高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓錐曲線【定點(diǎn)定值】12大題型（解析版）

園錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)..............................................................2

02題型歸納與總結(jié)..............................................................3

題型一：面積定值...............................................................3

題型二：向量數(shù)量積定值.........................................................11

題型三：斜率和定值.............................................................18

題型四：斜率積定值............................................................23

題型五：斜率比定值............................................................29

題型六：斜率差定值............................................................37

題型七：線段定值..............................................................44

題型八：坐標(biāo)定值..............................................................52

題型九：角度定值...............................................................57

題型十：直線過定點(diǎn).............................................................63

題型十一：動點(diǎn)在定直線上.......................................................68

題型十二：圓過定點(diǎn).............................................................76

03過關(guān)測試....................................................................82

方法技巧與總經(jīng)

1、定值問題

解析幾何中定值問題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來解決.證明過程可總結(jié)為“變量一函數(shù)一定值”，

具體操作程序如下：

（1）變量--選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?

（2）函數(shù)-一把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù).

（3）定值--化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值.

2、求定值問題常見的方法有兩種：

（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；

（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值.

常用消參方法：

①等式帶用消參：找到兩個參數(shù)之間的等式關(guān)系尸（左，加）=0,用一個參數(shù)表示另外一個參數(shù)左=/（加）,

即可帶用其他式子，消去參數(shù)0

②分式相除消參：兩個含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值.

③因式相減消參：兩個含參數(shù)的因式相減，把兩個因式所含參數(shù)消掉.

④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為0時，此時與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：

y-2+kg{x）=Q,只要因式g（x）=0,就和參數(shù)人沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)人不起作用.

3、求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方

程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

（3）求證直線過定點(diǎn)（%,%）,常利用直線的點(diǎn)斜式方程y-%=Mx-x。）或截距式>=依+6來證明.

一般解題步驟：

①斜截式設(shè)直線方程：y=kx+m,此時引入了兩個參數(shù)，需要消掉一個.

②找關(guān)系：找到左和力的關(guān)系：加=/（左），等式帶入消參，消掉機(jī).

③參數(shù)無關(guān)找定點(diǎn)：找到和人沒有關(guān)系的點(diǎn).

㈤2

臬幣日納與年

//ayu2

題型一：面積定值

2

【典例LD如圖所示‘已知橢圓c：?+/=l'“'2是四條直線、=或'/所圍成的矩形的兩個頂

點(diǎn).若M,N是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，且直線(W,ON的斜率之積等于直線CM,。8的斜率之積，試探

求AOIW的面積是否為定值，并說明理由.

丫2

得橢圓C:3+/=l,變?yōu)閳A。:/+了'2=4.

點(diǎn)、A,B,M,N變換后對應(yīng)的點(diǎn)分別為4,B',M',N',且4(2,2),8'(-2,2).

'kOB'=2kOA，2kOB=T

從而

,k（）N'=2koM"2kON

k（）A.k（）B=k0M.k°N,：?k（）A.,卜0用=_、，即OAf'_LON，

于是S.M=JO"||ON[=；X2X2=2,故工好”；4ftMM=1.

即A0W的面積為定值1.

【典例1-2](2024?湖北荊州?三模)從拋物線r=8x上各點(diǎn)向x軸作垂線段，垂線段中點(diǎn)的軌跡為

(1)求:T的軌跡方程；

(2)45C是「上的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)2區(qū)廠，

BD

①若AC//DF,求\履的\值；

\8b\

②證明：三角形48C與三角形。E尸的面積之比為定值.

【解析】（1）設(shè)垂線段中點(diǎn)坐標(biāo)為（另團(tuán)，則拋物線上點(diǎn)坐標(biāo)為（x,2y）,

代入拋物線方程，則（2y>=8x,即/=2x,

所以「的軌跡方程：/=2x.

