等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（9題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)（原卷版）

專題27等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和9題型分類

彩題如工總

題型1:等差數(shù)列基本量的運(yùn)算

彩和例寶庫(kù)

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

(1)等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等

差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達(dá)式為斯-=或常數(shù))(這2,"GN*).

(2)等差中項(xiàng)

由三個(gè)數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有2A=a+b.

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項(xiàng)公式：。"=0+("—l)d.

(2)前n項(xiàng)和公式：S"=nai+理或&="”即

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=afn+(n—ni)d(n,m^N*).

(2)若｛斯｝為等差數(shù)列，且上+/=m+〃(左，/,m,〃￡N*),貝!Ja左+〃/=Q機(jī)+〃〃.

(3)若｛斯｝是等差數(shù)列，公差為d,則四，ak+m，ak+2m，…(k,是公差為加d的等差數(shù)列.

(4)數(shù)列Sm，S2m~SmfS3冽-S2冽，…也是等差數(shù)列.

(5?2〃—1=(2九一1)?！?

(6)等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S”，停，為等差數(shù)列.

【常用結(jié)論】

1.己知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式是a.=p"+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列｛斯｝一定是等差數(shù)列，且公差為，

2.在等差數(shù)列｛詼｝中，0>0,d<0,則S,存在最大值；若?<0,40,則％存在最小值.

3.等差數(shù)列｛斯｝的單調(diào)性：當(dāng)d>0時(shí)，｛a.｝是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，｛詼｝是遞減數(shù)列；當(dāng)1=0時(shí)，｛斯｝

是常數(shù)列.

4.數(shù)列｛a,J是等差數(shù)列B為常數(shù)).這里公差d=2A

彩偏題海籍

(―)

等差數(shù)列基本量的運(yùn)算

(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量n,d,an,Sn,知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè)(簡(jiǎn)

稱“知三求二”).

(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)內(nèi)和公差d.

題型1：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算

1-1.(2024?廣西?模擬預(yù)測(cè))設(shè)｛%｝為等差數(shù)列，若生+24=1,4=5,則公差4=()

A.-2B.-1C.1D.2

1-2.(2024高二上.廣東珠海.期末)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=1同=18,則S6=()

A.54B.71C.80D.81

1-3.(2024?安徽安慶?二模)記S“為等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，若S3=%〃3-4=8,則%=()

A.30B.28C.26D.13

彩他題祕(mì)籍

等差數(shù)列的判定與證明

判斷數(shù)列｛詼｝是等差數(shù)列的常用方法

(1)定義法.

(2)等差中項(xiàng)法.

(3)通項(xiàng)公式法.

(4)前"項(xiàng)和公式法.

題型2:等差數(shù)列的判定與證明

2-1.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛g｝和數(shù)列出｝,滿足log?。,是4和或的等差中項(xiàng)，（〃eN*）.

⑴證明：數(shù)列也,｝是等差數(shù)列，

■>IMiL.

）丁:為日數(shù)，求數(shù)列匕）的前20項(xiàng)和.

2-2.（2024?山西晉中?模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列｛4｝中，弓=%=1，前〃項(xiàng)和S“滿足S“+Sm=/+2"（"eN*）.

（1）證明：,2“｝為等差數(shù)列；

（2）求5HM.

2-3.（2024高一下.浙江寧波?期末）已知數(shù)列｛q｝中，％=1,當(dāng)時(shí)，其前〃項(xiàng)和S,滿足：

bbb

且S“w。，數(shù)列也｝滿足：對(duì)任意〃eN*有U+U+…+右=（"-1>2"‘+2.

⑴求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)T”是數(shù)列］工廠的前〃項(xiàng)和，求證：7；<|.

也ij2

彩他題秘籍（二）

等差數(shù)列的性質(zhì)

1.等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的關(guān)注點(diǎn)

（1）在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項(xiàng)的和問(wèn)題，一般先考慮應(yīng)用項(xiàng)的性質(zhì).

（2）項(xiàng)的性質(zhì)常與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式S尸"":""相結(jié)合.

