高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：直線和圓的方程（新高考專用）含答案及解析

專題10直線和圓的方程

l一題型一：平行^求距離問題e、易錯(cuò)點(diǎn)：使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)相等致錯(cuò)

_______________________一一一跡二：直線的考點(diǎn)”易錯(cuò)點(diǎn)：求有關(guān)截距相等問題時(shí)易忽略截距為零的情況

直線和圓的方程

n"題型三：求有關(guān)圓的切線問題0、易錯(cuò)點(diǎn)：求有關(guān)圓的切線問題易混淆"在""過"

一題型四：與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題€＜易錯(cuò)點(diǎn)：忽喇率是否存在

易錯(cuò)點(diǎn)一：使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)相等致錯(cuò)（平行線求距離問

題）

距離問題

畫總總

①兩點(diǎn)間的距離：已知后（王，%）,P,（%2，＞2）貝?6心|=（（為—千）2+（、2—'1）2

②點(diǎn)到直線的距離：d=

加。A：2珍+B。2：，

③兩平行線間的距離：兩條平行直線/1：/U+2y+G=0與l2:Ax+By+C2=0的距離公式

易錯(cuò)提醒：在求兩條平行線間距離時(shí)，先將兩條直線尤,y前的系數(shù)統(tǒng)一，然后代入公式求算.

三9

例.已知直線乙：4x-3y+3=。，Z2:（m+2）x-（zn+l）y+zn=0（zneR）,則（）

A.直線4過定點(diǎn)（1，2）B.當(dāng)機(jī)=2時(shí)，IJH2

C.當(dāng)機(jī)=T時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，44之間的距離為g

變式1.曲線y=e2xcos3x在點(diǎn)（0,1）處的切線與其平行直線/的距離為右，則直線/的方程可能為（）

A.y=2x+6B.y=2x-4

C.y=3x+lD.y=3x-4

22

變式2.已知直線4：y^kx+1,l2：y^mx+2,圓C：（x-1）+（y-2）=6,下列說法正確的是（）

A.若4經(jīng)過圓心C,貝!|左=1

B.直線4與圓C相離

C.若l\〃k，且它們之間的距離為則左=±2

D.若左=一1,4與圓C相交于M,N,貝!||肱V|=2

變式3.已知直線4:4x-3y+4=0,：(〃2+2)x-(〃2+I)y+2〃z+5=OOeR),貝(j()

A.直線4過定點(diǎn)(-2,-1)

B.當(dāng)m=1時(shí)，4-L12

C.當(dāng)m=2時(shí)，

D.當(dāng)“4時(shí)，兩直線4工之間的距離為1

1.若直線2x-y-3=0與4x-2y+a=0之間的距離為正，則。的值為（）

A.4B.75-6C.4或-16D.8或一16

2.若兩條直線乙：y=2無+%,4：y=2x+〃與圓x2+y2-4x=。的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成正方形，則|〃[-4=（）

A.4君B.2710C.2A/2D.4

3.兩條平行直線2x—y+3=。和6一3y+4=0間的距離為d,則a,d分別為（）

A.a—6,d=B.a=—6,d=

33

C.a=-6,d=—D.。=6,d=—

33

4.兩條平行直線3尤+―-12=。與分+8丫+11=。之間的距離（）

23237

A.—B.—C.—D.7

5102

5.已知直線/1：x-my=。和7y+2（〃7-l）=0OeR）與圓C都相切，則圓C的面積的最大值是（）

A.2〃B.4〃C.87rD.16%

6.若直線4:x++6=。與4：(Q—2)x+3y+2Q=。平行，則乙與4間的距離為()

