高考數(shù)學(xué)解答題提高一輪復(fù)習(xí)：概率與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)交匯問(wèn)題（典型題型歸類訓(xùn)練）（學(xué)生版+解析）

專題05概率與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)交匯問(wèn)題(典型題型歸類訓(xùn)練)

題型一：概率與數(shù)列

1.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))遺傳學(xué)在培育作物新品種中有著重要的應(yīng)用.已知某種農(nóng)作物植株有A4,

Aa,三種基因型，根據(jù)遺傳學(xué)定律可知，A4個(gè)體自交產(chǎn)生的子代全部為A4個(gè)體，加個(gè)體自交產(chǎn)生的

子代全部為用個(gè)體，4?個(gè)體自交產(chǎn)生的子代中，A4,Aa,aa,個(gè)體均有，且其數(shù)量比為1：2：1.假設(shè)每

個(gè)植株自交產(chǎn)生的子代數(shù)量相等，且所有個(gè)體均能正常存活.

(1)現(xiàn)取個(gè)數(shù)比為2：4：1的A4,Aa,加植株個(gè)體進(jìn)行自交，從其子代所有植株中任選一株，已知該植株的基

因型為山，求該植株是由加個(gè)體自交得到的概率；

(2)己知基因型為AA的植株具備某種優(yōu)良性狀且能保持該優(yōu)良性狀的穩(wěn)定遺傳，是理想的作物新品種.農(nóng)科

院研究人員為了獲得更多的A4植株用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，將通過(guò)誘變育種獲得的植株進(jìn)行第一次自交，根據(jù)

植株表現(xiàn)型的差異將其子代中的個(gè)體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進(jìn)行第二次自交，再將第二

次自交后代中的⑶個(gè)體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進(jìn)行第三次自交……此類推，不斷地重復(fù)此操

作，從第"次自交產(chǎn)生的子代中任選一植株，該植株的基因型恰為A4的概率記為匕(“22且〃eN*)

①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

②求',并根據(jù)4的值解釋該育種方案的可行性.

2.(2024上?山東威海?高三統(tǒng)考期末)甲、乙、丙3人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個(gè)人得到球后都

等可能地傳給其余2人之一，設(shè)匕，表示經(jīng)過(guò)?次傳遞后球傳到乙手中的概率.

(1)求片，尸2；

(2)證明：｛q是等比數(shù)列，并求匕；

⑶已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且尸(X,=1)=1-P(X,=0)=G，1=1,2,則E(￡xj)=￡%.記前"次

<=1i=\

(即從第1次到第〃次傳球)中球傳到乙手中的次數(shù)為y,求E(y).

3.(2024上?山東淄博?高三統(tǒng)考期末)第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘

揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，增強(qiáng)鍛煉身體意識(shí)，某學(xué)校舉辦一場(chǎng)羽毛球比賽.已知羽毛球比賽的單打規(guī)則是：

若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合

發(fā)球方.現(xiàn)甲、乙二人進(jìn)行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員對(duì)陣的比賽數(shù)據(jù)可知，若甲發(fā)球，

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甲得分的概率為乙得分的概率為二；若乙發(fā)球，乙得分的概率為二，甲得分的概率為二.規(guī)定第1回

合是甲先發(fā)球.

(1)求第3回合由甲發(fā)球的概率；

(2)①設(shè)第，回合是甲發(fā)球的概率為P，，證明：是等比數(shù)列；

②已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且Pg=1)=1-P(X,.=0)=①，i=1,2,…,小則E忖X,]=，.若

1i=l)i=l

第1回合是甲先發(fā)球，求甲、乙連續(xù)進(jìn)行”個(gè)回合比賽后，甲的總得分的期望.

4.(2024上?浙江溫州?高三統(tǒng)考期末)現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1,2,....w的w個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有2

個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再

從2號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，…，依次進(jìn)行到從n-1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入〃號(hào)盒子為止.

⑴當(dāng)〃=2時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；

(2)當(dāng)〃=3時(shí)，求3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)&的分布列；

⑶記n號(hào)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為X,,,求X”的期望E(X“).

題型二：概率與導(dǎo)數(shù)

1.（2024上?湖南常德?高三統(tǒng)考期末）某企業(yè)對(duì)500個(gè)產(chǎn)品逐一進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)"合格”方能出廠.產(chǎn)品檢

驗(yàn)需要進(jìn)行三項(xiàng)工序A、8、C,三項(xiàng)檢驗(yàn)全部通過(guò)則被確定為“合格"，若其中至少2項(xiàng)檢驗(yàn)不通過(guò)的產(chǎn)品

確定為“不合格"，有且只有1項(xiàng)檢驗(yàn)不通過(guò)的產(chǎn)品將其進(jìn)行改良后再檢驗(yàn)A、8兩項(xiàng)工序，如果這兩項(xiàng)全部

通過(guò)則被確定為“合格"，否則確定為"不合格”.每個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)A、B、C三項(xiàng)工序工作相互獨(dú)立，每一項(xiàng)檢

驗(yàn)不通過(guò)的概率均為p.

