命題正

確的是（）

A.玉eR,使得/。)=0

B.VxeR,者B有/(g-x］=/(x)

7

c.HreR,使得/(x)Vg

o

D.%，9eR,都有.七逗|

【答案】BCD

【分析】利用代入法，結(jié)合一元二次方程根的判別式、比較法逐一判斷即可.

【詳解】A：f(x)=0^2x2-x+l=0,該方程的判另lj式A=(-l)2—4x2xl＜。，

所以該方程無實數(shù)根，因此本選項命題不正確；

B：二次函數(shù)/(x)=2/-尤+1的對稱軸為x=；,

所以有/&7)=/&+尤］=/1-尤］=/"),因此本選項命題正確；

c：f(x)=2x2-x+l=2(x-^］+-,顯然當(dāng)X=J時，不等式/(尤)V：成立，所以本選項命題正確；

14)848

D：/［丫［一^^^=2［丫［2_［丁)+1一3(2二一占+1+2q_%+1)=—：(為一%)2400

/1A*")；〃々)，所以本選項正確，

故選：BCD

高頻考點五：含有一個量詞的命題的否定

典型例題

例題L(2024上?山東濰坊?高一統(tǒng)考期末)設(shè)/wR,命題“存在機"，使如2_如_1=。有實根”的否定

是()

A.任意加之0,使2ftx-1=0無實根B.任意相＜0,使座2_根―1=0有實根

C.存在加20,使mx?—mx-l=0無實木艮D(zhuǎn).存在機＜0,使mx?-mx-l=0有實木艮

【答案】A

【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，即可得答案.

【詳解】由題意知命題“存在加之。，使九代-㈤；-1=0有實根”為存在量詞命題，

其否定為：任意加之。，使鹿：2_如；_1=0無實根，

故選：A

例題2.(2024?全國?高一專題練習(xí))已知命題P：VxwR,產(chǎn)1+e3^＞2e2,則命題。的真假以及否定分別為()

A.真，r?:VxeR,w+e3T<2e?B.假，r?:VxeR,e"'+e3T<2e2

r+13-x2r+13-x2

C.真，-1/>:3xeR,e+e<2eD.假，->p:eR,e+e<2e

【答案】C

【分析】利用基本不等式可推理得到命題P為真，再否定量詞和結(jié)論，即得命題的否定.

【詳解】因為e"i+e"，22Je**'e3T=2e，,當(dāng)且僅當(dāng)e3-，=e，“，即X=1時等號成立，故命題P為真.

x+12

XeR,e+e3T<2e.

故選:C.

練透核心考點

1.（2024上?廣東佛山?高一統(tǒng)考期末）命題〃VX￡R,%2+3X+4>0〃的否定是（）

A.VxGR,%2+3%+4<0B.R,x2+3x+4<0

C.BxGR,x2+3x+4<0D.GR,x2+3x+4<0

【答案】C

【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，即可得答案.

［詳解】命題〃Vx￡R,%2+3x+4〉0〃為全稱量詞命題，

它的否定是天￡R,X2+3X+4V0,

故選：C

2

2.（2024?全國?高一專題練習(xí)）若命題尸：3x0GR,x0+2x0+2<0,則/為（）

22

A.3x0GR,x0+2x0+2>0B.3x0R,x0+2x0+2>0

C.VxGR,x2+2x+2<0D.VxGR,x2+2x+2>0

【答案】D

【分析】由特陳命題的否定是全稱命題即可得出答案.

【詳解】特稱命題“*0￡&/2+2/+240,〃的否定「〃：也￡尺/+2%+2>0.

故選：D.

高頻考點六：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù)

典型例題

例題1.（2024上?陜西渭南?高一?？计谀┮阎}P："玉eR,Y一仆+3<0"為假命題，則實數(shù)a的取

值范圍為（）

A.（-co,-2向B.卜2G,2⑹

C.co,—2A/3）U（2A/3,+?）D.［-2后,2石］

【答案】D

【分析】根據(jù)命題P是假命題列不等式，由此求得。的取值范圍.

【詳解】由于命題。："上'?R,X?-ax+3<0"為假命題，

所以A=a2-12=(a+2@"2@W0,

解得一<2百.

故選：D

例題2.(2024上?陜西寶雞?高一寶雞市石油中學(xué)校考階段練習(xí))玉eR,ax2+ax+l<0.若此命題是假命

題，則實數(shù)a的取值集合是.

【答案】何0<"4}

【分析】先得到VxeR,62+6+1>0為真命題，分a=0和4W0兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式,

求出答案.

