高考數(shù)學專項復習：導數(shù)的運算及幾何意義（3種?？碱}型歸類）解析版

專題03導數(shù)的運算及幾何意義3種?？碱}型歸類

平均變化率和瞬時變化率

1.（22-23高二下?北京海淀?期末）下列四個函數(shù)中，在區(qū)間［0,1］上的平均變化率最大的為（）

A.y=xB.y=eA

C.y=siwcD.y=—^—

x+1

【答案】B

【分析】

根據(jù)平均變化率的計算即可比較大小求解.

【詳解】對于A,y=x在［0』上的平均變化率為梏=1,

對于B,y=e”在［0,1］上的平均變化率為蕓=e-1,

對于c,y=Sinx在［0,1］上的平均變化率為平式2=sin1,

1—（J

1「■,Jl―1

對于D,y=—1在［0』上的平均變化率為2二1，

X+11-0-2

由于e-1>l>sinl>-1,故y=e，在［0,1］上的平均變化率最大，

故選：B

2.（21-22高二下?北京西城?期末）函數(shù)了（力=!在工=2處的瞬時變化率為（）

X

A.—2B.—4C.—!D.——

24

【答案】D

【分析】對函數(shù)求導，將x=2代入導函數(shù)求值即可得瞬時變化率.

【詳解】由題設r（x）=-］,故（（2）=-}

故選：D

3.（21-22高二下?北京房山.期末）已知函數(shù)〃無）=2x+l,則1由“2+尸）一八2）的值為（）

-Ax

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】直接利用導數(shù)的定義求解即可.

［詳解］由題意lira〃2+AX）-〃2）=HM［」（2+3+1］-§=?,

Ax——。Ax

故選：A.

4.（21-22高二下?北京豐臺?期末）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于

水面的高度場（單位：m）與起跳后的時間f（單位：s）存在函數(shù)關系力⑺=-4.9/+4.8f+ll.該運動

員在/=ls時的瞬時速度（單位：m/s）為（）

A.10.9B.-10.9C.5D.-5

【答案】D

【分析】先對函數(shù)求導，然后把f=l代入即可求解.

【詳解】解：因為以。=一4.9產(chǎn)+43+11,

所以為0）=-9&+4.8,

令t=l,得瞬時速度為-5.

故選：D.

5.（22-23高二下?北京房山?期末）已知函數(shù)〃x）=Vr+2,則lim“T十.）-"T=.

【答案】2

【分析】根據(jù)導數(shù)的定義和導數(shù)的運算公式求解.

【詳解】因為/(x)=/—x+2,所以廣(x)=3--1,則/(一1)=2,

所以1加止3二止D

=〃T)=2,

—Ax

故答案為：2.

InY

6.（21-22局二下?北京豐臺?期末）函數(shù)/（*）=——在x=l處的瞬時變化率為.

x

【答案】1

【分析】先對函數(shù)求導，再利用導數(shù)的意義將X=1代入導函數(shù)中可求得結果

【詳解】因為函數(shù)/⑴的圖象上各點的瞬時變化率為?。?，八擊千

所以函數(shù)/（*）=史在尤=1處的瞬時變化率為

X

故答案為：1

[題型02]導數(shù)及其幾何意義

7.（22-23高二下?北京?期末）已知曲線y=〃x）在（5,〃5））處的切線方程是丁=-尤+5,則〃5）與

尸⑸分別為（）

A.5,-1B.-1,5C.-1,0D.0,-1

【答案】D

【分析】利用導數(shù)的幾何意義得到f（5）等于直線的斜率-1,由切點橫坐標為5,

得到縱坐標即f（5）.

【詳解】由題意得f（5）=-5+5=0,f（5）=-1.

故選D.

8.（22-23高二下?北京懷柔?期末）函數(shù)/（%）=%+［在％=2處的切線斜率為（）

35

A.—3B.—C.—D.5

44

【答案】B

【分析】利用導數(shù)的幾何意義可求得所求切線的斜率.

iii3

【詳解】因為了（%）=尤+；,貝u-（x）=i-*,所以，r（2）=i--=^.

13

因此，函數(shù)"x）=x+q在x=2處的切線斜率為1.

