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文檔簡介
專題28等比數(shù)列及其前n項和9題型分類
彩題如工總
題型1:等比數(shù)列基本量的運算
彩先我寶庫
1.等比數(shù)列有關(guān)的概念
(1)定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比
數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q(#0)表示.
⑵等比中項:如果在a與。中間插入一個數(shù)G,使a,G,方成等比數(shù)列,那么G叫做。與b的等比中項,
此時,G2=ab.
2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數(shù)列{金}的首項為0,公比是必則其通項公式為a.=aiq"-i.
nm
(2)等比數(shù)列通項公式的推廣:an=amq-.
(3)等比數(shù)列的前〃項和公式:當(dāng)q=l時,Sn=nau當(dāng)夕力時,$〃=筆/=竿箸.
3.等比數(shù)列性質(zhì)
(1)若機+〃=p+q,則。加其中機,n,p,q£N*.特另U地,若2w=m+〃,則胡斯=忌,其中機,n,
w£N*.
(2)以,四+叱四+2加,…仍是等比數(shù)歹!J,公比為小(左,
(3)若數(shù)列{斯},{兒}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列,則數(shù)列{斯右},與}和{瑞}也是等比數(shù)列(b,p,療0).
(4)等比數(shù)列{&}的前〃項和為&,則&,Sln-Sn,S3"一仍成等比數(shù)列,其公比為刃(〃為偶數(shù)且"=一1
除外)
fai>0,|ai<0,
(5)若,或八,則等比數(shù)列{斯}遞增.
1^>1
[ai>0,[ai<0,
若八,或,則等比數(shù)列{斯}遞減.
【常用結(jié)論
1.等比數(shù)列{斯}的通項公式可以寫成斯=cq",這里厚0,甘0.
2.等比數(shù)列{斯}的前〃項和S”可以寫成S“=Aq"—A(A/),^1,0).
3.數(shù)列{斯}是等比數(shù)列,S,是其前〃項和.
⑴若°1刈2?…◎=〃,則〃,景,驍,…成等比數(shù)列.
(2)若數(shù)列{斯}的項數(shù)為2〃,則蓑=4;若項數(shù)為2w+l,則受a=4,或這£=%
彩”秘籍
(―)
等比數(shù)列基本量的運算
等比數(shù)列基本量的運算的解題策略
(1)等比數(shù)列中有五個量的,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)可迎刃而解.
(2)解方程組時常常利用“作商”消元法.
(3)運用等比數(shù)列的前"項和公式時,一定要討論公比q=l的情形,否則會漏解或增解.
題型1:等比數(shù)列基本量的運算
1-1.(2024高二下.全國?課后作業(yè))在等比數(shù)列{4}中,若g=4,a5=-32,則公比q應(yīng)為()
A.±-B.+2C.gD.-2
22
1-2.(2024高三下?北京?階段練習(xí))在等比數(shù)列{%}中,4=3,+a2+a3=9,則%+為+&等于()
A.9B.72C.9或70D.9或一72
1-3.(2024高二下?湖北?階段練習(xí))已知遞增的等比數(shù)列{%}中,前3項的和為7,前3項的積為8,則為的
值為()
A.2B.4C.6D.8
1-4.(2024高三?全國?對口高考)已知數(shù)列{。,}是等比數(shù)列,%+的=2,%+g=128,則該數(shù)列的九以及為
依次為()
222
A.682,-B.-682,-2C.682,§或一2D.-682,耳或—2
1-5.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知等比數(shù)列{%}中,4=1,S"為{%}前〃項和,$5=553-4,貝”4=()
A.7B.9C.15D.30
彩儺甄祕籍
(二)
等比數(shù)列的判定與證明
等比數(shù)列的三種常用判定方法
(1)定義法:若吧=q(q為非零常數(shù),”GN*)或2-=q(q為非零常數(shù)且MEN*),則{如}是等比數(shù)列.
斯Cln—l
(2)等比中項法:若數(shù)列{詼}中,且星+i=a“s+2(wGN*),則{斯}是等比數(shù)列.
(3)前〃項和公式法:若數(shù)列{斯}的前〃項和S“=kq〃一4上為常數(shù)且原0,療0,1),則{&}是等比數(shù)列.