（2）①如圖，4昆C是「上的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)。，瓦廠,

設(shè)/仁，必I代,%卜］拳刃,〃（24），￡?/5），/伉,乂），

2

則拋物線/=2x上過點(diǎn)A的切線方程為x-^=t（y-yi）,

將切線方程與拋物線方程聯(lián)立，得：

聯(lián)立「一會二"'一乂），消去x,整理得/-2”+2%-弁=0,

y2=2x

所以A=（-2f）2-4（2切一y；）=4/一8%+4才=4（/必y=0,

從而有f=%,

2

所以拋物線上過點(diǎn)A的切線方程為x=yiy-^,

22

同理可得拋物線上過點(diǎn)dc的切線方程分別為x=%y-券,X=%了-冷,

兩兩聯(lián)立，可以求得交點(diǎn)。，旦尸的縱坐標(biāo)分別為：

Vj+%vJ+%V一%+%

AD必一”必一%

則

DE乂一次乂+%必+為%一為

22

忸尸L卜一刃|。同_?一%I\AD\=\EF\JDB\

同理可得

盧C僅2-%「忸尸|1%-閭'1\DE\\FC\\BF\

當(dāng)“//am1^1-\CF\坨即一^^\EF\-\FC\

當(dāng)"C//Z小時，西一兩，故時一向，即回「叩，

k_，一%=22（V2

②易知AB＞；歹；必+%，則直線45的方程為歹一必=------x~^~

T-T必+為12

化簡得y=2、？二,即（%+%）,y=2x+必％,

%十%

點(diǎn)c平,％到直線的距離為:

則三角形Z8C的面積W=；|陰?&=：（%-%）（%-乂）（乃

2

由（2）①知切線。E的方程為％=%了-￡,

以守，,），頤竽,中）,2竽,中）

乙乙乙乙乙乙

可知\DE\==1Jl+y；|j3-y2|,

點(diǎn)尸到直線E。的距離為

2

%%+%力?%

二222|（%-%）（力一丁）|,

廣2/+yf

則外切三角形OE尸的面積邑=（忸刈4=3（%-M）（%-%）（%-%）1.

2o

S；|（了2-%）（%一%）（%-%）|

故￡=-j------------------------=2.

2豆|（%一必）（力一必）（力-%）|

因此三角形/3C與外切三角形DE廠的面積之比為定值2.

【變式1-1】已知橢圓￡:￡+《=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片(-1,0)、凡(1,0),“在橢圓￡上，且

ab

△兒用工面積的最大值為百.

(1)求橢圓E的方程;

(2)直線/：y=履+%與橢圓E相交于P,0兩點(diǎn)，且41+3=4/，求證：△OP。(。為坐標(biāo)原點(diǎn))的面

積為定值.

【解析】(1)根據(jù)題意，c=l.

M在橢圓E上下頂點(diǎn)，△兒陰馬面積的最大值.

此時邑町IIM。1=6=6.

22

所以/=62+°2=4,則求橢圓石的方程二+二=1.

43

(2)如圖所示，設(shè)尸(再,多),。(芍,第2),

y=kx+m,

22得(左2)%2左+加2二°,

聯(lián)立直線/與橢圓E的方程xy3+4+87nx4-12

[43

22

A=64左2加2-4(3+4左2)(4/-12)=192A:-48m+144=48(4左2-m2+3)>0.

8km4m2-12

再+%2=一二--，七%2二------7

3+477/T1-3+4/

又|PQ|=Jl+/|再_引

28kmI,W-12

=y/1+k-4x-----------

3+4左213+4公

"48(4^-蘇+3)

y/1+k2

3+4左2

Tm

因?yàn)辄c(diǎn)。到直線P0的距離且4〃+3=4療,

71+k

222

r-cr.c1?DZi?,1[l一方,48(4:2+3)\mI6m6m6m3

所以S62o=7x|PQ|xd=-XV1+A--^-A——LxJ?=

2

223+4左2V17F3+4后23+4后24m2

3

綜上，△OP0的面積為定值

【變式1-2](2024?重慶?三模)已知尸(2,0),曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)尸的距離是到直線x=g的距離的兩

倍.

⑴求曲線C的方程；

(2)已知曲線C的左頂點(diǎn)為A,直線/過點(diǎn)尸且與曲線C在第一、四象限分別交于N兩點(diǎn)，直線/M、

/N分別與直線x=:交于尸，H兩點(diǎn),。為尸〃的中點(diǎn).

(i)證明：QF【MN；

(ii)記XHNQ,的面積分別為E，S,,邑，則與民是否為定值？若是，求出這個定

值；若不是，請說明理由.

【解析】(1)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(X/),則由題意可知：

(x-2)2+y2=4[x-n——4X+4+)2=4x2-4x+1x2一^~=1,

2

故曲線C的方程為x2-匕=1.

