福建省福州市聯(lián)考2024-2025學年上學期九年級期中考數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年第一學期期中考試九年級數(shù)學試題

（滿分150分，完卷時間120分鐘）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題所給出的四

個選項恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相

應位置上）

1.下列新能源汽車標志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

2.用配方法解一元二次方程一一4彳-5=0的過程中，配方正確的是（）

2

A.(x+2)2=1B.(x-2)2=1C.(X+2)2=9D.(x-2)=9

3.如圖，在中，AABC=60°,則//OC等于（）

R

D.150°

4.拋物線y=2/+3與V軸的交點是（）

A.（0,5）B.（0,3）C.（0,2）D.(2,1)

5.正多邊形的中心角為45。，則正多邊形的邊數(shù)是（）

A.4B.6C.8D.12

6.如圖，將△4BC繞點N逆時針旋轉100。，得至若點。在線段8C的延長線上,

則的度數(shù)為（）

試卷第1頁，共6頁

A.30°B.40°C.50°D.60°

7.在平面直角坐標系中，△NBC三個頂點的坐標分別為Z（4,2）,B（2,0）,C（0,0）,以原點。為

位似中心，把這個三角形縮小為原來的;，可以得到A/'B'C',則點H的坐標為（）

A.（2,1）B.（1,2）或（T-2）C.（2』）或（一2,-1）D.（-1,-2）

8.如圖，在口4BCD中，E為CD上一點、,連接/￡、BD,且4E、BD交于點、F,

S"F：S"尸=4:25，則。G3尸為（）

A.2:5B.2:3C.3:5D.3:2

9.已知拋物線V=G2+6X+C,y與x的部分對應值如表所示，下列說法錯誤是（）

X-10123

y0343m

A.開口向下B.頂點坐標為（1,4）

C.當x<l時，>隨x的增大而減小D.m=0

10.如圖，在矩形ABCL（中，AB=8,AD=6,以點C為圓心作0c與直線區(qū)）相切，點尸

AT

是。C上一個動點，連接/p交2。于點T,則'的最小值是（）

]_

D.

2

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

11.在直角坐標系中，若點4（1,。），點8伍,-2）關于原點中心對稱，則。+6=.

12.已知關于x的一元二次方程無2-x+7〃=0有一個根為-2,則加=

13.在△42C中，MN〃BC分別交AB、NC于點M、N；若NM=1,MB=2,BC=9,

試卷第2頁，共6頁

則MV的長為

14.如圖，四邊形4BCD為O。的內接四邊形，乙4=100。，則乙DCE的度數(shù)為:

15.若圓錐的高為8c機，母線長為10c〃z,則這個圓錐的側面展開圖的弧長是

。冽.(結果保留萬)

16.關于x的一元二次方程/+2〃江+2〃=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關于y的一元二次

方程/+2號+2心=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結論：①這兩個方程的根

都負根;②加2<2?+(?-1)2>2；(4)-1<2m-2n<1,其中正確結論的結論是.

三、解答題(本大題共9小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演

算步驟)

17.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)X2+2X-4=0

(2)3x(x-2)=8-4x

18.已知/+(0+3h+々+1=0是關于x的一元二次方程，求證：方程總有兩個不相等的實

數(shù)根.

19.為了測量水平地面上一棵直立大樹的高度，學校數(shù)學興趣小組做了如下的探索：根據光

的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設計如圖所示的測量方案：把一面很小的鏡子放在

與樹底端B相距8米的點E處，然后沿著直線BE后退到點D,這時恰好在鏡子里看到樹梢

頂點再用皮尺量得DE=1.6米，觀察者目高CD=1.5米，求樹48的高度.

試卷第3頁，共6頁

A

20.如圖1、圖2,"OB,△CO。均是等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,

圖1圖2

(1)在圖1中，求證：AC=BD；

(2)若△C。。繞點。順時針旋轉一定角度后如圖2所示，請問NC與2。還相等嗎？為什么？

21.如圖，42是。。的直徑，過點/作。。的切線/C,點P是射線/C上的動點，連接

OP,過點8作2?！?。尸，交。。于點。，連接尸D.

(1)請補全圖形；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)證明：尸。是。。的切線.

22.如圖，四邊形4BCD內接于。。，2D為。。的直徑，AC平分ZBAD,CD=2拒，點E

在BC的延長線上，連接。E.

