高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：構(gòu)造函數(shù)以及切線（解析版）

專題2?4構(gòu)造函數(shù)以及切線歸類

目錄

題型01切線求參.................................................................................1

題型02求“過點”型切線方程......................................................................3

題型03“過點”切線求參...........................................................................5

題型04“過點”切線條數(shù)的判斷.....................................................................7

題型05由切線條數(shù)求參..........................................................................8

題型06公切線.................................................................................10

題型07特殊構(gòu)造：累積型構(gòu)造....................................................................12

題型08特殊構(gòu)造：暴商型構(gòu)造....................................................................15

題型09特殊構(gòu)造：ex的積型構(gòu)造..................................................................16

題型10特殊構(gòu)造：ex的商型構(gòu)造..................................................................18

題型11特殊構(gòu)造：對數(shù)型構(gòu)造....................................................................21

題型12特殊構(gòu)造：正弦型構(gòu)造....................................................................23

題型13特殊構(gòu)造：余弦型構(gòu)造....................................................................26

題型14復(fù)合型構(gòu)造.............................................................................28

高考練場.......................................................................................30

熱點題型歸納

題型01切線求參

【解題攻略】

求曲線y=/u)在點P(xo,黃xo))處的切線方程:

⑴求出函數(shù)y=/(x)在點％=xo處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=/(x)在點尸(出,兀加))處切線的斜率.

(2)切線方程為：y=yo+f(xo)(x—xo).

1、設(shè)切點(或者給出了切點)：P(xg,yo)

2、yo=fixo)

3、y=f(x)=>k=f(xo)

4、切線方程：y-yo=k(x—xo)

【典例1-1】（2023春?重慶?高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)的圖象在儂/⑷）處的切線與直線

尤+5y-5=0垂直，貝！I”的值為（）

A.1B.2或gC.2D.1或g

【答案】B

【分析】由兩線垂直可知（。"（。））處切線的斜率為5,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義有-（。）=5,即可求。的值.

【詳解】由題意知：直線x+5y-5=0的斜率為一，則在伍/⑷）處切線的斜率為5,

29

又?.?/，（%）=2%+—,gpf（a）=2a+-=5,

xa

2a2—5a+2=0,解得a=2或；，故選：B.

【典例1-2】（山東省煙臺市2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知曲線>=/在點（0,1）處的切線與曲線

、=辦2+3尤+3（。40）只有一個公共點，則實數(shù)。的值為（）

A.—B.1C.2D.—

22

【答案】A

【分析】先求出y=e'導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由切線與曲線y=ax2+3x+3只有一個公

共點，進而聯(lián)立得到。的值.

【詳解】>=靖的導(dǎo)數(shù)y'=e"曲線y=e，在無=0處切線斜率％=/=1,則曲線y=e，在x=0處切線方程為

y-l=無，即y=x+l由于切線與曲線y=^+3x+3只有一個公共點，

\y=x+l1

聯(lián)立，。。，得加+2x+2=0即A=32-4xax3=0解得。=彳故選:A.

［y=ax+3x+32

【變式1-1］（河南省鄭州市2021-2022學(xué)年高三考試數(shù)學(xué)（理科）試題）若曲線

>=（尤—3）（尤-1）x（尤+1）（尤+2）+41n（3x+l）］-41n4在點（1,0）處的切線與直線x=ay+2平行，則

【答案】］

【分析】令g（x）=（x—3）（無一1）x（尤+1）（尤+2）,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出。的值.

【詳解】令g（x）=（x-3）（%-1）x（%+1）（%+2）,

則g'(%)=(%一l)[(x一3)冗(x+l)(x+2)]+[(x-3)x(x+l)(x+2)](x-1)

所以，(1)=(1—3)(1+1)(1+2)=—12,g⑴=0

1212

y=g\x)+-~,當(dāng)％=i時，y=^^(1)+---=-12+3=-9

3x+l3+1

又該函數(shù)在點(l,o)處的切線與直線x=-+2平行，所以工=-9,4=-《故答案為：

a99

【變式1-2](河南省許昌市2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文科試題)已知曲線=謝，+lnx在點。"⑴)處

的切線方程為y=3x-"則〃.

