第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù) 章節(jié)總結（原卷版）-2025年高考數(shù)學一輪復習（新高考專用）

第11講：第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)

章節(jié)總結

第一部分：典型例題講解

題型一：函數(shù)的定義域

谷+的定義域為

1.（23-24高一上?河北石家莊?期末）函數(shù)/（力=)

B.IT(1,+e)

2

D.—,+co

3

2-⑵-24高一上?云南昆明?期末）函數(shù)+的定義域為（）

A.（1,+8）B.（l,2）u（2,+oo）

C.（-oo,l）D.（0,2）u（2,+oo）

3.（23-24高一下?安徽安慶?開學考試）若函數(shù)八2'-1）的定義域為［-1』，則函數(shù)〃腕2彳-1）

的定義域為

4.（23-24高一上?江蘇無錫?期末）已知函數(shù)〃x）=&4+ln（l-x）,則〃2x）的定義域

為.

5.（23-24高一上?湖北武漢?期末）已知函數(shù)〃x）的定義域為（-5,4）,則函數(shù)

g（元）=3f（2x+1）+log?gx+j的定義域為.

題型二：函數(shù)的值域（最值）

1.（23-24高二上?廣東廣州?期末）函數(shù)〃力=2%+"-/的最大值是（）

A.75B.2-75C.2+石D.4

2.（多選）（23-24高一上?山東濰坊?期末）已知函數(shù)/*）的定義域為R,值域為［-2,3］,

則下列函數(shù)的值域也為［-2,3］的是（）

A.y=f（x+l）B.y=f（x）+lC.y=/（-%）D.y=-f（x）

CCSX

3.（2023高三上?全國?專題練習）函數(shù)〃尤）,的值域是______________.

2COSX+1

4.（2024高三?全國?專題練習）求函數(shù)y=Jx—l+j5—x的最大值.

x—1

5.(23-24高一上?吉林?期末)已知函數(shù)〃=-1左

II+k,%e[-l,o]

⑴％=-1時*求〃x)的值域;

⑵若“X)的最小值為4,求上的值.

6.(2023高三?全國?專題練習)求函數(shù)〃彳卜』二1"的值域?

7.(23-24高一上?重慶南岸?階段練習)(1)已知函數(shù)/(無)=4〃+l)x2-g+的定義

域為R,求實數(shù)旭的取值范圍；

(2)已知函數(shù)/?(x)=J“無2+2*+1的值域為［0,+e),求實數(shù)。的取值范圍.

題型三：求函數(shù)的解析式

1_/

1.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)〃17)=彳；("0),則/(X)=()

B.廠\-1(無/1)

(1)

4

c.7-干一1(尤/0)D.7~^T(xwi)

(I)(I)

x-￡j=Y+g,則函數(shù)〃x+l)的表達式為(

2.(23-24高一上?天津南開?期中)已知了

A.仆+1)=(尤+1丫+/7

(x+1)

C./(尤+1)=%?+2x+3D./(x+1)=x2+2x+l

3.（多選）（23-24高一上?山西太原?期中）已知函數(shù)/（?+1）=2尤+?-1,則（）

A.“3）=9B./（x）=2x2-3x（x>1）

C.7（%）的最小值為-1D.4%）的圖象與x軸有2個交點

4.（23-24高一上?湖北?期末）函數(shù)〃X）滿足〃可+/]￡|=0,請寫出一個符合題意的函

數(shù)〃尤）的解析式.

5.（2024高一?全國?專題練習）已知了⑺是二次函數(shù)且"0）=2,/（x+l）-/W=x-l,求

6.（23-24高一上?河北?階段練習）⑴已知/（?+1）=X+24,求〃x）的解析式;

（2）/（x）-2/（-x）=9x+2,求〃x）的解析式.

題型四：分段函數(shù)問題

「XI-ya_-y-1

1.（23-24高三上?安徽六安?期末）函數(shù)〃x）=一’，若/'（/+1）〈"-104）-〃5）,

UXX-,XX

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.{-1}B.（-oo,-l]

C.D.

2.（2024?廣東深圳?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=]：一"，無；3,若現(xiàn)eR,使得

[log3x,x>3

/5）W10〃?+4病成立，則實數(shù)機的取值范圍為（）

C—

D.o[0,+??)

(44

3.(2024高三?全國?專題練習)定義域為R的函數(shù)/(%)滿足/(x+2)=2〃x),當％W0,2)

X2-x,XG[0,1)

時，〃尤)=，若xe[Y,-2)時，f(x)>L-L恒成立，則實數(shù)r的取值

-匕|,xe[l,2)

范圍是()

A./(%)=%aB.[-2,0)3—)

C.(F-2]5?！籇.[-2,1]

(5m—3}x—2m2+1,x<l?,”,,

4.(23-24高一下?廣西,開學考試)己知〃力=’,是R上的單調函數(shù),

logm%,x>l

則m的取值范圍是.