⑴記某產(chǎn)品被確定為"不合格"的概率為了（P）,求/（；）的值；

（2）若不需要重新檢驗(yàn)的每個(gè)產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為120元，需要重新檢驗(yàn)的每個(gè)產(chǎn)品兩次檢驗(yàn)費(fèi)用為200元.除

檢驗(yàn)費(fèi)用外，其他費(fèi)用為2萬(wàn)元，且這500個(gè)產(chǎn)品全部檢驗(yàn)，該企業(yè)預(yù)算檢驗(yàn)總費(fèi)用（包含檢驗(yàn)費(fèi)用與其

他費(fèi)用）為10萬(wàn)元.試預(yù)測(cè)該企業(yè)檢驗(yàn)總費(fèi)用是否會(huì)超過(guò)預(yù)算？并說(shuō)明理由.

2.（2023?新疆?校聯(lián)考一模）某游戲游玩規(guī)則如下：每次游戲有機(jī)會(huì)獲得5分，10分或20分的積分，且每

次游戲只能獲得一種積分；每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為2p,p,l-3p,，<p<￡|,三次游

戲?yàn)橐惠?，一輪游戲結(jié)束后，計(jì)算本輪游戲總積分.

（1）求某人在一輪游戲中，累計(jì)積分不超過(guò)25分的概率（用含"的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間（40,55）內(nèi)的概率取得最大值時(shí)，求一輪游戲累計(jì)積分的數(shù)學(xué)期望.

3.（2023上?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）有一位老師叫他的學(xué)生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，

期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，他的學(xué)生兩手空空走出麥田，因?yàn)樗恢懊媸欠?/p>

有更好的，所以沒(méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)該學(xué)生在麥田中

一共會(huì)遇到〃顆麥穗（假設(shè)"顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為

了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥糖，現(xiàn)有如下策略：不摘前-IV左<〃）顆麥穗，自第k+1顆開始，

只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過(guò)的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設(shè)％=勿，該學(xué)生摘到那顆最大的

k4-11k幾

麥穗的概率為尸.（取一Z二二一卜7）

nj=kJnk

⑴若〃=4,k=2,求尸；

⑵若幾取無(wú)窮大，從理論的角度，求月的最大值及P取最大值時(shí)看的值.

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023上?廣西柳州?高三柳州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）假設(shè)L市四月的天氣情況有晴天，雨天，陰天三

種，第二天的天氣情況只取決于前一天的天氣情況，與再之前的天氣無(wú)關(guān).若前一天為晴天，則第二天下雨

的概率為了，陰天的概率為了；若前一天為下雨，則第二天晴天的概率為了，陰天的概率為。若前一天為

4448

陰天，則第二天晴天的概率為:，下雨的概率為g;已知L市4月第1天的天氣情況為下雨.

（1）求入市4月第3天的天氣情況為晴天的概率；

（2）記凡為乙市四月第九（“eN+，”430）天的天氣情況為晴天的概率，

（D求出的通項(xiàng)公式；

（"）乙市某花卉種植基地計(jì)劃在四月根據(jù)天氣情況種植向日葵，為了更好地促進(jìn)向日葵種子的發(fā)芽和生長(zhǎng),

要求提前3天對(duì)種子進(jìn)行特殊處理，并盡可能地選擇在晴天種植.如果你是該花卉種植基地的氣象顧問(wèn)，根

據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)你對(duì)該基地的種植計(jì)劃提出建議.

2.（2024上?河北?高三雄縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）在信息論中，嫡（entropy）是接收的每條消息中包

含的信息的平均量，又被稱為信息燧、信源崎、平均自信息量.這里，"消息"代表來(lái)自分布或數(shù)據(jù)流中的事件、

樣本或特征.（嫡最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信源的燧越大）來(lái)自信源

的另一個(gè)特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會(huì)提供更多的信息.

由于一些其他的原因，把信息（嫡）定義為概率分布的對(duì)數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個(gè)事

件的信息量構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)變量，這個(gè)隨機(jī)變量的均值（即期望）就是這個(gè)分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即

崎）.燧的單位通常為比特，但也用Sh、nat、Hart計(jì)量，取決于定義用到對(duì)數(shù)的底.采用概率分布的對(duì)數(shù)作

為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了ISh的信息，而擲機(jī)次就為機(jī)位.更一般地，你

需要用log?”位來(lái)表示一個(gè)可以取〃個(gè)值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的嫡，引入到

信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滴.而正是信息焙的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯?麥克斯韋為了

說(shuō)明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變量&所有取值為1,2,,〃，定義

4的信息焙坦9=一￡4log?4，（￡月=1,.

z=l1=1

⑴若〃=2,試探索J的信息燧關(guān)于《的解析式，并求其最大值；

⑵若［=6=9，Pz=2Pk（k=2,3,,求此時(shí)的信息麻

3.（2023上?江蘇鹽城?高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某公司為激勵(lì)員工，在年會(huì)活動(dòng)中，該公司的"（"23）

位員工通過(guò)摸球游戲抽獎(jiǎng)，其游戲規(guī)則為：每位員工前面都有1個(gè)暗盒，第1個(gè)暗盒里有3個(gè)紅球與1個(gè)

