超幾何分布專項練習(xí)-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2024-2025學(xué)年度高三一輪復(fù)習(xí)38--超幾何分布專項練習(xí)

一、單選題

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）在含有4件次品的100件產(chǎn)品中,任取2件，則至多取到1

件次品的概率為（

二c1二C1C2cl+c：c〈C0+C2

A496B.號

2J「2

JCooCiooJooMoo

2.（2024高三.全國?專題練習(xí)）設(shè)袋中有80個紅球、20個白球，若從袋中任取10個球，則

其中恰有6個紅球的概率為（）

3.（25-26高三上?上海?單元測試）設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品，從中抽取2件進行檢查，則

查得次品數(shù)的期望為（）

,2八3〃8八3

A.—B.—C.—D.一

1510155

4.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）國家提出“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略，各地紛紛響應(yīng).某縣有7個自

然村，其中有4個自然村根據(jù)自身特點推出鄉(xiāng)村旅游，被評為“旅游示范村”.現(xiàn)要從該縣7

個自然村里選出3個作宣傳，則恰有2個村是“旅游示范村”的概率為（）

12?18八3

AA.—B.—C.—D.一

353577

5.（2024?廣東江門.二模）一箱蘋果共有12個蘋果，其中有〃（2<“<7）個是爛果，從這箱蘋

果中隨機抽取3個.恰有2個爛果的概率為貝口?=（）

A.3B.4C.5D.6

6.（23-24高三上?廣東深圳?期末）一袋中裝有大小、質(zhì)地均相同的5個白球，3個黃球和2

個黑球，從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是（）

A.工B.Ac-D.1

151552

7.（2024高三.全國.專題練習(xí)）袋中有6個大小相同的黑球，編號為1,2,3,4,5,6,還

有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10,現(xiàn)從中任取4個球.有下列結(jié)論：①取出的

最大號碼X服從超幾何分布；②取出的黑球個數(shù)丫服從超幾何分布；③取出2個白球的概

率為」；④若取出1個黑球記2分，取出1個白球記1分，則總得分最大的概率為」.其中

1414

正確的結(jié)論是（）

A.①②B.②④

C.③④D.①③④

8.（2022?四川成都?模擬預(yù)測）袋中有6個大小相同的黑球，編號為1,2,345,6,還有4個同

樣大小的白球，編號為7,8,9,10,現(xiàn)從中任取4個球，則下列結(jié)論中正確的是（）

①取出的最大號碼X服從超幾何分布；

②取出的黑球個數(shù)Y服從超幾何分布；

③取出2個白球的概率為1；

④若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為上

14

A.①②B.②④C.③④D.①③④

二、多選題

9.（2024?吉林?模擬預(yù)測）從含有2件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽出3件，貝U（）

A.抽出的產(chǎn)品中恰好有1件是次品的抽法有種

C3

B.抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為1-注

Joo

C3

C.抽出的產(chǎn)品中至少有1件是次品的概率為1-/

Joo

3

D.抽出的產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為京

10.（24-25高三上?四川綿陽?開學(xué)考試）某學(xué)校有甲、乙、丙三個社團，人數(shù)分別為14、21、

14,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行某項興趣調(diào)查.已知抽出的7人中有5人對

此感興趣，有2人不感興趣，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的深入訪談，用X表示抽

取的3人中感興趣的學(xué)生人數(shù)，則（）

A.從甲、乙、丙三個社團抽取的人數(shù)分別為2人、3人、2人

B.隨機變

C.隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為與

7

D.若事件A="抽取的3人都感興趣"，貝”（A）=亍

11.（23-24高三上.海南省直轄縣級單位.階段練習(xí)）已知隨機變量X的概率為

P(X=k)=水=0』,2,3,4,則下列說法正確的是（)

P（X=2）《

A.

B.E(X)=?