3

(2)(i)設(shè)直線MN：x=my+2,N(%2,y2)，

1

%廬

￡4

其

中

且1

-33再>1

x=my+2

2-1))2+12my+9=0,

3X2-/-3=0

12m9

故%+為=3加2_］，y,y2~3m2-1

'故7i卷/

y=^—（川），當(dāng)"時，尸”

直線2M：

芭+1

同理項(xiàng)—3%、

,Q為PH中點(diǎn),

7

,,_13=3%（％+1）+%（網(wǎng)+1）

故為=531%+1飛+1

4（再+1）5+1）

9m2-36?n2+9（3m2-l）_9

（占+1）卜2+1）=（〃沙+13）（〃%+3）=m2yy+3加?+%）+9=（*

x23m2-13m2-1

18m-36m18m

%（々+1）+%（再+1）=M（叩2+3）+%（叩i+3）=2加+3（必+%）=

3m2-1-3m2-1

,,318m3m目門二13m33m

故&=了b=《"，即025V,則尸。=2'V

（加，1）,7匝=一1+1=0,故QFLMN.

直線MN的方向向量3=

144小一36（3蘇-1）6717版

（ii）法一：|%一%|=一4=2（**）

（3加2_1\-3rn1

2

6（1+m23m3川+

故\MN\=y11+m21必-%|=;郵=卜;I+fo-

1-3/2

2

9（l+m2）?

又QF1MN,故禺=；|"￥卜|0叫=

2（l-3m2）

S11

I+$2=；|尸。一；+

22

-12m2+9m2-33（1+加2

國+%2-1=加（必+>2）+3=

3m2-1l-3m2

3乂（工2+1）—%（再+1）

\pH\=3%3%

2（%i+l）2（X2+1）2（xj+l）（x2+1）

3乂（切2+3）-%（沖i+3）_9%一%

2（再+1）（馬+1）2（芯+1）（%2+1）

I611+.2

由（*）知|（再+1）（《+1）|=]_：〃2,由（**）知

故四CTs

3(l+m2)9(1+加2產(chǎn)

故E+凡=：3.1+加2

1-3加2-4(1-3叫2,

法二：（利用雙曲線的第二定義）由（1）知，|"F|=2（再同理|液|=2k2-;

+m

故5+$2=3PHi（西+^2-i）=||^|-（MM）=\^\，

4oo

又例,故詈=:翳

又那用系"，

9

且由（*）知I力加卜g醫(yī)」=g，記直線尸〃與X軸相交于點(diǎn)K,

3m2—1

..9...,,分LTA

由區(qū)加卜W可得歸K|?|川|=|四1］2，即局=謁，即△尸KFSAPF”，

故PF1HF；

又0為尸〃的中點(diǎn)，故|09卜；「川，即亨^=；*=：

【變式1-3］（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）已知工（-1,0）,5（1,0）,平面上有動點(diǎn)P,且直線NP的斜率與直

線AP的斜率之積為1.

（1）求動點(diǎn)P的軌跡。的方程.

（2）過點(diǎn)N的直線與。交于點(diǎn)”（〃在第一象限），過點(diǎn)8的直線與O交于點(diǎn)N（N在第三象限），記直

線8N的斜率分別為瓦，k2,且左=4內(nèi).試判斷A/MN與ABAW的面積之比是否為定值，若為定值,

請求出該定值；若不為定值，請說明理由.

【解析】（1）設(shè)P（x,y）,xw±l,

2

由題意可得：以％=工?工='=\，整理得

APBPx+lx-lx2-l

故求動點(diǎn)P的軌跡方程為--=1（尤w±1）.

（2）由題息可知：kAM-kBM=1,且如M=4左BN,可得心V?及BM=Z，

顯然直線MN的斜率不為0,設(shè)直線的方程為x=7町+(w±l),MQi，%),/V(x2,y2),

[x=my+t(、、、

聯(lián)立方程j=i，消去X得(，/-l)/+2加卬+/9-1=0,

2mt

%+為=一一2一7

m-1

則加2W1,A>0,可得

t2-l

必力二Fmf-1

則^BN,為必=M2

X2-1/-I（叩i+/_1）（加歹2+/一1）4

整理可得（療-4）乃%+加”1）（必+%）+（1）2=0,

則（蘇-"2T）_2二;”1）丁0,

m2-1m2-1

因?yàn)?片±1,則/170,可得（加2—4）（/+1）_2^+0,

m2-1m2-1

3

整理可得，=-y，

所以直線九W方程為》=叼-|,即直線過定點(diǎn)

貝小NT|=_：+l=）,[8T|=l+（=g,

此時SAZA/N=D|/T|，|加-"|,S—A/N=],忸丁卜|加-》N|,

V\AT\1

Q"MN

所以c而為定值.