(1)求直徑的長；

Q)若BE=5垃,計算圖中陰影部分的面積.

試卷第4頁，共6頁

23.施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其最高點尸距離地面高度為8米，寬度

(W為16米.現(xiàn)以點。為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系(如圖所示).

(1)求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

(2)隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時并行

兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明;

24.問題背景：如圖1,已知求證：AABDfACE；

嘗試運用：如圖2,在△ABC中，點。是2C邊上一動點，NBAC=NDAE=90°,且

/ABC=NADE,=4,/C=3,/C與?！晗嘟挥邳c尸，在點。運動的過程中，連接CE,

CF

當常=51時，求的長度；

CD1

拓展創(chuàng)新：如圖3,。是△4BC內一點，ABAD=ZCBD,—=-,/BDC=90。，AB=3,

BD2

AC=242.求40的長.

25.已知拋物線丁="_2辦+c過點N(T,0)和C(0,3),與x軸交于另一點B,頂點為

D.

(1)求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標；

(2)如圖1,E為線段2c上方的拋物線上一點，EF1BC,垂足為F,軸，垂足

為M,交8c于點G.當3G=3時，求AEFG的面積；

(3)如圖2,/C與8。的延長線交于點H,在x軸上方的拋物線上是否存在點P,使

NOPB=NAHB?若存在,求出點P的坐標：若不存在，請說明理由.

試卷第5頁，共6頁

試卷第6頁，共6頁

1.A

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一

條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著

某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對

稱圖形，這個點就是它的對稱中心.

【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

故選A.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知二者的定義是解題的關

鍵.

2.D

【分析】本題考查了配方法解一元二次方程.將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項

系數(shù)一半的平方配成完全平方式即可.

【詳解】解：x2-4x-5=0,

移項得x2—4%=5,

配方得/-4x+4=5+4,即（x—2）~=9,

故選：D.

3.C

【分析】此題考查了圓周角定理.同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，據此進行解答即可.

【詳解】解：■■■ZABC=60°,

.■.ZAOC=2ZABC=nO°

故選：C

4.B

【分析】拋物線y=2x2+3與y軸的交點的橫坐標為0,故把x=0代入上式得y=3,

交點是（0,3）.

【詳解】當x=0時，y=2x0+3=3,所以交點是（0,3）.

故選B.

答案第1頁，共19頁

【點睛】考查了函數(shù)圖象上的點的坐標與函數(shù)解析式的關系，及與y軸交點的坐標特點.

5.C

【分析】本題考查正多邊形與圓，根據中心角的度數(shù)等于360。除以邊數(shù)，進行求解即可.

【詳解】解：,?,正多邊形的中心角為45。，

這個多邊形的邊數(shù)是360。+45。=8,

???正多邊形的邊數(shù)是8.

故選：C.

6.B

【分析】根據旋轉的性質可得出=ZBAD=W0°,再根據等腰三角形的性質：等邊

對等角，可求出的大小.

【詳解】解：根據旋轉的性質，可得：AB=AD,ZBAD=100°,

/月皿=/4。3=；（180。-100。）=40。.

故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質與等腰三角形的性質結合，利用等腰三角形的性質是解題的

關鍵.

7.C

【分析】根據位似圖形的性質：位似圖形對應點的坐標比等于位似比解答即可.本題考查了

位似圖形的性質：位似圖形對應點的坐標比等于位似比，熟練運用位似圖形的性質是解題的

關鍵.

【詳解】解：??,以點。為位似中心，把△NBC縮小為原來的;，點A的坐標為（4,2）,

.?.當AHB'C'在原點O的同側時，點A'的坐標為口x；，2x,

即點H的坐標為（2,1）,

二當AHB'C'在原點O的兩側時，點A'的坐標為1―4X],—2xj,

即點H的坐標為（-2,-1）,

.??點H的坐標為（2,1）或（-2,-1）,

故選C.

8.A

答案第2頁，共19頁

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，關鍵是利用相似三角形

的判定與性質；由平行四邊形的性質得CD〃川？，從而易得ADEFsAB4F,利用相似三角

形面積的比等于相似比的平方，求得相似比，進而求得結果.

