甘肅省酒泉市2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中考試 數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試試卷

同一^奴子

試卷總分150分考試時(shí)間：120分鐘

一、單項(xiàng)選擇題（本題包括8小題，每小題5分，共40分；請(qǐng)將答案寫在答題卡上.）

1.直線x+回+2=°的傾斜角是（）

A.30。B,60。c.⑵。D.150。

【答案】D

【解析】

【分析】由題可得其斜率，即可得傾斜角.

x+島+2=00『—立x—9

33,

,_V3

tana=----。0

設(shè)其傾斜角為則3,又0<a<180,

則a=150。，即傾斜角為150。，

故選：D

2.若/+/+4x—2>一加=°表示圓的方程，則加的取值范圍是（）

A.5+8）B,（一3）C.S,一5）D.（一5，+°°）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)圓的一般式滿足的條件即可列不等式求解.

因?yàn)榉匠?+「+4》-2y-加=0表示一個(gè)圓，所以42+（-2）2+4見>°,

解得加〉一5,

所以加的取值范圍是（—5，十°°）.

故選：D

3.記S”為等差數(shù)列血｝的前〃項(xiàng)和.若/+%=8,6%=24,則$6=（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列求和公式求出答案.

由等差數(shù)列的性質(zhì)得=2%+4d=8①,

a3a4=(ai+2d)(%+3d)=24

②,

由①得4=4-2d,代入②得4(4+d)=24,解得d=2,

故a[=4-2d=0

故S6=64+15<7=30

故選：C

4.以橢圓9x2+25/=225的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，離心率e=2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

=1《_片=1

A.412B.124~

C.204D.420~

【答案】A

【解析】

【分析】將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)（±4°）,根據(jù)離心率求出。=2,再根據(jù)〃=02一/計(jì)算即可求

解.

???橢圓9丁+25產(chǎn)=225化為標(biāo)準(zhǔn)方程為25+9

隹占為（±4。），

二雙曲線的半焦距。=4,

e—=2

離心率a,

:.a=2f

b?=c1—a2=12

22

__y_

?二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為412

故選：A.

5,已知集合2=囪1。<5}，8=窗-2<r3},則4即3）=（）

A（-co,-2]U（3,+co）B（-℃,l）o（3,+oo）

C（-8,-2]U（5,+CO）D（一84）U[5,+OO）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算即可求解.

由/c5={x|lWxW3},可得％（ZcB）=（-e,l）u（3,+”），

故選：B

a”=——'——》2）

6.在數(shù)列""'中，若q=T,1—,則4024=（）

A.2B.-1C.2D,1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列的周期，從而可求出。24的值.

,an=---（n>2）a_J_

因?yàn)閝=T,fl，故之2,%=2,%=T,

故{4}為周期數(shù)列且周期為3,而2024=674x3+2,故4小一%-'，

故選：C.

7.已知兩條直線（：3》—2j+l=0和4：辦+2>+1=0相互垂直，則口=（）

4_4

A.2B.3C.3D.3

【答案】C

【解析】

a34

----X-二—11CL——

【分析】根據(jù)兩直線垂直的斜率表示可得22，解得3.

3

易知4：3x—2y+l=0的斜率為

__a__ax—3

/2：辦+2了+1=0的斜率為2,所以22

4

a=-

解得3.

故選：C

22Z±1

8.已知實(shí)數(shù)'J滿足方程—2x=°,則x+1的最大值是（）

34]_

A.4B.3C.0D.2

【答案】B

【解析】

一+1

【分析】x+1表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)（-1'—1）的連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可得解.

c的方程—2x=o可化為（x-iy+j?=i,

它表示圓心°,°）,半徑為1的圓，

y+i

X+1表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)尸（―1'—1）的連線的斜率上，

設(shè)過圓上點(diǎn)與點(diǎn)P（TT）的直線方程為v+1=%（x+1）,

\2k-l\

/、/、d=i<1

則圓心^+i,

0<k<--

可得3,即最大值為3,

二、多選題（本題包括3小題，每小題6分，少選得2分多選得0分，請(qǐng)將答案寫在答題卡

上.共18分）

9.已知直線?+了-2+口=°在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a=（）

A.B.-1C.-2D.2

【答案】AD

【解析】

【分析】先考慮直線過原點(diǎn)的情況，再把直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為截距式方程，通過橫縱截距相等求出實(shí)

數(shù)。的值.