：-尤?。篬T'J無最大值,則實數(shù)0

5.(23-24高一下?上海?階段練習)若函數(shù)〃x)=

\x-a\-2,xe(1,3J

的取值范圍

題型五：函數(shù)的單調性

1.(2024?陜西西安?二模)已知函數(shù)/(無)=；尤2-2尤+lnx.若〃a+l)N/(2a-l),則〃的取

值范圍是()

A.(^30,—1]B.(-1,2]C.[2,+co)D.(了2

2.(2024,廣東?一模)已知=若/⑷<3,則()

A.ae(1,+co)B.4?e(-l,l)C.ae(-co,l)D.ae(0,l)

3.(2024?云南貴州?二模)若函數(shù)f(x)的定義域為R且圖象關于>軸對稱，在[。,+?)上

是增函數(shù)，且/(-3)=0,則不等式/(x)<0的解是()

A.(-8,-3)B.(3,+8)

C.(-3,3)D.(-co,-3)u(3,+oo)

4.(2024高一?全國?專題練習)定義R上單調遞減的奇函數(shù)/⑴滿足對任意feR,若

f(t2-2。+/(2〃一口<0恒成立，求％的范圍____.

5.（2024?四川成都?二模）已知函數(shù)/（x）=3x-siiu,若〃+f一？）>0,則實數(shù)。的

取值范圍為.

題型六：函數(shù)的單調性，奇偶性，對稱性，周期性綜合應用

1.（2024?山東煙臺?一模）已知定義在R上的奇函數(shù)了⑺滿足/（2-x）=f（x）,當0W1時，

f（x）=2x-l,則〃logzl2）=（）

1111

A.—B.--C.—D.—

3432

2.（2024.河北滄州?一模）已知定義在R上的函數(shù)/（%）滿足：

2024

/（x）+f（2-x）=2,/（x）-/（4-x）=0,且〃0）=2.若QN*,則￡/?）=（）

i=\

A.506B.1012C.2024D.4048

3.（23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習）已知定義在R上的偶函數(shù)Ax），其周期為4,當xc［0,2］

時，/（%）=2"-2,則（）

A.”2023）=0B./⑴的值域為

C./⑺在［4,6］上單調遞減D./⑺在［-6,6］上有8個零點

4.（多選）（23-24高一下.江西.開學考試）已知〃x）是定義在R上的奇函數(shù)，且

/（4-x）=〃x）,若對于任意的玉，XjG［2,4］,都有（占-X2）"（XI）-〃X2）］<。，則（）

A./（X）的圖象關于點（一2,0）中心對稱B.f（x）=f（x+8）

C./（X）在區(qū)間［-2,2］上單調遞增D./（尤）在x=66處取得最大值

5.（多選）（2024?吉林白山?二模）已知函數(shù)“X）的定義域為R,其圖象關于（1,2）中心對

稱，若則（）

4

A.〃2-3x）+/（3x）=4B.f（x）=f（%-4）

20

C.7（2025）=T046D.^/（z）=-340

i=l

6.（23-24高三下?陜西?開學考試）已知定義在R上的函數(shù)/（x+1）為奇函數(shù)，“X+2）為偶

函數(shù)，當xe［0,l］時，〃力=3丁一3x,則方程在［0,99］上的實根個數(shù)為.

題型七：不等式中的恒成立問題

4

1.(23-24高一上?重慶,階段練習)已知函數(shù)/■(x)=x+Fg(x)=2'+a.若

V^e[l,3],3x2e[2,3],使得〃占)*卜)成立，則實數(shù)。的范圍是()

A.a<4B.a<3C.a<0D.a<l

2.(23-24高一上?江蘇揚州?階段練習)已知正實數(shù)x。滿足2x+3y=l,且比對

任意乂丫恒成立，則實數(shù)r的最小值是.

3.(23-24高一下?上海金山?階段練習)定義域為R的函數(shù)了⑺滿足/(x+2)=2/(x),當

,21

xe[0,2）時，若當xe[Y,-2)時，不等式“X”：一+；恒成

立，則實數(shù)，的取值范圍是.

4.(23-24高一下?北京延慶?階段練習)設。為常數(shù)，且a>l,?^/(x)=cos2x+2asinx-l,

若對任意的實數(shù)x,都有/(x)V/-4成立，求實數(shù)a的取值范圍.

5.(23-24高一上?北京?階段練習)已知函數(shù)

/(x)=logj(x+l)+log](x-l),g(x)=%2-ax+6(aeR)

22

(1)求函數(shù)“X)的定義域.

⑵判斷函數(shù)“X)的奇偶性，并說明理由.

