等比數列及其前n項和（9題型分類）-2025年高考數學專項復習（原卷版）

專題28等比數列及其前n項和9題型分類

彩題如工總

題型1:等比數列基本量的運算

彩先我寶庫

1.等比數列有關的概念

(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比

數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q(#0)表示.

⑵等比中項：如果在a與。中間插入一個數G,使a,G,方成等比數列，那么G叫做。與b的等比中項,

此時，G2=ab.

2.等比數列的通項公式及前n項和公式

(1)若等比數列｛金｝的首項為0，公比是必則其通項公式為a.=aiq"-i.

nm

(2)等比數列通項公式的推廣：an=amq-.

(3)等比數列的前〃項和公式：當q=l時，Sn=nau當夕力時，$〃=筆/=竿箸.

3.等比數列性質

(1)若機+〃=p+q,則。加其中機，n,p,q￡N*.特另U地，若2w=m+〃，則胡斯=忌，其中機，n,

w￡N*.

(2)以，四+叱四+2加，…仍是等比數歹！J，公比為小(左，

(3)若數列｛斯｝,｛兒｝是兩個項數相同的等比數列，則數列｛斯右｝,與｝和｛瑞｝也是等比數列(b,p,療0).

(4)等比數列｛&｝的前〃項和為&,則&,Sln-Sn，S3"一仍成等比數列，其公比為刃(〃為偶數且"=一1

除外)

fai>0,|ai<0,

（5）若，或八，則等比數列｛斯｝遞增.

1^>1

[ai>0,[ai<0,

若八，或，則等比數列｛斯｝遞減.

【常用結論

1.等比數列｛斯｝的通項公式可以寫成斯=cq",這里厚0,甘0.

2.等比數列｛斯｝的前〃項和S”可以寫成S“=Aq"—A（A/），^1,0）.

3.數列｛斯｝是等比數列，S,是其前〃項和.

⑴若°1刈2?…◎=〃，則〃，景,驍，…成等比數列.

（2）若數列｛斯｝的項數為2〃，則蓑=4；若項數為2w+l,則受a=4,或這￡=%

彩”秘籍

（―）

等比數列基本量的運算

等比數列基本量的運算的解題策略

（1）等比數列中有五個量的，n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通過列方程（組）可迎刃而解.

（2）解方程組時常常利用“作商”消元法.

（3）運用等比數列的前"項和公式時，一定要討論公比q=l的情形，否則會漏解或增解.

題型1：等比數列基本量的運算

1-1.（2024高二下.全國?課后作業(yè)）在等比數列｛4｝中，若g=4,a5=-32,則公比q應為（）

A.±-B.+2C.gD.-2

22

1-2.（2024高三下?北京?階段練習）在等比數列｛%｝中，4=3,+a2+a3=9,則%+為+&等于（）

A.9B.72C.9或70D.9或一72

1-3.（2024高二下?湖北?階段練習）已知遞增的等比數列｛%｝中，前3項的和為7,前3項的積為8,則為的

值為（）

A.2B.4C.6D.8

1-4.（2024高三?全國?對口高考）已知數列｛。,｝是等比數列，%+的=2,%+g=128,則該數列的九以及為

依次為（）

222

A.682,-B.-682,-2C.682,§或一2D.-682,耳或—2

1-5.(2024高三?全國?專題練習)已知等比數列｛%｝中，4=1,S"為｛%｝前〃項和，$5=553-4,貝”4=()

A.7B.9C.15D.30

彩儺甄祕籍

（二）

等比數列的判定與證明

等比數列的三種常用判定方法

（1）定義法：若吧=q（q為非零常數，”GN*）或2-=q（q為非零常數且MEN*）,則｛如｝是等比數列.

斯Cln—l

（2）等比中項法：若數列｛詼｝中，且星+i=a“s+2（wGN*）,則｛斯｝是等比數列.

（3）前〃項和公式法:若數列｛斯｝的前〃項和S“=kq〃一4上為常數且原0,療0,1）,則｛&｝是等比數列.

