奔馳定理與四心問題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)14奔馳定理與四心問題【五大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1奔馳定理】...........................................................................3

【題型2重心問題】...........................................................................6

【題型3垂心問題】...........................................................................9

【題型4內(nèi)心問題】...........................................................................12

【題型5外心問題】..........................................................................15

?命題規(guī)律

1、奔馳定理與四心問題

奔馳定理是平面向量中的重要定理，這個(gè)定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三

角形的面積和“四心”相關(guān)的問題有著重要作用；四心問題是平面向量中的重要問題，是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容,

在高考復(fù)習(xí)中，要掌握奔馳定理并能靈活運(yùn)用，對(duì)于四心問題要學(xué)會(huì)靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1奔馳定理】

1.奔馳定理

如圖，已知P為△48C內(nèi)一點(diǎn)，且滿足九刀十22族+段記=6,則有△/總、△4PC、△3PC的面

積之比為灰4法.

由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，所以我們把它稱為“奔馳定理”.這個(gè)定理對(duì)于利用

平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.

【知識(shí)點(diǎn)2四心問題】

1.四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各邊中線的交點(diǎn)叫做重心，重心將中線長度分成2:1.

___>--->--->->

②重心的向量表示：如圖，在△NBC中，點(diǎn)尸為△N8C重心-PN+P2+PC=0.

③重心坐標(biāo)公式：設(shè)N(xi,y),3(X2,/),C(X3,g),則△48C的重心坐標(biāo)為不|+；+%M+?+力).

A

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各邊上高線的交點(diǎn)叫做垂心.

②垂心的向量表示：如圖，在△4BC中，點(diǎn)尸為△/8C垂心-?麗=森?》=方5?記.

(3)內(nèi)心的概念及向量表示

①內(nèi)心的概念：三角形各角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心，內(nèi)心也為三角形內(nèi)切圓的圓心.

AB

②內(nèi)心的向量表示：如圖，在中，三角形的內(nèi)心在向量+①所在的直線上，點(diǎn)尸為^

R

48c內(nèi)心0|與卜PC+|^C|-FC+|G1|-PS=6.

(4)外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各邊中垂線的交點(diǎn)叫做外心，外心也為外接圓的圓心，外心到三角形各頂點(diǎn)的

距離相等.

②外心的向量表示：如圖，在△48C中，點(diǎn)尸為△/2C外心0|萬=|詬|=|京|.

2.三角形的四心與奔馳定理的關(guān)系

-->-->-->->

(1)0是△45C的重心：S^BOC；S△COA：SAAOB=1：1：10OA+OB+OC=0.

(2)0是△45C的垂心：S^BOC：S^COA-S^AOB=tanA:tan5:tanCtanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

—>—>—>->

(3)0是△45C的內(nèi)心：SABOC：SACOA：S2AOB=a:b:c0aOA+bOB+cOC—0.

(4)0是△45C的外心：

S/^BOC-S^COA-S/^AOB—sin2A:sin25:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

?舉一反三

【題型1奔馳定理】

【例1】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知點(diǎn)/,B,C,尸在同一平面內(nèi)，PQ^^PA,QR^^QB,RP^^RC,

則S/\4BC：S/\PBC等于（）

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

【解題思路】先根據(jù)向量的線性運(yùn)算得到4方+6而+9麗=6,然后再利用奔馳定理即可求解.

【解答過程】由礪若礪可得：而—所=家而—所），

整理可得：而=［而+：所=［而+：而，

由前=1近可得而=（（近-而），整理可得：PR=-|PC>

所以一］玩=］而+：瓦?，整理得：4PA+6PB+9PC=0,

由奔馳定理可得：SAABC&PBC=（4+6+9）:4=19:4,

故選：B.

【變式1-11（23-24高一下?廣西南寧?期末）已知。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足3瓦？+40B+50C=2AB+35C+

~CA,則也3=（）

SAABC

3

C.-D.

45

【解題思路】由題意可得4市+5加+3加=6,方法一：延長而至H點(diǎn)，令麗=3瓦？+,加=:前，從

而可得4”,B三點(diǎn)共線，進(jìn)而可求解；方法二：利用奔馳定理求解即可.

【解答過程】因?yàn)?市+40B+50C=2AB+3BC+CA,

所以3市+40B+50C=2（礪-01）+3（0C-OF）+（OA-OCy

即40A+SOB+30C=0.