3BMN

題型二：向量數(shù)量積定值

【典例2』】(2。24?高三江蘇鹽城?開學(xué)考試)已知橢圓C：，(。/)，過點(diǎn)A的動直線,與橢

圓C交于尸、0兩點(diǎn).

（1）求線段尸。的中點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）是否存在常數(shù)，使得2萬.而+而.而為定值？若存在，求出X的值；若不存在，說明理由.

【解析】（1）①當(dāng)直線/存在斜率時，設(shè)尸（再,弘）、。（尤2,%）、"0,

22

+

54_22L-

，兩式聯(lián)立作差得：（七一人）（』+%）+（.-%）（%+%）O

則應(yīng)用點(diǎn)差法：，2<

々

4一+2-

(%-%)(%+%)

kP0

(占72)(占+々)xx-x2玉+x2

又???kpQ=kMA=――,

%

.?.%■」?久■=-；，化簡得'+2歹；-2%=0（%。0）,

X。X0/

②當(dāng)直線/不存在斜率時，M（0,0）,

2

11

綜上，無論直線是否有斜率，〃的軌跡方程為/+2y

22

（2）①當(dāng)直線/存在斜率時，設(shè)直線/的方程為：>=區(qū)+1,

y=kx+l

聯(lián)立并化簡得:(2/+1)/+4&-2=0,

I42

4k2

A>0恒成立，%+X,=------——，x,-x

-2k*2+1~22r+1'

又不=(芭,七士)，14Q=(x2,k-x2),op=(xl,k-xl+l),OQ=(x2,k-x2+l),

AAP-AQ+OP-OQ=4（1+左）X[,X2+（1+左2）-X1?%+后（再+3）+1,

_-2（X+l）（l+/）4左2_2（2+2）/+22+l

2F+12k2+\―2k2+\

若使2萬?而+而?麗為定值，

只需2（九+2）="±1,即幾=1,其定值為-3,

21

②當(dāng)直線/不存在斜率時，直線/的方程為：x=0,則有尸（0,⑹、2（0,-V2）,

又方=（0,直-1）,而=（0,-夜-1）,歷=（0,也），詼=（0,-垃），

■■.AAPAQ+OPOQ^-A-2,當(dāng)4=1時，2萬.而+而.麗也為定值一3,

綜上，無論直線是否有斜率，一定存在一個常數(shù)4=1,

使2萬?通+歷?而為定值-3.

【典例2-2】(2024?上海閔行?二模)已知點(diǎn)片、匕分別為橢圓「：］+丁=1的左、右焦點(diǎn)，直線/：/=依+/與

橢圓r有且僅有一個公共點(diǎn)，直線F\M工心工1,垂足分別為點(diǎn)M、N.

⑴求證：/=2*+i；

(2)求證：柳?瓦討為定值，并求出該定值；

【解析】(1)聯(lián)立/：>=奴+1與「：^~+，=1得：(2%2+1卜~++21—2=°,

由直線與橢圓有一個公共點(diǎn)可知：△=(4fe)2-4(2廿+*22)=0,

化簡得：r=2產(chǎn)+i；

(2)由題意得：片(-1,0),笈(1,0),

因?yàn)槠肗，/,所以故耳市?第=|而］J耳歷,

其中礦二島I—k+1\’F.房|左+%|，

府?可為定值，該定值為1;

22(/y

【變式2-1］(2024?陜西寶雞一模)橢圓CJ+A=l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)尸1,十,且兩焦點(diǎn)與短軸的兩

ab.

個端點(diǎn)的連線構(gòu)成一個正方形.

(1)求橢圓c的方程;

⑵設(shè)過橢圓C的右焦點(diǎn)尸作直線/交C于A、3兩點(diǎn)，試問：疝.標(biāo)是否為定值？若是，求

出這個定值；若不是，請說明理由.