【答案】2+e-1

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得廣⑴=3,根據(jù)切點坐標可得/(1)=3-6,列方程求解.

【詳解】/(x)=axev+lnx,貝1]/(耳=々@+1)1+工

X

：“X)在點(L/⑴)處的切線方程為y=3x-6

???可得f(1)=oe=3_女尸(1)=2oe+1=3,解得a=e-*=2則a+z,=2+e-1故答案為：2+e-1.

【變式1-3】已知函數(shù)〃x)=2xlnx-〃比，函數(shù)g(x)=qi(”>0且分1)的圖象過定點A,若曲線y=

在x=l處的切線經(jīng)過點A,則實數(shù)加的值為.

【答案】1##0.5

【分析】先求出g(x)=a-2(。>0且所經(jīng)過的定點A的坐標，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在

x=l處的切線方程，最后把點A的坐標代入切線方程，即可得加值.

【詳解】函數(shù)g(x)=a"2">0且"1)的圖象恒過點4(2,1),

因為/'(x)=21nx+2-根，

則“X)在x=l處的切線的斜率為/")=2-祖，又=

所以切線方程為y+"/=(2-加)口-1),因為切線經(jīng)過點A(2,l),

所以1+機=(2-〃*2-1),解得機=：.故答案為：!

22

題型02求“過點”型切線方程

【解題攻略】

1、設(shè)切點(或者給出了切點)：P(XO,yo)

2、yo=fixo)

3、尸了(尤)nk=f(xo)

4、切線方程：y-yo=k(x—xo)

5、過(。力)，代入y-yo=Hx—xo),得6-%=左(。一瓦)二>尤0

【典例1-1】(2023下?上海嘉定?高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考)已知曲線/(力=2/—3x,過點(0,0)作

曲線的切線，則切線方程.

【答案】y=-3x

【分析】設(shè)切點坐標為(x0,2片-3%),求出切線方程，代入點(0,0)求出％,從而可得切線方程.

【詳解】設(shè)切點坐標為(天,2片-3%)，由“*=2三一3了，得尸(不)=6片一3,

所以曲線/(x)在點(%,2片-3%)處的切線方程為y-(2?一3%)=(6片-3)(x-x0).

因為切線過點(。,0),所以-2片+3%=(6%；-3)(-/)，解得x0=0.

所以切線方程為＞=-3x.故答案為:y=-3x.

【典例1-2](2023下?上海浦東新?高三上海市實驗學(xué)校?？奸_學(xué)考試)已知曲線/(司=2J一3天，過點

M(0,32)作曲線的切線，則切線的方程為.

【答案】21x-y+32=0

【分析】設(shè)切點坐標為N(x。,2舅-3%),根據(jù)切線所過的點得到％的方程，解出％后可得所求的切線方程.

【詳解】設(shè)切點坐標為N(X0,2X：-3XO),尸(尤)=6x?—3,則切線的斜率左=/8。)=6需一3,

故切線方程為丁=(6君-3)x+32,又因為點N(x0,2君-3%)在切線上，所以2只-3%=(6尺-3)%+32,整

理得到片=-8,

解得須=-2,所以切線方程為y=21x+32.故答案為：2卜-＞+32=0.

【變式1-1])(云南民族大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高三高考押題卷二數(shù)學(xué)(理)試題)函數(shù)/Q)=e2'過原點

的切線方程是.

【答案】2ex-y=0.

【分析】設(shè)切點為(為32樂)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)切點為(%,的切線方程，再根據(jù)切線過原點

求出％,即可得解.

【詳解】解：設(shè)切點為(飛工2%)，/V)=2e2\則/(x°)=2e2*,,故切點為(七,e?』)的切線方程為

22

y-e^=2e^(x-x0),

又因此切線過原點，所以-e?*。=_2x°e2%,解得所以函數(shù)/(x)=e2x過原點的切線方程是

y-e=2e(x-g),即2ex-y=0.故答案為：2ex-y=0.

【變式1-2](2023春?河北邢臺?高三統(tǒng)考)過點(1,0)作曲線y=ei的切線，則該切線的斜率為()

A.1B.e-C.eD.e+1

【答案】C

【分析】設(shè)切點為(毛,%),然后表示出切線方程，再將。,0)代入可求出％,然后將七代入導(dǎo)函數(shù)中可求得

結(jié)果.