【詳解】解：,??在aABCD中，CD//AB,

???ZEDF=ZABF；

；NDFE=ZBFA,

ADEF-/\BAF,

_DF2

?*?=一，

BF5

即。尸：BF=2:5；

故選：A.

9.C

【分析】本題考查的是拋物線的對稱性，增減性，對稱軸與頂點坐標，熟記二次函數(shù)圖象與

性質并逐一分析各選項是解本題的關鍵.

【詳解】解：???當x=0,x=2時的函數(shù)值相等，

???拋物線的對稱軸為直線x=1=1,

而x=l時的函數(shù)值為＞=4,

???函數(shù)圖象的開口向下，頂點坐標為(1,4),當尤＜1時，y隨X的增大而增大，

由對稱性可得x=3和x=-1時的函數(shù)值相等，可得機=0,

??.C不符合題意；

故選C

10.D

【分析】過點A作/斤，8。于尸，過點尸作尸于￡,設。C與8。相切于點G,連接

CG,并延長交OC于"，則的，8。，根據勾股定理求出8。=10,再根據等面積法求出

249444ATAF

AF^—,CG=—,進而得到》G=”，證明AZ尸TSAPET,得到)=卡，由于/尸是

555PTPE

AT

定值，所以若要行最小，則PE最大，，當尸與b重合時，GHLBD,此時尸E有最大值,

48

即尸E=G/7=不，即可求解.

答案第3頁，共19頁

【詳解】解：過點A作/尸，AD于尸，過點尸作于E,

設。C與8。相切于點G,連接CG,并延長交。。于“，

則HGVBD,

:在矩形/BCD中，AB=8,AD=6,

BD=VAD2+AB2=V62+82=10，

S^ABD=^ABAD=^BDAF,gp|x8x6=1xlO^F,

24

「?”二三，

24

同理可得：CG=y,

48

HG=2CG=—,

AFLBD,PE1BD,

丁./AFT=/PET=90。,

又丁ZATF=ZPTE,

：.AAFTS^PET,

?AT_AF

'^T~~PE'

4F是定值，

AT

二若要訪最小，則尸￡最大，

48

???當尸與〃重合時，GH上BD,此時尸E有最大值，即尸￡=G7/=M，

24

.AT,,[/士曰4F51

"方的取s小值正耘一羽-5'

T

【點睛】本題考查了切線的性質，矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，解題

的關鍵是正確作出輔助線.

答案第4頁，共19頁

11.1

【分析】本題考查了關于原點對稱點的性質，正確掌握橫縱坐標的符號關系是解題的關

鍵.

直接利用關于原點對稱點的性質，得出。，6的值，即可得出答案.

【詳解】解：???坐標系中點點6(2,-2)關于原點中心對稱，

???b=—\,〃=2,

則a+b=-1+2=1.

故答案為：1.

12.-6

【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義，把x=-2代入方程即可求解，掌握方程的解

就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題的關鍵.

【詳解】解：把％=-2代入方程加得，

(-2)2-(-2)+m=0,

解得：m=—6,

故答案為：-6.

13.3

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的

關鍵.根據相似三角形的判定和性質即可得到結論.

【詳解】解:=MB=2,

AB=AM+MB=3,

-MN//BC,

AAMNs"BC,

AMMN

,?方一文’

口n1MN

即一二---，

39

:,MN=3,

故答案為：3.

14.100°

【分析】直接利用圓內接四邊形的性質，即可解答

答案第5頁，共19頁

【詳解】???四邊形為。。的內接四邊形，

.?"CE=U=100。，

故答案為100°

【點睛】此題考查圓內接四邊形的性質，難度不大

15.12萬

【分析】本題主要考查求圓錐的側面展開圖的弧長，根據圓錐的展開圖的弧長等于底面圓的

周長，先由勾股定理求出底面半徑即求解.

【詳解】解：圓錐底面半徑口7=6cm；

這個圓錐的側面展開圖的弧長是12萬cm

故答案為：12%.

16.①③④

【分析】根據根與系數(shù)的關系可得2">0,2加>0,進而得到%+%2=-2加，

%+%=-2〃<0,再根據有理數(shù)的加法法則判斷①正確；利用根的判斷式可得/一2〃20,

即可判斷②③；利用根與系數(shù)的關系可得2加-2"=(必+1)5+1)-1,

2”-2加=(網+1)(%+1)-1,再根據(必+1)(%+1日0,(x1+l)(x2+l)>0,即可判斷④.