2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用的性質(zhì)是：

在等差數(shù)列｛詼｝中，數(shù)列5如Slm—Sm,S3M—512孫…也是等差數(shù)列，且有82〃="（。1+。2〃）=…=〃（即+。什1）；

52〃-1—（2加1）斯.

題型3:等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)

3-1.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為邑,出+邑=4,。2+%+%+%=7,貝氏

等于（）

A.63B.—C.45D.—

22

3-2.（2024.全國(guó)）記S“為等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和.若出+。6=1。，。4。8=45,則=（）

A.25B.22C.20D.15

3-3.（2024高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）已知等差數(shù)列｛4｝中，出+4=6,則q+/+/+%+%=（）

A.30B.15C.576D.1046

題型4:等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

4-1.（2024高一下?四川成都?階段練習(xí)）若兩個(gè)等差數(shù)列｛an｝,｛2｝的前n項(xiàng)和分別是S“，7；,己知彳=塞|,

a.

則廣=_____.

b3

4-2.（2024高三.全國(guó)?課后作業(yè)）已知數(shù)列也,｝與也｝均為等差數(shù)列，且前“項(xiàng)和分別為S,與T,,若

4-3.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)的和為40,偶數(shù)項(xiàng)的和為32,

貝!!as=-

4-4.（2024高二下?遼寧?期末）等差數(shù)列｛4｝中，4=2020,前”項(xiàng)和為S“，若蛋一第=一2,則52必=.

彩健題海籍

—（四）

等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值

求等差數(shù)列前n項(xiàng)和￡最值的2種方法

（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前”項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式5“=。/+加，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方

法求解.

>0

（2）鄰項(xiàng)變號(hào)法：①若%>0,d<0,則滿足附/八的項(xiàng)數(shù)機(jī)使得S“取得最大值S,“；

l?m+i<。

…[a<0

②若4<0,">0,則滿足、八的項(xiàng)數(shù)，"使得S”取得最小值S,“.

K+i^0

題型5:等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

5-1.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列｛4｝中，已知4>0,且$8=犯，則當(dāng)I取最大值時(shí)，”=（）

A.10B.11C.12或13D.13

CC

5-2.（2024.四川成都.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且V〃eN*,都有若邑=幾，

nn+1

則（）

A.S”的最小值是S9B.S”的最小值是百。

c.s”的最大值是S9D.s.的最大值是品，

5-3.（2024高二上.陜西渭南.期中）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知”>0,凡<。，則以下選項(xiàng)中,

最大的是（）

A.&B.S〕C.S6D.S]

5-4.（2024高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足:??+%+2=2??+1對(duì)〃eN*恒成立，且~<^淇前”

。8

項(xiàng)和S"有最大值,則使得s?>0的最大的”的值是.

彩?題淞鬻.

（五）

等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

（1）與等差數(shù)列前"項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列.

（2）遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關(guān)知識(shí)解決相關(guān)

的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

題型6:等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

6-1.（2024.江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5

升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（）

A.0.25升B.0.5升C.1升D.1.5升

6-2.（2024.北京）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色

黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)%%,%，%，%（單位:cm）成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為

4也也也,以（單位:cm）,且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知4=288,a5=96,4=192,則4=

A.64B.96C.128D.160

6-3.（2024高二下.北京昌平?期中）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立

夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度之和

為31.5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)度之和為85.5尺，則谷雨這一天的日影長(zhǎng)度為（）

A.5.5尺B.4.5尺C.3.5尺D.2.5尺

6-4.（2024.河北唐山.模擬預(yù)測(cè)）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾

和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站

全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀(jì)念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對(duì)本網(wǎng)站會(huì)員的獎(jiǎng)品派發(fā)活動(dòng)，派發(fā)規(guī)則

如下：①對(duì)于會(huì)員編號(hào)能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個(gè)；②對(duì)于不符合①中條件

的可以獲得普通足球一個(gè).已知該網(wǎng)站的會(huì)員共有1456人（編號(hào)為1號(hào)到1456號(hào)，中間沒(méi)有空缺），則獲得

精品足球的人數(shù)為（）

A.102B.103C.104D.105

6-5.（2024.全國(guó)）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱

為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層

的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有

扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

遂僻題秘籍一

(A)

關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問(wèn)題的討論

對(duì)于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問(wèn)題要注意分類討論.主要是從“為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類.