題型2:等比數(shù)列的判定與證明
2-1.(2024高三.全國.專題練習(xí))甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10%,20%的某種溶液500ml,同時從
甲、乙兩個容器中取出100ml溶液,將其倒入對方的容器并攪勻,這稱為一次調(diào)和.記4=10%,4=20%,
經(jīng)5-1)次調(diào)和后,甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為?!?,bn.
⑴試用八,2T表示bn.
(2)證明:數(shù)歹支q-2}是等比數(shù)列,并求出冊,”的通項.
22(2024高三?全國?專題練習(xí))已知數(shù)列{風(fēng)}滿足4S,-2a“=2","eN*,其中S,為{%}的前w項和.證
明:
⑴松-2是等比數(shù)列.
1111
----------1-----------1-----------F…4--------------------<1
6q-36出+36a3—36a〃+3x(-1)〃
2-3.(2024?廣東東莞?三模)已知數(shù)列{4}和也},%=2,=1,%=2b“.
“nan
⑴求證數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的前”項和人
彩他題秘籍(二)
等比數(shù)列項的性質(zhì)
(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類:一是通項公式的變形,二是等比中項的變形,三是前〃項和公式的變形,
根據(jù)題目條件,認(rèn)真分析,發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.
(2)巧用性質(zhì),減少運算量,在解題中非常重要.
題型3:等比數(shù)列項的性質(zhì)
3-1.(2024.江西.二模)在正項等比數(shù)列{%}中,的與網(wǎng)是方程f-30x+10=0的兩個根,貝?。?/p>
1g4+1gH---F1g%o=.
32(2024高三下?四川成都?階段練習(xí))若數(shù)列{%}是等比數(shù)列,且每3B=8,則的“=.
3-3.(2024?河南新鄉(xiāng).二模)己知等比數(shù)列{%}的首項為1,且4+%=2(%+%),則1.
等比數(shù)列前〃項和的性質(zhì)
(1)等比數(shù)列{%}中,所有奇數(shù)項之和S奇與所有偶數(shù)項之和“具有的性質(zhì),設(shè)公比為4.
①若共有2w項,則渭=4;②若共有2〃+1項,/~L=q.
(2)等比數(shù)列{《}中,Sk表示它的前七項和.當(dāng)qw-l時,有&,S2「Sk,%—%,…也成等比數(shù)列,公比為
qk-
題型4:等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)
4-1.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測)已知等比數(shù)列{叫的前〃項和為S,,若色=2,$6=6,則S?4=.
4-2.(2024高三?全國?對口高考)已知數(shù)列{4}為等比數(shù)列,S,為其前〃項和.若$3。=13%,S10+S30=140,
則邑。的值為.
4-3.(2024高三?全國?課后作業(yè))已知凡是正項等比數(shù)列{%}的前"項和,%=20,則$3。-2s2。+%的最
小值為?
1010
4-4.(2024?江蘇南京?一模)設(shè)正項等比數(shù)列{%}的前幾項和為S“,>2530-(2+l)S20+510=0,則公比
q=.
彩做題秘籍一
(五)
由S”求數(shù)列的通項凡
已知S“求凡是一種非常常見的題型,這些題都是由凡與前”項和S”的關(guān)系來求數(shù)列{%}的通項公式,可由
(xS,(jl=1)
數(shù)列4的通項?!芭c前”項和S”的關(guān)系是4={二c,、小,注意:當(dāng)〃=1時,%若適合S“-S,T,貝卜7=1
的情況可并入“22時的通項當(dāng)”=1時,%若不適合S“-S,i,則用分段函數(shù)的形式表示.
題型5:由3求數(shù)列的通項區(qū),
5-1.(2024高三?全國?對口高考)已知等比數(shù)列{風(fēng)}的前w項和為S“=3"T-C,貝|C=.
5-2.(2024?廣西玉林?三模)記數(shù)列{4}的前"項和為S",已知向量比=(%+”S“),為=(1,2),若q=2,且
m//n,則{4}通項為.
5-3.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知數(shù)列{4}的前〃項和為S,且滿足S“+a“=-2,則數(shù)列{4}的通項
遂傅題秘籍」
(A)
奇偶項求和問題的討論
求解等比數(shù)列的前〃項和S〃,要準(zhǔn)確地記住求和公式,并合理選取公式,尤其是要注意其項數(shù)"的值;對于
奇偶項通項不統(tǒng)一問題要注意分類討論.主要是從"為奇數(shù)、偶數(shù)進行分類.