故選：B.

9.（21-22高二下?北京順義?期末）已知函數(shù)y=/（x）的部分圖象如圖所示，其中

4（4/（再））,5（科/（%）），。（￡，/（尤3））為圖上三個不同的點，則下列結論正確的是（）

A./'（再）＞/'（蒼）＞/'（演）B./'（鼻）＞/'（電）＞/'（%）

C.廣㈤＞/㈤"㈤D.-（%）＞，（￡）＞/缶）

【答案】B

【分析】結合函數(shù)圖形及導數(shù)的幾何意義判斷即可；

【詳解】解：由圖可知函數(shù)在A點的切線斜率小于0,即（包）＜0,

在。點的切線斜率等于0,即/（*2）=0，

在C點的切線斜率大于0,即/（毛）＞0,

所以廣（電）＞/'伍）＞廣（國）；

故選：B

10.（22-23高二下.北京東城?期末）如圖，曲線y=〃x）在點（2,2）處的切線為直線/,直線/經(jīng)過

原點0,則/（2）+/（2）=（）

MV

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)導數(shù)的意義及直線的斜率公式求解即可.

【詳解】由題意，"2)=2,且廣⑵=~=1,

所以r(2)+〃2)=l+2=3.

故選：C.

11.(21-22高二下?北京通州?期末)已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)的圖象在點(L/⑴)處的切線方

程為x-y-5=0,則/'⑴等于()

A.-5B.-4C.-1D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得解.

【詳解】由函數(shù)y=/(尤)的圖象在點(L/⑴)處的切線方程為尤->-5=0知，

%=1=1⑴，

故選：D

12.(21-22高二下?北京西城?期末)若曲線>=朧"+"在>2處的切線方程為y=(e-l)x+4,則

"=一；b=_.

【答案】2e

【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得了匕2=(1-2)e"-2+b=e-l,且2仁-1)+4=2產(chǎn)2+勸，解

得即可.

【詳解】解：因為y=xe"T+bx,所以y'=(l—x)e-+6,

又函數(shù)x=2處的切線方程為y=(e-l)x+4,

所以y'L=2=。-2-+b=e-l,且2(e-l)+4=2ea-2+2b,

解得b=e,a=2；

故答案為：2；e.

導數(shù)的運算

13.(21-22高二下?北京順義?期末)設函數(shù)/(x)=則(⑴=()

X+1

A.0B.—C.1D.一

44

【答案】B

【分析】求出導函數(shù)，直接代入求解.

【詳解】因為函數(shù)/。)=」二，所以((無)=一廠、，所以八1)=-"

故選：B

14.(22-23高二下?北京西城?期末)設函數(shù)f(x)=sinx,則r(兀)=()

A.1B.-1C.0D.Ji

【答案】B

【分析】求出析(%)后可求。(兀).

【詳解】/'(x)=COSX,故/(7I)=COS7I=-1,

故選：B.

15.(22-23高二下?北京大興?期末)設〃x)=(x+l)2,則(⑴=()

A.2B.4

C.6D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)復合函數(shù)求導法則即可得到答案.

【詳解】尸(x)=2(x+l)xl=2x+2,貝4/⑴=4,

故選：B.

16.(22-23高二下?北京通州?期末)已知函數(shù)〃x)=eT,則的導函數(shù)/(%)=()

A.—eB.—eC.eD.e

【答案】A

【分析】根據(jù)復合函數(shù)求導即可得到答案.

【詳解】根據(jù)復合函數(shù)求導得尸(左)=一片"

故選：A.

17.(22-23高二下?北京海淀?期末)已知函數(shù)〃x)=asinx,則的值為()

22

A.0B.兀C.—D.

44

【答案】B

【分析】由基本函數(shù)的求導公式以及求導法則求導，即可代入求值.

【詳解】/*(X)=2%-sinx+x2cosx,所以兀，

故選：B

18.(22-23高二下?北京房山?期末)函數(shù)/(彳)=2工+1在［-1,2］上的平均變化率是()

【答案】C

【分析】根據(jù)平均變化率概念直接計算即可.

/⑵-/㈠)22+1-2-'-17

【詳解】由題意得平均變化率為

2-(-1)36

故選：C.