A.V2B.辿

3

C.73D.迪

3

7.已知直線4：（3+2X）x+（4+2）y+（—2+2丸）=0（AGR）,/2?x+y—2=0,若IJ/l2，則4與6間的距離

為（）

A.1B.后C.2D.2夜

8.已知直線小必―3y+6=0,4：4X—3沖+12=0,若"乙，貝！J4,4之間的距離為（）

A@IB.處C.晅D.5

131313

9.若兩條平行直線4：x-2y+根=0（根＞0）與/2：2%+利-6=0之間的距離是逐，則加+〃=

A.0B.1C.-2D.-1

10.已知直線，i：3x+4y+5=0,Z2:6x+8^-15=0,則兩條直線之間的距離為

A.4B.2C.-D.5

2

易錯(cuò)點(diǎn)二：求有關(guān)截距相等問題時(shí)易忽略截距為零的情況（直線截距式的

考點(diǎn)）

直線方程的五種形式的比較如下表:

名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍

點(diǎn)斜式y(tǒng)-y=k(x-%)（%,%）是直線上一定點(diǎn)，左是斜率不垂直于X軸

斜截式y(tǒng)=kx+b人是斜率，。是直線在y軸上的截距不垂直于X軸

y-Ji_%--

兩點(diǎn)式（%,%）,（x2,y2）是直線上兩定點(diǎn)不垂直于X軸和y軸

%-%%-%

。是直線在X軸上的非零截距，。是直不垂直于x軸和y軸，

截距式2+2=1

ab線在y軸上的非零截距且不過原點(diǎn)

Ax+By+C=0(A2+B2?0）

一般式A、B、C為系數(shù)任何位置的直線

給定一般式求截距相等時(shí)，具體方案如下：

令x=Ony=_C「「

形如：第一種情況Ax+_8y+C=0n|夕n=nA=3

令wOnx=-CAB

L,A

第二種情況：Ac+8y+C=0=C=0時(shí)，橫縱截距皆為0

截距之和為。時(shí)，橫縱截距都為0也是此類模型

易錯(cuò)提醒：求截距相等時(shí)，往往會(huì)忽略橫縱截距為0的情況從而漏解

三

例.已知直線/過點(diǎn)(2,1)且在x,y軸上的截距相等

(1)求直線/的一般方程；

(2)若直線/在x,y軸上的截距不為0,點(diǎn)P("I)在直線/上，求3"+3〃的最小值.

變式1.已知直線/過點(diǎn)(1,2)且在x,y軸上的截距相等

(1)求直線/的一般方程；

⑵若直線/在劉＞軸上的截距不為0,點(diǎn)P(a,b)在直線/上，求3"+3&的最小值.

變式2.已知直線4：ax+2y-4=0,直線3bx-2y-l=0,其中a,6均不為0.

(1)若4,4,且4過點(diǎn)(L1),求a,b；

⑵若且4在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求4與4之間的距離.

變式3.已知直線(：or-2y-2a+4=0,直線乙：八+4'-4。2一8=0

⑴若直線4在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)。的值；

⑵若44求直線4的方程.

三9

1.己知圓。：*+丁=4,"（與,%）為圓。上位于第一象限的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓。的切線/.當(dāng)/的橫縱截

距相等時(shí)，/的方程為（）

A.x+y-2-J1=0B.x+y—---=0

C.x+y-4A/2=0D.尤-y-2應(yīng)=0

2.“直線/：y=辰+2后-1在坐標(biāo)軸上截距相等”是“左=-l”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.過點(diǎn)A（1,2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）

A.尤-y+l=0B.x+y-3—QC.y=2x或x+y-3=0D.y=2x或x-y+l=0

4.下列說法正確的是（）

A.若直線。2》一＞+1=0與直線尤一ay—2=0互相垂直，則°=-1

B.已知P（U）,。（-2,-3）,點(diǎn)尸，Q到直線/的距離分別為2和4,則滿足條件的直線/的條數(shù)是2

C.過（孫珀，（％打）兩點(diǎn)的所有直線的方程為七左=三

D.經(jīng)過點(diǎn)（1,1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為無+y-2=0

5.過點(diǎn)P（3,4）,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是

A.x—y+\=0B.x—y+1=0或4%-3y=0

C.%+y—7=0D.x+y—7=0或4x-3y=0

6.下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.命題“m/wR,x：+l<l”的否定是“X/xeR.Y+lNl”

B.命題“若a>b,則2"的否命題為“若a三八則2”2"-1”