【詳解】設(shè)切點為(方,%),由〉=二一|,得y'=e、i

所以切線方程為y—%=y'(x—$),即y-e5=e^(x-^),

將(1,0)代入得—e&T=e&T(l-x0),解得4=2,

所以切線的斜率為e2—=e.故選：C

【變式1-3]((天津市北京師范大學(xué)天津附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三線上檢測數(shù)學(xué)試題))過點尸(0,-e)

作曲線＞=xlnx的切線，則切線方程是.

【答案】y=2x-e

【分析】求解導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點坐標，求解/'(x0),從而設(shè)出切線方程，代入點尸(0,-e)計算，即可求出答案.

【詳解】函數(shù)定義域為(0,+s),f,(x)=lnx+l,

設(shè)切點為(x(),XolnXo),,

所以切線方程為=(ln%+1)(%-/),

代入P(0,-e),得-e-/In%=(in%+1)(0—玄),

解得：％=e,所以切線方程為V-e=2(x-e),

整理得：y=2x-e.故答案為：y=2x-e

題型03“過點”切線求參

【典例1-1］（2023上?遼寧錦州?高三渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)校考期中）已知曲線y=x+lnx過點（0,-1）處

的切線與曲線y=a^+（a+2）x+l相切，貝1］。=

【答案】8

【分析】設(shè)切點（%,尤°+lnx。），并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求可得切線為y+l=（l+'）x,將切點代入求得％=1得

%0

切線方程，再由切線與曲線y=ox2+g+2）x+l相切，討論參數(shù)小聯(lián)立方程有A=0求參數(shù).

【詳解】設(shè)過點（0T）處的切線在曲線>=》+比無上的切點為（無。,天+山天），

而；/=1+L故切線斜率為&=1+',所以切線方程為y+l=（l+,）x,故Xo+lnxo+l=（l+'）尤。,

xXoXoXo

所以不=1,故切線方程為y=2x-l,又切線與曲線丁=加+（。+2）尤+1相切，

聯(lián)立方程，得ox?+6+2=0有且僅有一個解，

當(dāng)。=0時上述方程無解；當(dāng)。彳0時，A=a2-8a=0,可得a=8.綜上，a=8.故答案為：8

【典例1-2】（2023下?吉林長春?高二長春市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=eG（a>0）,過點A（a,O）

作與y軸平行的直線交函數(shù)/（X）的圖象于點P,過點尸作了（X）的切線交X軸于點8,則△4PB面積的最小

值______.

【答案】且

2

【分析】求出了（尤）的導(dǎo)數(shù)，令x=a,求得P的坐標，可得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程,

令y=0,可得8的坐標，再由三角形的面積公式可得AABP面積S,求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得到

所求值.

【詳解】函/（x）=eRa>0）的導(dǎo)數(shù)為/。）=如產(chǎn)，

由題意可令無=。，解得y=e/,可得尸（?！唬?，

即有切線的斜率為左=ae/，切線的方程為=cefl2（x-a）,

令k0,可得x=-』+a,BPB|--+a,0|,

a\a）

在直角三角形PAB中，=|AP|=ea\

1112

則"BP面積為Sg)=^A即=，(a>0),

S0)=g/2am：+2

S'(a)<0,S（a）單調(diào)遞減;S'(a)>0,S(a)單調(diào)遞增,

即有a=正處S取得極小值，且為最小值叵.故答案為：叵.

222

【變式1-1］（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)/（x）=alnx（a>0）,過點/且平行于x軸的直線與

曲線c：y=/（x）的交點為N,曲線c過點N的切線交y軸于點尸，則面積的最小值為（）

A.1B.-C.—D.且

242

【答案】D

【分析】由已知求得N點坐標，利用導(dǎo)數(shù)求出過N點的切線方程，再求出P點坐標，寫出三角形MNP的面

積，再由導(dǎo)數(shù)求最值得答案.