白球.其余暗盒里都恰有2個(gè)紅球與1個(gè)白球，這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個(gè)暗盒里取

出1個(gè)球，并將這個(gè)球放入第2個(gè)暗盒里，第2位員工再?gòu)牡?個(gè)暗盒里面取出1個(gè)球并放入第3個(gè)暗盒

里，依次類推，第n-1位員工再?gòu)牡趎-1個(gè)暗盒里面取出1個(gè)球并放入第"個(gè)暗盒里.第〃位員工從第"個(gè)暗

盒中取出1個(gè)球，游戲結(jié)束.若某員工取出的球?yàn)榧t球，則該員工獲得獎(jiǎng)金1000元，否則該員工獲得獎(jiǎng)金

500元.設(shè)第《14區(qū)小位員工獲得獎(jiǎng)金為X,元.

（1）求X2=1000的概率；

⑵求X,的數(shù)學(xué)期望￡（%,.）,并指出第幾位員工獲得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望最大.

4.（2023上?重慶?高三西南大學(xué)附中?？计谥校┩趵蠋熋刻煸缟?：00準(zhǔn)時(shí)從家里出發(fā)去學(xué)校，他每天只

會(huì)從地鐵與汽車這兩種交通工具之間選擇一個(gè)乘坐.王老師多年積累的數(shù)據(jù)表明，他到達(dá)學(xué)校的時(shí)間在兩種

交通工具下的概率分布如下表所示：

到校時(shí)間7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后

乘地鐵0.10.150.350.20.150.05

乘汽車0.250.30.20.10.10.05

（例如：表格中0.35的含義是如果王老師當(dāng)天乘地鐵去學(xué)校，則他到校時(shí)間在7：35-7：40的概率為0.35.）

⑴某天早上王老師通過(guò)拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學(xué)校，若正面向上則坐地鐵，

反面向上則坐汽車.求他當(dāng)天7：40-7：45到校的概率；

⑵已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校，從第二天開始，若前一天到校時(shí)間早于7：40,則當(dāng)天

他會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校，否則當(dāng)天他將乘坐汽車去學(xué)校.且若他連續(xù)10天乘坐地鐵，則不論他前一天到校的時(shí)

間是否早于7：40,第11天他都將坐汽車到校.記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽車去學(xué)校前坐地

鐵的次數(shù)為X,求E（X）；

⑶已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校.從第二天開始，若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時(shí)間早

于7：40,則當(dāng)天他會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校；若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時(shí)間晚于7：40,則當(dāng)天他會(huì)乘坐

汽車去學(xué)校；若他前一天乘坐汽車去學(xué)校，則不論他前一天到校的時(shí)間是否早于7：40,當(dāng)天他都會(huì)乘坐地

鐵去學(xué)校.記P,、為王老師第?天坐地鐵去學(xué)校的概率，求｛￡｝的通項(xiàng)公式.

5.(2023上,廣東佛山?高三校考階段練習(xí))中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月

中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)為49.8%,反映出中國(guó)制造業(yè)擴(kuò)張步伐有所加快.以新能源汽車、機(jī)器人、

增材制造、醫(yī)療設(shè)備、高鐵、電力裝備、船舶、無(wú)人機(jī)等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，則進(jìn)一步體現(xiàn)了

中國(guó)制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)

分布并把質(zhì)量差在(〃-b,〃+b)內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在(〃+G〃+2b)內(nèi)的產(chǎn)品稱為一

等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取

1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

頻率

麗

0.010

0.005

465666768696質(zhì)量差（單位：mg）

⑴根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差s近似值為10,用樣本平均數(shù)［作為〃的近似值，用

樣本標(biāo)準(zhǔn)差S作為b的估計(jì)值，記質(zhì)量差服從正態(tài)分布xN(〃Q2),求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率尸;

(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N3b2),貝UP(M-。<JW〃+。卜0.6827，尸(〃-2b<JW〃+2b卜0.9545,

P(〃-3cr<"〃+3<7)。0.9973.

(2)假如企業(yè)包裝時(shí)要求把2件優(yōu)等品和〃(?>2,且”eN*)件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱

子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同則該箱產(chǎn)品記為A,否則該箱產(chǎn)品記為5.

①試用含”的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為3的概率。；

②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為5的概率為7?(〃)，求當(dāng)"為何值時(shí)，"0取得最大值.

8.(2024上?廣東廣州?高三華南師大附中校考開學(xué)考試)記數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，且滿足

a\=L2S”-=n12.

⑴求數(shù)列%的通項(xiàng)公式；

]〃

⑵數(shù)列也｝滿足力=7，證明對(duì)任意“eN*,In("+1)+2(〃+])＜4+%+4+…+2WInw+1；

⑶某鐵道線上共有84列列車運(yùn)行，且每次乘坐到任意一列列車的概率相等，設(shè)隨機(jī)變量X為恰好乘坐一次

全部列車所乘坐的次數(shù)，試估算旦到的值(結(jié)果保留整數(shù)).