題型7:關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問(wèn)題的討論

7-1.(2024?全國(guó))已知｛風(fēng)｝為等差數(shù)列，2=[；；一：\鬻數(shù)，記S“，7”分別為數(shù)列｛4｝，｛%｝的前〃項(xiàng)和,

S4=32,4=16.

(1)求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明:當(dāng)">5時(shí)，Tn>Sn.

(、[a+l,n=2k—1*

7-2.(2024高二下?陜西西安?期末)己知數(shù)列｛?！皾M足，a?+1=。#eN*,%=1.

\an-2,n=2k

(1)若數(shù)列也｝為數(shù)列也｝的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，證明：數(shù)列也J為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的前50項(xiàng)和.

7-3.(2024.江蘇南京.一模)已知數(shù)列｛叫和色｝滿足：a,*—(-琰?4="(“eN*).

(1)若左=1,4=1,bn=T,求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若k—4,bn=8,%—4,a?—6,CL2=8,a4=10.

m求證：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

忘記數(shù)列｛??｝的前”項(xiàng)和為S,,,求滿足(S“+1)2-|a?+33=k2的所有正整數(shù)k和n的值.

彩他題秘籍

(七)

對(duì)于含絕對(duì)值的等差數(shù)列求和問(wèn)題

由正項(xiàng)開(kāi)始的遞減等差數(shù)列｛an｝的絕對(duì)值求和的計(jì)算題解題步驟如下：

（）首先找出零值或者符號(hào)由正變負(fù)的項(xiàng)

1n0

（2）在對(duì)〃進(jìn)行討論，當(dāng)“V%時(shí)，Tn=Sn,當(dāng)">小時(shí)，T"=2S%-S.

題型8:對(duì)于含絕對(duì)值的等差數(shù)列求和問(wèn)題

8-1.（2024?遼寧大連?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,其中出=TO，S6=-42.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)；

（2）求數(shù)列｛㈤｝的前n項(xiàng)和為T(mén)”.

8-2.（2024.全國(guó)）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知g=11,1=40.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列也」｝的前"項(xiàng)和4.

8-3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在公差為d的等差數(shù)列｛%｝中，已知q=10,且2%,2a2+2,5%-g成等

比數(shù)列.

⑴求,，冊(cè)；

（2）若d<0,求I%I+1wI+14I+…+1%I

與他墓秘籍（八）

等差數(shù)列中的范圍與恒成立問(wèn)題

與數(shù)列有關(guān)的恒成立問(wèn)題主要有兩大類,一是根據(jù)數(shù)列不等式恒成立，求參數(shù)范圍，二是數(shù)列不等式的

證明

題型9:等差數(shù)列中的范圍與恒成立問(wèn)題

9-1.（2024高三上?重慶九龍坡?期中）等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和記為Sn，已知%+%+%=33,%+%+%=27,

若存在正數(shù)鼠使得對(duì)任意〃eN*,都有恒成立，則人的值為.

9-2.（2024?上海楊浦二模）數(shù)列也｝滿足q=L%+。用=3〃+2對(duì)任意〃N*恒成立，則出。2。=.

.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛g｝滿足：4=3,%=6,%=11，從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的

差構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求見(jiàn);

⑵設(shè)2=條，若，W〃，恒成立，求機(jī)的取值范圍.