【詳解】把yj弋入,可得＞加,*=

則N（e/，）,

1

由/(%)=，lnx,得尸(%)=@,貝1」-(學(xué)2)=丹,

X

1a占

曲線。過點N的切線方程為丁一1二W5-^）,?。?0,得尸(0,----a).

a

1-y

SMNP=]〃,/?

i1i11-i-|12,

]—

g[a^=—a-ea2則g，(a)=—e02+(--)-err=ea2(―--)=e1?；.

則g[a）=。，可得“=應(yīng)或。=一0（舍），

.,.ae（0,@時，g,（a）＜0,函數(shù)g（a）單調(diào)遞減,ae（五,+ao）時，g'（a）＞0,函數(shù)g（a）單調(diào)遞增,

二當(dāng)a=應(yīng)時，g（a-g（6）=浮.故選：D.

【變式1-2]（2023上?貴州貴陽?高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）已知曲線y=xe"過點（3,0）作該曲線的兩

條切線，切點分別為（外,%）,（%,%）,則為+々=（）

A.-3B.—y/3C.y/3D.3

【答案】D

【分析】求得切線方程為y-x°e廂=（%0+1）6^（%-%0）,根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為關(guān)于%的方程-年+3/+3=0有兩

個不同的解不，%,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)y=xe"可得y'=（x+l）e*,

設(shè)切點坐標為（品,尤產(chǎn)。），所以y'L』=（%+l）e-，

所以切線方程為y-5e*=（%+l）e"（無-5）,

所以一/2”=（毛+1/均（3-/）,即（一考+3、+3卜M=0,

因為過點（3,0）作該曲線的兩條切線，

所以關(guān)于%的方程（-需+3/+3）3=0有兩個不同的解占,馬,

即關(guān)于％的方程-x：+3x（,+3=0有兩個不同的解為,工，所以網(wǎng)+%=3.故選：D.

【變式1-3].直線V=履是曲線y=x+lnx的切線，則左=.

【答案】1+-

e

【分析】設(shè)切點坐標為（，J+lnt）,利用導(dǎo)數(shù)寫出切線的方程，與直線方程衛(wèi)=履對比，可出關(guān)于人七的方

程，解之即可.

【詳解】設(shè)切點坐標為（，J+ln。，其中f＞0,對函數(shù)y=x+lnx求導(dǎo)得了=1+!，

X

所以，切線斜率為左=1+；,所以，曲線y=x+lnx在x=/處的切線方程為yT-lnf=（l+W（xT）,即

（左=1+1，=e

y=1+-%+山”1,所以，t,解得711.故答案為：1+L

It）11ck=l+-e

題型04“過點”切線條數(shù)的判斷

【解題攻略】

”過點型“切線條數(shù)判斷:

1.有幾個切點橫坐標，就有幾條切線。

2.切線條數(shù)判斷，轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點橫坐標的新的函數(shù)零點個數(shù)判斷。

【典例1-1】?（湖南省邵陽市武岡市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）己知/（x）=+（々-2）--3x是

奇函數(shù)，則過點尸（7,2）向曲線y=/（x）可作的切線條數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.不確定

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，求出。，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點坐標，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程求

解作答.

【詳解】因函數(shù)人處是奇函數(shù)，則由/（-x）+f（x）=0得2（a-2）f=o恒成立，則。=2,

即有/（x）=2/-3x,f\x）=6%2-3,

設(shè)過點尸（T,2）向曲線y=/（X）所作切線與曲線y=/（X）相切的切點為。（%,24-3x0）,

而點尸（一1,2）不在曲線y=/（元）上，則6%-3=2石-3x一2,整理得4石+6君-1=0,

無o+l

即（2%+1）（2君+2%-1）=0,解得不=［或無。=土走，即符合條件的切點有3個，

所以過點P（-l,2）向曲線y=/（X）可作的切線條數(shù)是3.故選：C

【典例1-2】已知曲線S:y=3x-d,則過點尸（2,2）可向S引切線，其切線條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.0

【答案】C

【分析】設(shè)切點為?,3/-戶），利用導(dǎo)數(shù)求出曲線S在切點。,3/處的切線方程，再將點尸的坐標代入切線

方程，可得出關(guān)于f的方程，解出該方程，得出該方程根的個數(shù)，即為所求.