84

參考數(shù)據(jù)：In2yo.6931,In3^1.0986,ln7?1.9459

9.(2023下?云南昆明?高二統(tǒng)考期末)某研究所研究某一型號(hào)疫苗的有效性，研究人員隨機(jī)選取50只小白

鼠注射疫苗，并將白鼠分成5組，每組10只，觀察每組被感染的白鼠數(shù).現(xiàn)用隨機(jī)變量X,f=1,2,,5)表示

第i組被感染的白鼠數(shù)，并將隨機(jī)變量X,的觀測(cè)值％(，=1,2,-,5)繪制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖.若接種

疫苗后每只白鼠被感染的概率為P(Pe(0,1)),假設(shè)每只白鼠是否被感染是相互獨(dú)立的.記4為事件

"X,=%(z-=l,2,,5)”.

十感染只數(shù)

3-------------------r-1-i-

2一口

1-------|-r-|-|

12345%顛

⑴寫出尸(A)(用。表示，組合數(shù)不必計(jì)算)；

1s19

(2)研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)概率0與參數(shù)。(0＜。＜1)之間的關(guān)系為0=在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，若參數(shù)。=%時(shí)的P

2645

值使得概率P(A4A4A)最大，稱。。是。的最大似然估計(jì)，求4.

10.（2023下?湖南邵陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末）新寧邕山景區(qū)是世界自然遺產(chǎn)、國(guó)家54級(jí)景區(qū)，其中"八角寨"景區(qū)

和“天下第一巷”景區(qū)是新寧度山景區(qū)的兩張名片.為了合理配置旅游資源，現(xiàn)對(duì)已游覽“八角寨"景區(qū)且尚未

游覽"天下第一巷"景區(qū)的游客進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，若不游覽"天下第一巷”景區(qū)記2分，若繼續(xù)游覽"天下第一巷”

景區(qū)記4分，假設(shè)每位游客選擇游覽"天下第一巷”景區(qū)的概率均為：，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立.

⑴從游客中隨機(jī)抽取2人，記總得分為隨機(jī)變量X,求X的數(shù)學(xué)期望；

⑵（i）記A9eN*）表示“從游客中隨機(jī)抽取女人，總分恰為2左分”的概率，求｛"｝的前4項(xiàng)和；

（ii）在對(duì)游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查中，記q,（"eN*）表示"已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分恰為2"分”的概率，探求為與

%5>2）的關(guān)系，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

專題05概率與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)交匯問(wèn)題（典型題型歸類訓(xùn)練）

題型一：概率與數(shù)列

1.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）遺傳學(xué)在培育作物新品種中有著重要的應(yīng)用.已知某種農(nóng)作物植株有A4,

Aa,加三種基因型，根據(jù)遺傳學(xué)定律可知，A4個(gè)體自交產(chǎn)生的子代全部為A4個(gè)體，個(gè)體自交產(chǎn)生的

子代全部為用個(gè)體，4?個(gè)體自交產(chǎn)生的子代中，A4,Aa,aa,個(gè)體均有，且其數(shù)量比為1：2：1.假設(shè)每

個(gè)植株自交產(chǎn)生的子代數(shù)量相等，且所有個(gè)體均能正常存活.

（1）現(xiàn)取個(gè)數(shù)比為241的A4,Aa,加植株個(gè)體進(jìn)行自交，從其子代所有植株中任選一株，已知該植株的基

因型為山，求該植株是由加個(gè)體自交得到的概率；

（2）己知基因型為A4的植株具備某種優(yōu)良性狀且能保持該優(yōu)良性狀的穩(wěn)定遺傳，是理想的作物新品種.農(nóng)科

院研究人員為了獲得更多的A4植株用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，將通過(guò)誘變育種獲得的植株進(jìn)行第一次自交，根據(jù)

植株表現(xiàn)型的差異將其子代中的個(gè)體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進(jìn)行第二次自交，再將第二

次自交后代中的個(gè)體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進(jìn)行第三次自交……此類推，不斷地重復(fù)此操

作，從第"次自交產(chǎn)生的子代中任選一植株，該植株的基因型恰為A4的概率記為匕（“22且〃eN*）

①證明：數(shù)列］三多｝為等比數(shù)列；

②求/，并根據(jù)/的值解釋該育種方案的可行性.

【答案】（嗚

（2）①證明見解析；②證明見解析

【分析】（1）分析遺傳特性，求概率即可.

（2）①找到易求的紇，再利用遞推關(guān)系求解即可.②發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)夠多時(shí)，概率趨近于1即可.

【詳解】（1）由題意得若對(duì)植株進(jìn)行自交，產(chǎn)生A4,Aa,叫的概率比為121,

故在個(gè)數(shù)比為2：4：1的A4,Aa,或?植株個(gè)體進(jìn)行自交時(shí)，

241

其親代A4,Aa,四的概率比為丁三：三，

777

121

而親代崗進(jìn)行自交，產(chǎn)生A4,Aa,姐的概率比為三：三：三，

777

］_

故概率為4；］=；，

-X-+-2

747

（2）①記第"代A4的概率為紇，

子一代進(jìn)行自交時(shí)=

子二代進(jìn)行自交時(shí)為=71乂17+173=/

22Zo

QK_1o_1

故可遞推出紇=冒，易得《=匚/=否工，

而令S.=詈g=2"，而S"M=2"M,則有姿=2，

一M3〃

故數(shù)列為等比數(shù)列得證.