【詳解】解：設關于X的方程的兩個根分別為再、x2,關于〉的方程的兩個根分別為必、

%,

???關于X的方程的兩個根的乘積為正，關于y的方程的兩個根的乘積為正，

=2九>0,yry2=2m>0,

x{+x2=-2m<0,%+歹2=-2〃<0，

這兩個方程的根都負根，故①正確；

?.?關于X的一元二次方程/+2加x+2〃=0有兩個整數(shù)根，

b1-4(zc>0，

4m2-4xlx2n>0,BPm2-2n>0,

■■-m2>2n,故②錯誤；

???關于x的一元二次方程/+2"a+2〃=0有兩個整數(shù)根，關于y的一元二次方程

y1+2ny+2m=0有兩個整數(shù)根，

答案第6頁，共19頁

b1-4ac>0,BP4m2-4xlx2w>0,4n2-4xlx2m>0,

m2—2n>0>n2—2m>0，

■-m2-2m+l+n2-2n+l>2,即(加-1『、2,故③正確；

由根與系數(shù)的關系得2加-2〃=必%+%+%=(凹+1)(%+1)-1,

"71>%均為負整數(shù)，

???2m-2n>-lf

同理可得，2〃-2加=玉X2+再+工2=(西+1)(%2+1)-1，

??F、％2均為負整數(shù)，

??.(再+l)(x2+1)>0,

2n-2m>-1,BP2m-2n<1,

.,--1<2m-2n<\,故④正確；

故答案為：①③④.

【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關系、一元二次方程的根與判別式的關系、有

理數(shù)的加法法則、配方法，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關系、一元二次方程的根與

判別式的關系是解題的關鍵.

17.(1)&=y/-5-1,x,=~y/5—1

4

(2)再=2,x2=--

【分析】本題考查解一元二次方程，

(1)利用配方法解方程即可；

(2)利用因式分解法解方程即可.

【詳解】(1)解：X2+2X-4=Q,

移項得，X2+2.X=4,

配方得，X2+2X+1=5,

即(X+1)2=5,

開平方得，x+l=±V5,

答案第7頁，共19頁

*'?&=y/s-1>x2—-1；

(2)解：3x(x—2)=—4(x—2),

移項得，3x(x-2)+4(x-2)=0,

因式分解得，(x-2)(3尤+4)=0,

x-2=0或3x+4=0,

,4

.?.再=2,x2=-j.

18.證明過程見解析

【分析】本題考查根的判別式、非負數(shù)的性質、配方法，先根據根的判別式求得

A=(a+l)2+4,再根據非負數(shù)的性質可得后4,即可得出結論.

【詳解】解：5=1,b=a+?>,c=a+l,

???△=b2-4ac

=(Q+3)2-4X1X(Q+1)

—/+2Q+5

=(a+l)2+4

?■-(a+1)2>0,

.-.(a+l)2+4>4,

???方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

19.7.5m

【分析】根據鏡面反射的性質求出再根據其相似比解答.

【詳解】解：根據題意，易得乙CDE=UBE=90。,乙CED=UEB,

則"BE-MDE,

,BEAB8AB

則n一=—,即Bn——=—,

DECD1.61.5

解得：AB=1.5(m),

答：樹的高度為7.5加.

【點睛】本題考查了相似的實際應用，鏡面反射性質是物理知識，這是一個綜合題，整體難

度一般

答案第8頁，共19頁

20.(1)見解析

(2)/C與8。還相等，理由見解析

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握

相關知識.

(1)根據等腰直角三角形的性質得到4。=80,CO=DO,即可證明；

(2)由N/O8=NCOZ)=90。，可推出//OC=，證明A/OC也ABOD,即可求解.

【詳解】(1)解：.??△C。。均是等腰直角三角形，且々OB=NCOD=90。，

AO=BO,CO=DO,

：.AO-CO=BO-DO,

即AC=BD；

(2)AC=BD,理由如下：

???ZAOB=ZCOD=90°,

ZAOC+ZCOB=90°,NBOD+ZCOB=90°,

：.ZAOC=ZBOD,

在△/OC和ABOD中，

AO=BO

2Aoe=NBOD,

CO=DO

^AOC^BOD(SAS),

：.AC=BD.