【詳解】設(shè)在曲線S上的切點為卜9-戶），,y=3x-x3,則y=3-3d,

所以，曲線S在點?,3"打處的切線方程為y-⑶一可=（3_3/乂XT）,

將點尸（2,2）的坐標代入切線方程得/_3產(chǎn)+2=0,即t-D（產(chǎn)一2/—2）=0,解得％=1,q=1+6，4=1一⑺?

因此，過點P（2,2）可向S引切線，有三條.故選：C.

【變式1-1】（湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三第一次暑假作業(yè)檢測數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/a）=lnx+2x,

過點（2,5）可作曲線3；=/（尤）切線的條數(shù)為

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】設(shè)出切點坐標，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線所過點求出切點個數(shù)，從而可得答案.

1In777+2帆一52

【詳解】設(shè)切點為（％lnm+2的,所以％,尸（m）=±+2=m〃,整理得ln〃2+*—2=O,（加>0）；

mm—2m

217m-2

令gO）=ln根+——2,由/（?=--------=一］=。，得根=2,當(dāng)機>2時，g'O）>0,gO）為單調(diào)遞增函

mmmm

數(shù)；

當(dāng)0<m<2時，gO）<0,g（m）為單調(diào)遞減函數(shù)；所以g（㈤Ng（2）=1口2-1；

又g（2）=ln2—IvO,^（e2）=lne2+—-2=—>0,g⑴=0

ee

所以g（加）=0有兩個不同的根，即切線的條數(shù)為2,故選：C.

【變式1-2](2021-2022學(xué)年廣東省東莞市高三數(shù)學(xué)A卷)已知函數(shù)/(力=-/+6/—9x+8,則過點(0,

0)可作曲線y=〃x)的切線的條數(shù)為()

A.3B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】分析可得(0,0)不是切點，設(shè)切點尸-石+6焦-9%+8),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的斜

率氏，根據(jù)點尸和點(。,0)坐標，可求得切線斜率比聯(lián)立即可得答案.

【詳解】???點(0,0)不在函數(shù)y=的圖象上，.??點(0,0)不是切點，設(shè)切點為尸(%,-￡+6*-9%+8)

(%w0),

由/(%)=—/+6d—9x+8,可得/*'(x)=—3Y+12%—9,貝ij切線的斜率k==—3%；+12/一9,

+12%—9=一4+6匹一9%+8,解得%=_]或%=2,故切線有2條.故選:D.

【變式1-3](北京市北京理工大學(xué)附屬中學(xué)通州校區(qū)2019-2020學(xué)年高三年級考試數(shù)學(xué)試題)己知過點

尸(L0)且與曲線y=V相切的直線的條數(shù)有()條.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】設(shè)出切點的坐標，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線>=丁的切線，根據(jù)切線過點尸(1,0),結(jié)合關(guān)

于切點橫坐標的方程解的個數(shù)進行求解即可.

【詳解】設(shè)曲線y=/的切點的坐標為(如毛3),由=3/,

因此該曲線切線的斜率為％=3%2,

32

所以該曲線切線的方程為：y-x0=3x0(x-x0))該切線過點P(L0),

3

3232

所以有O-xo=3X0(1-X0)=>2X0-3X0=0,解得毛=。或％/，

因此過點Pd,0)且與曲線y=d相切的直線的條數(shù)有2條.故選：C

題型05由切線條數(shù)求參

【典例1-D若過點尸(II)可作出曲線>=尤3的三條切線，則實數(shù)f的取值范圍是

【答案】(0,1)

【分析】根據(jù)函數(shù)切線的求解方法，設(shè)切點求切線方程，代入點P,根據(jù)方程與函數(shù)的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化

為兩個函數(shù)求交點問題，利用導(dǎo)數(shù)，作圖，可得答案.