煉司與梭升

一、單選題

1.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）公差不為零的等差數(shù)列也｝中，出+2%=6,則下列各式一定成立的是（）

A.。3。5<2B.。3。5<4C.%。5<2D.。2。5<4

2.（2024?北京海淀?三模）已知等差數(shù)列｛%｝的公差為d,數(shù)列也｝滿足qj〃=l（"eN*）,貝U“d>0”是“也｝

為遞減數(shù)列''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024高二上?浙江溫州?期末）在等差數(shù)列｛4｝中，S”為｛g｝的前〃項(xiàng)和，q>0,a6a7<0,則無(wú)法判斷

正負(fù)的是（）

A.S?B.Sl2C.S13D.S14

4.（2024高二?全國(guó)?課后作業(yè)）設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，貝上《1<生<4”是“數(shù)列料,｝是遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2024高三上.北京.階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4“｝單調(diào)遞增且滿足出+a=6,則&的取值范圍是（）

A.（-<?,3）B.（3,6）C.（3,+co）D.（6,+oo）

6.（2024.江西上饒?模擬預(yù)測(cè)）2022年10月16日上午10時(shí)，舉世矚目的中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大

會(huì)在北京人民大會(huì)堂隆重開(kāi)幕，某單位組織全體人員在報(bào)告廳集體收看，已知該報(bào)告廳共有16排座位，共

有432個(gè)座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個(gè)座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（）

A.12B.26C.42D.50

7.（2024高二下.全國(guó)?課后作業(yè)）已知數(shù)列｛為｝是等差數(shù)列，若4-%+%=7,則%+的等于（）

A.7B.14C.21D.7（n-l）

8.（2024高二下.全國(guó)?課后作業(yè)）如果等差數(shù)列｛4“｝中，/+/+%=12,那么弓+出+…+%=（）

A.14B.12C.28D.36

9.（2024高三下?河南?階段練習(xí)圮知數(shù)列｛%｝滿足2an+l=an+an+2，其前”項(xiàng)和為S,，若Sg=18,則%=（）

A.-2B.0C.2D.4

10.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)S,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若當(dāng)=105,則%=（）

A.5B.6C.7D.8

11.（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛4｝滿足出+%+4=兀，則cos（4+%）=（）

A.--B.1C.@D.巫

2222

12.（2024?江西新余.二模）記S“是公差不為0的等差數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和，若出=邑，的3=及，則數(shù)列｛%｝

的公差為（）

A.-2B.-1C.2D.4

13.（2024?四川涼山.三模）在等差數(shù)列｛?！埃校?%=2,火=3,則％=（）.

A.3B.5C.7D.9

14.（2024.河北.模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)歹心。“｝的前〃項(xiàng)和是5,,%=1，邑=3。6,則邑=（）

A.1B.-1

C.3D.-3

15.（2024高三下?云南昆明?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足：4=1,且滿足?！?為+1=m>￡N*），則。2023=（）

A.1012B.1013C.2022D.2023

16.（2024?北京）在等差數(shù)列｛風(fēng)｝中，4=—9,%=T.記…45=12…），則數(shù)列⑵｝（).

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

aa9a

17.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝中，％=2,當(dāng)心3時(shí)，n-\f~nn-2成等差數(shù)列.若出必=3

那么。3+。5+…+。2021=（）

A.kB.k,—\C.2kD.k—2

18.（2024?全國(guó)）記S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：｛%｝為等差數(shù)列；乙：｛2｝為等差數(shù)列，貝U（）

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

f（3—3,x<7,xx

19.（2024高二下.遼寧?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（幻=>6，數(shù)列（也｝滿足冊(cè)=/（*〃—+，且數(shù)列｛（4｝

ICI,X〉/

是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（2,3]B.（1,3）C.（2,3）D.（1,1）

20.（2024?北京.三模）等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為工，若v〃cN*,S?<S7,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式可能是

（）

A.an=3n-15B.an=11-3nC.an=n-7D.an=15-2n

21.（2024.浙江杭州.模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛%｝公差不為0,正項(xiàng)等比數(shù)列也｝,%=仇，則以

下命題中正確的是（）

A.%>優(yōu)B.a5>b5C.a6<b6D.a?>Z>17

22.（2024?海南?？?一模）家庭農(nóng)場(chǎng)是指以農(nóng)戶家庭成員為主要?jiǎng)趧?dòng)力的新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)主體.某家庭農(nóng)場(chǎng)

從2019年開(kāi)始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬(wàn)