題型6:奇偶項求和問題的討論
為偶數(shù)
6-1.(2024高三?全國?對口高考)設(shè)數(shù)列{%}的首項%=。,且。同=
1'
H—,〃為奇數(shù)
14
記2=%〃-1一;,"=1,2,3….
(1)求出,"3;
(2)判斷數(shù)列色,}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;
(3)求々+d+L+bn.
2冊,及是偶數(shù),
6-2.(2024?湖南長沙?模擬預(yù)測)已知數(shù)列{氏}滿足q=3,且%
an-1,〃是奇數(shù).
⑴設(shè)2=%+%T,求數(shù)列也}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{%}的前n項和為S,,求使得不等式sn>2023成立的n的最小值.
L4〃,九為奇數(shù),
2
6-3.(2024.河北.模擬預(yù)測)已知數(shù)列{4}滿足%=2,an+l=-
an+工,〃為偶數(shù)
12
⑴記bn=*一*,證明:數(shù)列也}為等比數(shù)列;
(2)記%=%.一g,求數(shù)列{”1}的前”項和T,.
6-4.(2024?山東濟寧?二模)已知數(shù)列{%}的前w項和為=2a",7N2,〃eN*),且4=1,65=15.
(1)求數(shù)列{%}的通項公式;
⑵若%=懼:?票數(shù),求數(shù)列色}的前2〃項和&.
彩他題秘籍
等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用
(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化:等差數(shù)列通過指數(shù)運算轉(zhuǎn)化為正項等比數(shù)列,正項等比數(shù)列通過對
數(shù)運算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列.
(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯,若一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列.
題型7:等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用
7-1.(2024高二上?陜西渭南?期末)在等差數(shù)列{%}中,6+4=12,出+%=16.
(1)求等差數(shù)列{%}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{24+4}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,求數(shù)列{2}的前〃項和S..
7-2.(2024.江蘇)已知{%}是等差數(shù)列,{2}是公比為q的等比數(shù)列,%=瓦,%=瓦手%,記S“為數(shù)列也}
的前〃項和.
(1)若4=。”Cm,左是大于2正整數(shù)),求證:Sj=O-l)q;
(2)若么=q&是某一正整數(shù)),求證:4是整數(shù),且數(shù)列色J中每一項都是數(shù)列{%}中的項;
(3)是否存在這樣的正數(shù)q,使等比數(shù)列{〃}中有三項成等差數(shù)列?若存在,寫出一個q的值,并加以說明;
若不存在,請說明理由.
7-3.(2024高二上.福建龍巖.階段練習(xí))公差不為0的等差數(shù)列{4}中,%+%=2,且小,%,生成等比數(shù)
列.
(1)求數(shù)列{%}的通項公式;
⑵若S”為等差數(shù)列{??)的前〃項和,求使S"<0成立的n的最大值.
卷例?瓢祕籍(八)
等比數(shù)列的范圍與最值問題
求解此類問題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關(guān)于變量n的函數(shù)關(guān)系進行求解.有時也注意基本不等
式的應(yīng)用.
題型8:等比數(shù)列的范圍與最值問題
8-1.(2024.陜西西安.三模)已知數(shù)列{4}是無窮等比數(shù)列,若4<為<0,則數(shù)列{0}的前〃項和S“().
A.無最大值,有最小值B.有最大值,有最小值
C.有最大值,無最小值D.無最大值,無最小值
8-2.(2024高三上?貴州銅仁?期末)已知等比數(shù)列{。.}的各項均為正數(shù)且公比大于1,前”項積為4,且
a3a5=a4,則使得I>1的〃的最小值為()
A.5B.6C.7D.8
8-3.(2024.北京海淀?模擬預(yù)測)設(shè)無窮等比數(shù)列{4}的前”項和為S,,若-4<g<q,則()
A.⑸}為遞減數(shù)列B.{S.}為遞增數(shù)列
C.數(shù)列應(yīng)}有最大項D.數(shù)列⑸}有最小項
8-4.(2024高三上?廣西玉林?階段練習(xí))設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為分其前〃項和為S“,并且滿足條件
q>l,a7a8>L(%-l)(Os-l)<0,則下列結(jié)論正確的是()
A.%。9>1B.0<(7<1C.a6+a8<a7+a9D.S”的最大值為醺
8-5.(2024高三上?福建三明?期中)設(shè)等比數(shù)列{q}的公比為4,其前"項和為S,,前〃項積為北,并滿足
d—1
條件4>1,4刈洶。2。>1,則下列結(jié)論正確的是()
。20201
A.^2019^2020B.與020是數(shù)列{1}中的最大值
C.%019。2021T<°D.數(shù)列{q}無最大值
8-6.(2024.山東泰安.二模)己知數(shù)列{%}的前〃項和為S“,4=2,an^0,a?an+1=4Sn.