C.甲每次射擊命中的概率為0.6,甲連續(xù)射擊10次的命中次數(shù)X滿足此分布列

D.一批產(chǎn)品共有10件，其中6件正品，4件次品，從10件產(chǎn)品中無放回地隨機抽取4

件，抽到的正品的件數(shù)X滿足此分布列

三、填空題

12.（25-26高三上?上海?單元測試）某醫(yī)院派出16名護士、4名內(nèi)科醫(yī)生組成支援隊伍，現(xiàn)

在需要從這20人中任意選取3人去A城市支援，設(shè)X表示其中內(nèi)科醫(yī)生的人數(shù)，則

P（X=2）=

13.（2024高三?全國?專題練習(xí)）高三（1）班有50名學(xué)生，其中30名男生，現(xiàn)從中任選3

名學(xué)生參加體育抽測，用X表示男生被選中的人數(shù)，則P（x21）=；E（x）=.

14.（2024.天津.二模）盒子里有大小和形狀完全相同的4個黑球和6個紅球，每次從中隨機

取一個球，取后不放回.在第一次取到黑球的條件下，第二次取到黑球的概率是；若

連續(xù)取2次球，設(shè)隨機變量X表示取到的黑球個數(shù)，則E（X）=.

四、解答題

15.（24-25高三上?江蘇常州?期中）某校由5名教師組成校本課程講師團，其中2人有校本

課程開設(shè)經(jīng)驗,3人沒有校本課程開設(shè)經(jīng)驗.先從這5名教師中隨機抽選2名教師開設(shè)校本課

程，該期校本課程結(jié)束后，再從這5名教師中隨機抽選2名教師開設(shè)下一期校本課程.

（1）在第一次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)記為X,求X的分布列和

數(shù)學(xué)期望；

（2）求“在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是1”的概率.

16.（2024.廣東廣州?模擬預(yù)測）在某地區(qū)進行高中學(xué)生每周戶外運動調(diào)查，隨機調(diào)查了1000

名高中學(xué)生戶外運動的時間（單位：小時），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

［頻率

組距

0.15—...............n

So5

So4

。o3

。o2

。O1

o24681012141618時間（小時）

（1）求。的值，估計該地區(qū)高中學(xué)生每周戶外運動的平均時間；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點

值作代表）

（2）為進一步了解這1000名高中學(xué)生戶外運動的時間分配，在（14,16］,（16,18］兩組內(nèi)的學(xué)生

中，采用分層抽樣的方法抽取了5人，現(xiàn)從這5人中隨機抽取3人進行訪談，記在（14,16］內(nèi)

的人數(shù)為X,求X的分布列和期望；

（3）以頻率估計概率，從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機抽取8名學(xué)生，用“心⑻”表示這8名學(xué)生

中恰有左名學(xué)生戶外運動時間在（8,10］內(nèi)的概率，當勺?。┳畲髸r，求上的值.

17.（22-23高三下?山東濟寧?開學(xué)考試）某市為進行學(xué)科能力競賽表彰，其中數(shù)學(xué)組、物理

組獲獎情況如下表，組委會為使活動有序進行，活躍會場氣氛，活動中穿插抽獎活動.并用

分層抽樣的方法從兩個學(xué)科組抽取15人在前排就座，其中物理組有5人.

數(shù)學(xué)組物理組

男生3020

女生30

（1）求數(shù)學(xué)組中女生的人數(shù);

（2）若從前排就座的物理組5人中任選2人上臺領(lǐng)獎，設(shè)女生的人數(shù)為X,求女生人數(shù)X的

分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.（24-25高三上?北京?期中）某種產(chǎn)品按照產(chǎn)品質(zhì)量標準分為一等品、二等品、三等品、四

等品四個等級，某采購商從采購的該種產(chǎn)品中隨機抽取100件，根據(jù)產(chǎn)品的等級分類得到如

下數(shù)據(jù)：

等級一等品二等品三等品四等品

數(shù)量40301020

(1)根據(jù)產(chǎn)品等級，按分層抽樣的方法從這100件產(chǎn)品中抽取10件，再從這10件產(chǎn)品中隨

機抽取3件，記這3件產(chǎn)品中一等品的數(shù)量為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)若將頻率視為概率，從采購的產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件產(chǎn)品，求恰好有1件四等品

的概率；

(3)生產(chǎn)商提供該產(chǎn)品的兩種銷售方案供采購商選擇，

方案一：產(chǎn)品不分類，售價均為21元/件.