方法1：???4OA+5OB=3CO,ol+=1CO,

延長而至H點(diǎn)，令m=(就+：礪=高加即4”,B三點(diǎn)共線，

則也g.-?-1

、S^ABcHC4

方法2：由奔馳定理，SBOC:SAOC:SAOB=4:5:3,故受絲=鼻=5

JA4BC4+5+34

故選B.

【變式1-2](23-24高一下?湖北?期中)奔馳定理：己知。是△力BC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC,AAOC,aAOB的

面積分別為〃，SB，SC,則S^DI+SB+Sc?配=。.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，

因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)。為三角形ABC內(nèi)一

點(diǎn)，且滿足：0A+20B+30C=3AB+2BC+CA,則登”=()

S^ABC

D

526-1

【解題思路】直接根據(jù)向量的基本運(yùn)算得到+或+2覺=6,再結(jié)合“奔馳定理”即可求解結(jié)論.

【解答過程】解：,??。為三角形力BC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足D1+2而+3配=3荏+2就+而，

?-0A+20B+30C=3(OF-0A)+2(0C-OB)+(OA-雙)030A+0B+20C=0,

S4,OA+Sg■OB+S(j?OC=0.

.SAAOB_SA4OB_Sc1

f

S/M8CS^AOB+S^BOC+S^AOCS^+SR+S。3

故選：D.

【變式1-3](23-24高三上?河南南陽?期中)奔馳定理：已知。是4ABe內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,AAOC,AAOB

的面積分別為SB，SC，則〃?瓦？+SB?加+S°?配=6.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)

論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”

若。是銳角/力BC內(nèi)的一點(diǎn)，A,B,C是A4BC的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)。滿足?而=歷?覺=沆?工5,則必有

()

A.sin4-0A+sinB-OB+sinC-OC=0

B.cosA-OA+cosB-OF+cosC-OC=0

C.tan4-04+tanB-~0B+tanC-OC=0

D.sin2A-OA+sin2S-OB+sin2C-OC=0

【解題思路】利用已知條件得到。為垂心，再根據(jù)四邊形內(nèi)角為2兀及對(duì)頂角相等，得到乙4。8=兀-C,再

根據(jù)數(shù)量積的定義、投影的定義、比例關(guān)系得到|市|：|礪|：|反|=cosA-.cosB-.cosC,進(jìn)而求出勾:SB：S。的值,

最后再結(jié)合“奔馳定理”得到答案.

【解答過程】如圖，因?yàn)橥撸?麗=而?瓦=沆?市，

所以荏?(瓦5-反)=0n赤?％?=0,同理瓦？?近=0,OC-AB=0,

所以。為2L4BC的垂心。

因?yàn)樗倪呅蜠OEC的對(duì)角互補(bǔ)，所以4力。8=兀一。，

同理，.?.加?瓦=一|歷||而|cos4,

■■.OC-OA=-\OC\\OA\cosB,

\OA\\OB\cosC=\OB\\OC\cosA=|0C||07|cosB.

.西|函cosC_|函園cos4_|閑畫cosB

,?\OA\\OB\\OC\_\OA\\OB\\OC\~\OA\\OB\\OC\"

\0A\-.\0B\:\0C\=cosA:cosB:cost,.

又SA=||OB||OC|sin（7r一力）=g|OB||OC|sinX

11

SB=2|函函sin（7i-B）=-\OA\\OC\sinB

11

Sc=2I礪IIa|sin（"-C）=-\OB\\OA\sinC

cccsin/sinBsinCsinZsinBsinC,.,?,「

S4：=——>:——》:——>—---:---:----13ri2i:tanB:tanC.

“L\0A\\0B\\0C\cos>4cosBcosC

由奔馳定理得tan4?OA+tanB?OB+tanCOC=0.

故選C.

【題型2重心問題】

【例2】（2024?貴州六盤水?三模）已知點(diǎn)。為△ABC的重心，AC=MA+nOB,則％+〃=（）

A.-3B.-2C.1D.6

【解題思路】作出圖形，將瓦I礪作為基底，先把前用6I礪，品表示，再將品也用6I礪表示，將等式

整理得到推導(dǎo)出前=-2市-云，結(jié)合平面向量基本定理算出?！ǖ闹?，進(jìn)而算出答案.