C.“兩直線斜率相等”是“兩直線平行”的充要條件

D.若“p或q”為假命題，則p,q均為假命題

7.與圓V+（y-1>=1相切，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有（）

A.2條B.3條C.4條D.6條

8.已知直線/過點(diǎn)加（-2,3）,且與x軸、y軸分別交于A,B點(diǎn),則（）

A.若直線/的斜率為1,則直線/的方程為y=x+5

B.若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線/的方程為x+y=l

C.若M為A8的中點(diǎn)，貝心的方程為3x-2y+12=。

D.直線/的方程可能為y=3

9.已知直線4：x-y+m=O,/2：2x+my-l=0,則下列結(jié)論正確的有（）

A.若〃〃2，則m=-2

B.若/J4，則加=2

C.若八'在x軸上的截距相等則相=1

D.12的傾斜角不可能是4傾斜角的2倍

10.直線/與圓（x-2f+y2=2相切，且/在x軸、>軸上的截距相等，則直線/的方程可能是

A.尤+y=OB.尤+y-2應(yīng)+2=0

C.%—>=。D.x+y-4=0

易錯(cuò)點(diǎn)三：求有關(guān)圓的切線問題易混淆“在”“過”（求有關(guān)圓的切線問題）

技巧總結(jié)

VgF類：求過圓上一點(diǎn)（%,光）的圓的切線方程特方

正規(guī)方法：

第一步：求切點(diǎn)與圓心的連線所在直線的斜率左

第二步：利用垂直關(guān)系求出切線的斜率為-4

k

第三步：利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-%=Mx-%）求出切線方程

注意：若左=0則切線方程為x=x0，若女不存在時(shí)，切線方程為＞=為

儂殺方法：）

①經(jīng)過圓x2+y2=/上一點(diǎn)尸（飛,%）的切線方程為x（）x+=r2

②經(jīng)過圓（x-o）2+（y-/?）2=/上一點(diǎn)M%,%）的切線方程為（.一0）（工一。）+（%-匕）6-5）=/

③經(jīng)過圓V+V+m+4+尸=o上一點(diǎn)尸（與,凡）的切線方程為

xQx+yQy+D-^^+E-^^+F=0

類：求過圓外一點(diǎn)（%,光）的圓的切線方程的港〉

方法一：幾何法

第一步：設(shè)切線方程為丁一方=左（》-/），即左x—y-左0+為=0,

第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)，可求得左，切線方程即可求出

方法二:代數(shù)法

第一步：設(shè)切線方程為丁一%,=女（%一叫）），即y=左x—左q+y（）,

第二步：代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由A=0可求得左，切線方程即可求出

注意:過圓外一點(diǎn)的切線必有兩條，當(dāng)上面兩種方法求得的女只有一個(gè)時(shí),則另一條切線的斜率一定不存在,

可得數(shù)形結(jié)合求出.

盤三類：求斜率為左且與圓相切的切線方程的還）

方法一：幾何法

第一步：設(shè)切線方程為y=左次+加，即左％-丁+根=0

第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)，可求得加，切線方程即可求出.

方法二:代數(shù)法

第一步：設(shè)切線方程為y=

第二步：代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由A=0可求得加，切線方程即可求出

方法三：秒殺方法

已知圓/+/=/的切線的斜率為人,則圓的切線方程為y=依土廠爐了1

已知圓(X——人)2=戶的切線的斜率為左，則圓的切線方程為y=依士—

工具：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-〃)2+(y-6)2=戶(廠>0)

222

一般方程為x+y+Dx+Ey+F=0(。2+E-4F>0).