21.⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)在射線NC取一點尸，連接。尸，以點。為圓心，g/。的長為半徑，畫弧，交

/。,尸。于點￡,尸，再以點B為圓心，g/O的長為半徑，畫弧，交B0于點、H,最后以點〃

為圓心，斯的長為半徑，畫弧，兩弧交于點G,連接8G并延長，交。。于點。即可；

(2)連接OD,根據切線的性質求出/"。=90。，根據平行線的性質和等腰三角形的性質

求出/。。尸=44。尸，根據全等三角形的判定推出尸知DOP(SAS),根據全等三角形的

性質得出ZPDO=NPAO=90°,再根據切線的判定得出即可.

【詳解】(1)解：補全圖形如圖所示：

答案第9頁，共19頁

八，

：.PALAB,即/尸力0=90。，

???OP//BD,

:"DBO=/AOP,ZBDO=ZDOP,

OD-OB,

ZBDO=ZDBO,

ZDOP=ZAOP,

在△ZQP和△OOP中，

AO=DO

</AOP=/DOP,

PO=PO

AAOP^ADOP(SAS),

ZPDO=ZPAO,

???ZPAO=90°,

ZPDO=90°,

即ODVPD,

??,8是OO的半徑，

??.尸。是OO的切線.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，作一個角等于已知角，全等三角形的性質和判定，切線的性

答案第10頁，共19頁

質，平行線的性質，等腰三角形的性質等知識點，能熟記圓的切線垂直于過切點的半徑是解

此題的關鍵.

22.(1)4

(2)6

【分析】(1)設OC輔助線，利用直徑、角平分線的性質得出ND/C的度數(shù)，利用圓周角

與圓心角的關系得出NCO。的度數(shù)，根據半徑與直徑的關系，結合勾股定理即可得出結

論.

(2)由(1)已知/COD=90。，OC=O。得出/RDC的度數(shù)，根據圓周角的性質結合

ND4c得出&=邑，再根據直徑、等腰直角三角形的性質得出8C的值，進而利用

直角三角形面積公式求出S”ECD，由陰影部分面積=E+$3=邑+M可知S應;。即為所求.

【詳解】(1)解：如圖所示，連接。C,

,??8。為。。的直徑，NC平分NA4D,

ZBAD=90°,NBAC=ZDAC=；NB4D=1x90°=45°,OB=OD.

ZCOD=90°.

?;CD=2垃,OC=OD,

2OD2=CD2,即2C?2=8.

OD=2.

:.BD=OD+OB=2+2=4.

（2）解：如圖所示，設其中小陰影面積為大陰影面積為邑，弦與劣弧CD所形成

的面積為S2,

?由（1）已知/COD=90。，ZDAC=45°,OC=OD,

答案第11頁，共19頁

oo

.?.ZSJDC=1(180-ZCOD)=1x90=45°.

VNDAC=ZBDC,

.,.弦1^=弦。。，劣弧3C=劣弧CD.

..St=S2.

為。。的直徑，CD=2五,

NBCD=NECD=9Q。,BC=8=2逝.

■：BE=542,

:.CE=BE-BC=5y[2-242=342.

S.=—CE■CD=x

Frn22-x2>/23V2=6.

SRI影部分+S3=S2+S3=SAECD=6.

【點睛】本題考查圓的性質的理解與綜合應用能力.涉及對半徑與直徑的關系，直徑的性質，

圓周角與圓心角的關系，圓周角的性質，勾股定理，直角三角形，角平分線等知識點.半徑

等于直徑的一半；直徑所對的圓周角是直角；在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角等于

圓心角的一半；在同圓或等圓中，圓周角相等=弧相等=弦相等.一個直角三角中，兩個直

角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方.恰當借助輔助線，靈活運用圓周角的性質建立等

式關系是解本題的關鍵.

23.(l)j=--x2+2x(0<x<16)

8

(2)能同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的實際應用.

(1)根據題意，可得點M及拋物線頂點尸的坐標，待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)由題知，當尤=告時，了=絲，而第>5,即可得出結論.