【解答過程】根據(jù)向量加法三角形運(yùn)算法知前=方+阮=而+礪+阮（*）；

產(chǎn)為BC中點(diǎn)，則就=2麗=2（麗+赤）（**）；

點(diǎn)。為△A8C的重心，則而=g而，

代入（**）得至lj,BC=2（BO+^AO）=2BO+AO,

代入（*）得至I,AC=A0+0B+2B0+A0=-20A-OB,

結(jié)合4C-AOA+fiOB,可得4=—2,〃=—1,所以4+林=-3.

故選：A.

【變式2-1]（2024?陜西西安?一模）已知點(diǎn)P是△4BC的重心，貝I」（）

—>1—>1—>—>1—>1—>

A.AP=-AB+-ACB.AP=-AB+-AC

6644

C.AP^-AC+-BCD.AP=：-AB+-BC

3333

【解題思路】利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.

【解答過程】設(shè)BC的中點(diǎn)為。，連接力D,點(diǎn)P是△ABC的重心，則P在4。上，

S.AP=jAD=^x^AB+AC）=^2AB+BC）=^AB+^BC

=|函+函+=|xc-|BC,

由此可知A,B,C錯(cuò)誤，D正確，

故選：D.

【變式2-2］（23-24高一下?四川巴中?階段練習(xí)）已知點(diǎn)G為△4BC的重心，D,E分別是力B,4C邊上一點(diǎn)，。,G,E

三點(diǎn)共線，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，若而=4而+〃荏，貝4+押最小值為（）

927

A.6B.7C.-D.—

22

【解題思路】根據(jù)重心性質(zhì)可得而=|前，再由三點(diǎn)共線得出F+g=l（4〉0,“>（））,根據(jù)“1”的變形技

巧利用均值不等式求最值.

【解答過程】由點(diǎn)G為△4BC的重心，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)知，

A----F-->=7Q---G---->=A-A----D-->+fi--A---E--,>

所以15=年而+g幅

因?yàn)?Gl三點(diǎn)共線，DE分別是邊上一點(diǎn),

所以三~+=1(a>o,〃>0),即a+〃=5(a>o,〃>0),

包A

等5+2=6,

a%

當(dāng)且僅當(dāng)手=:,即"1,〃=泄等號(hào)成立,

故選：A.

【變式2-3］（2024高一下?上海?專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)。是△ZBC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若瓦1+而+擊=6,則。為△ABC的重心；

B.若01+礪）?屈=（赤+反）?近=0,則。為△力BC的垂心；

c?若端+焉）?阮=。，品,善/則△由為等邊三角形；

D.若市+2時(shí)+3瓦=6,則△3OC與△/BC的面積之比為SABOC：SA4BC=1：6.

【解題思路】利用向量數(shù)乘運(yùn)算和三角形重心定義判斷選項(xiàng)A；利用向量數(shù)量積運(yùn)算和三角形垂心定義判

斷選項(xiàng)B；利用向量數(shù)量積運(yùn)算和等邊三角形定義判斷選項(xiàng)C；求得△BOC與△/BC的面積之比判斷選項(xiàng)

D.

【解答過程】對(duì)于A,如圖，取邊中點(diǎn)D,連接4B邊上的中線CD,則瓦？+旃=2礪，

又+礪+沆=6,A2OD+OC^0,：.\0C\=2\OD\,

二。為△ABC的重心，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,如圖，取AB邊中點(diǎn)。，BC邊中點(diǎn)E,連接。。，OE,

則瓦?+4=2而，OB+OC=20E,

'：(OA+OB)-AB=(OB+0C)BC=0,

20D-AB=2OEBC^0,

：.~ODAB=OE-BC=0,：.OD1AB,OEIBC,

：.ODi.AB,OE1BC,

：.OD,OE分別是BC邊上的垂直平分線，

AOA=OB=OC,。為△力BC的外心，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,作角力的內(nèi)角平分線力E與BC邊交于點(diǎn)E,

...黑為荏方向的單位向量，告為前方向的單位向量,

+［竺］=2.AE（A>0），

\AB\胸|

；.（焉+裔）?阮=4族?阮=0（2>0）,

：.AE1~BC,：.AE1BC,：.ACAB,△ABC為等腰三角形,

又:就點(diǎn)=點(diǎn)贏=cosB=3,且BG（0,TT）,，"三，

二△ABC為等邊三角形，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,設(shè)。B'=2礪，OC=3OC,

-->-->

由市+2市+3反=瓦得a+OB'+OC'=6,

則由選項(xiàng)A可知，。為△48'。'的重心，設(shè)△AB'C的面積S.BV=山

.1

''S^AOC'=SAA0B，=S^BOC，=3a，

又，：0B.OB',OC=|ocz,

.111111

：SS，=a，SB0C=S，=a，

-^AOC=^^AOC，=-a,SAA0B=2AAOB6^6^B0Cw

:*S^ABC=S^AOC+S^AOB+S^BOC=3。，

:?S&BOC；S&ABC=2山,=1：6,故選項(xiàng)D正確.

loJ

故選：B.