點(diǎn)在圓上：(%?！猘)?+(%—=戶XQ++DXQ+Ey0+F=0

②點(diǎn)在圓外：(司-a/+(%-/?)2>,XQ+yo+DXQ+Ey0+F>0

③點(diǎn)在圓內(nèi)：(%。一a)?+(%—/?)2〈產(chǎn)Xo++DXQ+Ey0+F<0

易錯(cuò)提醒：求切線問題時(shí)首要任務(wù)確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系并采用對(duì)應(yīng)方案進(jìn)行處理

三9

22U5

例、圓的方程為一+/=1,過點(diǎn)上"的切線方程

”2J

(3V31

變形1、圓的方程為/+：/—4x+2y+4=0,

過點(diǎn)(-2-2--1)的切線方程

變形2、圓的方程為r+/―4x+2y+4=0,過點(diǎn)(1,1)的切線方程

變形3、圓的方程為（尤-2）2+（y+1）2=1,切線斜率為1方程為

1.在平面直角坐標(biāo)系中，過直線2x-y-3=0上一點(diǎn)尸作圓C：f+2x+y2=l的兩條切線，切點(diǎn)分別為AB,

則sin/APB的最大值為（）

A.哀1B.—C.—D.—

5555

2.已知點(diǎn)時(shí)（1,0）在圓C:/+y2=機(jī)上，過M作圓c的切線/,則/的傾斜角為（）

A.30B.60C.120D.150

3.已知圓+/-4x-6y+12=0與直線/：尤+y-l=。，P,。分別是圓C和直線/上的點(diǎn)且直線產(chǎn)。與

圓C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則|PQ|的最小值是（）

A.77B.2A/2c.V7-1D.2A/2-1

4.已知直線/:如一丫+相+1=0（切*0）與圓C:x2+y2-4x+2y+4=0,過直線/上的任意一點(diǎn)尸向圓C引切

線，設(shè)切點(diǎn)為A,B,若線段A3長(zhǎng)度的最小值為石，則實(shí)數(shù)加的值是（）

12127

A.——B.-C.-D.——

5555

5.已知圓C:（尤-2丫+_/=4,直線/:>=履化eR）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在實(shí)數(shù)上使得直線/與圓C相切

B.若直線/與圓C交于A,8兩點(diǎn)，貝的最大值為4

C,當(dāng)％=-1時(shí)，圓C上存在4個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為3

D.當(dāng)左=1時(shí)，對(duì)任意4eR,曲線■E：x2+y2-（九+4）x+￡y=0恒過直線/與圓C的交點(diǎn)

6.過圓尤、y2=4上一點(diǎn)p作圓/+y2=l的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,則（）.

A.|AP|=|BP|=V2

B.ZAPS=60°

C.|AB|=>/3

D.直線AB與圓Y+y=」相切

4

7.已知圓C的方程為x2+（y-2）2=l,點(diǎn)Q（0,3）,點(diǎn)尸是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓C的兩條切線，切

點(diǎn)分別為4,8,則（）

A.存在切點(diǎn)使得-AQ8為直角B.直線A3過定點(diǎn)（0,1）

c.Q4Q8的取值范圍是［0,萬］D.面積的取值范圍是（Oqg］

8.已知直線/：尤->+1=0與圓CK：（x+"l>+（y+2左y=l,下列說法正確的是（）

A.所有圓CJ勻不經(jīng)過點(diǎn)（0,3）

B.若圓CR關(guān)于直線/對(duì)稱，則上=-2

C.若直線/與圓CR相交于A、B,且［4邳=夜，則上=-1

D.不存在圓CR與x軸、y軸均相切

9.已知￡：5-2）2+“-1）2=4,過點(diǎn)尸（5,5）作圓片的切線,切點(diǎn)分別為","，則下列命題中真命題是（）

A.\PM\=y/21

B.直線跖V的方程為3x+4y-14=0

C.圓/+丁=1與一E共有4條公切線

D.若過點(diǎn)P的直線與：E交于G,”兩點(diǎn)，則當(dāng)，EWG面積最大時(shí)，\GH\=2yf2.