題型2:等比數列的判定與證明

2-1.（2024高三.全國.專題練習）甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10%,20%的某種溶液500ml,同時從

甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪勻，這稱為一次調和.記4=10%,4=20%,

經5-1）次調和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為。“，bn.

⑴試用八,2T表示bn.

（2）證明：數歹支q-2｝是等比數列，并求出冊，”的通項.

22（2024高三?全國?專題練習）已知數列｛風｝滿足4S,-2a“=2","eN*,其中S,為｛%｝的前w項和.證

明：

⑴松-2是等比數列.

1111

----------1-----------1-----------F…4--------------------<1

6q-36出+36a3—36a〃+3x（-1）〃

2-3.（2024?廣東東莞?三模）已知數列｛4｝和也｝,%=2,=1,%=2b“.

“nan

⑴求證數列是等比數列；

（2）求數列的前”項和人

彩他題秘籍（二）

等比數列項的性質

（1）等比數列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前〃項和公式的變形,

根據題目條件，認真分析，發(fā)現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.

（2）巧用性質，減少運算量，在解題中非常重要.

題型3:等比數列項的性質

3-1.（2024.江西.二模）在正項等比數列｛%｝中，的與網是方程f-30x+10=0的兩個根，貝?。?/p>

1g4+1gH---F1g%o=.

32（2024高三下?四川成都?階段練習）若數列｛%｝是等比數列，且每3B=8,則的“=.

3-3.（2024?河南新鄉(xiāng).二模）己知等比數列｛%｝的首項為1,且4+%=2（%+%），則1.

等比數列前〃項和的性質

（1）等比數列｛%｝中，所有奇數項之和S奇與所有偶數項之和“具有的性質，設公比為4.

①若共有2w項，則渭=4；②若共有2〃+1項，/~L=q.

（2）等比數列｛《｝中，Sk表示它的前七項和.當qw-l時，有&,S2「Sk,%—%,…也成等比數列，公比為

qk-

題型4:等比數列前n項和的性質

4-1.（2024?河北滄州?模擬預測）已知等比數列｛叫的前〃項和為S,，若色=2,$6=6,則S?4=.

4-2.（2024高三?全國?對口高考）已知數列｛4｝為等比數列，S,為其前〃項和.若$3。=13%,S10+S30=140,

則邑。的值為.

4-3.（2024高三?全國?課后作業(yè)）已知凡是正項等比數列｛%｝的前"項和，%=20,則$3。-2s2。+%的最

小值為?

1010

4-4.（2024?江蘇南京?一模）設正項等比數列｛%｝的前幾項和為S“，＞2530-（2+l）S20+510=0,則公比

q=.

彩做題秘籍一

（五）

由S”求數列的通項凡

已知S“求凡是一種非常常見的題型，這些題都是由凡與前”項和S”的關系來求數列｛%｝的通項公式，可由

（xS,（jl=1）

數列4的通項?！芭c前”項和S”的關系是4=｛二c,、小，注意：當〃=1時，%若適合S“-S,T，貝卜7=1

的情況可并入“22時的通項當”=1時，％若不適合S“-S,i，則用分段函數的形式表示.

題型5:由3求數列的通項區(qū),

5-1.（2024高三?全國?對口高考）已知等比數列｛風｝的前w項和為S“=3"T-C,貝|C=.

5-2.（2024?廣西玉林?三模）記數列｛4｝的前"項和為S",已知向量比=（%+”S“），為=（1,2）,若q=2,且

m//n,則｛4｝通項為.

5-3.（2024?全國?模擬預測）已知數列｛4｝的前〃項和為S,且滿足S“+a“=-2,則數列｛4｝的通項

遂傅題秘籍」

（A）

奇偶項求和問題的討論

求解等比數列的前〃項和S〃，要準確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項數"的值；對于

奇偶項通項不統一問題要注意分類討論.主要是從"為奇數、偶數進行分類.

題型6:奇偶項求和問題的討論

為偶數

6-1.(2024高三?全國?對口高考)設數列｛%｝的首項％=。，且。同=

1'

H—，〃為奇數

14

記2=%〃-1一；,"=1,2,3….

