高考數(shù)學專項復習：集合與常用邏輯用語（解析版）

專題01集合與常用邏輯用語

優(yōu)經(jīng)

選

容斥定理的運用典

提

基

集合的新定義升

題型歸納礎

題

根據(jù)集合的關系求參數(shù)范圍

型題

型

集合的含義與表示

1.（23-24高一上?北京市東城區(qū)中央工藝美術學院附屬中學??？计谥校┫铝姓_的是（）

A.{0}e{0,1,2}B.OG0C.0={0）D.0e{0}

【答案】D

【分析】根據(jù)元素與集合的關系以及空集的定義逐一判斷.

【詳解】選項A,{0}不是{0,1,2}的元素,即0e{O,l,2}不成立，則A錯誤；

選項B,。中沒有任何元素，即0e0,則B錯誤；

選項C,。中沒有任何元素，而{0}表示集合里面只有一個元素，即兩者不相等，則C錯誤;

選項D,元素0為集合{0}中的元素，即0e{。},則D正確；

故選：D.

2.（23-24高一上?北京市第一六六中學??？计谥校┮阎?=卜,/},若le/,則工=（）.

A.1或-1B.1C.-1D.-1或。

【答案】C

【分析】根據(jù)元素與集合的關系，結合元素的互異性，即可求解.

【詳解】由于le/,若尤=1,貝不合題意；

[xx2

所以2,，解得x=T，

X=1

故選：C

3.(23-24高一上?北京豐臺?期中)已知集合/={xeZ|x<3},則()

A.2GAB.3eA

C.O^AD.0EA

【答案】A

【分析】根據(jù)元素與集合的關系即可求解.

【詳解】因為“={xeZ|x<3},所以3w40e4,而0是集合，與A的關系不應該是屬于關系，而

應該是包含關系.

故選:A

4.(23-24高一上?北京市第五十中學??？计谥?已知集合/={1,2,3},8={8y=e/}則

B=(用列舉法表示).

【答案】{1,4,9}

【分析】根據(jù)集合5的元素特征直接列舉出即可.

【詳解】因為/={1,2,3},B={y\y=x2,xeA),

所以8={1,4,9}.

故答案為：{1,4,9}

5.(23-24高一上?北京市第十四中學??？计谥?方程組已2、的解集是()

[x+y=2

A.{(1,-1),(-1,-1)}B.{(1,1),(-1,1))

C.{(1,-1),(-1,1)}D.0

【答案】C

【分析】直接求出方程組的解，再用列舉法表示即可.

fx+y=0_fv=lfy=—1

【詳解】由22,，消去X得2/=2,解得蚱±1,所以方程組的解為'?或》,,

[x+夕=2[x=-l[x=l

所以方程組的解集{(1,-1),(-1,1)}.

IxH-y—，

故選：C

V=x

6.(23-24高一上?北京市第一六一中學??？计谥?方程組'的解集為________.

y=x

【答案】{(1,1),(0,0)}

【分析】根據(jù)題意解方程組即可得到答案.

【詳解】將y=x代入必=x,得x(x-l)=o,得x=l或x=0,

[y12—x[x=1(x=0

方程組’的解為，和八，

=x[y=l[v=0

所以方程組的解集為{(1,1),(o,o)}.

故答案為：{(1,1),(0,0)}

集合間的基本關系

1.(23-24高一上?北京市第十五中學??？计谥?設集合M={1},N={1,2,3},那么下列結論正確

的是()

A.MCyN=0B.MeNC.ND.MjN

【答案】D

【分析】由子集的定義判斷.

【詳解】集合”={1},N={1,2,3},初中的所有元素都是N中的元素，可得M=

故選：D

2.(23-24高一上?北京十二中?校考期中)若集合X={x[x>-1},下列關系式中成立的為()

A.O[XB.{0}eXC.0eXD.{0}c

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合、集合與集合的關系判斷即可.

【詳解】顯然OeX,A錯誤；{0}=X,B錯誤，D正確；0cX,C錯誤.

故選：D

3.（23-24高一上?北京市第二十二中學?校考期中）下列關系正確的是（）

A.V2^RB.NeQC.OG0D.0C{O}

【答案】D

【分析】根據(jù)常用數(shù)集以及元素與集合的關系即可求解.

【詳解】亞eR,N=Q,0e0,01{0},

故選：D

4.（23-24高一上?北京市第一六一中學??？计谥校┮阎稀?{0,1,2,3,4},N={1,3,5},

P=McN.則尸的子集共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】根據(jù)題意表示集合尸，然后寫出其所有子集即可得到答案.

【詳解】因為集合M={012,3,4},N={1,3,5},

所以尸=McN={L3},

所以集合產(chǎn)的子集為@{1},{3},{1,3},共四個.

故選：D

5.（23-24高一上?北京市第二中學?校考期中）設）={X|X2-8X+15=0},3=也|"-1=0},若

則實數(shù)。的值可以為.

（將你認為正確的序號都填上，若填寫有一個錯誤選項，此題得零分）

①?、?③3

【答案】①②④

【分析】根據(jù)交集的定義以及集合的包含關系求得結果.

【詳解】集合/={x|/一8X+15=0}={3,5},由4口8=3可得Bq/,

則分8=0和8={3}或{5}或{3,5},

當3=0時，滿足°=0即可；

當2={3}時，滿足3a-l=0,解得：a=1；

當8={5}時，滿足5a-l=0,解得：a=1；

當2={3,5}時，顯然不符合條件，

所以〃的值可以為O,gf.

故答案為：①②④.