一2+。=0,即a=2時(shí)，直線辦+y—2+a=°化為2x+>=°,

它在兩坐標(biāo)軸上的截距都為°,滿足題意；

axy1

---------1---------二I

-2+a0,即a/2時(shí)，直線ax+y—2+a=0化為2—a2-a,

2—ci個(gè)

----=2-a

因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以且Q,解得。=1；綜上所述，實(shí)數(shù)。=2或

6Z—I

故選：AD.

10.下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

A.命題“若"c>6c,則口<6”的逆命題為真命題

G

B命題"V”R,3x~-2x-1<°”的否定是“"oR,3%-2x0—I>0?

C.“/〉「，的充要條件是“x>V”

D.“。>6”是“a>b+l”的必要不充分條件

【答案】CD

【解析】

【分析】結(jié)合不等式性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)含有一個(gè)量詞命題的否定可判斷B；根據(jù)充要條件以及必要不

充分條件的判斷可判斷CD.

對(duì)于A,命題“若ac>A,則。”的逆命題為“若。則比>?”,

取c=0,則ac=bc,故逆命題為假命題，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知：

命題“VxeR,3x2-2x-1<0”的否定為：叫e氏3焉-2%-120,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若X，〉/,則X",反之，若x>F,則X、〉/,

所以的充要條件是“%>小，，c正確；

對(duì)于D,若a>b,則。>6+1不一定成立，如a=l>6=0.5,但a=1<'+1=1.5,

反之，若。>方+1,貝心所以是+的必要不充分條件，正確.

故選：CD

11.已知曲線°：加/+即2=1,下列說法正確的是()

4n

A.若加=">°,則°是圓，其半徑為〃

B.若加>0,n=Q,則C是兩條直線

C.若"〉機(jī)〉0時(shí)，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在歹軸上

y-士、—%

D.若加〃<°時(shí)，則°是雙曲線，其漸近線方程為Vm

【答案】AB

【解析】

「.2.2_1

【分析】根據(jù)選項(xiàng)條件分別化簡(jiǎn)曲線C?加X+即=1為圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后逐一分析，即可求

解.

x2+y2=-1---

對(duì)于A,加=">°,"〃，則°是圓，半徑為”,故A正確;

*+1

對(duì)于B,若加>°,"二°時(shí)，詬，則°是兩條直線，故B正確;

——+—=1

1111c

--->—>0

對(duì)于C,若〃,相>°時(shí)，mn，則加〃,則C為焦點(diǎn)在'軸的橢圓，故C錯(cuò)誤;

y-±J—x

對(duì)于D,若加〃<°時(shí)，則°是雙曲線，漸近線方程為Y,故D錯(cuò)誤；

故選：AB.

三、填空題(本題包括3小題，每小題5分，共15分；請(qǐng)將答案寫在答題卡上.)

12.直線過點(diǎn)P(l,2),且它的一個(gè)方向向量為(2,1),則直線/的一般式方程為.

［答案］x-2y+3=0

【解析】

【分析】先由直線的方向向量求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可求出直線方程，然后化為一般式即可.

因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為(2,1),

所以直線的斜率為2,

因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(l,2),

所以直線為2,即％—2歹+3=0,

故答案為：x—2尸3=0

13.正項(xiàng)遞增等比數(shù)列也｝,前〃項(xiàng)的和為J,若出+%=30，4%=81,則§6=

【答案】364

【解析】

【分析】設(shè)每一項(xiàng)都是正數(shù)的遞增的等比數(shù)列包1｝的公比為％4>1,由"2+%=30,%%=。2。4=81,

聯(lián)立解出％=3，％=27,再利用通項(xiàng)公式與求和公式即可得出答案.

設(shè)每一項(xiàng)都是正數(shù)的遞增的等比數(shù)列｛%｝的公比為見9〉1,

,?。2+。4=30，aa=〃2。4=81

?x5,

聯(lián)立解得%=3,%=27,

.?.3/=27,解得4=3,

...%=%x3=3,解得%=1,

36-1

S6=----=364

則3-1

故答案為：364.

14.已知圓氣》2+/=1,圓外(x+3)+(y-a)=16,如果這兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù).取值范

圍是.

【答案】卜4,4]

【解析】

【分析】由題意確定兩圓的圓心和半徑，利用圓與圓的位置關(guān)系建立不等式組，解之即可.