【解析】(1)因?yàn)闄E圓C的兩焦點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)的連線構(gòu)成一個正方形，該正方形的邊長為

兩條對角線長分別為筋、2c,則6=c,所以，°=病了/=&6，

22

所以，橢圓C的方程可表示為。+2=1,、

2b2b2

將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入橢圓C的方程可得12可得6=1，則。=后，。=1，

----------------——1

2b2b2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

2-

(2)當(dāng)直線/與x軸重合時，則A、3為橢圓長軸的頂點(diǎn)，不妨設(shè)/(0,0)、5(-72,0),

則疝=[&_：,()),標(biāo)=[一④一：,()1,此時必?荻=(：]-2=-^；

易知點(diǎn)尸(1,0),當(dāng)直線/不與x軸重合時，設(shè)直線/的方程為x=.y+l,設(shè)點(diǎn)/(士,%)、8(%,”),

聯(lián)立可得(加2+2)了2+2加了一1=。,A=4m2+4(m2+2)=8(m2+l)>0,

2m|

由韋達(dá)定理可得%+%=一-=一一?

m+2m+2

MA^\再一:,必|=|myl--,y1,MA^\x2--,y2|=|my2--,y2

疝?標(biāo)=（叼］一;］（加%—+外力=（加2+1）弘％一;以他+了J+］

-^m2+i^+-m-2m1一；（加？+2）】1

—_____4___?_=_2____?_=__■

m2+216m2+21616

綜上所述，MA-MB=--.

【變式2-2](2024?高三?河南南陽?期末)尸為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，過P作x軸的垂線，垂足為M,交

直線y=-°x(。>6>0)于。，過P作y軸的垂線，垂足為N,交直線>=一2X于滅，若4OMQ,△

aa

ONR的面積之和為.

(1)求點(diǎn)尸的軌跡C的方程；

(2)若。=2,6=1,/(-4,0),G(〃,0),過點(diǎn)G的直線/交C于。，￡兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)〃，對任意直

線/，使石.荏為定值？若存在，求出〃的值及該定值，若不存在，請說明理由.

【解析】(1)

ba

設(shè)P(%,y)，則y=一一x,XR=--y,

Qab

由題意可得，+；廣=4，即.+與二1，

2\aJ2\b)2a1b2

22

故點(diǎn)P的軌跡c的方程為5+4=1；

ab

（2）由（1）可知C—+/=1

4

假設(shè)存在常數(shù)小使瓦.次=4（常數(shù)），

設(shè)直線/:x=my+n,代入C,整理得（病+4）/+2加町+（/-4）=0,

設(shè)。（再，必），￡（工2，歹2）

2mn“2—4

則y,+y

2加2+4'%%一療+4

所以4DZE=(X]+4,%)一(%2+4,%)

=(X]+4)(X2+4)+=("3+"+4)(加％+”+4)+

="+1)乂%+機(jī)(〃+4)(必+%)+(n+4)一

_(m2+1)(?2-4)2:島?(〃+4)+(〃+

4):2

m2+4加2+4'

整理化簡得：(12-2)〃/+5”?+32"+60-42=0對\/加eR恒成立.

故12-2=0,5/+32〃+60—4/1=0

"=12,5?2+32?+12=0

2

???"=-］或一6（舍去）

當(dāng)直線/為x軸時通.在=12

綜上，存在常數(shù)〃=-；2,對任意直線/,使近.左=12（為定值）

22

【變式2-3］（2024?高三?天津河北?期末）設(shè)橢圓E:二+q=1俗>6>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳,巴，短軸的

ab

兩個端點(diǎn)為45,且四邊形耳/月3是邊長為2的正方形.G。分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，動點(diǎn)"滿足

MDLCD,連接交橢圓E于點(diǎn)P.

⑴求橢圓E的方程；

(2)求證：麗.歷為定值.

222

【解析】(1)由題設(shè)|與/|=a=2,6=c,a=b+c,得/=2,/=4,

22

橢圓的方程為土+二=1.

42

(2)

由(1)知C(-2,0),。(2,0),由題意知，直線C"的斜率存在且不為0,

y=左(％+2)

設(shè)直線CM的方程為了=后(》+2),聯(lián)立X?/,

142

消去y得(1+2於+8〃x+8公一4=0,其中C是直線與橢圓一個交點(diǎn),

8k2-42-4k24k2-4k24k、

所以—2xp=貝Ixp=代入直線得力故?