10.已知點(diǎn)M為直線/：x-y+8=。與y軸交點(diǎn)，尸為圓O:f+y2=45上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（-l,0）,B（3,0）,則

（）

A.忸必取得最小值時(shí)，Sz=6石B.MP與圓。相切時(shí)，\PM\=y/l9

D.sinNAPB的最大值為好

C.當(dāng)時(shí)，APBM=0

4

易錯(cuò)點(diǎn)四：忽略斜率是否存在（與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題）

三9

處理此類問題宗旨:截距式與斜率式都可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與圓相切時(shí)取得最值

①截距式：求形如mx+ny的最值轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題

②斜率式：求形如上二生的最值轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題

x-n

③距離式：求形如（x-a）2+（y-＞）2=r2的最值轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題

形如：若尸（X?）是定圓。：（％-冷2+6-人）2=/上的一動(dòng)點(diǎn)，則求如+胡和工這兩種形式的最值

，鬼路1:幾何氏）

①阿的最值，設(shè)圓心到直線”的距離為d=、"吆_H,由d=r即

y/m2+n2

可解得兩個(gè)〃直，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值

②工的最值：上即點(diǎn)P與原點(diǎn)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得斜率的最大值和最小值

XX

（電路2：代數(shù)警）

①7加+胡的最值，設(shè)M%+融=/,與圓的方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由判別式等于0,求得f的兩

個(gè)值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值.

②工的最值：設(shè)/=上，則y=沅，與圓的方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由判別式等于0,求得/的兩個(gè)

XX

值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值.

易錯(cuò)提醒：截距式與斜率式在學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系后，都可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與圓相切時(shí)取得最值.同時(shí)，需要

注意若是斜率式，則需考慮斜率是否存在

例、已知〃）為圓C：爐+y2一4%—14>+45=0上任意一點(diǎn).

（1）求根+2〃的最大值；

（2）求y〃一3的最大值和最小值；

m+2

（3）求m2+“2的最大值和最小值.

變形1、如果實(shí)數(shù)x,y滿足（x_3）2+（y_3『=6,求:

（1））的最大值與最小值；

X

（2）%+y的最大值與最小值；

（3）d+y2的最大值和最小值.

變形2、已知實(shí)數(shù)X,y滿足方程（x-2）2+y2=3.

（1）求上的最大值和最小值；

X

（2）求丁一%的最大值和最小值；

（3）求X2+y2的最大值和最小值.

變形3、已知實(shí)數(shù)了、丁滿足/+丁+2%一4y+l=0.

（1）求上-的最大值和最小值；

x-4

（2）求Jx?+/-2%+1的最大值和最小值.

1.+（y-bp可以轉(zhuǎn)化為平面上加（尤,y）點(diǎn)與點(diǎn)N（a,3之間的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得

/(尤)=J/+8x+20+J尤2+4x+20的最小值為()

A.曬B.2MC.731D.2+萬

2.已知實(shí)數(shù)工，丫滿足曲線C的方程尤2+V-2x-2=0,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.f+y2的最大值是4+26

B.’二匚的最大值是2+幾

c.|x-y+3|的最小值是20-力

D.過點(diǎn)（0,閭作曲線C的切線，貝徹線方程為x-0y+2=O

3.點(diǎn)（。,1）到直線區(qū)+>+左=0的最大距離為（）

A.2B.GC.72D.1

4.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事體.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為

幾何問題加以解決，如：J（x-a>+（y-力2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M（x,y）與點(diǎn)N（a,平的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，

可得y=Jx，+4x+8+Jd-4x+8的最,卜值為（）

A.40B.20C.V2+A/10D.3+75

5.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為

幾何問題加以解決，如：4+（y-bp可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)?6）的距離,貝|J7W+_4x+8的

最小值為（）.

A.3B.2^+1C.273D.VB

6.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事

實(shí)上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，歹I］如，與J(x-a)2+(y-?2相關(guān)的代數(shù)問題,可以

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(X,y)與點(diǎn)(。,與之間的距離的幾何問題.已知點(diǎn)在直線4：y=X+2,點(diǎn)Ng%)在直線

l2-y=x±.,且結(jié)合上述觀點(diǎn)，業(yè)+(%_4)2+J(尤2-5『+%2的最小值為()

A.述B.C.V41-A/2D.5

22

7.已知P(x,y)為拋物線C：V=4x的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則8+4+正-4)2+25的最小值為()

A.473B.734+75C.辰D.歷+2

8.費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三

個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等且均為120。.根據(jù)以上性質(zhì)，.