②由上問(wèn)知6。=黑二=電空，且當(dāng)〃—時(shí)，e-1,故該方案可行.

2.（2024上?山東威海?高三統(tǒng)考期末）甲、乙、丙3人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個(gè)人得到球后都

等可能地傳給其余2人之一，設(shè)Pn表示經(jīng)過(guò)?次傳遞后球傳到乙手中的概率.

（1）求片，尸2；

（2）證明：⑶-白是等比數(shù)列，并求匕；

⑶已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且尸（Xj=l）=l_p（X,=0）=%,1=1,2,,〃，則E（￡x,）=￡a.記前"次

1=1i=l

（即從第1次到第〃次傳球）中球傳到乙手中的次數(shù)為y,求E（y）.

11

【答案】（1）4=5,6=1

⑵證明見解析，p“

【分析】（1）分析已知計(jì)算即可得出結(jié)果；

（2）記4表示事件"經(jīng)過(guò)〃次傳遞后球傳到乙手中”，若4+1發(fā)生，則4一定不發(fā)生，貝|「與+1=（1-《）1,

變形可得即數(shù)列[匕是以，為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通

35J[3J62

項(xiàng)公式求解即可；

（3）結(jié)合第（2）問(wèn)結(jié)論和題設(shè)條件，運(yùn)用等比數(shù)列求和公式分組求和即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)锳表示經(jīng)過(guò)"次傳遞后球傳到乙手中的概率，

所以，第一次傳到乙手中的概率為：4=；,

第二次傳到乙手中的概率為：=

（2）記4表示事件"經(jīng)過(guò)n次傳遞后球傳到乙手中”,

若發(fā)生，則4一定不發(fā)生，

所以治=（1-用],即&=一卜,+：,

即又《十%

所以數(shù)列[工-!]是以，為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)歹U,

IJj62

所以只十O’即匕中總4-

（3）由題意，i次傳球后球在乙手中的次數(shù)匕，工服從兩點(diǎn)分布，且尸（X=1）=1-P（X=O）=￡,所以

住“=?”QN*.

E(Y)=E

i-1

由(2)可知，+-,

'2}3

n

+—

3

3.（2024上?山東淄博?高三統(tǒng)考期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘

揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，增強(qiáng)鍛煉身體意識(shí)，某學(xué)校舉辦一場(chǎng)羽毛球比賽.已知羽毛球比賽的單打規(guī)則是：

若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合

發(fā)球方.現(xiàn)甲、乙二人進(jìn)行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員對(duì)陣的比賽數(shù)據(jù)可知，若甲發(fā)球，

3241

甲得分的概率為g,乙得分的概率為二；若乙發(fā)球，乙得分的概率為二，甲得分的概率為規(guī)定第1回

合是甲先發(fā)球.

⑴求第3回合由甲發(fā)球的概率；

⑵①設(shè)第，回合是甲發(fā)球的概率為P，，證明：是等比數(shù)列；

②己知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且P（X,=1）=1—P（X：=0）=①，i=1,2,，則小才X）=，.若

\i=lJi=l

第1回合是甲先發(fā)球，求甲、乙連續(xù)進(jìn)行“個(gè)回合比賽后，甲的總得分的期望.

【答案】（唬

⑵①證明見解析；②;+[1-[g]

【分析】（1）通過(guò)設(shè)出事件，結(jié)合事件獨(dú)立的概率乘法公式計(jì)算即可;

31

(2)①通過(guò)題意得到0=初7+點(diǎn)1-0-)，進(jìn)而構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行證明即可;

②根據(jù)題意得到記第i回合甲得分為X，，顯然X,服從兩點(diǎn)分布，結(jié)合題目中的期望公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)設(shè)"第3回合由甲發(fā)球"為事件A,

…332111

貝ljP（A）=_x_+_x_=——，

''555525

所以第3回合由甲發(fā)球的概率為￡

(2)①第也整2)回合是甲發(fā)球分兩種情況：

第一種情況為第回合是甲發(fā)球且甲得分，

第二種情況為第回合是乙發(fā)球且甲得分，

31

貝1JPt=~Pi-x+-(1-Pi-1)，

2112，

即Pt=~Pi+-，所以Pi-4:三Pji—鼻，，N2,

\1?1

又因?yàn)镽-g=l-§=所以P,「§力。，

所以——\=-,i>2,

Pi-i

即是首項(xiàng)為g,公比為|的等比數(shù)列

②因?yàn)?是首項(xiàng)為g，公比為|■的等比數(shù)列，

同、112/2丫t2(2V11

所以。廠§=，即Bn仁J+§，

記第i回合甲得分為X,,顯然X,服從兩點(diǎn)分布，

且事件X,=1等價(jià)于第7+1回合是甲發(fā)球，故P(X,=1)=pM,

又因?yàn)榍蠹?、乙連續(xù)進(jìn)行w個(gè)回合比賽后，甲的得分為x=x+x?++X”,

所以E（X）=E[4xj=|>m=4

nn4

+—=—+—1

339

n4

故甲的總得分的期望為

31

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列與概率的綜合問(wèn)題.關(guān)鍵點(diǎn)在于通過(guò)閱讀題目得到p,=|p,-i+-(I-A-1)

這一遞推式，進(jìn)而構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行求解.本題考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、計(jì)算能力和閱讀與分析能力，屬于中

檔題.