19.(22-23高二下?北京西城?期末)記函數(shù)的導函數(shù)為g(x),則g(x)()

A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)

【答案】B

【分析】由題可得g(x),后由奇偶函數(shù)定義可得答案.

【詳解】g(x)=/卜)=一4，則其定義域為(f,0)U(0,+8),

又注意到g(x)=g(-x),則g(x)是偶函數(shù).

故選：B

20.(22-23高二下?北京懷柔?期末)已知函數(shù)/a)=sinx+cosxj'(x)為的導函數(shù)，則()

A./f(x)=sinx+cosxB./'(x)=sinx—cosx

C./r(x)=-sinx+cosxD.f(x)=-sinx-cosx

【答案】C

【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則以及基本初等函數(shù)的求導公式，即可得答案.

【詳解】由=sinx+cosx可得，/'（x）=cosx-sinx,

故選：C

21.（22-23高二下?北京順義?期末）下列給出四個求導的運算：①（尤-1）②

IX）X

（ln（2x-l））'=7工；③儼門'=2泥，；@（log24=-^7.其中運算結果正確的個數(shù)是（）

2x—1、）xln2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由導數(shù)的運算法則以及復合函數(shù)的求導運算，即可得到結果.

【詳解】①故正確；

Vx）xx

1

②（ln（2x-l））=2x=n~~.＞故正確；

2.X-12.X-1

③（x%"）'=2xex+x2ex，故錯誤；

@（log2x/=—,故正確；

xln2

故選：C

22.（22-23高二下.北京密云.期末）已知函數(shù)〃尤）=尸（x）是〃x）的導函數(shù)，則下列結論

正確的是（）

A.VxeR,f（-x）=/（x）B.VxeR,尸（x）＜0

c.若0＜X]＜X2，則玉玉）D.若。＜玉＜々，則/（玉）+/（%）＜/（玉+々）

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性概念判斷A,根據(jù)導函數(shù)的符號判斷B,利用函數(shù)的單調性結合不等式

的性質即可判斷C,利用特例法排除選項D.

【詳解】對于A,函數(shù)定義域為R,/（-》）=與二1=二=-4匚，所以八-尤）=-/（尤），錯誤；

2-x+l1+2%2'+1

。龍一19?x?In?

對于B,因為〃x)=『=l一―，所以廣。)=：；,由ln2>0知1(x)>0,錯誤;

Z+1Z+1十U

對于C,因為VxeR,((尤)>0,所以〃X)在(f,M)上遞增，

x>0時，/(%)>/(0)=0,故對0<%<%,0</(&)</(%)，

由不等式的性質可得。(風"%)<&/(9),正確;

2-1122-1332-14

對于D,7(1)=^-^=-/(2)=/(3)=^—

22+1532+15

取玉=1,9=2,則占+3=3,/(x1)+/(x2)=^|,/(x1+x2)=|,

此時，/(^)+/(x,)>/(^+x2),錯誤.

故選：C

23.(21-22高二下?北京豐臺?期末)已知函數(shù)/(x)=cosx,則r(J)=()

A.昱B.-且C.1D.--

2222

【答案】D

【分析】直接求導可得.

TT7T1

【詳解】因為/'(x)=-sinx,所以/(，=_5皿7=-彳

662

故選：D

24.(21-22高二下?北京西城.期末)已知函數(shù)/(x)=sinx+cosx,/⑴為〃%)的導函數(shù)，貝！J()

A.f(^)+fr(x)=2sinxB./(^)+/z(x)=2cosx

C./(x)-/r(x)=-2sinxD./(x)-/'(x)=-2cosx

【答案】B

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式結合導數(shù)的加法運算法則即可得出答案.

【詳解】解：因為/(尤)=sinx+cos九,

所以r(x)=cosx—sinx,

所以/(x)+/'(x)=2cosx,/(%)-尸(x)=2sin光.

故選：B.

25.(21-22高二下?北京大興.期末)函數(shù)〃x)=?在x=l處的導數(shù)廣⑴等于()

A.—B.--C.1D.2

22

【答案】B

【分析】對〃x)求導，將1代入川(x)求值即可.