則尸(x,y)=J(x—2近1+丁+J(J+］一石)？+()；_］+百1+Jx?+(y_2)2的最小值為()

A.4B.2+273C.3+2有D.4+26

9.已矢口實(shí)數(shù)羽丫滿足3x-4y+2=0,那么/+y_4x+6y+13的最小值為()

A.16B.4C.2D.72

10.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為

幾何問題加以解決，如：1口-4+叫-3？可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x,y)與點(diǎn)N(a,b)的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn),

可得/'(%)=Jx2+10x+26+V-x2+6x+13的最小值為()

A.5B.729C.屈D.2+如

專題10直線和圓的方程

題型一：平行^求距離問題e、易錯(cuò)點(diǎn)：使用兩平行線間距離公式忽唔系數(shù)相等致錯(cuò)

題型二:直線截距式的考點(diǎn)又易錯(cuò)點(diǎn)：求有關(guān)截距相等問題時(shí)易忽略截距為零的情況

題型三：求有關(guān)圓的切線問題e、易錯(cuò)點(diǎn)：求有關(guān)圓的切線問題易混淆"在”“過”

題型四：與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題e、易錯(cuò)點(diǎn)：忽喏斜率是否存在

易錯(cuò)點(diǎn)一：使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)相等致錯(cuò)（平行線求距離問

題）

距離問題

技巧總組

①兩點(diǎn)間的距離：已知耳（七，M）,乙（法，＞2）則I耳El=J（%2—可產(chǎn)+（%—%）2

②點(diǎn)到直線的距離:d=甌：現(xiàn)：a

A2+B2

③兩平行線間的距離：兩條平行直線k-.Ax+By+C^Q與4：Ax+無\+。2=。的距離公式

易錯(cuò)提醒：在求兩條平行線間距離時(shí)，先將兩條直線無,y前的系數(shù)統(tǒng)一，然后代入公式求算.

例.已知直線乙：4x-3y+3=0,4:(m+2)x-O+l)y+〃2=0(meR),貝!]()

A.直線4過定點(diǎn)(1,2)B.當(dāng)m=2時(shí)，

C.當(dāng)〃z=T時(shí)，"4D.當(dāng)時(shí)，乙，4之間的距離為g

\x—y+l=0fx=l,

[詳解]由4：7n^+2工_7犯_y+7"=m(了_/+1)+2了_,=0,令1c-,可得1,所以4過定

[2x-y=0[y=2

點(diǎn)(1,2),A對(duì)

〃z=2時(shí)，/2:4x-3y+2=0,而乙：4x-3y+3=0,即///g,B對(duì)

機(jī)=-1時(shí)，Z2:x-l=O,而4：4x-3y+3=。，顯然不垂直，C錯(cuò)

//〃2,則—3（相+2）=—4（加+1）,可得根=2由上知,之間的距離為了主=1

D對(duì).故選：ABD

變式1.曲線y=e2*cos3x在點(diǎn)（0,1）處的切線與其平行直線/的距離為石，則直線/的方程可能為（）

A.y=2x+6B.y=2x-4

C.y=3x+1D.y=3x-4

2x2x2xr

【詳解】V=2ecos3x+e（-3sin3x）=e（2cos3x-3sin3x）,y|x=0=2

所以曲線y=e2、cos3x在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為y-l=2（x-0）,即2x-y+l=0

|Z—11G

設(shè)直線/:2x—y+”。依題意得后不=?,解得r=6或

所以直線/的方程為y=2x+6或y=2x-4故選：AB

22

變式2.已知直線4：y^kx+1,l2：y^mx+2,圓C：（x-1）+（y-2）=6,下列說法正確的是（）

A.若4經(jīng)過圓心C,貝!）左=1

B.直線4與圓C相離

C.若乙〃4,且它們之間的距離為。，則左=±2

D.若％=-1,4與圓C相交于M,N,貝!||肋V|=2

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閳A心C（l,2）在直線、=丘+1上，所以2=%+1,解得％=1,A正確，對(duì)于B,因?yàn)橹本€

