二次函數(shù)解析式的確定及圖像變換（考點(diǎn)解讀）-2023年中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)

專題13二次函數(shù)解析式的確定及圖像變換（考點(diǎn)解讀）

中考命題解讀

二次函數(shù)是中考必考內(nèi)容，選擇題形式一般考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答題

形式一般與三角形、四邊形等問題結(jié)合起來，難度較大，通常是壓軸題，要么以函

數(shù)為背景引出動(dòng)態(tài)幾何問題，要么以動(dòng)態(tài)圖形為背景，滲透二次函數(shù)問題，是數(shù)形

結(jié)合思想的典例。

考標(biāo)要求〉

1.要掌握二次函數(shù)解析式的三種形式，根據(jù)條件靈活運(yùn)

用，確定二次函數(shù)的解析式；

2.掌握二次函數(shù)圖像的平移方法。

考點(diǎn)精講

考點(diǎn)L二次函數(shù)解析式常見形式

（1）一般式：y=a/+b%+c（a,b,c為常數(shù)，aHO）;

（2）頂點(diǎn)式：y=a（x-hp+k（a,h,k為常數(shù),aHO）;

（3）交點(diǎn)式：y=a（x-xj（x-X2）（xi,X2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，aHO）

解題思路：

根據(jù)題中所給的條件選擇合適的形式：

①當(dāng)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為y=a/+b久+c;

②當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大（?。┲禃r(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為

y=a（x—h）2+k;

③當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)（xi,0）,（X2,0）時(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為y=

考點(diǎn)2：平移

平移步驟:：（1）先將函數(shù)化成y=a（x-h）2+k,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）

（2）從函數(shù)y=ax2平移煩方法如下：

向上（上01或向下（上。）】平移因個(gè)單位

Ay=ax2+k

向右（心0）【或左（麻0）】

向右（心0）【或左（左。）】

向右（加0）1或左（左0）】平移I川個(gè)單位

平移回個(gè)單位平移I用個(gè)單位

向上（30）【或下（上0）】

平移崗個(gè)單位

;1=%-妒+可產(chǎn)a（x-妒

向上（上0）1或下（收0）】平移因個(gè)單位

注意：（1）上下平移若原函數(shù)為y=a/+"+c

向上平移加個(gè)單位，則平移后函婁為y=ax?+6x+c+根

向下平移/n個(gè)單位，貝!J平移后函婁於Jy=ax?+6x+c-m

注：①其中m均為正數(shù)，若m為負(fù)數(shù)則將對(duì)應(yīng)的加（減）號(hào)改為（減）加號(hào)即可。

②通常上述變換稱為上加下減，或者上正下負(fù)。

（2）左右平移

若原函數(shù)為ynaV+H+c,左右平移一般第一步先將函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式

y=a（x-4+k然后再進(jìn)行相應(yīng)的變形

,若向左平移了〃個(gè)單位，則平移后的襁為y=a（x-丸+〃）2+左

〔若向右平移了〃個(gè)單位，貝U平移后的磁為y=a（x-丸-4+左

注：①其中n均為正數(shù)，若n為負(fù)數(shù)則將對(duì)應(yīng)的加（減）號(hào)改為（減）加號(hào)即可。

②通常上述變換稱為左加右減，或者左正右負(fù)。

母題精講

【典例1】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y^ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(1,

0)、B(0,-5)、C(2,3).求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并求出其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)

稱軸.

【典例2】已知拋物線頂點(diǎn)為(1,-4),且又過點(diǎn)(2,-3).求拋物線的解析式.

【典例3】拋物線過點(diǎn)(9,0)、(5,16)、(1,0),求二次函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖象.

【典例4】(2022?山西模擬)將拋物線y=V-4x-3先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平

移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為()

A.y=x2-4B.y=(x-4)2-10

C.尸(x-4)2-4D.10

真題精選

命題1二次函數(shù)函數(shù)解析式的確定

1.（2021秋?祥云縣期末）若一個(gè)二次函數(shù)的圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,I）,那么

這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以為（只需寫一個(gè)）.

2.（2021秋?伊川縣期末）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（-1、0）、（3、0）、（0、3）三

點(diǎn)，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式為.