⑴求
(2)設(shè)么=(-!)"?(3"-1),數(shù)列{2}的前〃項和為7.,若V%eN*,都有陽一<九<心成立,求實數(shù)2的范圍.
彩他題海籍
(九)
等比數(shù)列的實際應(yīng)用
(1)解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型.
(2)一般步驟:審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型.
(3)注意問題是求什么(小an,S?).
注:(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性:設(shè)數(shù)列,判斷數(shù)列,解題完畢要作答.
(2)在歸納或求通項公式時,一定要將項數(shù)”計算準(zhǔn)確.
(3)在數(shù)列類型不易分辨時,要注意歸納遞推關(guān)系.
(4)在近似計算時,要注意應(yīng)用對數(shù)方法,且要看清題中對近似程度的要求.
題型9:等比數(shù)列的實際應(yīng)用
9-1.(2024.廣東廣州.模擬預(yù)測)某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200,預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為5%,
且在每年年底賣出100頭牛.設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為數(shù)列。,0,q,…,且滿足遞推公
式:左=廠9-左),概,}為數(shù)列{%}的前"項和,則$=(1.0即。1.63答案精確到1).
9-2.(2024.福建福州.三模)英國數(shù)學(xué)家亞歷山大?艾利斯提出用音分來精確度量音程,音分是度量不同樂音
頻率比的單位,也可以稱為度量音程的對數(shù)標(biāo)度單位.一個八度音程為1200音分,它們的頻率值構(gòu)成一個等
比數(shù)列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2,因此這1200個音的頻率值構(gòu)成一個公比為弋。的等比數(shù)列.
己知音/的頻率為加,音分值為匕音N的頻率為",音分值為/.若〃z=貝必-/=()
A.400B.500C.600D.800
9-3.(2024?全國?三模)88鍵鋼琴從左到右各鍵的音的頻率組成一個遞增的等比數(shù)列.若中音A(左起第49
個鍵)的頻率為440Hz,鋼琴上最低音的頻率為27.5Hz,則左起第61個鍵的音的頻率為Hz.
9-4.(2024?遼寧大連?一模)某高中圖書館為畢業(yè)生提供網(wǎng)上閱讀服務(wù),其中電子閱覽系統(tǒng)的登錄碼由學(xué)生
的屆別+班級+學(xué)號+特別碼構(gòu)成.這個特別碼與如圖數(shù)表有關(guān),數(shù)表構(gòu)成規(guī)律是:第一行數(shù)由正整數(shù)從小到
大排列得到,下一行數(shù)由前一行每兩個相鄰數(shù)的和寫在這兩個數(shù)正中間下方得到.以此類推特別碼是學(xué)生屆
別數(shù)對應(yīng)表中相應(yīng)行的自左向右第一個數(shù)的個位數(shù)字,如:1997屆3班21號學(xué)生的登陸碼為1997321*.(*
為表中第1997行第一個數(shù)的個位數(shù)字).若已知某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138,則可以推斷該畢業(yè)生是一
屆2班13號學(xué)生.
12345678-
3579111315…
81216202428…
2028364452???