方案二：分類賣出，分類后的產(chǎn)品售價如下：

等級一等品二等品三等品四等品

售價/(元/件)24221816

從采購商的角度考慮，你覺得應(yīng)該選擇哪種銷售方案？請說明理由.

19.(24-25高三上?黑龍江牡丹江?階段練習(xí))隨著科技的進步和人民生活水平的提高，電腦

已經(jīng)走進了千家萬戶，成為人們生活、學(xué)習(xí)、娛樂的常見物品，便攜式電腦(俗稱“筆記本”)

也非常流行.某公司為了研究“臺式機”與“筆記本”的受歡迎程度是否與性別有關(guān)，在街頭隨

機抽取了50人做調(diào)查研究，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表所示.

男性女性合計

喜歡“臺式機”20525

喜歡“筆記本”101525

合計302050

(1)依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，分析喜歡哪種機型與性別是否有關(guān)？

(2)該公司針對男性客戶做了調(diào)查，某季度男性客戶中有青年324人，中年216人，老年108

人，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法選出12人，又隨機抽出3人進行答謝，這3人中

的青年人數(shù)設(shè)為隨機變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)?

附：％2—7.\/,\/\/中"=a+b+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)[b7+d)

a0.100.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

參考答案:

1.c

【分析】至多取到1件次品包含。件次品與1件次品兩種情況，再根據(jù)超幾何分布的概率公

式計算可得結(jié)果.

【詳解】在含有4件次品的100件產(chǎn)品中，任取2件，則至多取到1件次品，包含0件次品

與1件次品兩種情況，所以概率為C,6昏?6

joo

故選：C.

2.D

【詳解】若從袋中任取10個球共有C10100種取法，恰好有6個紅球，則有4個白球，故

取法有C680c420種，由古典概型的概率公式得概率為管宵

3.D

【分析】設(shè)抽得次品數(shù)為X,根據(jù)超幾何分布的概率公式求解概率，進而可求得E(X)的值.

【詳解】設(shè)抽得次品數(shù)為X,則隨機變量X的可能取值有0、1、2,

C27dC47C21

貝|JP(X=O)=V=,，P(X=1)=4p(x=2)=W=L,

人」15'''C；。15''C；°15'

7713

所以石(乂)=0、一+1乂一+2'—=一.

1515155

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)題意，可直接寫出對應(yīng)事件的概率.

1io

【詳解】由題可得，恰有2個村是“旅游示范村”的概率為？=避=行.

故選：B

5.B

【分析】由超幾何分布的概率公式列方程即可求解.

n(n-1)(12-n)

C2cl

【詳解】依題意可得」*=U，即3vF，整理得"―13〃+36=0,

C；25512x11x1055

6

解得〃=4或9,因為2VHV7,所以〃=4.

故選：B.

6.B

【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式計算即可.

C；c；+c?8

【詳解】根據(jù)題意，至少含有一個黑球的概率是

C；。15

故選：B.

7.B

【詳解】根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號

碼X不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，故①錯誤；取出

的黑球個數(shù)丫符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何

分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，故②正確；取出2個白球的概率為C2濘c2=-3,故③錯誤；若

jo'

取出1個黑球記2分，取出1個白球記1分，則取出4個黑球的總得分最大，...總得分最大

=:，故④正確.

的概率為

<4

8.B

【分析】根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取可判斷①②；利用超幾何

分布求概率的方式即可判斷③④

【詳解】對于①，根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出

的最大號碼X不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，故①錯

誤；

對于②，取出的黑球個數(shù)y符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類,

可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，故②正確；

對于③，取出2個白球的概率為故③錯誤；

對于④，若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則取出四個黑球的總得分最大，

總得分最大的概率為3=(,故④正確.