【詳解】由已知，曲線y即令/(x)=v,則廣(尤)=3f,

設(shè)切點為(看,甯)，切線方程的斜率為尸(%)=3/2,

3232

所以切線方程為：^-%0=3X0(X-X0),將點尸(1J)代入方程得：r-x0=3%0(l-x0),整理得/=3嫣_2無；，

設(shè)函數(shù)g(x)=3元2一2/，過點尸(1J)可作出曲線>的三條切線，

可知兩個函數(shù)圖像'=與g(x)=3Y-2/有三個不同的交點，

又因為g'(x)=6x-6x2=6x(1-x),由g'(x)=0,可得x=0或x=l,

則當(dāng)x<0或x>l時，g'(x)<0；當(dāng)0<x<l時，g'(x)>0,

所以函數(shù)g。)在(-8,0),(1,y)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)g。)的極大值為g⑴=3-2=1,函數(shù)g(x)的極小值為g(0)=0-0=0,

當(dāng)fe(O,l)時，兩個函數(shù)圖像有三個不同的交點.故

【典例1-2](福建省福州華僑中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)試題)若曲線y=(x-a)e”有兩條過

坐標原點的切線，則。的取值范圍為.

【答案】a<0或a>4.

【分析】設(shè)切點坐標，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到―=(毛-。+1)寸，再根據(jù)曲線y=(x-a)e￡有兩

條過坐標原點的切線得到方程*-%+。=。有兩個解，讓△>(),解不等式即可.

【詳解】由y=(x-a)e-r得y'=(x-o+l)e*,設(shè)切點坐標為-。人而)，則(％=(3_q+l)e蒞,

整理得X：-訃。+a=0,因為曲線y=a-a)e*有兩條過坐標原點的切線，所以方程片-ax0+a=0有兩個解，

feA=a2-4a>0,解得a<0或。>4.故答案為：。<0或。>4.

【變式1-1]過點尸(l,a)作曲線y=的切線，若切線有且只有兩條，則實數(shù)。的取值范圍是.

[答案]a<0

【2?析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，求得切線方程，根據(jù)該方程過點尸，且方程有兩個根，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)

數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，即得.

【詳解】因為/(力=才1比，則/'O)=lnx+1,設(shè)切點為(尤0,%),/V0)=lnx0+l,

所以切線方程為>-%In%=(In/+l)(x-x0),代入P(l,a),得a-％In%=(Inx0+1)(1-x0),

11_x

即。=111%-飛+1這個關(guān)于％的方程有兩個解，令gO)=lnx-x+l(x>0),g'{x)=--1=------,

X

故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+?)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)X=1時，函數(shù)g(x)有最大值，g⑴=0,

且無f+co,g(x)->-00,x->0,g(x)f-oo,所以a<0.故答案為：a<0.

【變式1-2】若曲線y=(x+a)e，有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是.

【答案】(e,T)(0,+s)

【分析】設(shè)出切點橫坐標％,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于％的方程，

根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】：丁=(苫+。把工，y'=(x+l+a)e',設(shè)切點為(M,%),則為=(%+a)e加，切線斜率％=(/+l+a)e*,

切線方程為：y-^x0+a)e°=(%0+1+?)6^[x-x^),

?切線過原點，.二—(天+a)e"=(/+l+a)e"(一/),整理得：Xg+ax0-a=0,

..?切線有兩條，；.A=a2+4<7>0,解得<2<-4或。>0.

的取值范圍是(口,-4)(0,"),故答案為：(F,-4)(0,+?)

【變式1-3](2023?全國?高三專題練習(xí))已知過點A(”,0)作曲線>=比工的切線有且僅有兩條，則實數(shù)。的

取值可能為()

A.-2B.-3C.-4D.-5

【答案】D

【分析】設(shè)切線切點為(%,尤°e%)，后由切線幾何意義可得切線方程，代入(a,0),可得%-ax0-a=0,則

過點A(a,0)作曲線y=xe*的切線有且僅有兩條，等價于關(guān)于%的方程需-"。-a=0有兩個不同實根，即可

得答案.

【詳解】設(shè)切線切點為(無。,無。叫，因2'=(x+l)e『,

則切線方程為：>=(%0+l)e須(彳-/)+/6須，代入(a,0),

x

得0=(x0+1)e°a-尤;e%,因e&>0,則片-%-a=0.