元，2021年的收益為50萬(wàn)元.照此規(guī)律，從2019年至2026年該家庭農(nóng)場(chǎng)的總收益為（）

A.630萬(wàn)元B.350萬(wàn)元C.420萬(wàn)元D.520萬(wàn)元

23.（2024?江西.模擬預(yù)測(cè)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、

丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天

干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支

由“子”起,比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天

干回到“甲''重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥汗之后地支回到“子’’重新開(kāi)始,即“丙子以此類推，2023年

是癸卯年，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2123年為（）

A.癸未年B.辛丑年C.己亥年D.戊戌年

二、多選題

24.（2024?福建泉州.模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛%｝的公差為d,前"項(xiàng)和為且d^O,4嗎，/成等比數(shù)

列，則（）

A.幾=0B.%=。

C.當(dāng)d<0時(shí)，S9是s”的最大值D.當(dāng)d>0時(shí)，幾是S“的最小值

25.（2024?江蘇鹽城三模）已知數(shù)列｛4｝對(duì)任意的整數(shù)〃23,都有〃“儼段=（*-4網(wǎng)，則下列說(shuō)法中正

確的有（）

A.若%=2,%=2,貝!J%=2

B.若q=1,%=3,則/〃+1=2〃+l（nwN）

C.數(shù)列｛?｝可以是等差數(shù)列

D.數(shù)列｛%｝可以是等比數(shù)列

26.（2024?安徽安慶?二模）已知｛4｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S,,4=1。，公差1=-2，貝U（）

A.S4=S7

B.當(dāng)〃=6或7時(shí)，S,取得最小值

C.數(shù)列｛同｝的前10項(xiàng)和為50

D.當(dāng)脛2023時(shí)，｛%｝與數(shù)列｛3機(jī)+1。｝（meN）共有671項(xiàng)互為相反數(shù).

27.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝,下列結(jié)論正確的有（）

A.若〃1=2,an+x=ctn+n+1,則^z20=211

B.若。1=1,a〃+1—2ati+1,則。〃=2〃—1

c.若S"=3"+；,則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列

D.若S,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則數(shù)列為等差數(shù)列

三、填空題

28.（2024高二,全國(guó)?專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛助｝的首項(xiàng)為3,公差為2,則伽=_.

29.（2024高三上?寧夏?期中）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若$3=9,$6=36,則/+%+4=

30.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，且％+6（）=%，則^—=------=

31.（2024?全國(guó)）記S“為等差數(shù)列｛4｝的前八項(xiàng)和.若2s3=3邑+6,則公差4=.

32.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛%｝的公差不為零，為其前”項(xiàng)和，若邑=0,則￡（i=0,1,2…,100）

中不同的數(shù)值有個(gè).

33.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)隨機(jī)變量J的分布列如下：

4123456

Pa2〃3%a5〃6

其中4,。2，…，4構(gòu)成等差數(shù)列，則4+%=.

34.（2024?上海黃浦?三模）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問(wèn)題”，在他的專著《詳解九章算法?商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，

推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個(gè)，第二層放3個(gè)，第三層放6

個(gè)，第四層放10個(gè)……第”層放％個(gè)物體堆成的堆垛，貝|工+工+…+—L=.

%〃2。2022

35.（2024?廣東東莞.模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛%,｝的首項(xiàng)4=1,公差為”，前〃項(xiàng)和為S”.若恒成

立，則公差d的取值范圍是.

36.（2024?云南.三模）已知S”為等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和.若黑＞。，則當(dāng)I取最小值時(shí)，”的

值為.

37.（2024高三上?上海嘉定?期中）已知等差數(shù)列｛《,｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且％=2020,則%的最小值是—

38.（2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知S“為等差數(shù)列｛q｝的前“項(xiàng)和，且$2=35,a2+a3+a4=39,則當(dāng)S,取最

大值時(shí)，"的值為.

39.（2024高三.全國(guó).對(duì)口高考）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若公差d=g,S100=145;則

a,+a3+a5-I--F須的值為.