l2:y=mx+2恒過點(diǎn)（0,2）,且（0-葉+（2-2丫<6

即點(diǎn)（0,2）在圓C內(nèi)，所以4與圓C相交，B錯(cuò)誤，對(duì)于C,因?yàn)閯t加=左

故依-、+1=0與丘一>+2=0之間的距離=好，所以％=±2,C正確

7F7T5

對(duì)于D,左=-1時(shí)，直線4：y=—尤+1,即x+y-l=0

因?yàn)閳A心C（l,2）到直線x+y-1=0的距離人=7備=拒,所以|"N|=2m^i/=4,D錯(cuò)誤,故選：AC

變式3.已知直線4：4%-3>+4=0,/2：（機(jī)+2）%-（%+1）丁+2加+5=0（m￡R）,則（）

A.直線4過定點(diǎn)(-2,-1)

B.當(dāng)根=1時(shí)，/[-L4

C.當(dāng)〃2=2時(shí)，IJk

D.當(dāng)時(shí)，兩直線4工之間的距離為1

[無-y+2=0[x=-:

【詳解】依題意，直線小。一，+2)根+(2x-y+5)=0,由"<八解得：，

[2x-y+5=0[>=-】

因此直線4恒過定點(diǎn)(-3,-1),A不正確

當(dāng)力=1時(shí)，直線4：3x-2y+7=0,而直線4：4x-3y+4=0,顯然3x4+(-2)x(-3)力。

,即直線4,4不垂直，B不正確

4-34

當(dāng)〃1=2時(shí)，直線(：4x-3y+9=0,而直線乙：4x-3y+4=0,顯然一=一中一,即

4-39

,C正確

當(dāng)////,時(shí)，有竺吆=上工片網(wǎng)土I,解得加=2,即直線。：以-3了+9=0,因此直線4，/2之間的距離

4-34

,|9-4|1

d=#+(-3)2=■D正確故選：CD

1.若直線2元一>一3=0與4x—2y+a=0之間的距離為右，則。的值為()

A.4B.75-6C.4或-16D.8或-16

【答案】C

【分析】將直線2x-y-3=0化為4元-2y-6=0,再根據(jù)兩平行直線的距離公式列出方程，求解即可.

【詳解】將直線2x_y_3=0化為4x_2y_6=0,

則直線2X—。與直線4一i=。之間的距離公匕公|。+61

2有

根據(jù)題意可得：^,即|。+6|=10,解得。=4或。=一16,

所以a的值為a=4或。=-16.

故選：C

2.若兩條直線4：y=2x+m,4：y=2x+〃與圓x2+y2-4x=0的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成正方形，貝()

A.475B.2MC.2A/2D.4

【答案】B

【分析】由直線方程知“4，由題意正方形的邊長(zhǎng)等于直線4、4的距離d，又d=Mr，結(jié)合兩線距離公

式即可求帆-司的值.

【詳解】由題設(shè)知：4〃4,要使A,B,C,。四點(diǎn)且構(gòu)成正方形A8CD,

\rn—n\

?,?正方形的邊長(zhǎng)等于直線4、4的距離d，則1=%」，

22

若圓的半徑為廣，x+y-4x=0f即(、—2)2+y2=4,貝！Jr=2,

由正方形的性質(zhì)知：d=5=20，

?=2&,即有|帆_"=2715.

故選：B.

3.兩條平行直線2x-y+3=0和方-3y+4=0間的距離為"，則〃，"分別為()

A.〃=6,d=B.a=—6,d=

33

C.a=—6,d=D.a=6,d=

33

【答案】D

【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)可得參數(shù)。，再利用平行線間距離公式可得d.

【詳解】由直線2x—y+3=0與直線.—3y+4=0平行，

得2x(—3)—(―l)xa=0,解得〃=6,

所以兩直線分另ij為2尤一y+3=0和6%—3丁+4=0,即6x—3y+9=0和6x—3y+4=0,

所以兩直線間距離d=J望L=坐，

V62+323

故選：D.

4.兩條平行直線3元+4>-12=。與分+8>+11=。之間的距離()

23n23〃7八一

A.—B.—C.—D.7

5102

【答案】c

【分析】首先根據(jù)兩條直線平行求出參數(shù)a的值，然后利用平行線間的距離公式求解即可.