(1)求出,"3；

(2)判斷數列色,｝是否為等比數列，并證明你的結論；

(3)求々+d+L+bn.

2冊,及是偶數,

6-2.(2024?湖南長沙?模擬預測)已知數列｛氏｝滿足q=3,且％

an-1,〃是奇數.

⑴設2=%+%T，求數列也｝的通項公式;

(2)設數列｛%｝的前n項和為S,,求使得不等式sn>2023成立的n的最小值.

L4〃，九為奇數，

2

6-3.(2024.河北.模擬預測)已知數列｛4｝滿足％=2,an+l=-

an+工,〃為偶數

12

⑴記bn=*一*，證明:數列也｝為等比數列;

(2)記%=%.一g，求數列｛”1｝的前”項和T,.

6-4.(2024?山東濟寧?二模)已知數列｛%｝的前w項和為=2a"，7N2,〃eN*),且4=1,65=15.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

⑵若%=懼：?票數,求數列色｝的前2〃項和&.

彩他題秘籍

等差數列與等比數列的綜合應用

(1)等差數列與等比數列的相互轉化：等差數列通過指數運算轉化為正項等比數列，正項等比數列通過對

數運算轉化為等差數列.

(2)等差數列和等比數列的交匯，若一個數列既是等差數列又是等比數列，則該數列為非零常數數列.

題型7:等差數列與等比數列的綜合應用

7-1.(2024高二上?陜西渭南?期末)在等差數列｛%｝中，6+4=12,出+%=16.

(1)求等差數列｛%｝的通項公式；

(2)設數列｛24+4｝是首項為1,公比為2的等比數列，求數列｛2｝的前〃項和S..

7-2.(2024.江蘇)已知｛%｝是等差數列，｛2｝是公比為q的等比數列，%=瓦,%=瓦手％,記S“為數列也｝

的前〃項和.

(1)若4=。”Cm,左是大于2正整數)，求證：Sj=O-l)q；

(2)若么=q&是某一正整數)，求證：4是整數，且數列色J中每一項都是數列｛%｝中的項；

(3)是否存在這樣的正數q,使等比數列｛〃｝中有三項成等差數列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；

若不存在，請說明理由.

7-3.(2024高二上.福建龍巖.階段練習)公差不為0的等差數列｛4｝中，%+%=2,且小，%，生成等比數

列.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

⑵若S”為等差數列｛??)的前〃項和，求使S"＜0成立的n的最大值.

卷例?瓢祕籍(八)

等比數列的范圍與最值問題

求解此類問題的常用思路是根據題目所給條件建立關于變量n的函數關系進行求解.有時也注意基本不等

式的應用.

題型8:等比數列的范圍與最值問題

8-1.(2024.陜西西安.三模)已知數列｛4｝是無窮等比數列，若4＜為＜0,則數列｛0｝的前〃項和S“().

A.無最大值，有最小值B.有最大值，有最小值

C.有最大值，無最小值D.無最大值，無最小值

8-2.（2024高三上?貴州銅仁?期末）已知等比數列｛。.｝的各項均為正數且公比大于1,前”項積為4,且

a3a5=a4，則使得I>1的〃的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

8-3.（2024.北京海淀?模擬預測）設無窮等比數列｛4｝的前”項和為S,，若-4<g<q,則（）

A.⑸｝為遞減數列B.｛S.｝為遞增數列

C.數列應｝有最大項D.數列⑸｝有最小項

8-4.（2024高三上?廣西玉林?階段練習）設等比數列｛%｝的公比為分其前〃項和為S“，并且滿足條件

q>l,a7a8>L（%-l）（Os-l）<0,則下列結論正確的是（）

A.%。9>1B.0<（7<1C.a6+a8<a7+a9D.S”的最大值為醺

8-5.（2024高三上?福建三明?期中）設等比數列｛q｝的公比為4,其前"項和為S,，前〃項積為北，并滿足

d—1

條件4>1,4刈洶。2。>1，則下列結論正確的是（）

。20201

A.^2019^2020B.與020是數列｛1｝中的最大值

C.%019。2021T<°D.數列｛q｝無最大值

8-6.（2024.山東泰安.二模）己知數列｛%｝的前〃項和為S“，4=2,an^0,a?an+1=4Sn.