故選：B

9.ACD

【分析】對于A,由題意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，對于

BC,利用超幾何分布的概率公式求解，對于D,設(shè)抽出的次品數(shù)為X,由題意可知X可能

取值為0,1,2,求出相應(yīng)的概率，從而可求出其期望.

【詳解】對于A,若抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是次品，則抽出1件次品，2件合格品，

所以共有C；C；8種不同的抽法，所以A正確，

cYc3

對于B,由題意可知抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為不產(chǎn)+不詈，所以B錯誤,

joojoo

c3

對于C,由題意得抽出的產(chǎn)品中至少有1件是次品的概率為1-二普，所以C正確,

Cioo

對于D,設(shè)抽出的次品數(shù)為X,由題意可知X可能取值為0,1,2,則

p(X=0)=-^=—,P(X=1)=^2^=—,p(x=2)=^2^1

「3one「3「3

Joo。乙JJooJQQ1650

bi、iL/”、八776197cl3

以E(X)=0x-----FIx--------F2x-------=—,所以D正確.

8251650165050

故選：ACD

10.ACD

【分析】結(jié)合分層抽樣性質(zhì)求出各社團所需抽取人數(shù)判斷A,求隨機變量X的分布列，判

斷BD,由期望公式求X的期望，判斷C.

【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個社團分別需抽取％人，則

_y_z_7

14-2l-I4-l4+2l+l4r

所以%=2,y=3,z=2,

所以從甲、乙、丙三個社團抽取的人數(shù)分別為2人、3人、2人，A正確;

隨機變量X的取值有I,2,3,

I。14030（）2

尸(x=i)辛?！?2）=罟尸（X=3）=罟

777

所以隨機變量X的分布列為

1491S

由期望公式可得隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=1X]+2X]+3X]=7,c正確;

2

因為P（A）=P（X=3）=],所以D正確.

故選：ACD.

11.ABD

【分析】對于A,根據(jù)題目中的概率公式，可得其正誤；對于B,利用數(shù)學(xué)期望的計算公式,

可得其正誤；對于C、D,根據(jù)超幾何分布以及二項分布的定義，可得其正誤.

C2c23

【詳解】對于A：P(尤=2)=苛=*正確;

Jo7

對于B：E（x）=OP（x=0）+P（x=1）+2P（尤=2）+3P（x=3）+4P（x=4）

134

=^CC^+2C^2c^2+3C3^c^l+4C^C^°=4—+2x3-+3x2-+4x1—=1—2,正確;

C4C4C4C43577145及

JoMoJoJoJ

對于c：由每次射擊相互獨立，選項滿足二項分布，而題干中X為超幾何分布，錯誤;

對于D：由超幾何分布的定義，則正確.

故選：ABD.

12.A

95

【分析】根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布的概率公式求解.

【詳解】由題意得小=2)=魯=以黑.

故答案為：得

c9239

13.---------

9805

【分析】根據(jù)超幾何分布概率的計算公式得到P(x=o),又由事件XA1與事件x=o互為

對立事件得尸(X21)=1-P(X=0),再根據(jù)超幾何分布的期望公式得到E(x).

【詳解】因為事件Xtl與事件X=0互為對立事件，

而尸(X=O)=|F=急，所以尸(X21)=l_p(x=o)=l一詈=1一薪=蔡|

M30_9

所以￡(X)=n—=3x—=—.

v7N505

9239

故答案為：甌于

14

14.--/0.8

35

【分析】第一空由條件概率公式可求出結(jié)果；第二空由超幾何分布求出期望.

【詳解】設(shè)第一次取到黑球為事件A,第二次取到黑球為事件5,

42「(4府W

則尸(A)=云

5

2

所以尸(引A)=BR151

23

5

由題意可得X的取值為0』,2,

P（X=0）=*g，P（X=l）=等4尸（X=2）爺2

Lq。3Jojo15

1Qc24

所以￡（X）=0x§+lxm+2x—=

155

14

故答案為：—；—.