【詳解】由題意得VxeR,ax?+依+1>0為真命題，

當(dāng)a=0時，1>0恒成立，滿足要求，

(a>0

當(dāng)〃時，<2.八，解得0vav4,

[A=a—4a<0

綜上，實數(shù)a的取值集合為{4。受<4}.

故答案為：{欖。<4}

練透核心考點

9

1.(2024上?廣東深圳?高一統(tǒng)考期末)已知命題〃VXER,/+(“—2)%+1>0〃是真命題，則實數(shù)〃的取值范

圍是()

A.B.(-5,1)C.(-5,+8)D.(-1,5)

【答案】D

【分析】由題意可得A<0,即可得解.

c9

【詳解】因為命題"VXER,X+(Q—2)x+1>0"是真命題，

所以A=(〃一2)2—9<0,解得一lvav5,

所以實數(shù)a的取值范圍是(-L5).

故選：D.

2.(2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末)已知〃玉KR,2024焉-2024/-a<0〃為真命題，則實數(shù)〃的取值范

圍為()

A.a>-506B.a-506C.a-506D.a<-506

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)，借助二次函數(shù)求出最小值即得.

【詳解】“玉（）eR，2024年一2。24不一。<。"為真命題，貝廣勺％e11,a>2024x；-2。24%”為真命題,

2

ffi]2024^-2O24xo=2O24（xo-1）-506>-506,當(dāng)且僅當(dāng)尤0=；時取等號，貝|。>一506,

所以實數(shù)a的取值范圍為。>-506.

故選：A

第四部分：典型易錯題型

注意：”的”字結(jié)構(gòu)倒裝

1.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）線段>=-3彳+加廣€[-1,1]在天軸下方的一個充分條件但不是必要條件

是.

【答案】根e（-8,-4）（答案不唯一）

【分析】結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)知m<-3，再結(jié)合充分不必要條件定義解題即可.

【詳解】結(jié)合一次函數(shù)圖象知，要使線段在x軸下方，需廠:“<：二加<一3.

[-3X1+/M<0[m<3

就是一個使命題成立的充分條件但不是必要條件.

故答案為：me（-co,-4）.

注意：最高項系數(shù)含參數(shù)，容易忽略系數(shù)為0

2.（2023上?遼寧大連?高一大連八中?？茧A段練習(xí)）"-3<加<1"是"關(guān)于x的不等式（7%-1.2+（〃?_1卜_1<0,

對任意的xeR恒成立"的條件.（填“充分不必要""必要不充分""充要""既不充分也不必要”）

【答案】充分不必要.

【分析】根據(jù)不等式（加-1）必+（加-l）x-l<0對任意的xeR恒成立，求得實數(shù)m的取值范圍，結(jié)合充分條

件、必要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】由不等式（皿-1）f+（根-1卜-1<0對任意的xeR恒成立，

當(dāng)m=1時，不等式可化為-1<0,顯然恒成立；

m-l<0

當(dāng)相時，則滿足人（八2“八八，解得一3<加<1,

A=（m-1）+4（加-1）<0

綜上可得，實數(shù)機的取值范圍為-3<1,

所以-3〈根<1是機對任意的xeR恒成立的充分不必要條件

故答案為：充分不必要.

注意：給定的區(qū)間是非人區(qū)間，不能用判別法

3.（2023上?云南曲靖?高一校考期中）若"Vxe[l,4],爐一6a+140，，為真命題，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】a>^17-

4

【分析】根據(jù)全稱命題為真命題，可把不等式轉(zhuǎn)化為a2=對于Vxe[l,可恒成立，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定

X

最值，即可得實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】若Vxe[l,4],x2-ax+l<0,貝U心上“對于Vx川恒成立

X

又函數(shù)=在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增

所以“x）max=/（4）=?=[，故ag.

17

故答案為：a>—~.

4

注意：給定的區(qū)間是R區(qū)間，可用判別法

4.（2023上?陜西渭南?高一統(tǒng)考期中）己知命題："AeR,口爐+2公-120”是假命題，則實數(shù)a的取值

范圍是.

【答案】（—1,0]

【分析】命題："HxwR,ax2+2以-120〃是假命題等價于命題：“VXER,ax2+2ar-l<0〃是真命題，

再解決含參的不等式恒成立問題即可.

【詳解】命題："HXER,ax2+2以-120"是假命題，

即命題：“VxwR,ax2+2ax-1<0〃是真命題，

當(dāng)a=0時，-Iv。恒成立，符合題意；

當(dāng)時，VxeR,ax2+2ax-l<0,

fa<0

則</2/八，解得T<。<0；

[4a+4a<0

綜上所述，a的取值