等式與不等式綜合（含基本不等式）（教師卷）- 2015-2024年高考數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)匯編（全國適用）

專題04等式導(dǎo)系等式稼香（含基洋茶等式）

十年考情-探規(guī)律

考點(diǎn)十年考情(2015-2024)命題趨勢

考點(diǎn)1不等式的1.梳理等式的性質(zhì)，理解不等式

2019?全國卷、2018?全國卷、2017?山東卷、2016?浙

性質(zhì)的概念，掌握不等式的性質(zhì)，能

江卷、2016?北京卷、2016?全國卷、2015?浙江卷

（10年5考）夠利用不等式的性質(zhì)比較不等

2024?全國新I卷、2024?上海卷、2023?全國新I式的大小關(guān)系

卷、2.理解、掌握基本不等式及其

考點(diǎn)2解不等式

2020?全國卷、2019?全國卷、2019?天津卷、2018?全推論，會使用應(yīng)用條件：“一正，

（10年10考）

國卷、2017?天津卷、2015?江蘇卷、二定，三相等”，能正確處理常

2015?廣東卷數(shù)“1”求最值，能用拼湊等思想

合理使用基本不等式求最值，能

熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)

用于函數(shù)和解析幾何的求解過

考點(diǎn)3基本不等2024?北京卷、2021?全國乙卷、2021?全國新I卷程中求最值

式2020?全國卷、2015?四川卷、2015?陜西卷3.本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考

（10年4考）2015?湖南卷、2015?福建卷內(nèi)容，一般會結(jié)合條件等式考查

拼湊思想來使用基本不等式求

最值，或者和其他版塊關(guān)聯(lián)，難

度中等偏上。

分考點(diǎn)二精準(zhǔn)練二

考點(diǎn)01不等式的性質(zhì)

1.（2019?全國?高考真題）若〃泌，則

A.In（?-/?）>0B.3a<3b

C.a3-b3>0D.14z|>|Z?|

【答案】C

【分析】本題也可用直接法，因?yàn)椤?gt;6,所以當(dāng)。-6=1時，ln(a-6)=o,知A錯，因?yàn)閥=3"是

增函數(shù)，所以3">3〃，故B錯；因?yàn)楦绾瘮?shù)y=V是增函數(shù)，a>b,所以03>凡知C正確；取。=1/=-2,

滿足a>b,1=|a|<|Z?|=2,知D錯.

【詳解】取。=2/=1,滿足“>8，ln(a->)=O,知A錯，排除A；因?yàn)?=3">3〃=3,知B錯，排除B；

取。=1,b=—2,滿足。>/1=同<例=2,知D錯，排除D,因?yàn)槿瘮?shù)y=d是增函數(shù)，。>方，所以/>"，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、塞函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運(yùn)算

能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷.

2.(2018?全國?高考真題)設(shè)。=logo,20.3,Z?=log20.3,貝?。?/p>

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a-\-b<0<abD.ab<0<a-\-b

【答案】B

【詳解】分析：求出工=log0.3°2,：=/og0.32,得到工+工的范圍，進(jìn)而可得結(jié)果.

abab

詳解：.a=log0.203,Z?=/og2°-3

.-.-=log0.302,-=/og0.32

ab

11…

+￡=/fogo3().4

ab

.?.oJ+Ll,即0〈巴心<1

abab

又.a>0,b<0

/.ab<0BPab<a+b<0

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算和不等式，屬于中檔題.

3.(2017?山東?高考真題)若a>b>0,且ab=l,則下列不等式成立的是

lb....b[/7、1

A.a+—<—<\og2(a+b)B.—<log2{a+b)<a+—

11/7、匕

C.a+—<log2(6Z+Z?)<^7D.log?(Q+b)<Q+習(xí)<

【答案】B

所以a>1,0<Z?<1,，〈1,log2(〃+log2y[ab=1,

【詳解】因?yàn)閍>Z?>0,且必=1,2

設(shè)〃x)=2x-x,(x>1),則/,(x)=2Aln2-l>0,所以/(x)=2r-%,(%>1)單調(diào)遞增,

1]]

月f以2人>Q>Q+匕QH>log2(〃+力，月f以B.

bb

【名師點(diǎn)睛】比較幕或?qū)?shù)值的大小，若幕的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)

性進(jìn)行比較，若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進(jìn)行比較.本題雖小，但考查的知識點(diǎn)較多，需靈活利用指數(shù)函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷.

