二次函數(shù)中定值、定點(diǎn)問(wèn)題（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

二次函數(shù)中定值、定點(diǎn)問(wèn)題

解題思路：

二次函數(shù)中的定值定點(diǎn)問(wèn)題通常涉及到二次函數(shù)在特定點(diǎn)或特定條件下的性質(zhì)。

這類問(wèn)題一般會(huì)要求找出某個(gè)特定的值（定值）或某個(gè)特定的點(diǎn)（定點(diǎn)），使得二次函數(shù)滿

足某種條件。

解決這類問(wèn)題的一般步驟是：

1.根據(jù)題目條件，設(shè)出二次函數(shù)的一般形式。

2.利用題目給出的條件（如定點(diǎn)、定值等），建立方程或不等式。

3.解方程或不等式，找出滿足條件的值或點(diǎn)。

1.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）探究函數(shù)＞=-2國(guó)2+4國(guó)的圖象和性質(zhì)，探究過(guò)程如

下：

（1）自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，％與y的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下

_5_325_

XL-2-1012L

~2~2~2222

_52222_5

yL0m020L

~22222~2

其中，m=.根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，通過(guò)描點(diǎn)畫出了函

數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)畫出該函數(shù)圖象的另一部分.觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

（3）在圖2中，當(dāng)x在一切實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，拋物線y=-2/+4x交x軸于。，A兩點(diǎn)（點(diǎn)。在

點(diǎn)A的左邊），點(diǎn)尸是點(diǎn)。（1,0）關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，不平行，軸的直線/分別交線段

OP,AP（不含端點(diǎn)）于/,N兩點(diǎn).當(dāng)直線/與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，PM與PN的

和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（2023?遼寧大連?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線G：y=/上有兩點(diǎn)A、

B,其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2,點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為1,拋物線C2：y=-x2+ZJx+c過(guò)點(diǎn)A、B.過(guò)

備用圖

⑴求拋物線C2的解析式；

（2）將矩形ACDE向左平移機(jī)個(gè)單位,向下平移n個(gè)單位得到矩形ACDE，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

落在拋物線C|上.

①求”關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量〃，的取值范圍；

②直線AE交拋物線于點(diǎn)尸，交拋物線Q于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)?為線段PQ的中點(diǎn)時(shí)，求機(jī)的

值；

③拋物線C?與邊E。、AC分別相交于點(diǎn)M、N,點(diǎn)、M、N在拋物線C?的對(duì)稱軸同側(cè)，

當(dāng)MN=±叵時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)，其中點(diǎn)

3

的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線過(guò)點(diǎn).過(guò)作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn).以長(zhǎng)為邊向上構(gòu)造

矩形.

Q

3.(2023?遼寧?中考真題)如圖，拋物線廣加+>+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)3(3.0),與y

軸交于點(diǎn)C(0,4),點(diǎn)尸為第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)E,交8C于

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)△3EF的周長(zhǎng)是線段尸產(chǎn)長(zhǎng)度的2倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接BQ,過(guò)點(diǎn)8作直線/18。，

連接。尸并延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)當(dāng)=時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

4.(2023?四川德陽(yáng)?中考真題)己知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與無(wú)軸交于點(diǎn)A(-4,0),

8(2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-4).

圖I圖2

(1)求拋物線的解析式；

(3)如圖2,如果把直線A3沿y軸向上平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,與拋物線的交點(diǎn)分別是E,F,直

DFI-

線BC交EF于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)尸作bGLC”于點(diǎn)G,若丁=2石.求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

5.（2023?湖北?中考真題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線

y=加+桁-6（"0）與x軸交于點(diǎn)A（—2,0）,3（6,0）,與V軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，連接BC.

圖1圖2

（1）拋物線的解析式為；（直接寫出結(jié)果）

（3）如圖2,若動(dòng)直線I與拋物線交于M,N兩點(diǎn)（直線/與5c不重合），連接CN,BM,直線CN

與8M交于點(diǎn)尸.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.（2023?福建?中考真題）已知拋物線〉=0?+法+3交工軸于4（1,0）,3（3,0）兩點(diǎn)，以為拋

物線的頂點(diǎn)，CD為拋物線上不與A,B重合的相異兩點(diǎn)，記A8中點(diǎn)為E,直線的

交點(diǎn)為P.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若C（4,3）,。］機(jī)且相＜2,求證：C,2E三點(diǎn)共線；

（3）小明研究發(fā)現(xiàn)：無(wú)論G。在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要C,D,E三點(diǎn)共線，

AAMP,AMEP,AABP中必存在面積為定值的三角形.請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形

及其面積，不必說(shuō)明理由.

7.（2023?湖北武漢?中考真題）拋物線G：y=V-2彳-8交X軸于兩點(diǎn)（A在8的左邊）,

交V軸于點(diǎn)C.

⑴直接寫出A,民C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖（2）,將拋物線C1平移得到拋物線C”其頂點(diǎn)為原點(diǎn).直線y=2尤與拋物線C?交于

0,G兩點(diǎn)，過(guò)0G的中點(diǎn)H作直線（異于直線0G）交拋物線G于兩點(diǎn)，直線M0

與直線GN交于點(diǎn)P.問(wèn)點(diǎn)尸是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

8.（2023?湖南?中考真題）如圖，已知拋物線y=--2ax+3與x軸交于點(diǎn)A（-l,0）和點(diǎn)B,

（2）將直線8C向下平移機(jī)＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，交拋物線于夕、C'兩點(diǎn).在直線B'C'上方的

拋物線上是否存在定點(diǎn)。，無(wú)論“取何值時(shí)，都是點(diǎn)。到直線AC的距離最大，若存在，

請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

9.（2023?江蘇揚(yáng)州?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上.

⑴如果四個(gè)點(diǎn)（0,0）、（0,2）、（1,1）、（-1,1）中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)y=以？（°為常數(shù)，且“40）

的圖象上.

①a=；

②如圖1,已知菱形A3CD的頂點(diǎn)8、C、。在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形

的邊長(zhǎng)；

③如圖2,已知正方形ABCD的頂點(diǎn)2、。在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)8、。在y軸的同側(cè)，

且點(diǎn)8在點(diǎn)。的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)8、。的橫坐標(biāo)分別為機(jī)、n,試探究〃一機(jī)是否為定值.如果是，

求出這個(gè)值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）已知正方形ABCD的頂點(diǎn)2、。在二次函數(shù)＞=辦2（a為常數(shù)，且。＞0）的圖象上，點(diǎn)2

在點(diǎn)。的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)8、。的橫坐標(biāo)分別為機(jī)、”直接寫出機(jī)、〃滿足的等量關(guān)系式.

10.（2023?四川南充?中考真題）如圖1,拋物線丫="2+6尤+3（。片0）與無(wú)軸交于A（-LO）,

3（3,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)P在拋物線