232

【詳解】(1)解：依題意：拋物線形的公路隧道，其高度為8米，寬度加為16米，現(xiàn)在。

點為原點，

.?.點河(16,0),頂點P(8,8),

設拋物線的解析式為y=ax2+bx,

64a+86=8

把點可(16,0),點尸(8,8)代入得:

256Q+166=0

答案第12頁，共19頁

a——1

解得，8,

b=2

???拋物線的解析式為y=-^x2+2x,

O

■.-OM=16,M（16,0）,

???自變量x的取值范圍為：04x416.

⑵解：當』-26-6時,一？0+24W>5,

故能同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛.

24.問題背景：證明過程見解析；嘗試運用：?！?述；拓展創(chuàng)新：AD二叵

25

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質、勾股定理，問題背景：根據相似三角形的性質

可得娑=類，NBAC=/DAE,利用等量代換可得=再由嚕=當，再根

ADAEACAE

據相似三角形的判定即可得證；

R4DA

嘗試運用：利用勾股定理求得5。=5,證明血4。~皿￡,可得下=—入，再利用等量代

ACAE

5-2CE4

換可得/BAD=/CAE,從而證得可得------=-,ZB=ZACE,求得

CE3

3

CE=x，CD=3,利用等量代換可得NDC￡=90。，再利用勾股定理求解即可；

2

拓展創(chuàng)新：拓展創(chuàng)新：過點/作的垂線，過點。作/。的垂線，兩垂線交于點連接

BM,證明可得"_=空，利用等量代換可得/瓦證得

MDAD

△BDMs^CDA,可得44==絲，從而可得8M=2/C=40，DM=2AD,利

ACADDC

用勾股定理求得=而，再根據勾股定理可得402+44。2=23,再求解即可.

【詳解】問題背景：解：?.?△/2C

ABAC

~AD~^4EABAC=/DAE,

AB_AD

ABAC-ADAC=/DAE-ADAC,

~AC~~AE

/BAD=/CAE,

AABD6AACE；

嘗試運用：???=4,ZC=3,ABAC=90°,

答案第13頁，共19頁

?-5C=V3?+47=5,

???ABAC=NDAE=90°,/ABC=ZADE,

^BAC^^DAE,

BAAC

,,五IP

BADA

,?就一萬’

???/BAD+ADAC=ADAC+NCAE=90°,

；"BAD=/CAE,

小BADs小CAE,

ABBD4

-----=-----=—，/B=Z.ACE,

ACCE3

CE1

：~CD~2"

5-2CE4

,??______=_，

CE3

3

CE=—,CD=3,

2

vZB+ZACB=90°,

.^ZACE+ZACB=90°,即NDC￡=90。，

拓展創(chuàng)新：過點Z作的垂線，過點。作/。的垂線，兩垂線交于點"，連接5”,

ZBAM=ZADM=ZBDC=90°,

???ABAD=ZDBC,

ADAM=/BCD,

又???ZADM=ZBDC=90°,

???/\BDC^/\MDA,

BDDC

??麗―IK'

又???/BDC=/ADM,

??.ZBDC+ZCDM=ZADM+ZCDM,

："BDM=/CDA,

???/\BDMs^CDA,

答案第14頁，共19頁

BMDMBD

ACAD~1DC

CD

即5。=2m

BD2

?*-BM=2AC=472，DM=2AD,

-32=y/23,

AD2+DM2=AM2,BPAD2+4AD2=23.

1+V55+V5

25.(1)k*+2X+3,。(1,4)；(2)(3)存在，々(0,3),呂,

I22

p1—V55—^5

?

322

\7

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出a的值即可得到解析式，進而得到頂點D坐標；

(2)先求出BC的解析式y(tǒng)=-x+3,再設直線EF的解析式為＞=x+6,設點E的坐標為

(m,-m2+2m+3),聯(lián)立方程求出點F,G的坐標，根據BG?=Cb列出關于m的方程并求

解，然后求得G的坐標，再利用三角形面積公式求解即可；

(3)過點A作AN1HB,先求得直線BD,AN的解析式,得到H,N的坐標,進而得到/H=45°,

設點？+2"+3),過點P作PRx軸于點R,在x軸上作點S使得RS=PR,證明

“OPSsqpB,根據相似三角形對應邊成比例得到關于n的方程，求得后即可得到點P的

坐標.

【詳解】(1)把點A(-1,0),C(0,3)代入＞