法習(xí)與置升
一、單選題
1.(2024?浙江溫州?模擬預(yù)測)已知等比數(shù)列{%}的前〃項和為S.,公比為q,且5“=。,用-1,貝U()
A.%=2B.§2=2C.q=iD.q=2
2.(2024.全國)設(shè)等比數(shù)列{。.}的各項均為正數(shù),前〃項和S“,若4=1,S5=5S3-4,則S,=()
A.—B.—C.15D.40
88
3.(2024?江西撫州?模擬預(yù)測)已知正項等比數(shù)列{七}的前”項和為S“,若%%=3/,S3=39,則%=()
A.64B.81C.128D.192
4.(2024.江西?模擬預(yù)測)已知等比數(shù)列{4}的前4項和為30,^-^=15,則%=()
A.—B.gC.1D.2
42
5.(2024?上海閔行.二模)已知數(shù)列{4,}為等比數(shù)列,首項4>0,公比則下列敘述不正確的是
()
A.數(shù)列{%}的最大項為%B.數(shù)列{4}的最小項為電
C.數(shù)列{%%+J為嚴(yán)格遞增數(shù)列D.數(shù)歹1J{%,7+%“}為嚴(yán)格遞增數(shù)列
6.(2024高三.全國.對口高考)設(shè){%}是公比為q的等比數(shù)列,其前〃項的積為北,并且滿足條件:4>1,
a?aloo-l>O,馬弓<。.給出下列結(jié)論:①0<4<1;②加7;③陽刖<1;④使,<1成立的最小的自
。1007
然數(shù)”等于199.其中正確結(jié)論的編號是()
A.①②③B.①④C.②③④D.①③④
7.(2024?廣西?模擬預(yù)測)己知正項等比數(shù)列{q}滿足為=8,4+4%=;,則可出…?!叭∽畲笾禃r”的值為
()
A.8B.9C.10D.11
8.(2024高二上?廣東清遠(yuǎn)?期中)已知數(shù)列{為}滿足q<。,a?+1=1a?,則數(shù)列{%}是()
A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.不能確定
9.(2024高二上.陜西咸陽?期末)已知{%}是遞增的等比數(shù)列,且為<°,則其公比4滿足()
A.q<—1B.-1<^<0
C.q>lD.0<q<l
10.(2024高三上.江西贛州?期中)設(shè)公比為q的等比數(shù)列{%}的前,7項和為S“,前〃項積為q,且4>1,
a—1
〃2021〃2022〉1,~7〈0,則下列結(jié)論正確的是()
A.B.S2021s2022_]〉0
C.七22是數(shù)列{(,}中的最大值D.數(shù)列{(,}無最大值
11.(2024高三上.貴州黔西?階段練習(xí))設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為心其前”項和為S",前”項積為1,且滿
足條件外>1,“202002021>1,(他⑶-1)(%必-1)<0,則下列選項錯誤的是()
A.。vq<1B.S2020+1>S2021
C.4)2。是數(shù)列{1,}中的最大項D.7;041>1
12.(2024?上海青浦?一模)設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為4,其前〃項之積為7.,并且滿足條件:%>1,。2。19%。20>1,
a—1
a7T<。,給出下列結(jié)論:①0<“<1;②?2019?2021-1>0;③加9是數(shù)列{覃中的最大項;④使成
“20201
立的最大自然數(shù)等于4039;其中正確結(jié)論的序號為()
A.①②B.①③C.①③④D.①②③④
13.(2024?全國)記S“為等比數(shù)列{%}的前〃項和,若邑=-5,$6=2電,則縱=().
A.120B.85C.-85D.-120
14.(2024?天津)已知數(shù)列{%}的前w項和為S“,若4=2,a“M=2S“+2(〃eN*),則4=()
A.16B.32C.54D.162
15.(2024?湖南長沙?二模)設(shè)等比數(shù)列{%}的前〃項和為S“,己知其=353,?7=12,則6=()
A.—B.—C.2D.3
32
16.(2024高三下?陜西安康?階段練習(xí))在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{4}中,4-%=16,%6=4,則使
得見<1成立的〃的最小值為()
A.7B.8C.9D.10
17.(2024?四川巴中?模擬預(yù)測)在等比數(shù)列{%}中,4+。3=2,。5+%=18,則%+%=()
A.3B.6C.9D.18
18.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測)已知公比不為1的等比數(shù)列{氏}滿足%+2=4%+「3%,4=1,則邑=()
A.40B.81C.121D.156
19.(2024?河南?三模)數(shù)列{加}滿足?!?1=24,數(shù)列的前〃項積為小則4=()
20.(2024?安徽安慶?三模)在等比數(shù)列{%}中,。2%。4=4,。5。6%=16,則%%%()=()
A.4B.8C.32D.64
21.(2024高三上.廣西桂林?期末)己知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{4“},滿足%=2%+的,若存在兩項金,
%,使得M工=4%,則,+*最小值為()
mn
31
A.2B.—C.—D.1
23
二、多選題
22.(2024?山西大同?模擬預(yù)測)《莊子?天下》中有:“一尺之梗,日取其半,萬世不竭”,其大意為:一根一
尺長的木棒每天截取一半,永遠(yuǎn)都取不完,設(shè)第一天這根木棒截取一半后剩下%尺,第二天截取剩下的一
半后剩下〃2尺,…,第五天截取剩下的一半后剩下%尺,則下列說法正確的是()
〃511
A.1--B.%=一
的48
clc31
C.%—。4=—D.q+a2+%+〃4+%=—
1632
23.(2024?湖北武漢.三模)已知實數(shù)數(shù)列{4}的前〃項和為S“,下列說法正確的是().