⑴求

（2）設么=（-!）"?（3"-1）,數列｛2｝的前〃項和為7.，若V%eN*,都有陽一<九<心成立，求實數2的范圍.

彩他題海籍

（九）

等比數列的實際應用

（1）解應用問題的核心是建立數學模型.

（2）一般步驟：審題、抓住數量關系、建立數學模型.

（3）注意問題是求什么（小an,S?）.

注：（1）解答數列應用題要注意步驟的規(guī)范性：設數列，判斷數列，解題完畢要作答.

（2）在歸納或求通項公式時，一定要將項數”計算準確.

（3）在數列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關系.

（4）在近似計算時，要注意應用對數方法，且要看清題中對近似程度的要求.

題型9:等比數列的實際應用

9-1.（2024.廣東廣州.模擬預測）某牧場今年初牛的存欄數為1200,預計以后每年存欄數的增長率為5%,

且在每年年底賣出100頭牛.設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為數列。,0，q，…，且滿足遞推公

式：左=廠9-左）,概,｝為數列｛%｝的前"項和，則$=（1.0即。1.63答案精確到1）.

9-2.（2024.福建福州.三模）英國數學家亞歷山大?艾利斯提出用音分來精確度量音程，音分是度量不同樂音

頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對數標度單位.一個八度音程為1200音分，它們的頻率值構成一個等

比數列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2,因此這1200個音的頻率值構成一個公比為弋。的等比數列.

己知音/的頻率為加，音分值為匕音N的頻率為"，音分值為/.若〃z=貝必-/=（）

A.400B.500C.600D.800

9-3.（2024?全國?三模）88鍵鋼琴從左到右各鍵的音的頻率組成一個遞增的等比數列.若中音A（左起第49

個鍵）的頻率為440Hz,鋼琴上最低音的頻率為27.5Hz,則左起第61個鍵的音的頻率為Hz.

9-4.（2024?遼寧大連?一模）某高中圖書館為畢業(yè)生提供網上閱讀服務，其中電子閱覽系統的登錄碼由學生

的屆別+班級+學號+特別碼構成.這個特別碼與如圖數表有關，數表構成規(guī)律是：第一行數由正整數從小到

大排列得到，下一行數由前一行每兩個相鄰數的和寫在這兩個數正中間下方得到.以此類推特別碼是學生屆

別數對應表中相應行的自左向右第一個數的個位數字，如：1997屆3班21號學生的登陸碼為1997321*.（*

為表中第1997行第一個數的個位數字）.若已知某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138,則可以推斷該畢業(yè)生是一

屆2班13號學生.

12345678-

3579111315…

81216202428…

2028364452???