4.(2016?浙江?高考真題)已知a,b>0,且awl,"1.若log。b>l,則

A.(?-W-l)<0

B.(a-l)(a-t>)>0

C.口電-皿礴?一:涮可麗

D.(b-V)(b-a)>0

【答案】D

【詳解】試題分析：bg,b>logfla=l,

當(dāng)時，b>a>l,a—l>0,b—a>0,b—l>0,a—b<0,

:.(a-V)(b—1)>0,(a—l)(a-b)B，g-I)(b-a))0.

當(dāng)Ovavl時，0<Z?<tz<1,—1<0,Z?—tz<0?Z?—1(0,a—Z?)0,

二.(a—1)(/?—1)>0,(a—1)(〃—6)(0,(Z7—1)(6—〃))0.觀察各選項(xiàng)可知選D.

【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

【易錯點(diǎn)睛】在解不等式log*>l時，一定要注意對，分為和兩種情況進(jìn)行討論，否則很容易

出現(xiàn)錯誤.

5.(2016?北京,高考真題)已知羽ywH,且則

11八

A.---->0

%y

B.sinx-sin>0

c.(|r-(|y<0

D.lnx+lny>0

【答案】C

【詳解】試題分析：A：由X>J>0,得即L-LvO,A不正確；

xyxy

B：由X>>>0及正弦函數(shù)的單調(diào)性，可知曲-曲J%：訓(xùn)?不一定成立；

C：由Ovlvl，x>y>0,得代廠；：：《日淋，故，，獷旗:;w，<：喇，c正確；

D：由X>)>0,得xy>0,但xy的值不一定大于1,故In元+lny=ln孫>0不一定成立，故選C.

【考點(diǎn)】函數(shù)性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】函數(shù)單調(diào)性的判斷：①常用的方法有：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法及復(fù)合函數(shù)法.

⑵兩個增(減)函數(shù)的和仍為增(減)函數(shù)；一個增(減)函數(shù)與一個減(增)函數(shù)的差是增(減)函數(shù)；

⑶奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上有相反的單

調(diào)性.

6.（2016?全國?高考真題）若a>b>l,0<c<l,則

cccc

A.a<bB.ab<baC.a\ogbc<b\ogacD.log“c<l0gz.c

【答案】C

【詳解】試題分析：用特殊值法，令a=3,b=2,c=g得I.!，選項(xiàng)A錯誤，3x2^>2x3^選項(xiàng)B

錯誤，log3g>log2；,選項(xiàng)D錯誤，

lgfllgbha

B^alogf,c-Z>logac=lgc-（-^---^-）=lgc-（^）,a>b>\:A<b<a<a

IgbIgaIgMga

lana-lo"

&—>0Ovcvl.,.lgccO.,.olog-vMogaC選項(xiàng)C正確，故選C.

Igblga

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】比較累或?qū)?shù)值的大小，若累的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單

調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進(jìn)行比較.

7.（2015?浙江■高考真題）設(shè)a,b是實(shí)數(shù)，貝『％+5>0"是"必>0"的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【詳解】本題采用特殊值法：當(dāng)。=3*=-1時，a+b>0,Bab<0,故是不充分條件；當(dāng)。=-3/=-1時,

ab>0,但a+b<0,故是不必要條件.所以“"+b>0"是"">0"的既不充分也不必要條件.故選D.

考點(diǎn)：1.充分條件、必要條件；2.不等式的性質(zhì).

考點(diǎn)02解不等式

1.（2024?全國新I卷?高考真題）已知集合4={3-5<尤3<5},3={-3,-1,0,2,3},則AB=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

【答案】A

【分析】化簡集合A,由交集的概念即可得解.

【詳解】因?yàn)锳={x|-正〈尤〈狗},3={-3,-1,0,2,3},且注意到1V為<2,

從而A3={-1,0}.

故選：A.

2.（2024?上海?高考真題）已知xsR,貝!J不等式2%—3<0的解集為.

【答案】{x|-l<x<3}

【分析】求出方程/一203=0的解后可求不等式的解集.

【詳解】方程尤2—2元一3=0的解為x=-l或x=3,

故不等式爐-2%-3<0的解集為l<x<3},

故答案為：{x|-l<x<3}.

3.(2023?全國新I卷?高考真題)已知集合/={-2,—1,0,1,2},7V={x|x2-x-6>0),則McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出.

方法二：將集合M中的元素逐個代入不等式驗(yàn)證，即可解出.

【詳解】方法一：因?yàn)镹={x,2-x—620}=(e,-2]U[3，+8),而“={-2,-1,0,1,2},

所以AfcN={—2}.

故選：C.

方法二：因?yàn)楹?{-2,-1,0,1,2},將-2,7,0,1,2代入不等式尤2一工一620,只有一2使不等式成立，所以

A/cN={-2}.

故選：C.