A.若數(shù)列{%}為等差數(shù)列,則4+%+%=24恒成立
B.若數(shù)列{4}為等差數(shù)列,則邑,56-S3,S9-S6,…為等差數(shù)列
C.若數(shù)列{。,}為等比數(shù)列,且4=7,邑=21,貝34=-萬
D.若數(shù)列{%}為等比數(shù)列,則S3,S6-S3,S9-S6,…為等比數(shù)列
24.(2024?山東泰安二模)若相,〃是函數(shù)/'(x)=f-px+q(p>0,q>0)的兩個不同零點,且小,n,-2這
三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則04=.
25.(2024?江西新余?二模)已知數(shù)列{4“}中,4H0,見什“(加,〃eN*),且%、如是函數(shù)
/■(司=2彳2+19*+20的兩個零點,則%=.
26.(2024高三?全國?課后作業(yè))已知等比數(shù)列{%}的公比q=-;,該數(shù)列前9項的乘積為1,則%=.
27.(2024高二下.全國?課后作業(yè))等比數(shù)列{%}中,a[a9=256,+a6=40,則公比q的值為.
28.(2024高二下.北京?期中)在1和9之間插入三個數(shù),使這五個數(shù)組成正項等比數(shù)列,則中間三個數(shù)的積
等于.
29.(2024高二下?湖北十堰?階段練習(xí))已知正項數(shù)列{《,}是公比不等于1的等比數(shù)列,且加+但丹期二。,
2
若〃尤)=用7,則/(%)+/(/)+…+/(%023)=.
30.(2024高三?重慶?階段練習(xí))在等比數(shù)列{七}中,4+。2=30,a3+a4=60,貝!]%+4=
31.(2024高二.全國?課后作業(yè))已知數(shù)列{0}是等比數(shù)列,S,是其前〃項和,且$6=15,又=195,則
$24="
32.(2024高三上?江蘇泰州?期末)設(shè)正項等比數(shù)列{4}的前”項和為S“,若$4=1052,則稱的值為.
33.(2024高三上?重慶?階段練習(xí))已知等比數(shù)列{%}的前〃項和為S“,Se=7,a2+a5=-3,貝I]
ax+a3_
a2
34.(2024高二下?湖北十堰?階段練習(xí))已知正項等比數(shù)列{%,}的前"項和為S",若Ss=4,59=19,則Sf,
S9的等差中項為.
35.(2024?江西南昌?模擬預(yù)測)已知等比數(shù)列{?!埃那啊椇蜑镾“,若$4=3,S8=9,則九的值為
36.(2024高三上.內(nèi)蒙古包頭?期末)已知數(shù)列也}和也}滿足%=1,4=2,°,用=3?!?2+4,
2+1=32-4「4.則數(shù)列{°“+2}的通項%+年=.
37.(2024高三上?上海浦東新?開學(xué)考試)設(shè)基函數(shù)〃力=尤3,數(shù)列也}滿足:q=2021,>a?+1=/(??)
"eN*),則數(shù)列{%}的通項4,=_.
38.(2024高三.江蘇?專題練習(xí))寫出一個滿足前5項的和為31,且遞減的等比數(shù)列的通項%=.
39.(2024高二上?河南南陽?階段練習(xí))數(shù)列{a“的前n項和為Sn,ai=l,an+i=2S£nGN*),則an=.
40.(2024高三上?內(nèi)蒙古包頭?期中)己知數(shù)列{%}的通項an與前n項和S“之間滿足關(guān)系S,=2-3a“,則an=
41.(2024高一下?上海寶山?階段練習(xí))已知正數(shù)數(shù)列{%}滿足a“+R3%+2,且%<3向?qū)Αǎ鸑*恒成立,
則%的范圍為.
42.(2024?湖北武漢.模擬預(yù)測)己知等比數(shù)列{%}的各項均為正數(shù),公比為q,前幾項和S“,若對于任意正
整數(shù)n有S2n<2S?,則q的范圍為.
43.(2003高一?北京?競賽)若三角形三邊成等比數(shù)列,則公比q的范圍是.