1+2左21+2左21十K1+2左2'1+2/,,

又MDLCD,將x=2代入了=M》+2),得力,=4左，則M(2,4左).

-4k4―8后2+16左2

所以。M?。尸=2?^——-+4左-----7=4,為定值.

1+2左21+2左21+2左2

22

【變式2-4】已知橢圓。:a+}=1(?>6>0)的左、右頂點(diǎn)分別為48,右焦點(diǎn)為尸，且|萬1=3,以尸

為圓心，。尸為半徑的圓尸經(jīng)過點(diǎn)8.

(1)求C的方程；

(2)過點(diǎn)A且斜率為左(左二0)的直線/交橢圓C于P,

OH4加

⑴設(shè)點(diǎn)尸在第一象限，且直線/與V=-x交于若=r=Y-sin/，4。，求后的值;

PH5

(ii)連接尸尸交圓尸于點(diǎn)7,射線4P上存在一點(diǎn)。，且0，的為定值，已知點(diǎn)。在定直線上，求。所在

定直線方程.

【解析】(1)???以尸為圓心,。尸為半徑的圓廠經(jīng)過點(diǎn)8,二忸尸|=|。尸|=c,即|O8|=a=2c,

:卜百=a+c=3c=3,c=1,a=2,b2=a2-c2=3>

r2v2

???橢圓。的方程為：土+匕=1.

43

(2)(i)由(1)得：4(一2,0),可設(shè)/:>=左(％+2),P(Xp,yp)(xp>0,yp>0),

2k

x=--------

y=k(x+2)k+\(2k2k}

得：,即〃,

y=~x2kci+ir+ij

y=------

k+\

y=左(x+2)

22

由工2/得:(3+4A:)X+16FX+16F-12=0,

----F—=1

I43

1642-12

...A=48(3+4F-4F)=114>0—2xp

3+442

22

6-8k/6-8公)12kn(6-Sk12k}

在△M4O中，由正弦定理得：=」_L

sinZHAOsinNHOA

TTOH

?.?ZHOA=-f

4sinZHAO??

則由號=叫“。得：昌Y容西

.?阿=m叫.?.網(wǎng)=:網(wǎng)，即而=/,

:屈，含)石=131諄盜4

216

人+1-3(3+4-)

，解得：

2k16k

k+\3(3+4/)

(ii)由題意知：圓尸方程為：(x-l)2+v2=l；尸(1,0),8(2,0)；

不妨令P位于第一象限，可設(shè)/尸:y=E（x+2）,

若直線尸產(chǎn)斜率存在，則原尸=4[k?，..?直線內(nèi):x=」1-4P^y+l,

1一444k

1一4左2

X=------V+124k]

由,4k得：T4左2+1Z左2十J

（x-1）2+y2=1.屈（含P島）

—4mA：2+2-加一4（機(jī)+2）左3+（2—加）左

設(shè)。（在后（切+2））,則方=

4/+1~~4左2+1

8k2（4加左之一2+加）一16（加+2）左4+（8-4加）左之萬（4加-8乂4左2+1）_H（4m-8）

:.QT-Jf=

（4左2+1）2（4左2+1）24^2+1

當(dāng)4加-8=0時，5?市=0為定值，此時％=2,則。（2,4左），此時。在定直線x=2上;

當(dāng)4機(jī)-840時，5?而不為定值，不合題意；

若直線尸尸斜率不存在，貝1「尸"，￡|，7（”），8（2,0），

此時如=:，則直線/尸：/=g（x+2）,設(shè)0,,；（加+2））

則次=1_%/一;（〃?+2）],麗=（一1,1）,:.QT-BT=^m-\,

則加=2時，QTBT=Q,滿足題意;

綜上所述：點(diǎn)。在定直線x=2上.