4.(2024上?浙江溫州?高三統(tǒng)考期末)現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1,2,〃的〃個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有2

個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再

從2號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，…，依次進(jìn)行到從n-1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入〃號(hào)盒子為止.

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；

(2)當(dāng)〃=3時(shí)，求3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)自的分布列；

⑶記〃號(hào)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為X,,求X”的期望磯X“).

7

【答案】⑴石

⑵分布列見解析

⑶磯X")=2

【分析】(1)由古典概率模型進(jìn)行求解；

(2)J可取1,2,3,求出對(duì)應(yīng)的概率，再列出分布列即可；

⑶記為第〃("22)號(hào)盒子有三個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率，則/=1,

O

2

或T為第22)號(hào)盒子有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的概率，則可=],

則第”("22)號(hào)盒子有一個(gè)紅球和三個(gè)白球的概率為1-。恒-%,且

bn-X='履2+；。"-2+：(1-?！耙?-履2)(〃23),化解得或-=4履2+[即可求解.

522o2

C1C12

【詳解】(1)由題可知2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率為尸=言=3；

^-4°

(2)由題可知自可取1,2,3,

「2「2「21-J

c[cf-cfcf-36

C2

P（43）幸

J

尸g=2）=1-尸（4=1）一尸K=3）=4

lo

所以3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)月的分布列為

4123

7117

P

361836

(3)記為第號(hào)盒子有三個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率，則％=：,

6

o11

或T為第〃(〃22)號(hào)盒子有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的概率，則4=丁，b2=—,

3io

則第”("22)號(hào)盒子有一個(gè)紅球和三個(gè)白球的概率為1--2一，

211

且這一1=§么-2+。〃—2+萬(wàn)(1-an-2~4-2)(〃23),

化解得%=白.一2+)

62

得%一|=。*一I]，偽一》

而4-±=貝U數(shù)歹為等比數(shù)歹力首項(xiàng)為4一3=二，公比為。，

56V5JI5J5156

n—1

1

所以a=2

51516

又由%=]??-2求得：

62"55(6_J

因此E(X“)=lx%_]+2X〃T+3x(1—a,-—2_])=3—2q=2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：記為第〃(〃上2)號(hào)盒子有三個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率，則q=：,2T為第”(心2)

6

o11

號(hào)盒子有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的概率，則4=丁，b2=—,則第〃(“22)號(hào)盒子有一個(gè)紅球和三個(gè)白球的概

318

711

率為1一%--膜1，且6,7=]限2+54,2+5。一%一2-履2)(〃^3),即可求解.

題型二：概率與導(dǎo)數(shù)

1.(2024上?湖南常德?高三統(tǒng)考期末)某企業(yè)對(duì)500個(gè)產(chǎn)品逐一進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)"合格”方能出廠.產(chǎn)品檢

驗(yàn)需要進(jìn)行三項(xiàng)工序A、8、C,三項(xiàng)檢驗(yàn)全部通過(guò)則被確定為“合格"，若其中至少2項(xiàng)檢驗(yàn)不通過(guò)的產(chǎn)品

確定為“不合格"，有且只有1項(xiàng)檢驗(yàn)不通過(guò)的產(chǎn)品將其進(jìn)行改良后再檢驗(yàn)A、8兩項(xiàng)工序，如果這兩項(xiàng)全部

通過(guò)則被確定為“合格"，否則確定為"不合格".每個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)A、B、C三項(xiàng)工序工作相互獨(dú)立，每一項(xiàng)檢

驗(yàn)不通過(guò)的概率均為p(0<P<1).

⑴記某產(chǎn)品被確定為"不合格"的概率為/(P),求/(：)的值；

(2)若不需要重新檢驗(yàn)的每個(gè)產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為120元，需要重新檢驗(yàn)的每個(gè)產(chǎn)品兩次檢驗(yàn)費(fèi)用為200元.除

檢驗(yàn)費(fèi)用外，其他費(fèi)用為2萬(wàn)元，且這500個(gè)產(chǎn)品全部檢驗(yàn)，該企業(yè)預(yù)算檢驗(yàn)總費(fèi)用(包含檢驗(yàn)費(fèi)用與其

他費(fèi)用)為10萬(wàn)元.試預(yù)測(cè)該企業(yè)檢驗(yàn)總費(fèi)用是否會(huì)超過(guò)預(yù)算？并說(shuō)明理由.

【答案】⑴/(]1)=￡25

⑵預(yù)測(cè)不會(huì)超過(guò)預(yù)算，理由見解析.