【題型3垂心問題】

【例3】（23?24高一下?上海浦東新?期中）。是平面上一定點(diǎn)，4B,C平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿

足加二市+4""B+，c）,26R,貝!|P的軌跡一定通過△ABC的（）

\\AB\cos^BC\AC\cosz.BCAj

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【解題思路】利用向量的數(shù)量積的定義式結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知等式，再由向量的數(shù)量積為零推

出向量垂直即可.

【解答過程】如圖所示，過點(diǎn)力作垂足為。點(diǎn).

則阮.—=他際N一國，

\AB\CQSZ-ABC\AB\COSZ-ABC11

同理品.南號(hào)=1園，

???動(dòng)點(diǎn)P滿足加=市+，（而告而+可餐），

AP=—+—1AeR.

\\AB\cosZ-ABC\AC\COSZ-ACD）

???AP-BC=4）=2（-|BC|+|BC|）=0,

\\AB\COSZ.ABC\AC\COSZ.ACDJK111"

APIBC,

因此尸的軌跡一定通過aABC的垂心.

故選：D.

【變式3-1］（23-24高一下?廣東東莞?期末）已知在△ABC中，。是△4BC的垂心，點(diǎn)P滿足：3OP-^OA+

+2OC,則aABP的面積與△ABC的面積之比是

2331

A.-B.-C.-D.-

3452

【解題思路】根據(jù)向量加法可得+［麗=。羽，進(jìn)而根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得的=2存，進(jìn)而判斷出

點(diǎn)P的位置，即可求解面積之比.

【解答過程】

如圖，設(shè)48的中點(diǎn)為M,

A

貝嶺瓦5+1OB=W,

故由3爐=]6？+[0^+2泥可得2加=斯一市+2泥，BP2OP-2OC=OM-OP,也即PM=2度,

由向量的共線定理可得C,P,M共線，且MP=：MC,

所以結(jié)合圖形可得受理=黑=I，

故選:A.

【變式3-2]（23-24高一下?山東?期中）設(shè)H是△力BC的垂心，且3沅？+4方豆+5沅=6,則COSNAHB的

值為（）

AV30R花

A.------BcD-T

io--T--T

【解題思路】根據(jù)題意，由垂心的向量表達(dá)式可得?何=布?近=南?覺，結(jié)合條件即可分別求得

\HA\.\HB\,結(jié)合向量的夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解答過程】因?yàn)镠是△4BC的垂心，所以方2?（何一流）=0,即福?南=應(yīng)?比,

同理可得而?（而一近）=0,即瓦？.而=而.沅，

所以TH-~HB=liA-~HC=~HB-He,

因?yàn)?瓶+4HB+SHC=6,所以3應(yīng)■近+4/7B-HB+5HC-HF=0,

所以忻引=v^,x<o,同理可得

772-775xV6

所以cos乙4HB=

故選：C.

【變式3-3]（2024高三下?全國?專題練習(xí)）如圖，已知。是△A8C的垂心，且瓦5+2而+3反=6,則

tanzJ9ZC:tan/ZBC:tanziZCB等于（）

C.2:3:4D.2:3:6

【解題思路】延長C。，BO,4。分別交邊ZB,AC,BC于點(diǎn)P,M,N,利用同底的兩個(gè)三角形面積比推得

X-dinZ-BAC\\,3.XIZ.ABC\Z-ACB=/^BOC^/\AOC'B/^AOB9從而得解.

【解答過程】。是△ZBC的垂心，延長CO,B0,4。分別交邊ZB,AC,8C于點(diǎn)P,M,N,如圖，

則BM1AC,AN1BC,乙BOP=AC,^AOP=^ABC,

因此，S&BOC=RC，BP=BP=OPtanNBOP二tan/B—,

'SMOC^OC-APZPOPtanz.AOPtanz.ABCf

同理S^BOC_tanzB4C

SMOBtan44cB

于是得tanz^i4C:tanZTl^C:tanz>lCB=S^B0C:S^A0C:S^A0B,

又瓦?+20B+30C=0

由“奔馳定理，，有S^BOC?OA+SAA0C-OB+SAA0B-OC-O

BP^ABOC:^AAOC-^AAOB=1:2:3，所以tanZ_R4C:tanZ_4BC:tanZTlCB=1:2:3,

故選：A.