題型三：斜率和定值

【典例3-1】已知橢圓〃。/=15>1）與雙曲線.2_/_=1的離心率的平方和為*

⑴求q的值;

⑵過點(diǎn)。弓,o］的直線/與橢圓”和雙曲線N分別交于點(diǎn)A,

B,C,D,在x軸上是否存在一點(diǎn)T,直

中的斜率分別為凝%,k,k,k,使得/-+/-+1+/-為定值？若存在，請

線Z4,TB,TC,TBTCTD

^TA^TB^TC^TD

求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】（1）由已知得=空，BP4a4-15a2-4=0,二/=4,a=2；

Q14

22

（2）由（1）得橢圓M：L+/=I與雙曲線N:x?一匕=1,

4-4

由已知得直線I的斜率不為零，設(shè)直線I的方程為x=my+^,

4（孫y。,B（x2,y2）<C（x3,y4）,B（X4,J4）,T（Z,0）,

—+y2=l

4m2+4）y2+y—~^-=0,

將直線與橢圓聯(lián)立m

1

x=my+—

lYl__15

2

A=16m+60>0,必+>2=-------2T，弘>2=一4"+4），

m+4

將直線與雙曲線聯(lián)立4］得（4〃/-1）/+4叼-3=0,

x=my+-^

31

由A=64機(jī)2-12>0得加2>；7，又％

164

11114加/c\4加/r\4加Jc/\

...——+——+——+——=——(8-/)+——(2-/)=—(18-6/)

v7v7v

kTAkTBkTCkTD15315九

1111c

當(dāng)t=3時，—+—+—+—=

^TA^TBGeMD

故在x軸上是存在一點(diǎn)r（3,0）,使得/-+/-+/一+，一為定值o.

KTAMB^TC^TD

22

【典例3-2】（2024?河南?二模）已知橢圓C：r+與=15>6>0）的焦距為2,兩個焦點(diǎn)與短軸一個頂點(diǎn)構(gòu)

ab

成等邊三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)尸（3#，過點(diǎn)P的兩條直線4和4分別交橢圓c于點(diǎn)2E和點(diǎn)U和4.不重合），直線4和4的

斜率分別為占和&若1PMi尸戶內(nèi)，判斷勺+與是否為定值，若是，求出該值；若否，說明理由.

【解析】（1）由題焦距2c=2,解得c=l,

由兩個焦點(diǎn)與短軸一個頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形可知b=6c=C,則/=3,

所以a?=b2+c2=4,

已知尸（3j）,設(shè)。（占,弘）,E（X2，%）,M（X3，%）,N（X4，”），

，直線4的方程為了—=匕（》-3）,即歹=冷-3左+f,

22

代入?+《=1并整理，得（4儲+3）/+（8卬-24奸）x+4（f-3《）2-12=0,

A=（8卬-24-了_4（4k；+3）［4（Z-347一121>0,

_24甘_8年_4（/-3^,）*2-312

12"<+3'12--

\PM\\PN\^\PD\\PE\,

?.?P,D,E三點(diǎn)共線，且方與而同向，

;=PD,PE=（再—3,%—/）.（工2—3,%—

=（占一3）（9-3）+（M一）（%T）=（占一3）（%-3）+左（西一3）.左仁一3）

4（-3%）2-1224k-8W

4k+3一—3x嵋+3+9

（肝+1）（4?-24卬+36^-12-72k；+24卬+36k+27）（^2+1）（4/2+15）

4k+3—4.+3

（居+1）（4/+15）

同理可得1PM||PM=

4代+3

（將+1乂4/+15）（^+l）（4r+15）

化簡得行=片,

4M+3-4代+3

優(yōu)]+左2乂與一左2）=。,+"'=0，

所以與+質(zhì)為定值0.

22

【變式3-1】橢圓C：5+看=1（八6>0）的左焦點(diǎn)為卜后0）,且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P（O,1）,直線

ab

y=/a+2k-l（左片0）與C交于A,8兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P）.

⑴求橢圓C的方程；

（2）證明：直線尸/與直線尸5的斜率之和為定值，并求出這個定值.

【解析】（1）

由題意得：c=\[2,b=1,JJJ!）a2=Z>2+c2=3,

故橢圓C的方程為二+/=1；

3'

（2）解法一（常規(guī)方法）：設(shè)>（西次）,85必）,

V2=

聯(lián)立一化簡可得：（3/+1卜2+6乂24-1b+12左他-1）=0,

y=kx+2k—\

由于直線7=h+2左-1（后片0）與橢圓C交于43兩點(diǎn)且異于尸,

2

所以A=36k之（2k-I）-481（左—1）（3〃+1）=—12左（左一4）＞0且左w1,

角軍得：0＜左＜4且左

6M2斤-1）12k（k-l）

Xl+X2=3F+1=3丁