3.（2020秋?永嘉縣校級(jí)期末）一條拋物線和拋物線y=-2爐的形狀、開口方向完全相同,

頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,3）,則該拋物線的解析式為（）

A.y=-2f+4x+lB.y=-2x2-4x+l

C.y=-4a2-4x+2D.y=-4X2+4X+2

命題2二次函數(shù)圖像的平移

4.（2022?通遼）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=（x-1）2+1的圖象向左平移1個(gè)

單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解析式為（）

A.y=（x-2）2-1B.y=（x-2）2+3C.j=x2+lD.j=x2-1

5.（2022?湖州）將拋物線向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是（）

A.y=f+3B.y=x2-3C.y=（x+3）2D.y=（x-3）2

6.（2022?牡丹江）拋物線y=F-2x+3向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,

得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

7.（2022?青海）如圖1,拋物線yuf+H+c與%軸交于A（-1,0）,B（3,0）兩點(diǎn)，與

y軸交于點(diǎn)C

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)E是拋物線的對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線的頂點(diǎn)，求EF的長(zhǎng);

專題13二次函數(shù)解析式的確定及圖像變換（考點(diǎn)解讀）

中考命題解讀

二次函數(shù)是中考必考內(nèi)容，選擇題形式一般考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答題

形式一般與三角形、四邊形等問題結(jié)合起來，難度較大，通常是壓軸題，要么以函

數(shù)為背景引出動(dòng)態(tài)幾何問題，要么以動(dòng)態(tài)圖形為背景，滲透二次函數(shù)問題，是數(shù)形

結(jié)合思想的典例。

考標(biāo)要求〉

1.要掌握二次函數(shù)解析式的三種形式，根據(jù)條件靈活運(yùn)

用，確定二次函數(shù)的解析式；

2.掌握二次函數(shù)圖像的平移方法。

考點(diǎn)精講

考點(diǎn)L二次函數(shù)解析式常見形式

（1）一般式：y=a/+b久+c（a,b,c為常數(shù)，aHO）;

（2）頂點(diǎn)式：y=a（x-hp+k（a,h,k為常數(shù),aWO）;

（3）交點(diǎn)式：y=a（x-xj（x-X2）（Xi,X2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，aHO）

解題思路：

根據(jù)題中所給的條件選擇合適的形式：

①當(dāng)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為y=a/+b久+c;

②當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大（小）值時(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為

y=a（x—h）2+k;

③當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)（xi,0）,（X2,0）時(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為y=

考點(diǎn)2：平移

平移步驟:：（1）先將函數(shù)化成y=a（x-h）2+k,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）

（3）從函數(shù)y=ax2平移煩方法如下:

向上（上01或向下（收0）】平移因個(gè)單位

■*y=ax^+k

向右信＞0）1或左（左0）】

向右僅＞0）【或左（左0）】

向右（右0）t或左（Av。）】平移I川個(gè)單位

平移I用個(gè)單位平移I對(duì)個(gè)單位

向上（上0）【或下（K0）】

平移因個(gè)單位

產(chǎn)％-妒卜日產(chǎn)傘妒+屋

向上（上0）【或下（k0）】平移因個(gè)單位

注意：（1）上下平移若原函數(shù)為y=ax2+"+c

向上平移,九個(gè)單位，則平移后函婁於Jy=。必+6x+c+m

向下平移m個(gè)單位，則平移后函數(shù)句y=ax?+6X+C-〃2

注：①其中m均為正數(shù)，若m為負(fù)數(shù)則將對(duì)應(yīng)的加（減）號(hào)改為（減）加號(hào)即可。

②通常上述變換稱為上加下減，或者上正下負(fù)。

（2）左右平移

若原函數(shù)為丁=。/+法+°,左右平移一般第一步先將函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式

y=a（x-4+上然后再進(jìn)行相應(yīng)的變形

若向左平移了〃個(gè)單位，則平移后的磁為y=。（％-丸+〃）2+左

［若向右平移了〃個(gè)單位，貝U平移后的襁為了=心-丸-〃）2+左

注：①其中n均為正數(shù)，若n為負(fù)數(shù)則將對(duì)應(yīng)的加（減）號(hào)改為（減）加號(hào)即可。

②通常上述變換稱為左加右減，或者左正右負(fù)。

母題精講

【典例1】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y^ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（1,

0)、B(0,-5)、C(2,3).求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并求出其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)

稱軸.