【題型4內(nèi)心問題】

【例4】（2024?四川南充三模）已知點(diǎn)P在△2BC所在平面內(nèi)，若刀.（告-黑）=麗?（緇-鬻）=0,

v\AC\\AB\\BC\\BA\'

則點(diǎn)P是△ABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義可得AP平分NB4C,BP平分NHBC,結(jié)合

三角形內(nèi)心定義判斷即得.

【解答過程】在△力BC中,由港?備勤=0,得刀.備=可襟,

即族?篁?=1??空，由麗.（煞—絲）=0,同理得前?空=麗?絲，

14cl\AB\、|BC|\BA\J\BC\\BA\

顯然而即P與力不重合，否則COS乙4BC=1,同理前7也

貝!!|力「忙05/^>4。=|4。］（：054「48,BPcosZ.PAC—cosz.PAB,/.PAC—Z.PAB,

于是4P平分NB4C,同理BP平分乙4BC,

所以點(diǎn)尸是△力BC的內(nèi)心.

故選：D.

【變式4-1］（23-24高一下?四川成都?期末）已知點(diǎn)。是△力BC的內(nèi)心，AB=4,AC=3,CB=ACA+iiCO,

則4+〃=（）

457

A.-B.-C.2D.-

333

【解題思路】連接4。并延長交BC于點(diǎn)D,連接C。，則由角平分線定理得到CB,CD的長度關(guān)系，再由平面向

量基本定理，利用4,0,D三點(diǎn)共線，得到關(guān)系式，比較系數(shù)可得答案.

【解答過程】連接4。并延長交BC于點(diǎn)D,連接CO,

因?yàn)椤Ｊ恰鰽BC的內(nèi)心，所以力。為ZB4C的平分線，

所以根據(jù)角平分線定理可得當(dāng)=*=g

CL/jiCJ3

所以荏=（前，

因?yàn)?。,。三點(diǎn)共線，所以設(shè)方=兄^+（1-t）加，

則施=-CD=-CA+衛(wèi)衛(wèi)而，

333

因?yàn)檐?XCA+liCO,

所以4+〃=日+鋁=/

故選：D.

B

D

【變式4-2]（2023高三?全國?專題練習(xí)）在△ABC中，若sin/B力t>Pl+sin乙4BC?麗+sin/4CB?而=6,

則點(diǎn)P是△力BC的（）

A.重心B.內(nèi)心C.垂心D.外心

【解題思路】根據(jù)“奔馳定理”列方程，整理后判斷出P是△ABC的內(nèi)心.

【解答過程】過點(diǎn)P分別作BC,CA,4B的垂線PD,PE,PF,其垂足依次為D,E,F,如圖所示,

由于smZ-BAC-PA+sinZ.ABC-PB+sinZ.ACB-PC=0,

根據(jù)奔馳定理就有：

S△BPC：S△CPA：SAAPB=sinz.BAC:sinzylBC:sinZ-ACB=BC:AC:AB,

BpQfiCxPD）:（jACxPE）:（jABxPF）=BC:AC:AB,

因此PD=PE=PF,故點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，B選項(xiàng)正確.

故選：B.

【變式4-3]（2024高三?全國?專題練習(xí)）在△ABC中，|福|=2,|前|=3,|瓦=4,O是△ABC的內(nèi)心,

且a5=ZAB+面,貝!M+fi=（）

A.—B.—C.-D.-

101099

【解題思路】根據(jù)引理證明定理3,即可定理3的結(jié)論求解.

【解答過程】先證明：引理（“奔馳”定理）如圖1,O是△力BC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC,AAOC,△AOB的面積

分別為力，SB，SC，則L市+SB赤+S0反=在

圖1圖2圖3

證明如圖3,延長AO,與BC邊相交于點(diǎn)D,

則|BD|_S&ABD_S^BOD_-SABOD_S4ABD-S4BOD_SC

\DC\S^ACDSACOD-S^CODSAACD-S.CODSB

記臀=九則麗=4尻，即礪一礪=4（沉一麗），

所以一（1+A）OD+0B+MC=0,

又而=一曾被=一-^_QA,所以人（1+女）市+加+之旅=6,

\OA\SB+SCSB+SC\SBJSB

從而S^OZ+SBOB+S（jOC=0.