【詳解】由己知兩條直線平行，得2=:，所以。=6,

a8

所以直線3x+4y-12=0可化為6x+8y-24=0,

1-24-1117

則兩平行線間的距離d=匕82=5-

故選：C

5.已知直線/1：x-my=。和/2：x-，"y+2（，”T）=0（機(jī)eR）與圓C都相切，則圓C的面積的最大值是（）

A.2萬B.4%C.8萬D.16萬

【答案】A

【分析】易得44互相平行，故圓c的直徑為44間的距離，再表達(dá)出距離求最大值即可得圓c的直徑最大

值，進(jìn)而得到面積最大值

|2(加一1)|

【詳解】由題，44互相平行，且故圓c的直徑為44間的距離〃=

#+(-m)2

d=2/W2

H故當(dāng)退町即…=一

令.=m一1,則m=/+1,J12+(/+i)2i

2

時(shí)d取得最大值］=2行，此時(shí)圓。的面積為5=2?

故選：A

6.若直線4：x+〃y+6=O與4：（。一2）x+3y+2〃=0平行，貝也與乙間的距離為（）

A.V2B.逑

3

C.73D.更

3

【答案】B

【分析】由兩直線平行的判定有3-。（“一2）=0且2/—18/0求參數(shù)處應(yīng)用平行線距離公式求4與4間的距

離.

【詳解】?.,直線乙：x+ay+6=。與4：（a-2）x+3y+2a=0平行，

2

3—々（。-2）=0且2Q2_18wO,角星得1=一1,，2:-3x+3y-2=0,x-y+—=0.

6二

???直線4與4間的距離d=.3=80.

JF+(-1)2r

故選：B.

7.已知直線4：(3+22)x+(4+X)y+(-2+21)=0(2eR),/2：x+y—2=0,若"4,則4與4間的距離

為（）

A忘

B.72C.2D.2A/2

2

【答案】B

【分析】由直線平行的結(jié)論列方程求力,再由平行直線的距離公式求兩直線的距離.

3+2A4+2—2+2A

【詳解】由得--*----解得4=1,

11-2

所以直線4：5尤+5y=0,即x+y=。,

所以4與4間的距離為1=

故選B.

8.已知直線4：處一3y+6=。，4：4%-3沖+12=0,若〃〃2，則4,4之間的距離為（）

A12岳8屈「9屈心

?--------DR.-----L.-------n\-J?<13

131313

【答案】A

【分析】由加《-3%）-（-3）-4=。，解得加=±2,m=2時(shí)舍去，可得力=-2,再利用平行線之間的距離公式

即可得出.

【詳解】由于兩條直線平行,得“（-3㈤-（-3>4=0,解得加=±2,

當(dāng)〃=2時(shí)，兩直線方程都是2x-3y+6=0故兩直線重合，不符合題意.

當(dāng)m=一2時(shí)，4:2x+3y-6=0,/2:2x+3y+6=0,

|6-(-6)|_12A/12

故兩平行直線的距離為

13

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線平行的充要條件及其距離，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

9.若兩條平行直線4：%-2y+m=0（根>0）與4:2%+利-6=0之間的距離是右,則m+n=

A.0B.1C.-2D.-1

【答案】c

【分析】根據(jù)直線平行得到〃=-4,根據(jù)兩直線的距離公式得到2,得到答案.

1-2

【詳解】由4k，得二=一，解得〃=一4,即直線4：x-2y-3=0,

2n

Im-（-3）1r

兩直線之間的距離為d=2y='5,解得機(jī)=2（加=-8舍去），

所以m+n=—2

故答案選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線平行，兩平行直線之間的距離，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

10.已知直線4：3x+4y+5=O,Z2:6%+8y-15=0,則兩條直線之間的距離為

5?

A.4B.2C.—D.5

2

【答案】C

【分析】利用兩平行直線距離公式即可求得.

【詳解】因?yàn)?2：3彳+分一?=。，則,—[J_5,故選C.

2a——I-——

2

【點(diǎn)睛】本題考查了兩