⑶對V匕e[百,+@,9?1,2],不等式恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

6.(23-24高一上?北京?期中)若二次函數(shù)滿足〃x+l)-/(x)=2x,且/(0)=1

(1)確定函數(shù)的解析式；

⑵若在區(qū)間上不等式/(x)>2x+m恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

題型八：不等式中的能成立問題

1.(23-24高一上?河南駐馬店?期末)已知定義在R上的函數(shù)〃x)=log2(2'+l)+(左+l)x,

且了(力-x是偶函數(shù).

⑴求/(X)的解析式;

(2)當xw[-3,0]時，記”X)的最大值為g(x)=x2-2mx+2,若存在xw[2,4],使

g(x)<M,求實數(shù)機的取值范圍.

a—x

2.(23-24高一下?黑龍江大慶?開學考試)已知函數(shù)Ax)=logj「i,g(x)="4:2，+2+3

9/ILyJv

(1)若y=ig[g(x)]的值域為R,求滿足條件的整數(shù)加的值；

(2)若非常數(shù)函數(shù)"X)是定義域為(-2,2)的奇函數(shù)，且％e[l,2),3^e[-l,l],

/(石)—心)〉-；，求加的取值范圍.

3.(23-24高一下?云南紅河?階段練習)已知函數(shù)"X)=T(a>0,aw1)是定義在R上

的奇函數(shù).

(1)求6的值；

(2)若/⑴<0,3xe1,2,使得不等式+一切>0成立，求f的取值范圍.

4.(23-24高一下?河北石家莊?開學考試)已知幕函數(shù)/(x)="-4,w+4)?尤2"一在(_雙0)上

單調遞減.

⑴求函數(shù)〃x)的解析式；

(2)若/(l-2x)</(x+2),求x的取值范圍；

⑶若對任意天目1,2],都存在ae[l,2],使得+成立，求實數(shù)/的取值范圍.

5.(23-24高一上?江西新余?期末)已知函數(shù)/(x)=方弓的圖象經過點

(1)求〃的值，判斷〃尤)的單調性并說明理由；

⑵若存在不等式/(尤2+.)+/(d+4)>0成立，求實數(shù)用的取值范圍.

題型九：函數(shù)的圖象

3x2+cosx

1.（23-24高三下?四川巴中?階段練習）以下最符合函數(shù)〃x）=的圖像的是（）

2'_2T

3.（2024,福建?模擬預測）函數(shù)/（x）=g/+cos無在［-私句上的圖象大致為（）

4.（2024?內蒙古赤峰?一模）在下列四個圖形中，點尸從點。出發(fā)，按逆時針方向沿周長

為/的圖形運動一周，。、尸兩點連線的距離y與點P走過的路程尤的函數(shù)關系如圖，那么

點尸所走的圖形是（）

5.（233高一下廣東惠州?階段練習）函數(shù)/⑺二沾的圖象大致為（）

題型十：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，募函數(shù)

1.（23-24高三上?天津南開?階段練習）已知a=e°」，^=l-21g2,c=2-log310,則。，b,

c的大小關系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

2.（2024?浙江?二模）若函數(shù)/a）=ln（e"+l）+改為偶函數(shù)，則實數(shù)。的值為（）

11

A.—B.0C.-D.1

22

3.（2024?河北滄州?模擬預測）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的

廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為

2.25g/m3,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/n?,第"次改良工藝后

排放的廢水中含有的污染物數(shù)量《滿足函數(shù)模型豌ieR,〃eN*），

其中2為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，彳為首次改良工藝后排放的廢水中含

有的污染物數(shù)量，”為改良工藝的次數(shù).假設廢水中含有的污染物數(shù)量不超過0.65g/n?時符

合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少為（）（參

考數(shù)據(jù)：想2。。.30,lg3合0.48）

A.12B.13C.14D.15

4.（2024?河南鄭州?模擬預測）函數(shù)〃尤）=（2彳+4）2-1082（23川+2）是偶函數(shù)，則。的值為

（）

,1333

A.—B.-C.—D.-

8248

5.（2024?陜西西安?二模）已知定義域為R的函數(shù)/⑺滿足/（x+2）=-〃x）,且當0<%<2時，

/（x）=3'-lnx,貝lj/（211）=.

3X

6.（2024?河南?模擬預測）若f（x）=log3（3+3*）+（x+dp是偶函數(shù)，則實數(shù)a=.