接下來證明定理3。是△力BC的內(nèi)心oa瓦＜+6赤+c3?=6（其中a,b,c是△ABC的三邊長）.

證明設(shè)△4BC的內(nèi)切圓半徑為r,0是△ABC的內(nèi)心，

貝⑸的:與徵“'.=a-.b-.c.

根據(jù)引理得，0是△4BC的內(nèi)心=a瓦？+b赤+c反=6.

由而=AAB+面,可得而=4（礪-0A）+M（OC-OB'）,

即（1-A）O4+（A-〃）礪+nOC=0,

因?yàn)?為△ABC的內(nèi)心，|屈|=2,|前|=3,|阮|=4,

根據(jù)定理3,可知與i=.=多解得4=a“=?!，故2+4=（

故選:D.

【題型5外心問題】

【例5】（23-24高一下?天津北辰?期中）。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足+礪）?瓦？=（礪+反）?

CB（0C+0A）-AC,則。是△48。的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算判斷得解.

【解答過程】依題意，02+赤）?瓦5=01+而）?02-加）=|0X|2-\0B\2,

（OB+0C）-~CB=（OB+0C）■（OB-0C）=\0B\2-|0C|2,

（OC+0A）-AC=（OC+0A）■（OC-0A）=|0C|2-\0A\2,

貝山市『一|Qg|2=|ofi|2—|而『=|oc|2_|ox|2；于是|市|=\0B\=|QC|,

所以。是△ABC的外心.

故選：B.

【變式5-1]（23-24高三下?新疆?階段練習(xí)）在△ABC中，AC=247,。是△ABC的外心，M為BC的中點(diǎn)，

AB-AO=8,N是直線0M上異于M、。的任意一點(diǎn)，則麗?阮=（）

A.3B.6C.7D.9

【解題思路】根據(jù)外心的性質(zhì)得到?！?BC,設(shè)赤=AOM,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到前-BC=-AO-AB+

AO-AC,再由數(shù)量積的定義及幾何意義求出而?尼，從而得解.

【解答過程】因?yàn)?。是△力BC的外心，M為BC的中點(diǎn)，設(shè)4c的中點(diǎn)為D,連接。D,

所以。M_LBC,OD1AC,設(shè)而=4而，

貝麗?BC=(X0+ON)-BC^AO-BC+WM-BC

=AO-BC=AO-(BA+AC)

=AO-BA+AO-AC=-A0-AB+A0-AC,

XO>AABC的外心，所以而-AC=\AO\-|XC|COSZC/1O=(|^4O|coszCXO)?|XC|

=1祠2=N(2仞2=14,

所以而BC=-A0-AB+Ad-AC^-8+14^6.

故選：B.

【變式5-2](2024高三?江蘇?專題練習(xí))已知。為△ABC的外心，若4(0,0),8(2,0),4。=1,484。=120。,

且前=AAB+fiAC,貝！U+〃=()

213

A.-B.2C.1D.—

36

【解題思路】由圖形在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置，求出C點(diǎn)和。點(diǎn)的坐標(biāo)，得前,前,前的坐標(biāo)，由前=4荏+〃前,

列方程組求出4和4即可；或利用圖形關(guān)系結(jié)合解三角形知識(shí)及平面向量基本定理即得.

【解答過程】解法一：

若4(0,0),8(2,0),4?=1,皿C=120。,則有C(—發(fā)乎)，如圖所示,

設(shè)△ABC的外心0(%,y),由|。川=|OB|,得J/+y2=,(八_2)2+y2,解得久=i,

由I。川二|?？?，得萬仔=J(i+￡)2+(y_5j，解得y=苧，

得0(1,苧),則而=(1,竽),

/A^

即M

V3

5

A--

得6

-4

M-

3

故a+jU=—.

6

方法二：

過點(diǎn)力作力G1BC于G,過點(diǎn)。作。H1BC于H,

過點(diǎn)。作EF〃BC交4C的延長線于E,交4B的延長線于F,

因?yàn)?(0,0),B(2,0),AC=1,Z.BAC=120。,則=2,

由余弦定理，CB2=AC2+AB2-2AC-AB-cos^BAC=1+4+2=7,貝iJCB=夕，

而三角形4A8C的外接圓的半徑為軍方x；="，

smlzO23

所以。"盾Ft，

且SMBC=-BC=^AC-AB-sinl200,所以4G=呼，

V21

所以白筆=壽號(hào)，得所以"號(hào)力EMB=》F,

76

故而=AAB+fiAC=^AF+^AE,

由于O,E,F三點(diǎn)共線，有￡+得=1，因此4+〃=弓.