【詳解】由:(“=擊，故廣(1)=(

故選：B

26.(21-22高二下?北京昌平.期末)已知函數(shù)/(x)=ln2x,其導函數(shù)為/'(x),則-(e)=

【答案】-

e

【分析】利用導數(shù)求得正確答案.

【詳解】/'(x)=2x：l=l,/1(e)=-.

2xxe

故答案為：—

e

27.(22-23高二下?北京懷柔?期末)設函數(shù)/(司=7，貝ij廣⑴=.

【答案】0

【分析】由導數(shù)的求導法則求解導數(shù)，即可代入求解.

【詳解】尸(同=子,所以廣⑴=0，

故答案為：。

28.(22-23高二下?北京房山?期末)函數(shù)/(x)=ln(l—x)+6—l,若/'(-2)=-2,則”

52

【答案】--/-I—

【分析】求出函數(shù)"X)的導數(shù)，再由給定導數(shù)值求出〃值作答.

【詳解】函數(shù)解x)=ln(l—力+依一1,求導得八尤)=三+。，而尸(—2)=2

即廣(一2)=-:+〃=一2,解得八一;，

所以

故答案為：-g

29.(21-22高二下.北京.期末)已知函數(shù)〃x)=ln(l—x),則/'(%)=.

【答案】上

x-1

【解析】利用復合函數(shù)的求導法則可求得((無).

【詳解】f(x)=ln(l-x),因此，尸(X)=，(1)’=1.

故答案為：.

x-1

30.(22-23高二下?北京房山?期末)〃x)=sinx,則/(。)=.

【答案】1

【分析】先求導，再代入計算即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=sin無，則尸(x)=cosx,則，'(0)=cos0=l,

故答案為：1

31.(21-22高二下.北京通州?期末)若函數(shù)/⑺在(0,+8)上可導，且滿足F(x)-9'(x)>。，則3/⑴

/(3).(填“>”或“=”或“<”)

【答案】>

【分析】構造函數(shù)8(尤)=/詈，利用導數(shù)法結合/(尤)-9'。)>0判斷其單調性，再利用單調性判

斷.

【詳解】令g(x)=△乃，

X

因為f(x)在(0,+oo)上可導，且滿足/(x)-4(x)>0,

所以/(司=才。)了。)<0,

X

所以g(x)在(0，+功上遞減，

所以g⑴〉g(3),即?！堤?，

所以3/(1)>/(3).

故答案為：>

優(yōu)選提升題

32.(22-23高二下?北京大興?期末)己知函數(shù)/(x)=lnx,且/(尤)在x=x0處的瞬時變化率為L

e

①與=;

f(x),O<x<a

②令g(x)=a，若函數(shù)g。)的圖象與直線y=q有且只有一個公共點，則實數(shù)。的取值

—,x>ae

.尤

范圍是?

【答案】e(0,e]

【分析】根據(jù)導數(shù)的概念及于是即可得％的值；分類討論確定函數(shù)g(M的圖象，滿足其與直線y=2

e

有且只有一個公共點，列不等式即可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因為/(x)=lnx,所以八x)=L

X

__1”、11

由/(X)在彳=尤0處的瞬時變化率為一得/'(%)=—=一,所以Xo=e；

e%oe

Inx,0<%<a

因為g(尤)=4a

—,x>a

①當0<〃《l時，函數(shù)g(x)的圖象如下圖所示：

要使得函數(shù)g(x)的圖象與直線1有且只有一個公共點，貝I]°丁<1,所以0<。(1；

LO<6Z<1

②當Ivave時，函數(shù)g(x)的圖象如下圖所示：

1<62<e

要使得函數(shù)g(x)的圖象與直線y=g有且只有一個公共點，則，a,，

eIn6?<—<1

、e

不妨令飄x)=lnx-2,當l<x<e,1=曰>0恒成立，所以〃(乃單調遞增,

exeex

即6(x)<〃(e)=0,所以lna<9恒成立，故此時不等式解得l<a<e；

e

③當a=e時，函數(shù)g(x)的圖象如下圖所示：

a-Q

要使得函數(shù)g(x)的圖象與直線y=人有且只有一個公共點，貝IJ