4.(2020?全國?高考真題)已知集合4=畫意-3工-4<0},8=1,1,3,5},則，B=()

A.{-4,1}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合4之后利用交集中元素的特征求得Ac3,得到結(jié)果.

【詳解】由V-Bx-dcO解得-l<x<4,

所以A={x|-l<x<4},

又因?yàn)?={-4」,3,5},所以AB={1,3},

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)集合的問題，涉及到的知識點(diǎn)有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交

運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.

5.(2019?全國?高考真題)設(shè)集合4={X|N-5X+6>0},B={X|X-1<0},則ACIB=

A.卜8,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+8)

【答案】A

【分析】先求出集合A,再求出交集.

【詳解】由題意得，4或弓3},3=門卜<1},則AcB={x|x<l}.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為集合的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目.

6.(2019?天津?高考真題)設(shè)xeR,使不等式3f+x-2<0成立的尤的取值范圍為.

【答案】(-1,：2)

【分析】通過因式分解，解不等式.

【詳解】3X2+X-2<0,

gp(x+l)(3x-2)<0,

2

即一1<x<—,

3

2

故1的取值范圍是(-1,§).

【點(diǎn)睛】解一元二次不等式的步驟：⑴將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；⑵解相應(yīng)的一元二次方程；⑶根據(jù)一元二

次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；⑷寫出不等式的解集.容易出現(xiàn)的錯誤有：①未將二次項(xiàng)系數(shù)化正，

對應(yīng)錯標(biāo)準(zhǔn)形式；②解方程出錯；③結(jié)果未按要求寫成集合.

7.(2018?全國?高考真題)已知集合4=卜,2-.*-2>0},則=

A.{x|-l<x<2}B.|x|-l<x<2}

C.{x|x<-1}3{X|X〉2}D.{x|尤W-l}u{x|xN2}

【答案】B

【詳解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出/一工一2>0的解集，從而求得集合A,之后根據(jù)集

合補(bǔ)集中元素的特征，求得結(jié)果.

詳解：解不等式X?-尤-2>0得x<-l或%>2,

所以A={x[x<-lMr>2},

所以可以求得CRA={X|TWXV2},故選B.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)一元二次不等式的解法以及集合的補(bǔ)集的求解問題，在解題的過程中，需要明確

一元二次不等式的解集的形式以及補(bǔ)集中元素的特征，從而求得結(jié)果.

x2—x+3,x<1,

X

8.(2017?天津?高考真題)已知函數(shù)/(%)=2設(shè)若關(guān)于x的不等式/(%注己+。|在R上

x+—,x>l.2

恒成立，則。的取值范圍是

47473939

A.[——,2]B.C.[-2^3I-,2]D.[-2Vr3,—]

1616lo16

【答案】A

vY

【詳解】不等式/食”5+。為-/（無）q+a4/（x）（*）,

乙乙

YX3

當(dāng)xWl時，（*）式即為一f+%—3K,+aV]?—兀+3,—X2+—-3<?<x2--x+3,

又一小+彳-3=一（%—；）2-￡<一￥（%=；時取等號），

2416164

%2,3（X_|）^12>12（》=1時取等號），

2+3=416164

4739

所以---a<—,

〃1616

7r?3?r9

當(dāng)工>1時，（*）式為一％4—a<x-\—,—x<a<—I—,

x2x2x2x

又-1x-2=-（1%+2”一24（當(dāng)x=3區(qū)時取等號），

2x2x3

1+222、浮=2（當(dāng)X=2時取等號），

2xV2x

所以-2君

、47

綜上—*工?！?.故選A.

16

【考點(diǎn)】不等式、恒成立問題

【名師點(diǎn)睛】首先滿足〃%注W+4轉(zhuǎn)化為-/（%）-彳工。工〃%）-2去解決，由于涉及分段函數(shù)問題

乙乙乙

要遵循分段處理原則，分別對尤的兩種不同情況進(jìn)行討論，針對每種情況根據(jù)X的范圍，利用

極端原理，求出對應(yīng)的。的范圍.

9.（2015?江蘇?高考真題）不等式2，公<4的解集為.

【答案】（-1，2）.

【詳解】試題分析：本題是一個指數(shù)型函數(shù)式的大小比較，這種題目需要先把底數(shù)化為相同的形式，即底

數(shù)化為2,根據(jù)函數(shù)是一個遞增函數(shù)，寫出指數(shù)之間的關(guān)系得到未知數(shù)的范圍.

???盧<4，

.-.2?-"<22,

?：y=:1是一個遞增函數(shù)；

二.￡?/?<23；

故答案為想―工"：

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊性

10.（2015?廣東?高考真題）不等式一元2一3*+4>0的解集為.（用區(qū)間表示）

【答案】（<1）

【詳解】由-丁-3尤+4<0得：-4<x<l,所以不等式-Y_3x+4>0的解集為（Tl）,所以答案應(yīng)填：（T,1）.