【答案】解：由這個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(L0)、B(0,-5)、C(2,3),得

a+b+c=0

c=-5

{4a+2b+c—3

(a=-1

解得Jb=6

(c=-5

所以，所求函數(shù)的解析式為y=_/+6x_5.

y——%2+6x—5=—(x—3)24-4?

所以，這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),

對(duì)稱軸為直線x=3.

【典例2】已知拋物線頂點(diǎn)為(1,-4),且又過點(diǎn)(2,-3).求拋物線的解析式.

【答案】解：I?拋物線頂點(diǎn)為(1,-4),

.??設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)-4,

把(2,-3)代入得a-4=-3,

解得a=l,

所以拋物線解析式為y=(x-l)2-4

【典例3】拋物線過點(diǎn)(9,0)、(5,16)、(1,0),求二次函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖象.

【答案】解：；拋物線經(jīng)過點(diǎn)(9,0)、(1,0)

拋物線的對(duì)稱軸為直線*=?=5

又???拋物線過點(diǎn)(5,16)

???點(diǎn)(5,16)即為拋物線的頂點(diǎn)

???可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(%—5)2+16

把點(diǎn)(1,0)代入得：0=◎(1—5)2+16

解得：a=—1

???二次函數(shù)的解析式為：y=-(%-5)2+16

列表如下:

X13579

y01216120

【典例4】（2022?山西模擬）將拋物線y=V-4%-3先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平

移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）

A.y=x12-4B.y=（x-4）2-10

C.y=（x-4）2-4D.10

【答案】A

【解答】解：y=x2-4x-3=（x-2）2-7,

當(dāng)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得丁=（x-2+2）2-7+3,即

-4.

故選：A.

真題精選

命題L二次函數(shù)函數(shù)解析式的確定

1.（2021秋?祥云縣期末）若一個(gè)二次函數(shù)的圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,I）,那么

這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以為（只需寫一個(gè)）.

［答案］y=3+1

【解答】解：?.?二次函數(shù)的圖象開口向下,

，可知a為負(fù)數(shù)，取。=-1,

?.?頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),

.?.二次函數(shù)的解析式為：y=-(x-0)2+1=-x2+l,

故答案為：y=-f+i(答案不唯一).

2.(2021秋?伊川縣期末)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(-1、0)、(3、0)、(0、3)三

點(diǎn)，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式為.

［答案］y=-1+21+3

【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3),

把(0,3)代入得3=。(0+1)(0-3),

解得a=-b

所以拋物線解析式為y=-(x+1)(x-3),

即丁=-/+2x+3.

故答案為丁=_X2+2X+3.

3.(2020秋?永嘉縣校級(jí)期末)一條拋物線和拋物線y=-2/的形狀、開口方向完全相同,

頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,3),則該拋物線的解析式為()

A.y=-2X2+4X+1B.y=-2x2-4x+l

C.y=-4x2-4x+2D.y=-4x2+4x+2

【答案】B

【解答】解：拋物線解析式為y=-2(x+1)2+3=-2/-4x+l.

故選：B.

命題2二次函數(shù)圖像的平移

4.(2022?通遼)在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=(x-1)2+1的圖象向左平移1個(gè)

單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解析式為()

A.y=(x-2)2-1B.y=(x-2)2+3C.y=x2+lD.-1

【答案】D

【解答】解：將二次函數(shù)y=(x-1)2+1的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式是y=(%-1+1)2+1-2,即y=%2-i.

故選：D.

5.(2022?湖州)將拋物線丁=/向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是()

A.y=f+3B.y=x1-3C.y=(x+3)2D.y=(x-3)2

【答案】A

【解答】解：?.?拋物線產(chǎn)/向上平移3個(gè)單位，

.??平移后的解析式為：y=f+3.

故選：A.

6.(2022?牡