法習與置升

一、單選題

1.（2024?浙江溫州?模擬預測）已知等比數列｛%｝的前〃項和為S.，公比為q,且5“=。,用-1,貝U（）

A.%=2B.§2=2C.q=iD.q=2

2.（2024.全國）設等比數列｛。.｝的各項均為正數，前〃項和S“，若4=1,S5=5S3-4,則S,=（）

A.—B.—C.15D.40

88

3.（2024?江西撫州?模擬預測）已知正項等比數列｛七｝的前”項和為S“，若%%=3/,S3=39,則%=（）

A.64B.81C.128D.192

4.（2024.江西?模擬預測）已知等比數列｛4｝的前4項和為30,^-^=15,則%=（）

A.—B.gC.1D.2

42

5.（2024?上海閔行.二模）已知數列｛4,｝為等比數列，首項4>0,公比則下列敘述不正確的是

（）

A.數列｛%｝的最大項為%B.數列｛4｝的最小項為電

C.數列｛%%+J為嚴格遞增數列D.數歹1J｛%,7+%“｝為嚴格遞增數列

6.（2024高三.全國.對口高考）設｛%｝是公比為q的等比數列，其前〃項的積為北，并且滿足條件：4>1,

a?aloo-l>O,馬弓<。.給出下列結論：①0<4<1；②加7；③陽刖<1;④使，<1成立的最小的自

。1007

然數”等于199.其中正確結論的編號是（）

A.①②③B.①④C.②③④D.①③④

7.（2024?廣西?模擬預測）己知正項等比數列｛q｝滿足為=8,4+4%=；,則可出…?！叭∽畲笾禃r”的值為

（）

A.8B.9C.10D.11

8.（2024高二上?廣東清遠?期中）已知數列｛為｝滿足q<。，a?+1=1a?,則數列｛%｝是（）

A.遞增數列B.遞減數列C.常數列D.不能確定

9.（2024高二上.陜西咸陽?期末）已知｛%｝是遞增的等比數列，且為<°，則其公比4滿足（）

A.q<—1B.-1<^<0

C.q>lD.0<q<l

10.（2024高三上.江西贛州?期中）設公比為q的等比數列｛%｝的前，7項和為S“，前〃項積為q,且4>1,

a—1

〃2021〃2022〉1，~7〈0,則下列結論正確的是（）

A.B.S2021s2022_］〉0

C.七22是數列｛（,｝中的最大值D.數列｛（,｝無最大值

11.（2024高三上.貴州黔西?階段練習）設等比數列｛%｝的公比為心其前”項和為S"，前”項積為1,且滿

足條件外>1,“202002021>1,（他⑶-1）（%必-1）<0,則下列選項錯誤的是（）

A.。vq<1B.S2020+1>S2021

C.4）2。是數列｛1,｝中的最大項D.7；041>1

12.（2024?上海青浦?一模）設等比數列｛%｝的公比為4,其前〃項之積為7.，并且滿足條件：%>1,。2。19%。20>1，

a—1

a7T<。，給出下列結論：①0<“<1；②?2019?2021-1>0;③加9是數列｛覃中的最大項；④使成

“20201

立的最大自然數等于4039；其中正確結論的序號為（）

A.①②B.①③C.①③④D.①②③④

13.（2024?全國）記S“為等比數列｛%｝的前〃項和，若邑=-5,$6=2電，則縱=（）.

A.120B.85C.-85D.-120

14.（2024?天津）已知數列｛%｝的前w項和為S“，若4=2,a“M=2S“+2（〃eN*）,則4=（）

A.16B.32C.54D.162

15.（2024?湖南長沙?二模）設等比數列｛%｝的前〃項和為S“，己知其=353，?7=12,則6=（）

A.—B.—C.2D.3

32

16.（2024高三下?陜西安康?階段練習）在各項均為正數的等比數列｛4｝中，4-%=16,%6=4,則使

得見<1成立的〃的最小值為（）

A.7B.8C.9D.10

17.（2024?四川巴中?模擬預測）在等比數列｛%｝中，4+。3=2,。5+%=18,則%+%=（）

A.3B.6C.9D.18

18.（2024?河北滄州?模擬預測）已知公比不為1的等比數列｛氏｝滿足%+2=4%+「3%,4=1,則邑=（）

A.40B.81C.121D.156

19.（2024?河南?三模）數列｛加｝滿足?！?1=24,數列的前〃項積為小則4=（）

20.（2024?安徽安慶?三模）在等比數列｛%｝中，。2%。4=4,。5。6%=16,則%%%（）=（）

A.4B.8C.32D.64

21.（2024高三上.廣西桂林?期末）己知各項都為正數的等比數列｛4“｝,滿足%=2%+的,若存在兩項金，

%,使得M工=4%,則,+*最小值為（）

mn

31

A.2B.—C.—D.1

23

二、多選題

22.（2024?山西大同?模擬預測）《莊子?天下》中有：“一尺之梗，日取其半，萬世不竭”，其大意為：一根一

尺長的木棒每天截取一半，永遠都取不完，設第一天這根木棒截取一半后剩下%尺，第二天截取剩下的一

半后剩下〃2尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下%尺，則下列說法正確的是（）

〃511

A.1--B.%=一

的48

clc31

C.%—。4=—D.q+a2+%+〃4+%=—

1632

23.（2024?湖北武漢.三模）已知實數數列｛4｝的前〃項和為S“，下列說法正確的是（）.