故選：D.

【變式5-3](2024?遼寧撫順?模擬預(yù)測(cè))在銳角三角形中，A=60°,AB>AC,〃為△ZBC的垂心,

AH-AC=20,O為△4BC的外心，且說.而=?|用|?|而|,則=()

A.9B.8C.7D.6

【解題思路】作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，利用向量數(shù)量積可求得尻=40,再由。為的外心，可得NBA。=

90°-C,從而可得NOAH=C—N4BC,解方程組cos(C—ZBC)=*與cos(C+NABC)=-1可得

sinCsinN力BC的值，最后由正弦定理即可求解.

【解答過程】

設(shè)△4BC的內(nèi)角4,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,

如圖，延長3"交NC于D,延長//交3C于￡,所以BD_L4C,

所以京-AC=|AD|-\AC\=|AB|cos60°?\AC\=20,即be=40.

又。為△ABC的外心，所以N4OB=2C,即NB4O=90°—C,

又在△力BE中，/.BAE=90°-/.ABC,

故N04H=90°-AABC-（90°-C）=C-^ABC,

所以cos（C-乙4BC）=cos^OAH=罌普=3與cos（C+乙4BC）=-相減得sinCsinzXBC=—,

L4H,L4O98249

所以由正弦定理得,（三）2=學(xué),即BC2.[=竽，解得8c=7.

smCsmz.ABCvsin/l/333

故選：c.

A過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2024?全國?二模)點(diǎn)。,P是△ABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足加=?。?而+瓦，則直線OP經(jīng)

過△A8C的()

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解題思路】根據(jù)向量的運(yùn)算，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析，即可判斷.

【解答過程】設(shè)BC的中點(diǎn)為點(diǎn)D,所以南+左=2加，

則加一市=而=2OD,

若4P,。,。四點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)O,P都在中線4。上，所以。P經(jīng)過三角形的重心，

若4P,。,。四點(diǎn)不共線時(shí)，AP//OD,S.AP=20D,連結(jié)力D,OP,交于點(diǎn)G,

如圖，

綜上可知，0P經(jīng)過△4BC的重心.

故選：A.

2.（23-24高一下?河南安陽?期末）已知。是aABC內(nèi)的一點(diǎn)，若△BOC,△力。C,△力。B的面積分別記為

S1，S2，S3，貝”1?D1+S2?加+S3?玩.這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱

其為“奔馳定理如圖，已知。是△ABC的垂心，且就+20B+30C=0,則tan/B力C:tan/ABC:tan/ACB=

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【解題思路】延長CO,BO,/O分別交邊AC,BC于點(diǎn)、P,M,N,利用同底的兩個(gè)三角形面積比推

得tan/B力C:tan乙4BC:tanZ_4CB=S1:S2：S3即可求解作答.

【解答過程】。是△4BC的垂心，延長CO,BO,4。分別交邊/￡AC,BC于點(diǎn)、P,M,N,如圖，

貝IJCP1AB,BM1AC,AN1BC,乙BOP=^BAC,^AOP=/.ABC,

于是得tan/BZC:tanzJlBC:tanZTlCB=S1:S2:S3,

又6？+2加+3灰=0,即配=—g五5-1麗，由“奔馳定理”有Si-D1+S2,U^+S3?覺=。，

則配=一雪.01—魯?礪，而與礪不共線,有獸=30=3即S1：52：S3=1:2:3,

$3S3S33s33

所以tan/BZC:tan/ZBC:tan/ZCB=1:2:3.

故選：A.

3.（23-24高一下?安徽合肥?階段練習(xí)）點(diǎn)尸是銳角△力BC內(nèi)一點(diǎn)，且存在4CR,使方=4（同+就），則

下列條件中，不能判斷出△力BC為等腰三角形的是（）

A.點(diǎn)P是△4BC的垂心B.點(diǎn)P是△4BC的重心

C.點(diǎn)P是△ABC的外心D.點(diǎn)P是△力BC的內(nèi)心

【解題思路】由已知判斷點(diǎn)尸在直線力D上，結(jié)合垂心、重心、外心、內(nèi)心的定義逐一判斷即可.