44.(2024?湖南長沙.三模)中國古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載:“三百七十八里關(guān),初
行健步不為難,次日腳痛減一半,如此六日過其關(guān)則此人在第六天行走的路程是_______里(用數(shù)字作
答).
45.(2024?四川成者卜三模)如圖,已知在扇形。42中,半徑04=03=3,ZAOB=~,圓。|內(nèi)切于扇形
。48(圓。]和。4,OB,弧A3均相切),作圓與圓OA,08相切,再作圓2與圓。2,OA,相
切,以此類推.設(shè)圓。一圓儀…的面積依次為耳,邑…,那么H+S#…+S“=.
46.(2024?陜西西安?一模)“一尺之梅,日取其半,萬世不竭”出自《莊子?天下》,其中蘊含著數(shù)列的相關(guān)知
識,已知長度為4的線段A8,取43的中點C,以AC為直徑作圓(如圖①),該圓的面積為岳,在圖①中
取CB的中點。,以為直徑作圓(如圖②),圖②中所有圓的面積之和為邑,以此類推,則S“=.
①②
47.(2024.貴州銅仁.二模)0.618是無理數(shù)避二1的近似值,被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金
2
比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖,AABC是頂角為A,底3c=2的第一個黃金三角形,是頂
角為耳的第二個黃金三角形,△GB。是頂角為G的第三個黃金三角形,V&CG是頂角為鳥的第四個黃金
三角形,則第4個黃金三角形的腰長為(寫出關(guān)于好二表達(dá)式即可).
2
四、解答題
48.(2024?安徽亳州?模擬預(yù)測)甲、乙、丙三個小學(xué)生相互拋沙包,第一次由甲拋出,每次拋出時,拋沙
包者等可能的將沙包拋給另外兩個人中的任何一個,設(shè)第〃(weN*)次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為
%,在丙手中的方法數(shù)為或.
⑴求證:數(shù)列{“向+%}為等比數(shù)列,并求出{%}的通項;
(2)求證:當(dāng)"為偶數(shù)時,an>bn.
49.(2024高三.上海.專題練習(xí))已知數(shù)列{%}是首項與公比都為。的等比數(shù)列,其中。>0,且
awl,b"=a"lg%5eN*),且{2}是遞增數(shù)列,求。的范圍.
50.(2024?江蘇鹽城三模)已知數(shù)列{%}、出}滿足4。n+i--bn+",4b“+i=3b--a”T,feR,eN+,
且q=1,4=0.
⑴求證:{%+"}是等比數(shù)列;
(2)若{%}是遞增數(shù)列,求實數(shù)r的取值范圍.
51.(2024高三?全國?專題練習(xí))數(shù)列{““}的前〃和S“滿足S“=2見-〃(〃eN*),
(1)求生的值及a?與an_x的關(guān)系;
(2)求證:{%+1}是等比數(shù)列,并求出{%}的通項公式.
52.(2024?云南?三模)已知數(shù)列{4}有遞推關(guān)系%+1=善=]〃N*,。產(chǎn)j1=黑,記4=bn-k{keZ),
—413)29
rb
若數(shù)列也,}的遞推式形如%1=嬴工(pqreR且也即分子中不再含有常數(shù)項.
(D求實數(shù)上的值;
(2)證明:為等比數(shù)列,并求其首項和公比.
xya”+2_*
53.(2024?福建廈門?模擬預(yù)測)已知數(shù)列({4}滿足一,〃eNT.
an
⑴證明[組三]是等比數(shù)列;
g+lj
,3,、
⑵若a=F,求也}的前〃項和s“.
+1
54.(2024?山東濰坊.三模)已知數(shù)列{%}和{2}滿足4=3,仿=2,an+1=an+2bn,bn+l=2an+bn.
⑴證明:{%+bn}和&-2}都是等比數(shù)列;
⑵求{。也}的前〃項和S”.
55.(2024高三.上海?專題練習(xí))數(shù)列{”“}的通項4=3〃-1,低}的通項2=2",由冊與”中公共項,并按原
順序組成一個新的數(shù)列{g},求{1}的前〃項和.
56.(2024?天津南開?二模)設(shè){%}為等比數(shù)列,{2}為公差不為零的等差數(shù)列,且%=&=3,a2=b9,a3=b27.
⑴求{叫和也}的通項公式;
T1
⑵記{《,}的前〃項和為s",{2}的前〃項和為1,證明:
%
一,〃為奇數(shù)
2+22n
(3)記cn=<
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