A.若數列｛%｝為等差數列，則4+%+%=24恒成立

B.若數列｛4｝為等差數列，則邑，56-S3,S9-S6,…為等差數列

C.若數列｛。,｝為等比數列，且4=7,邑=21,貝34=-萬

D.若數列｛%｝為等比數列，則S3,S6-S3,S9-S6,…為等比數列

24.（2024?山東泰安二模）若相，〃是函數/'（x）=f-px+q（p>0,q>0）的兩個不同零點，且小，n,-2這

三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則04=.

25.（2024?江西新余?二模）已知數列｛4“｝中，4H0,見什“（加,〃eN*）,且%、如是函數

/■（司=2彳2+19*+20的兩個零點，則％=.

26.（2024高三?全國?課后作業(yè)）已知等比數列｛%｝的公比q=-；,該數列前9項的乘積為1,則％=.

27.（2024高二下.全國?課后作業(yè)）等比數列｛%｝中，a[a9=256,+a6=40,則公比q的值為.

28.（2024高二下.北京?期中）在1和9之間插入三個數，使這五個數組成正項等比數列，則中間三個數的積

等于.

29.（2024高二下?湖北十堰?階段練習）已知正項數列｛《,｝是公比不等于1的等比數列，且加+但丹期二。，

2

若〃尤）=用7，則/（%）+/（/）+…+/（%023）=.

30.（2024高三?重慶?階段練習）在等比數列｛七｝中，4+。2=30,a3+a4=60,貝!]%+4=

31.（2024高二.全國?課后作業(yè)）已知數列｛0｝是等比數列，S,是其前〃項和，且$6=15,又=195,則

$24="

32.（2024高三上?江蘇泰州?期末）設正項等比數列｛4｝的前”項和為S“，若$4=1052,則稱的值為.

33.（2024高三上?重慶?階段練習）已知等比數列｛%｝的前〃項和為S“，Se=7,a2+a5=-3,貝I]

ax+a3_

a2

34.（2024高二下?湖北十堰?階段練習）已知正項等比數列｛%,｝的前"項和為S",若Ss=4,59=19,則Sf,

S9的等差中項為.

35.（2024?江西南昌?模擬預測）已知等比數列｛。“｝的前〃項和為S“，若$4=3,S8=9,則九的值為

36.（2024高三上.內蒙古包頭?期末）已知數列也｝和也｝滿足%=1,4=2,°,用=3?！?2+4,

2+1=32-4「4.則數列｛°“+2｝的通項%+年=.

37.（2024高三上?上海浦東新?開學考試）設基函數〃力=尤3,數列也｝滿足：q=2021,>a?+1=/（??）

"eN*）,則數列｛%｝的通項4,=_.

38.（2024高三.江蘇?專題練習）寫出一個滿足前5項的和為31,且遞減的等比數列的通項%=.

39.（2024高二上?河南南陽?階段練習）數列｛a“的前n項和為Sn,ai=l,an+i=2S￡nGN*）,則an=.

40.（2024高三上?內蒙古包頭?期中）己知數列｛%｝的通項an與前n項和S“之間滿足關系S,=2-3a“，則an=

41.（2024高一下?上海寶山?階段練習）已知正數數列｛%｝滿足a“+R3%+2,且％<3向對〃｛N*恒成立，

則%的范圍為.

42.（2024?湖北武漢.模擬預測）己知等比數列｛%｝的各項均為正數，公比為q,前幾項和S“，若對于任意正

整數n有S2n<2S?,則q的范圍為.

43.（2003高一?北京?競賽）若三角形三邊成等比數列，則公比q的范圍是.