由題意知，a(o,o)，4=i,02(—3,初4=4,則一勾=J(—3—+伍―or=V77?,

因?yàn)閳A。與圓°2有公共點(diǎn)，所以々一4引°。21V2+。，即34行+9V5,

解得-4WaW4,所以實(shí)數(shù).取值范圍是["，4].

故答案為：卜44]

四、解答題（本題包括5小題，共77分；請(qǐng)將解答過程及答案寫在答題卡上）

15.已知無為等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，且％=U，邑=98.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求Sn的最大值.

【答案】（1）%=-3"+26；

（2）100.

【解析】

【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式先求出&,進(jìn)而求出公差d即可求出通項(xiàng).

（2）由（1）的信息，判斷數(shù)列｛4｝的單調(diào)性，進(jìn)而求出最大值.

[小問1]

7（.+%）=7〃-OQ

在等差數(shù)列&｝中，由$7=98,得24，解得包=%

而%=U,因此數(shù)列｛4｝的公差"=%―%=—3,

所以a”=%+（〃-4）（-3）=14-3（〃-4）=—3n+26

【小問2】

由（1）知，數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，由％‘°,得-3,

因此數(shù)列｛%｝的前8項(xiàng)都為正，從第9項(xiàng)起為負(fù)，則數(shù)列｛4｝的前8項(xiàng)和最大,

而1=23,%=2,所以

16.已知圓C的圓心為O'）,且該圓被直線&x—y-1=°截得得弦長(zhǎng)為J5

（1）求該圓的方程；

（2）求過點(diǎn)N（4—3）的該圓的切線方程

(x-3)2+&-1)2=1

【答案】（1）

（2）x=4或15x+8_y—36=0

【解析】

【分析】（1）利用弦長(zhǎng)公式求得半徑即可；

（2）分直線的斜率存在和不存在，由圓心到直線的距離等于半徑求解.

【小問11

解：圓C的圓心G/）到直線/：xrT=°的距離為:

所以圓的方程為：（龍―3）+。-1）=1；

【小問2】

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為：》=4,

則圓心到直線的距離為"=林-3|=1=r，復(fù)合題意.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y+3=4（x—4）,即b-y-3-必=0

"3.一；3141_]k---

則圓心到直線的距離Jl+公，解得8,

所以直線的方程為：15x+8y_36=0

綜上：該圓的切線方程為：x=4或15x+8v—36=0

17.已知圓f+/+2x=°的圓心廠是拋物線C的焦點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線交拋物線C于48兩點(diǎn)，且點(diǎn),（—2，T）是弦48的中點(diǎn)，求直線的方程.

【答案】⑴/=一4x

（2）21—歹+3=0

【解析】

【分析】（1）由圓心E是拋物線C的焦點(diǎn)，找到拋物線的焦點(diǎn)，從而得到拋物線的方程;

（2）利用點(diǎn)差法，找到直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.

[小問1]

圓一+儼+2》=°的方程可化為（x+iy+v

故圓心的坐標(biāo)為尸（T'°）.

2---—]

設(shè)拋物線C的方程為廣=—2px（P>°）,所以2,所以夕=2,

所以拋物線0的方程為/=-4x.

【小問2】

<弁=-4%

設(shè)，（孫％）,B5,%）,則[式=%2兩式相減,

得"一4=-4（否—馬），即（必+二）（乂一%）=~4（再_%2）,

_4

所以直線的斜率再一超%

因?yàn)辄c(diǎn)尸（-2廠1）是N8的中點(diǎn)，所以乂+%=_2,所以乂+為

所以直線的方程為了+1=26+2）,即2x-y+3=0.

18.已知數(shù)列｛%｝是公比不為的等比數(shù)列，％=1,且％4成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)；

（2）若數(shù)列加"｝的前〃項(xiàng)和為S",試求'的最大值.

【答案】（1）

(2)1

【解析】

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為“，用通項(xiàng)代入4刈3,4成等差數(shù)列即可解得4值，從而得數(shù)列

｛%｝的通項(xiàng).

（2）由數(shù)列｛""｝的通項(xiàng)直接求和即可.

[小問1]

設(shè)｛%｝的公比為4,成等差數(shù)列，=?1+?2

n-\

又q=1,，2q2=l+q,而#1,一"一萬

【小問2】

S,

當(dāng)〃奇數(shù)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)等號(hào)成立.

綜上所述，S”的最大值為1.

二+匚1-

19.已知橘圓°：ab2經(jīng)過點(diǎn)/（—2，°）,離