【分析】(1)利用互斥事件的概率加法計(jì)算公式及獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

(2)根據(jù)給定條件，求出每個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望表達(dá)式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)

性求最值即可.

【詳解】(1)依題意，每個(gè)產(chǎn)品首次檢驗(yàn)被確定為"不合格〃的概率為C；p2(l-p)+C；p3,

首次檢驗(yàn)有且只有1項(xiàng)檢驗(yàn)不通過(guò)的產(chǎn)品再次檢驗(yàn)被確定為"不合格"的概率為C；p(l-p)2[l-(l-p)2],

因此f(P)=C；p2(l-p)+C?3+c；p(l-p)2[l-(l-p)2]=-3p5+12/-17^+9^,

I95

所以=ff.

(2)設(shè)每個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)的費(fèi)用為X元，則X的可能取值為120,200,

依題意，尸(X=2OO)=C；0(l—p)2,尸(X=120)=l-C；p(l-p)2,

則E(X)=200C；p(l-pl+120[l-C；p(l-]=120+240p(l-p)2,pe(0,1),

令函數(shù)g(x)=120+240Ml-x)2,xe(0,l),求導(dǎo)得g'(x)=240(3x—,

當(dāng)0<x<g時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)g<x<l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

因此g(x)4gg)=T，即E(X)4等,

則該企業(yè)檢驗(yàn)總費(fèi)用的期望最大值為2+500x粵/10-4=年<10(萬(wàn)元)，

所以預(yù)測(cè)不會(huì)超過(guò)預(yù)算.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，

相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.

2.(2023,新疆?校聯(lián)考一模)某游戲游玩規(guī)則如下：每次游戲有機(jī)會(huì)獲得5分，10分或20分的積分，且每

次游戲只能獲得一種積分；每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為2p,p,l-3p[o<p<￡|,三次游

戲?yàn)橐惠?，一輪游戲結(jié)束后，計(jì)算本輪游戲總積分.

(1)求某人在一輪游戲中，累計(jì)積分不超過(guò)25分的概率(用含。的代數(shù)式表示)；

⑵當(dāng)某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間(40,55)內(nèi)的概率取得最大值時(shí)，求一輪游戲累計(jì)積分的數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴26P3

,140

⑵§

【分析】（1）分析某人在一輪游戲中，累計(jì)積分不超過(guò)25分的情況，利用獨(dú)立事件與互斥事件的概率公

式，結(jié)合組合的思想即可得解.

（2）依題意得到累計(jì)積分在區(qū)間（40,55）內(nèi)的概率，構(gòu)造函數(shù)/（。）=9（9/-6。2+。），利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)

P=g時(shí)滿足題意，進(jìn)而得到X的所有可能取值，求得對(duì)應(yīng)的概率，從而得解.

【詳解】（1）某人在一輪游戲中，累計(jì)積分不超過(guò)25分的情況為：

①三次游戲都獲得5分；②兩次游戲獲得5分，一次游戲獲得10分；③一次游戲獲得5分，兩次游戲獲

得10分；

所以其概率為：（20y+C；x（2p）2xp+C；x2pxp2=26p3.

（2）依題意，記一輪游戲累計(jì)積分為X,

而某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間（40,55）內(nèi)的情況有45分和50分兩種情況，

貝i」p（X=45）=C；x2px（l-3p）2,尸（X=50）=C；xpx（l-3p）2,

記某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間（40,55）內(nèi)的概率為/（p）,

貝廳（。）=《*3。*（1-3。）2=9（9加一602+。），0＜p＜1,

則廣（P）=9（27p2_i2p+l）=9（3p_l）（9p_l）,

令得。＜p＜）令f'（p）＜。，得

所以“P）在［。，J上單調(diào)遞增，在［，［上單調(diào)減；

所以當(dāng)p=：時(shí)，/（P）取得最大值；

9

212

此時(shí)每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為

由題意可知X的所有可能取值為15,20,25,30,35,40,45,50,60,

P(X=20)=C；x(Z]x2=士,

'73(9)9243

p(X=30)=C；x

唳=4。)=《><4?

7黑()；4

p(X=45)=C；x§xPX=50=Cxgx

27

2

p(X=60)=IW

則X的數(shù)學(xué)期望為

84273Q2R48

15x—+20x——+25x—+30x—+35x—+40x—+45x—+50x—+60x—

7292432437298181272727

140

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的難點(diǎn)是分析得各個(gè)累計(jì)積分時(shí)的概率，從而得解.

3.（2023上?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）有一位老師叫他的學(xué)生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，

期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，他的學(xué)生兩手空空走出麥田，因?yàn)樗恢懊媸欠?/p>

有更好的，所以沒(méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)該學(xué)生在麥田中

一共會(huì)遇到幾顆麥穗（假設(shè)〃顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為

了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥穗，現(xiàn)有如下策略：不摘前-IV左<〃）顆麥穗，自第％+1顆開始，

只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過(guò)的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設(shè)左=例，該學(xué)生摘到那顆最大的

k]k幾

麥穗的概率為p.（取一Z二=一此7）

〃j=kJnk

（1）若〃=4,k=2,求尸；

⑵若及取無(wú)窮大，從理論的角度，求尸的最大值及尸取最大值時(shí)看的值.