40.（2024高二上?上海長(zhǎng)寧?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，若$=20,S30=90,則邑。=

41.（2024?山東）將數(shù)列｛2〃-1｝與｛3w-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛即｝，則｛加｝的前n項(xiàng)和為.

42.（2024?上海嘉定.三模）已知〃eN,n>l,將數(shù)列｛2"-1｝與數(shù)列獷的公共項(xiàng)從小到大排列得到新

100]

數(shù)列｛4｝,則X—=____.

〃=1an

43.（2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，公差d為奇數(shù),且同時(shí)滿足：①S“存

在最大值；②邑-％=熊；③同<7.則數(shù)列｛S“｝的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為S"=.（寫(xiě)出滿足題意的一個(gè)

通項(xiàng)公式）

44.（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”.已知％+生+生=47,%+&=28.若存在

正整數(shù)k,使得對(duì)任意的〃eN*都有S"<SM亙成立，則k的值為一.

45.（2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S“，”+「（〃+1）為+1=。（〃eN*）,且q=3,

%=5.若根>奈恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

46.（2024高二下?北京?階段練習(xí)）設(shè)S"是公差為』（4力0）的無(wú)窮等差數(shù)列｛%｝的前，項(xiàng)和，則下列命題正

確的是.

①若d<0,則數(shù)列6｝有最大項(xiàng)；②若數(shù)列也｝有最大項(xiàng)，則d<0

③若數(shù)列對(duì)任意的“eN*,Sa>S“恒成立，則5“>。

④若對(duì)任意的〃eN*,均有S“>。，則S用>S“恒成立

47.（2024高二下?甘肅定西?期中汨知等差數(shù)列｛““｝的前n項(xiàng)和為Sn，并且Sl0>0,“<。，若Sn<Sk對(duì)"eNf

恒成立，則正整數(shù)上的值為.

48.（2024高二上?上海靜安?期末）已知數(shù)列｛〃/是等差數(shù)列，若4+勺>0,3Ml<0,且數(shù)列｛七｝的前”

項(xiàng)和S“有最大值,那么當(dāng)S">。時(shí)，”的最大值為

49.（2024高二下?北京海淀?期中）已知S“是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若僅當(dāng)u=5時(shí)」取到最小值,且

I%1>1?6I，則滿足S,>。的〃的最小值為.

50.（2024高三.全國(guó)?課后作業(yè)）記等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,，若弓>0,a2+a2023=0,則當(dāng)S“取得最

大值時(shí)，W=.

51.（2024高二下?湖南衡陽(yáng)?期末）己知等差數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為%=31-勿（teZ）,當(dāng)且僅當(dāng)〃=10時(shí)，

數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“最大?則滿足1>0的左的最大值為.

52.（2024高二上?河南鄭州?開(kāi)學(xué)考試）等差數(shù)列｛g｝中，S6<S7,S7>S8,給出下列命題:①d<0,②S9Vs6,

③內(nèi)是各項(xiàng)中最大的項(xiàng)，④跖是S“中最大的值，⑤｛%｝為遞增數(shù)列.其中正確命題的序號(hào)是.

53.（2024高二上?江蘇鹽城?期中）已知數(shù)列｛4｝滿足6=21，。用+2”，則子的最小值為.

54.（2024.新疆烏魯木齊?一模）設(shè)S,是等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，若邑5>0,邑6<0,則數(shù)列

｛$k〃eN+,〃V25）中的最大項(xiàng)是第項(xiàng).

55.（2024高二下?山東濰坊?期中）在數(shù)列｛4｝中，若％=21,前"項(xiàng)和S“=-2/+bn,則S“的最大值為.

56.（2024?福建?模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列｛q｝中，前加項(xiàng)（加為奇數(shù)）和為70,其中偶數(shù)項(xiàng)之和為30,且

%-%,=12,則｛%｝的通項(xiàng)公式為%=.

57.（2024高二下.遼寧.階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛4｝,也｝的前〃項(xiàng)和分別為S,,Tn,且寸=R，則

a+41■

/、、S”7〃+2

58.（2024高二下?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列｛