考點(diǎn)：一元二次不等式.

考點(diǎn)03基本不等式

1.（2024?北京?高考真題）己知（XQ1）,伍,%）是函數(shù)y=2'的圖象上兩個不同的點(diǎn)，貝U（）

A.log2211AB.iog,A±A>A±^

222-22

,y,+y,,y,+y,

C.log2<Xj+x2D.log2->x,+x2

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.

【詳解】由題意不妨設(shè)王<%,因?yàn)楹瘮?shù)y=2*是增函數(shù)，所以0<2為<2*,即。<%<為，

X

0l+9數(shù)/------』+%2y,IV再+巧

對于選項(xiàng)AB：可得>與他=2,gpA±A>22>o,

22

Xj+%2

根據(jù)函數(shù)y=log2尤是增函數(shù)，所以10g2七衛(wèi)>log22T=七三，故B正確，A錯誤；

對于選項(xiàng)D：例如玉=0,兀2=1，則M=1，%=2,

可得k）g2"^=log2Te（。/），即logz2^jvlnxi+xz，故D錯誤；

對于選項(xiàng)C：例如無1=-1,%=-2,則%=；,%=；,

可得log2214A=log?：=log23-3e（-2,-l）,即log2A^21>_3=%+/,故c錯誤，

2o2

故選：B.

2.（2021?全國乙卷?高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+r

■|sinx\

4

C.y=2'v+22-XD.y=lnx+——

Inx

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式"一正二定三相等"，即可得出B,D

不符合題意，C符合題意.

【詳解】對于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時取等號，所以其最小值為3,A不符合

題意；

對于B,因?yàn)?<同11目41,y=Mnx|+舟^24=4,當(dāng)且僅當(dāng)卜inx|=2時取等號，等號取不到，所以其

最小值不為4,B不符合題意；

4f—

對于C,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,而2'>0,y=2'+22T=2工+=22/=4,當(dāng)且僅當(dāng)丁=2，即x=l時取

等號，所以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y=lnx+-^—,函數(shù)定義域?yàn)椋?,1）,而InxeR且InxwO,如當(dāng)lnx=-l,v=-5,D不符

Inx

合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確"一正二定三相等"的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性

質(zhì)即可解出.

22

3.（202”全國新I卷?高考真題）已知小總是橢圓C：/+亍=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|岬卜|叫|

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本題通過利用橢圓定義得到|崢|+|陛|=2。=6,借助基本不等式阿/訃眼閶，幽羋寸|即

可得到答案.

【詳解】由題，/=9/2=4,^\MFl\+\MF2\=2a=6,

所以|叫卜眼鳥歸=9（當(dāng)且僅當(dāng)閡=|咋|=3時，等號成立）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

22

4.（2020?全國?高考真題）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線。=-夫=1（“>0,10）的兩條漸近線分別交

ab

于D,E兩點(diǎn),若“犯的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分析】因?yàn)?。?1=1（〃>08>0）,可得雙曲線的漸近線方程是y=±2x,與直線彳=。聯(lián)立方程求得

aba

E兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得比。I,根據(jù)AODE的面積為8,可得而值，根據(jù)2c=結(jié)合均值不等式，

即可求得答案.

【詳解1C:——南=1(。>0,Z?>0)

b

???雙曲線的漸近線方程是y=±-x

a

1?直線x=a與雙曲線己±-[=1(“>0力>。)的兩條漸近線分別交于。，E兩點(diǎn)

ab

不妨設(shè)。為在第一象限，E在第四象限

x=a

聯(lián)立|x=a

b，解得

y=-xy=b

、a

故D(a,b)

x-a(

\x=a

聯(lián)立b，解得

y=——x[y=~b7

Ia

故E(a,—b)

\ED\=2b

'的面積為：S△四=%2A="=8

22

雙曲線C:—z--=l(a>0,b>0)

a"b"

-■?其焦距為2c=2da2=2屈=8

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=2&取等號

，C的焦距的最小值：8

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求

最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗(yàn)等號是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.(2015?四川?高考真題)如果函數(shù)〃彳)=；(加-2)尤2+(〃_8)尤+1(m20,〃20)在區(qū)間；,2上單調(diào)遞減，

則mn的最大值為

81

A.16B.18C.25D.——

2

【答案】B

〃一8九一8

【詳解】加。2時，拋物線的對稱軸為％=——三.據(jù)題意，當(dāng)相>2時，——^22即2根+〃(12.

m—2m-2