因過點A(a,O)作曲線y=xe*的切線有且僅有兩條，則/-%=0有且僅有兩個不等實根，則

/=/+4q>ona>o或〃v-4.則1=-5符合題意.故選：D

題型06公切線

【解題攻略】

交點處公切線，可以直接參照直線在點處的切線求法設(shè)交點(切點)

對函數(shù)f(x)與g(x),如果要求它們的圖象的公切線，只需分別寫出兩條切線：

討(%)=/'(%)(尤-X))和y-g(%)=g'(>2)(九一了2)

再令I(lǐng)、；“、(、,‘、，消去一個變量后，再討論得到的方程的根的個數(shù)即可。

(x)=g(x2)-x2g(x2)

但在這里需要注意41和X2的范圍，例如，若/(X)=lnx,則要求％1>0

【典例1-1】已知直線/：>=履+匕是函數(shù)〃司=加(。>0)與函數(shù)g(x)=e*的公切線，若是直線/與

函數(shù)“X)相切的切點，則匕=.

12

【答案】--e2

2

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)/'(x),g'(x),由『(1)"'⑴得切線方程，=h+〃，設(shè)g(無)圖象上的切點為(國,％),由

導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線方程，兩直線重合求得毛，從而得值.

【詳解】f'(x)=2ax,r(l)=2a,又于①=a,

所以切線/的方程為丁-。=2”(尤T),即y=2辦一”，

設(shè)直線/與g(x)相切的切點為(西，必)，g'(x)=e',

xx

所以切線方程為>一切=e*(x-Xi),即y=e'x+e'(l-x1),

'_3

e*=2。"21-12

所以、，解得3,所以b=-a='e2.故答案為：--e2.

e"(lF=—a1I22

、a=—e2

I2

【典例1-2】(2023春?高三課時練習(xí))已知直線/：x+my+〃=0既是曲線y=lnx的切線，又是曲線y=e>2

的切線，則〃7+〃=()

A.0B.-2C.0或eD.一2或一e

【答案】D

【分析】本題主要求切線方程，設(shè)兩個曲線方程的切點，由兩條切線均為x+my+〃=0,通過等量關(guān)系可得

到加，”的取值.

【詳解】/(x)=lnX,g(x)=e>2,：.f'(x)=-,g(x)=ex2,設(shè)切點分別為M(匕,%),N(x,y),

X22

111

則曲線/(x)=lnx的切線方程為：y-lnxj=-(x-x),化簡得，.1丁=111%+—(尤-玉)=—?x+ln^-1,

l%X]

22

曲線g(x)=e-的切線方程為：y-e—=e—(%_々)，化簡得，j=e^.x+(l-x2)e^,

x.21

二—1

.J再，故(不一D(ln%—1)=0,解得玉二?；蛭?1.當(dāng)西二。，切線方程為％—ey=0,故

22

(l-x2)e'-=10^-1a

m=-e,n=0,故m+n=-e.

當(dāng)為=1,切線方程為y=x-i,故機="=-1,則根+“=-2.

故加+”的取值為-e或一2.故選：D

【變式1-1](2023?全國?高三專題練習(xí))若直線》=區(qū)+萬是曲線y=e"+i的切線，也是y=e*+2的切線，則上=

()

A.In2B.-In2C.2D.-2

【答案】C

【分析】設(shè)直線>=云+方與尸e，.+2和尸尸的切點分別為(x”e3+2),(無2，e*+)

分別求出切點處的直線方程，由已知切線方程，可得方程組，解方程可得切點的橫坐標，即可得到上的值.

【詳解】設(shè)直線>=米+6與y=/+2和丁=1.的切點分別為(x”e%+2),小力)，

+1+

則切線方程分別為，y-(e"+2)=e%(x-xj,y-^=^\x-x2),化簡得，y=e,x+ef+2-尤村

+1+1

y=-x2e^+e^依題意上述兩直線與y=H+b是同一條直線，

)e%i_e"+i

j.."i，解得X]=ln2,所以上=/'=e'n2=2.故選：C.

xX1AX2+,1

e+2-元2七=~x2e+e-

【變式1-2】(2022?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測)曲線y=%+ln龍過點(-2,0)的切線也是曲線

y=e”的切線，則利=；若此公切線恒在函數(shù)〃x)=ae1+1-3卜+，1的圖象上方，則”的

取值范圍是.

2

【答案】-6/<-e2

e

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出加；將此公切線恒在函數(shù)〃同=3'-尤2+[：-34+，1的圖象上方，

轉(zhuǎn)化為"小恒成立，再構(gòu)造函數(shù)g(小『，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得解.