【解答過程】記BC的中點(diǎn)為。，則Q=4（四+而）=2元而，

所以，點(diǎn)尸在直線4D上.

A選項(xiàng)：若點(diǎn)P是△4BC的垂心，貝！MD1BC,

所以4B=AC,所以△ABC為等腰三角形，A正確；

B選項(xiàng)：若點(diǎn)P是△4BC的重心，則點(diǎn)P在BC邊的中線上，無法推出ADLBC,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：若點(diǎn)P是△力BC的外心，則點(diǎn)P在8c邊的中垂線上，

所以力DJ.BC,所以△A8C為等腰三角形，C正確；

D選項(xiàng)：若點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，貝必。為NB4C的角平分線，

所以NB4D=/.CAD,

又SAABD=S^ACD，^AB-ADsinZ.BAD=AC-ADsinZ-CAD,

i^AB=AC,D正確.

故選：B.

4.（2024?安徽?三模）平面上有△力BC及其內(nèi)一點(diǎn)。，構(gòu)成如圖所示圖形，若將△。力B,△OBC,AOCA

的面積分別記作Sc，Sa，Sb,則有關(guān)系式Sa-O5+Sb?磴+Sc?灰=0.因圖形和奔馳車的/。9。很相似，常

把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”.已知△A8C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C,若滿足+

OC=0,則。為△ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【解題思路】根據(jù)平面向量基本定理可得稱=2,*=￡,延長C。交2B于E,延長B。交AC于尸，根據(jù)面積比

saaSaa

推出博=福，結(jié)合角平分線定理推出CE為N4CB的平分線，同理推出BF是N4BC的平分線，根據(jù)內(nèi)心的定

但圖\BC\

義可得答案.

【解答過程】由Sa?市+Sb?/+Sc?沈=。得市=-^OB-^OC,

3a3a

由a.DZ+b.加+「泥=6得夠=--OB--OC,

aa

根據(jù)平面向量基本定理可得一%=—2-主=—二

SaaSaa

所以普=2,各=二

SaaSaa

延長C。交力B于E,延長BO交AC于F,

所以CE為乙4cB的平分線，

同理可得BF是N4BC的平分線，

所以。為△ABC的內(nèi)心.

故選：B.

5.（23-24高一下?上海奉賢?期中）設(shè)。為△A8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足D1+2在+2泥=0,貝也43。

的面積與△BOC的面積的比值為（）

A.6B.-C.—D.5

37

【解題思路】延長OB到D,使。B=BD,延長0C到E,使0C=CE,連接力D,DE,力E,則由已知條件可得。

為△4DE的重心,由重心的性質(zhì)可得S/^OD=SA40E=SMOE=S,再結(jié)合中點(diǎn)可求出SooB,S^aoc,^ABOC

的面積，進(jìn)而可求得答案

【解答過程】解：延長。B到。，使。8=BD,延長。C到E,使。C=CE,連接

因?yàn)槎梗?2加+2沈=瓦所以瓦5+彷+DT=6,

所以。為△ADE的重心，

所以設(shè)SaA0D=S^MOE=S^DOE=S，=S^Aoc=S/^BOC=：S,

所以SA4BC=：S+?S+；S=JS,

ZZ44

所以受型年=5,

b^BOC-S

故選：D.

6.(23-24高一下?甘肅?期末)“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美

的結(jié)論.它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BMC,△力MC,△4MB的面積分別為力，SB,Sc,且

SA?篇+SB?麗+Sc?流=0.若M為△力BC的垂心，3雨+4麗+5標(biāo)=0,則cos/AMB=()

【解題思路】根據(jù)力-MA+SB-MB+SC-MC=0^3MA+4MB+5MC=0得%SB:SC=3:4:5,從而可

以得出嚶=4，*=3,設(shè)MD=x,MF=y,得AM=3x,BM=2y,再結(jié)合垂心和直角三角形余弦值即可

求解.

【解答過程】

A

如圖，延長力M交BC于點(diǎn)D,延長BM交2C于點(diǎn)F,延長CM交2B于點(diǎn)E.

由M為△力BC的垂心，3M<+4麗+5標(biāo)=0,且2?祈彳+SB?麗+S。?疵=0,

得SA：SB：Sc=3:4:5,所以SB=沁舟=沁，

又S0BC=S4+SB+SC，則濘=4,同理可得注=