4

15.(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為二

【分析】(1)根據(jù)超幾何分布的知識求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.

(2)利用全概率公式來求得正確答案.

【詳解】(1)X的可能取值為0,1,2,

z^i0z~i2o01

P（X=0）=6=9,P（X=l）=59=O（X=2）X1

（）；

'7C|10vC；105,Cio

所以隨機變量X的分布列為

X012

331

P

10510

3314

其數(shù)學(xué)期望為儀*)=0乂京+展+2乂而=1.

(2)用8表示事件“在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是1”，

用A@=0,1,2)表示事件“第一次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是產(chǎn),

2

4,4,4兩兩互斥，za=。，

z=0

331

由⑴知尸(&)=玉，尸(4)=不尸(4)=談

2

由全概率公式得，尸(B)=ZP(4)尸(BIA)

i=0

=—X.41+-X23-I——X%2=—,

10C；5C；10C；50

所以在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是1的概率為2三7.

16.（l）tz=0.1,平均時間為9.16小時

（2）分布列見解析，期望E（X）=?

（3）左=2

【分析】（1）根據(jù)頻率和為1,可得。，再根據(jù)平均數(shù)公式直接計算平均數(shù)即可；

（2）分別計算時間在（14,16］,（16,18］的頻數(shù)，結(jié)合分層抽樣可得兩組分別抽取人，根據(jù)超

幾何分布的概率公式分別計算概率，可得分布列與期望；

（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知運動時間在（8,10］內(nèi)的頻率，根據(jù)二項分布的概率公式可得

4⑻，根據(jù)最值可列不等式，解不等式即可.

【詳解】（1）由已知2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+4+0.05+0.04+0.01）=1,解得。=0.1,

所以平均數(shù)為1x0.04+3x0.06+5x0.1+7x0.1+9x0.3

+11x0.2+13x0.1+15x0.08+17x0.02=9.16.

（2）這1000名高中學(xué)生戶外運動的時間分配，

在（14,16］,（16,18］兩組內(nèi)的學(xué)生分別有1000x0.08=80人，和1000x0.02=20人；

on

所以根據(jù)分層抽樣可知5人中在（14,16］的人數(shù)為5x如"=4人，在（16,18］內(nèi)的人數(shù)為

5—4=1人,

所以隨機變量X的可能取值有2,3,

所以P（X=2）="=g,P（X=3）=|-=|,

則分布列為

3919

期望■乂）=2><,+3><二=m；

3

（3）由頻率分布直方圖可知運動時間在（8,10］內(nèi)的頻率為0.15x2=0.3=—,

則即■圖圖

月化）優(yōu)+1）

若4（%）為最大值，則?

B（k）NR（k-iy

又ZeN,且04發(fā)48,則％=2.

17.（1）70

（2）分布列見詳解；|

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合分層抽樣求數(shù)學(xué)組人數(shù)，進而可得結(jié)果;

（2）分析可知物理組5人中男生有2人，女生有3人，X的可能取值有：0,1,2,結(jié)合

超幾何分別求分布列和期望.

【詳解】（1）由題意可知：物理組共有50人，每人被抽到的可能性為端=：

15-5

則數(shù)學(xué)組共有1一人，其中女生的人數(shù)為100-30=70.

10

（2）因為前排就座的物理組5人中男生有2三0x5=2人，女生有130^x5=3人,

可知抽到女生的人數(shù)為X的可能取值有：0,1,2,則有:

C2co101012

P(x=o}=^=—,p(x=i]=^6="3(X=2)=罟C°C3

v7Cf10v7Cl10io

可得女生人數(shù)x的分布列為

X0i2

133

p

io5io

所以女生人數(shù)X的期望E(X)=0x±+lxg+2x]=1.

18.(1)X的分布列見解析;￡(X)=|

⑵里

125

(3)應(yīng)該