【答案】⑴1

⑵尸的最大值為工，此時(shí)f的值為

ee

【分析】（1）由題意可知，要摘到那顆最大的麥穗，有兩種情況，最大的麥穗是第3顆和最大的麥穗是最

后1顆，分情況分析兩種情況的可能性，結(jié)合古典概型即可求出結(jié)果；

（2）記事件A表示最大的麥穗被摘到，根據(jù)條件概率和全概率公式求出尸（A）,再利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.

【詳解】（1）這4顆麥穗的位置從第1顆到第4顆排序，有A：=24種情況.

要摘到那顆最大的麥穗，有以下兩種情況：

①最大的麥穗是第3顆，其他的麥穗隨意在哪個(gè)位置，有A：=6種情況.

②最大的麥穗是最后1顆，第二大的麥穗是第1顆或第2顆，其他的麥穗隨意在哪個(gè)位置，有2A；=4種情

況.

故所求概率為等=3.

（2）記事件A表示最大的麥穗被摘到，事件約表示最大的麥穗在麥穗中排在第/顆.

因?yàn)樽畲蟮哪穷w麥穗出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，所以尸（功）=：

以給定所在位置的序號(hào)作為條件，P（A）=Jp（A|Bz.）P（B.）=l^P（A|B.）.

>1nj=l

當(dāng)1W/W上時(shí)，最大的麥穗在前上顆麥穗之中，不會(huì)被摘到，此時(shí)尸(A[%)=0.

當(dāng)上+1W/W”時(shí)，最大的麥穗被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前顆麥穗中的最大的一顆在前上顆麥穗中時(shí),

此時(shí)P⑷鳥)=1丁

由全概率公式知尸(A)=—1￡?—k—=-”￡g-1=-kln-n.

〃六女+iJ-lnj=kJnk

令函數(shù)g(x)=2ln"(x>0),(gCx)=-ln---.

nxnxn

令g[x)=O,則x=，，

e

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,當(dāng)時(shí);g'(x)<0,

所以g(x)在[o,[上單調(diào)遞增，在B，f上單調(diào)遞減.

所以gOOmax=gH]=]

所以當(dāng)G=C,aA)=AIn/時(shí)取得最大值，最大值為工，止匕時(shí)r=L,

enkee

即產(chǎn)的最大值為此時(shí)t的值為J.

ee

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

1.(2023上?廣西柳州?高三柳州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))假設(shè)L市四月的天氣情況有晴天，雨天，陰天三

種，第二天的天氣情況只取決于前一天的天氣情況，與再之前的天氣無(wú)關(guān).若前一天為晴天，則第二天下雨

的概率為了，陰天的概率為了；若前一天為下雨，則第二天晴天的概率為了，陰天的概率為白若前一天為

4448

陰天，則第二天晴天的概率為;，下雨的概率為:；已知心市4月第1天的天氣情況為下雨.

(1)求心市4月第3天的天氣情況為晴天的概率；

⑵記凡為入市四月第九(〃eN+，”430)天的天氣情況為晴天的概率，

(i)求出的通項(xiàng)公式；

(ii)乙市某花卉種植基地計(jì)劃在四月根據(jù)天氣情況種植向日葵，為了更好地促進(jìn)向日葵種子的發(fā)芽和生長(zhǎng),

要求提前3天對(duì)種子進(jìn)行特殊處理，并盡可能地選擇在晴天種植.如果你是該花卉種植基地的氣象顧問(wèn)，根

據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)你對(duì)該基地的種植計(jì)劃提出建議.

【答案】⑴凸

10

(2)(i)+1,MGN+,n<30;(ii)建議在四月第27天對(duì)種子進(jìn)行特殊處理

【分析】(1)由題意可確定前一天天氣為晴，第二天為晴或宇或陰的概率以及前一天天氣為雨，第二天為

晴或雨或陰的概率以及前一天天氣為陰，第二天為晴或雨或陰的概率，由此根據(jù)第一天的天氣情況，即可

求出第二天每種情況的概率，即可求出第3天晴天的概率；

(2)(i)記分別為入市四月第〃(〃eN+，〃W30)天的天氣情況為晴天，雨天，陰天的概率，依題意

可求出遞推關(guān)系式為=：%_2,構(gòu)造等比數(shù)列，即可求得?！钡耐?xiàng)公式；

(ii)結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，可確定四月份天氣為晴的最大概率是第幾天嗎，由此可提出合理建議.

【詳解】(1)依題意，可列舉如下概率：前一天晴，第二天為晴!，雨:，陰

244

前一天為雨，第二天為晴I1,3雨(，陰3前一天為陰，第二天為晴I1,雨了1陰不5，

記4也,％分別為乙市四月第〃(〃eN+，〃V30)天的天氣情況為晴天，雨天，陰天的概率，則

111,1,311,35

=a,——\-7b,G?一劣--G?一，

----F,a=11-/?.——FQ=?----F/?.——Fc——,

2121414241813