44.（2024?湖南長沙.三模）中國古代數學著作《增減算法統宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初

行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關則此人在第六天行走的路程是_______里（用數字作

答）.

45.（2024?四川成者卜三模）如圖，已知在扇形。42中，半徑04=03=3,ZAOB=~,圓。|內切于扇形

。48（圓。］和。4,OB,弧A3均相切），作圓與圓OA,08相切，再作圓2與圓。2，OA,相

切，以此類推.設圓。一圓儀…的面積依次為耳，邑…，那么H+S#…+S“=.

46.（2024?陜西西安?一模）“一尺之梅，日取其半，萬世不竭”出自《莊子?天下》，其中蘊含著數列的相關知

識，已知長度為4的線段A8,取43的中點C,以AC為直徑作圓（如圖①），該圓的面積為岳，在圖①中

取CB的中點。，以為直徑作圓（如圖②），圖②中所有圓的面積之和為邑，以此類推，則S“=.

①②

47.（2024.貴州銅仁.二模）0.618是無理數避二1的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金

2

比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，AABC是頂角為A,底3c=2的第一個黃金三角形，是頂

角為耳的第二個黃金三角形，△GB。是頂角為G的第三個黃金三角形，V&CG是頂角為鳥的第四個黃金

三角形，則第4個黃金三角形的腰長為（寫出關于好二表達式即可）.

2

四、解答題

48.(2024?安徽亳州?模擬預測)甲、乙、丙三個小學生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時，拋沙

包者等可能的將沙包拋給另外兩個人中的任何一個，設第〃(weN*)次拋沙包后沙包在甲手中的方法數為

%,在丙手中的方法數為或.

⑴求證：數列｛“向+%｝為等比數列，并求出｛%｝的通項；

(2)求證:當"為偶數時，an>bn.

49.(2024高三.上海.專題練習)已知數列｛%｝是首項與公比都為。的等比數列，其中。>0,且

awl,b"=a"lg%5eN*),且｛2｝是遞增數列，求。的范圍.

50.(2024?江蘇鹽城三模)已知數列｛%｝、出｝滿足4。n+i--bn+"，4b“+i=3b--a”T,feR,eN+,

且q=1,4=0.

⑴求證：｛%+"｝是等比數列；

(2)若｛%｝是遞增數列，求實數r的取值范圍.

51.(2024高三?全國?專題練習)數列｛““｝的前〃和S“滿足S“=2見-〃(〃eN*),

(1)求生的值及a?與an_x的關系；

(2)求證：｛%+1｝是等比數列，并求出｛%｝的通項公式.

52.(2024?云南?三模)已知數列｛4｝有遞推關系%+1=善=］〃N*,。產j1=黑，記4=bn-k｛keZ),

—413)29

rb

若數列也,｝的遞推式形如%1=嬴工(pqreR且也即分子中不再含有常數項.

(D求實數上的值；

(2)證明：為等比數列，并求其首項和公比.

xya”+2_*

53.(2024?福建廈門?模擬預測)已知數列(｛4｝滿足一，〃eNT.

an

⑴證明［組三］是等比數列；

g+lj

,3，、

⑵若a=F，求也｝的前〃項和s“.

+1

54.（2024?山東濰坊.三模）已知數列｛%｝和｛2｝滿足4=3,仿=2,an+1=an+2bn,bn+l=2an+bn.

⑴證明:｛%+bn｝和&-2｝都是等比數列；

⑵求｛。也｝的前〃項和S”.

55.(2024高三.上海?專題練習)數列｛”“｝的通項4=3〃-1,低｝的通項2=2",由冊與”中公共項，并按原

順序組成一個新的數列｛g｝，求｛1｝的前〃項和.

56.(2024?天津南開?二模)設｛%｝為等比數列，｛2｝為公差不為零的等差數列，且％=&=3,a2=b9,a3=b27.

⑴求｛叫和也｝的通項公式;

T1

⑵記｛《,｝的前〃項和為s"，｛2｝的前〃項和為1，證明：

%

一,〃為奇數

2+22n

(3)記cn=<