【詳解】由y=m+lnx得y=?!■,

X

設(shè)曲線y=〃2+lnx過點(-2,0)的切線的切點為(Xo，Mi+lnXo),

1,1

則切線的斜率為一，切線方程為y-〃2inxo=—(x-x0),

%%

,2,

由于該切線過點(-2,0),所以f-lnx0=——1,

不

設(shè)該切線與曲線廣^切于(%,%),因為y=e1所以y=e。，所以該切線的斜率為e』,

所以切線方程為y-e”=9(尤-尤J,將以2,0)代入得0-峭ne氣一2-%),得看=-1,

112?

所以十戶二，所以％=e,所以-機-12-廠,所以機=>

ii12

由以上可知該公切線方程為y-±=±(X+1),即y=L+—,

eeee

若此公切線恒在函數(shù)〃同=溫_/+[/-31+:-1的圖象上方,

則1尤+2>碇工一/+(]__3)尤+2-1,即.<三±至以恒成立,

eeeeex

令g(x)=—I±1,貝I]g'(x)=(2x+3)?e，-(/+3x+1).e"-x^—x+2

e*

令g'(x)>。，得一爐-x+2>0,得一2<x<l,

令g'(x)<0,得_/_工+2>0,得x<—2或x>l,

所以g(x)在(-應(yīng)-2)上單調(diào)遞減，在(-2,1)上單調(diào)遞增，在。,內(nèi))上單調(diào)遞減，

因為x>0時，g(x)>0,所以當(dāng)x=—2時，g(x)取得最小值8(-2)=-62.所以0<-62.

【變式1-3】若曲線G：y=/與曲線C2：y=ae、(a>0)存在2條公共切線，則a的值是

【答案】丁

【分析】設(shè)公切線在y=f上的切點為(占,無：)，在〉=4/(°>0)上的切點為(尤2，次產(chǎn))，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意

義求出對應(yīng)的切線方程，有J'?1整理得色〃=立二1匚，構(gòu)造函數(shù)g(無)=心匚，利用導(dǎo)

3%2x

-2^=ae(l-%2)27e芻e

數(shù)研究g(x)的單調(diào)性，結(jié)合圖像即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)公切線在y=d上的切點為(西,占3),在、=恁*(。>0)上的切點為(馬,。9)，

則曲線在切點的切線方程的斜率分別為/=3x；,/=ad,

X1

對應(yīng)的切線方程分別為=3無：(x-X1)、y-ae也=ae(x-x2),

X2

即y=3尤：x-2尤：、y=ae^x+ae(l-x2),所以3,得有

2

[一2占'=ae(l-x2)x2-l2

則ae*=313(尤2-1)/，整理，得汽ah(.T)：，

227”

設(shè)g(x)=^^,貝|g(x)>。，gV)=~(%~T~3)>

exe

令8'(%)>0=1<%<3,令g'(%)<On%<l或%>3,

所以函數(shù)g(x)在(1，3)上單調(diào)遞減，在(-8,1)和(3,+8)上單調(diào)遞增，

4

因為兩條曲線有2條公共切線，所以函數(shù)y=五。與y=gQ)圖像有兩個交點，

4442727

又g⑴=0,^(3)=-,且gQ)>0,如圖，所以而。=不，解得〃==.故答案為：—.

e27eee

題型07特殊構(gòu)造：幕積型構(gòu)造

【解題攻略】

事函數(shù)積形式構(gòu)造：

1.對于靖(XH/(x)>0(<0)，構(gòu)造g(x)=x./(x)

2.對于靖(x)+V(x)>0(<0)，構(gòu)造g(x)=f?/(%)

【典例1-D設(shè)定義在(。,+")的函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(%),且滿足V'(x)+3〃x)>0,則關(guān)于x的不等

式g-1)⑶<0的解集為()

A.(3,6)B.(0,3)C.(0,6)D.(6,+8)

【答案】A

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g⑺=三〃力，再根據(jù)題意分析g(x)的單調(diào)性，

再化簡「-1]/"-3)-〃3)<0可得8(*-3)<8(3),再利用函數(shù)的單調(diào)性與定義域求解即可.

解：令8(力=6/'(力