題型十一：函數(shù)中的零點問題

1.（2024,陜西?二模）已知七，々是函數(shù)/（?=（尤一2乂e，-2-l）-e（ei+l）的兩個零點，

則e*s=（）

A.1B.eC./D.e4

2.（2024?四川?模擬預測）已知函數(shù)y=/（x-2）的圖象關于直線x=2對稱，對任意的xeR,

都有〃x+3）=/（xT成立，且當xe[-2,0]時，f[x）=-x,若在區(qū)間（-2,10）內方程

/（X）-log.（x+2）=0有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.（2,20）B.（2,2&]C.（2虎,2白）D.（20,26]

3.（2024?新疆烏魯木齊?二模）設x>0,函數(shù)、=/+尤-7,丫=2工+%-7,丫=1082%+；1-7的

零點分別為。，4c,貝U（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

4.（2024?陜西榆林?二模）已知函數(shù)〃X）=（尤2-4》+川[3-機-11恰有3個零點，則整數(shù)

m的取值個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2024?廣東?一模）已知Ovavl,函數(shù)/（工）=----（xwO）.

x

⑴求〃尤）的單調區(qū)間.

（2）討論方程f（x）=a的根的個數(shù).

題型十二：函數(shù)模型的應用

1.（2024?寧夏吳忠?模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km,經多次實驗得到一輛汽

車每小時耗油量。（單位：L）與速度u（單位：km/h）（0<v<120）的下列數(shù)據(jù)：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模

型是（）

A.Q=0.5v+aB.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=k\ogav+b

2.（2024?四川宜賓?二模）根據(jù)調查統(tǒng)計，某市未來新能源汽車保有量基本滿足模型

N

y-7x

，其中y（單位：萬輛）為第X年底新能源汽車的保有量，°為年增長率，

N為飽和度，%為初始值.若該市2023年底的新能源汽車保有量是20萬輛，以此為初始值，

以后每年的增長率為12%,飽和度為1300萬輛，那么2033年底該市新能源汽車的保有量

約為（）（結果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：lnO.887。-0.12,1110.30。-1.2）

A.65萬輛B.64萬輛C.63萬輛D.62萬輛

3.（23-24高一上?廣東東莞?期末）某企業(yè)從2011年開始實施新政策后，年產值逐年增加，

下表給出了該企業(yè)2011年至2021年的年產值（萬元）.為了描述該企業(yè)年產值，（萬元）

與新政策實施年數(shù)（年）的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型：x（

xy=kx+b,y=ka?>0,

且）（且分）選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，預測該

"1,y=klogax+ba>0,1,

企業(yè)2024年的年產值約為（）（附：1.II3a1.368）

年份20112012201320142015201620172018201920202021

年產值278309344383427475528588655729811

A.924萬元B.976萬元C.1109萬元D.1231萬元

4.（23-24高三上?福建泉州?期末）函數(shù)f（x）的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（）

X-2-101235

2.31.10.71.12.35.949.1

A.于(x)=q*+b

B.f^-kxex+b

C.f^=k\x\+b

D.〃x）=%（x-l）2+6

5.（23-24高一上,湖北荊門?期末）環(huán)保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門

選擇.某型號電動汽車，在一段平坦的國道進行測試，國道限速60km/h.經多次測試得到，該

汽車每小時耗電量”（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的下列數(shù)據(jù)：

V0104060

M0132544007200

為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:

32

M（v）=^v+bv+cv,M（v）=1000^-|^+a,M{v）=3001ogav+b.

（1）當0WVW60時，請選出你認為最符合表格所列數(shù)據(jù)實際的函數(shù)模型，并求出相應的函數(shù)

解析式；

⑵現(xiàn)有一輛同型號汽車從A地駛到B地，前一段是40km的國道，后一段是50km的高速路，

若已知高速路上該汽車每小時耗電量N（單位：Wh）與速度的關系是：

A^（V）=V2-60V+6400（60<V<120）,則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？

6.（23-24高一上?云南昆明?期末）2023年9月17日，聯(lián)合國教科文組織第45屆世界遺產

大會通過決議，將中國"普洱景邁山古茶樹文化景觀”列入《世界遺產名錄》，成為全球首個

茶主題世界文化遺產.經驗表明，某種普洱茶用95℃的水沖泡，等茶水溫度降至60℃飲用，

口感最佳.某科學興趣小組為探究在室溫條件下，剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時

間，每隔1分鐘測量一次茶水溫度，得到茶水溫度》（單位：℃）與時間（單位：分鐘）的

部分數(shù)據(jù)如下表所示：

時間/分鐘012345

水溫/℃95.0088.0081.7076.0370.9366.33

⑴給出下列三種函數(shù)模型：（^）y=at+b（a<0）,（2）y=a-b'+c（a>0,0<b<l）,③

y=log“（，+b）+cS>0,a>l）,請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選出你認為最符合實際的函數(shù)模型,

簡單敘述理由，并利用前2分鐘的數(shù)據(jù)求出相應的解析式.

（2）根據(jù)（1）中所求模型，

（i）請推測實驗室室溫（注：茶水溫度接近室溫時，將趨于穩(wěn)定）；

Cii）求剛泡好的普洱茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.1）.

（參考數(shù)據(jù)：電3。0.477,35。0.699）

第二部分：新定義題

1.(2