集合的基本運算

一、交集運算

1.（23-24高一上?北京市第九十六中學??？计谥校┮阎?={123,4,5},2={尤[-1<x<3},

則/口8=()

A.{1,2,3)B.{%11<x<3}

C.{1,2}D.{x\l<x<2}

【答案】C

【分析】利用交集運算直接求解.

【詳解】集合/=/2,3,4,5},B={x\-l<x<3},故/。2={1,2}.

故選：C.

2.（23-24高一上?北京市人大附中?校考期中）已知集合/={0,123},3={-1,0,1,2},則=

（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{-1,3）

【答案】C

【分析】根據(jù)Nc2={小一且xe半求解即可.

【詳解】因為/={0』,2,3},S={-1,0,1,2},所以Nc8={0,l,2}.

故選：C

3.（23-24高一上?北京市西城區(qū)北京師范大學附屬實驗中學??？计谥校┮阎?/p>

A=[x\x=2k+l,keZ],2={x卜2Vx<4},那么/Cl8=（）

A.{-1,1}B.{153}C.{-1,1,3}D.{0,2,4}

【答案】C

【分析】根據(jù)交集的運算求解.

【詳解】因為4={xIX=2左+1#eZ}表示所有奇數(shù)組成的集合，

所以/c8={-l,l,3},

故選:C.

4.（23-24高一上?北京市房山區(qū)房山中學?校考期中）已知集合/={刈x|42},2={-1,0,1,2,3},則

^ns=（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2,3}C.{-1,0,1,2}D.{x\-2<x<2}

【答案】C

【分析】先求解集合A,根據(jù)交集的定義即可求解.

【詳解】因為/={x||x|v2}=W-2"42},2={-1,0,1,2,3},

所以/門5={-1,0,1,2}.

故選：C.

5.（23-24高一上?北京市匯文中學教育集團?校考期中）己知集合/={2。-1,/,0},

B={l-a,a-5,9},若滿足4門8={9},則實數(shù)a的值為.

【答案】一3

【分析】根據(jù)交集定義，若4cB={9},則9e/且9eB,從而討論集合4夕的情況，確定實數(shù)。

的值.

【詳解】由題意可得，9e/且9e8,

當2a-l=9時，解得a=5,

此時/={9,25,0},5={-4,0,9},4cB={0,9},不符合題意，舍去;

當片=9時，解得a=±3,

當a=3時，/={5,9,0},5={-2,-2,9）,3中元素不滿足互異性，不符合題意，舍去，

當°=一3時，/={一7,9,0},5={4,-8,9},/c3={9},符合題意，

綜上所述，a=-3,

故答案為：一3.

二、并集運算

6.（23-24高一上?北京市第二十七中學??？计谥校┮阎?={1,2,3},3={-1,3},那么集合/UB

等于（）

A.{3}B.{-1,1,2,3}C.{-1,1}D.{x|-l<x<3}

【答案】B

【分析】根據(jù)并集的運算求解即可.

【詳解】因為/={1,2,3},5={-1,3},

所以/口3={-1,1,2,3}.

故選：B

7.（23-24高一上?北京市人大附中石景山學校?校考期中）已知集合/={-1,05，

8={xeN|x<3},那么集合2U8等于（）

A.[-1,3）B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3）

【答案】C

【分析】先求出8集合，再根據(jù)并集合的運算求出兩個集合的并集.

【詳解】8={xeN|x<3}={0,l,2},所以/UB{T0,1,2},

故選：C

8.（23-24高一上?北京市育英學校?校考期中）已知集合/={尤||x|<2,xeZ},3={-2,0,1,2}，則NUB=

（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】D

【分析】先對集合A化簡，然后利用并集運算，求出ZU8即可.

【詳解】A-{x\\x\<2,x^Z}-[x\-2<x<2,xeZ]-{-1,0,1},

又因為8={-2,0,1,2},

所以1U3={-2,-l,0,l,2},

故選：D.

9.（23-24高一上?北京市第十九中學??？计谥校┘褐疷是自然數(shù)集，集合河={0,1,2,3},

"={3,4,5}.則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{1,2,3,4,5}B.{2,3}C,{4,5}D.0

【答案】C

【分析】根據(jù)Venn圖以及集合補集和交集的知識求得正確答案.

【詳解】由圖可知，陰影部分表示的集合為NC（CM）,

所以圖中陰影部分表示的集合為NC（：M）={4,5}.

故選:C

三、補集運算

10.（23-24高一上?北京延慶?期中）已知全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3,4},則（）

A.5B.{5}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】B

【分析】根據(jù)補集運算即可.

【詳解】因為全集。={123,4,5},集合"={1,2,3,4},

所以&河={5},

故選：B

11.（23-24高一上?北京市順義牛欄山第一中學??？计谥校┘褐?。={1,2,3,4},集合/={1,4},

則圖/=-

【答案】{2,3}

【分析】利用補集的定義直接求解.

【詳解】全集。={1,2,3,4},集合/={1,4},則二/={2,3}.

故答案為：{2,3}.

四、交并補混合運算

12.（23-24高一上?北京市第二十二中學??？计谥校┤羧疷={L2,3,4,5,6},4={1,3,5},

5={2,5},則（）

A.{123,4,6}B.{2,4,5,6}C.{1,2,3,5}D.{456}

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用并集、補集的定義求解判斷即得.

【詳解】由/={L3,5},5={2,5},得/口5={1,2,3,5},而全集U={1,2,3,4,5,6},

所以J（ZU8）={4,6}.

故選：D

13.（23-24高一上?北京四中??？计谥校┤鐖D中的陰影部分可以表示為（）

A.（/uc）n（8uc）B.（/UB）n（/uc）

C.（/U8）n”UC）D.（入B）cC

【答案】A

【分析】由韋恩圖寫出對應的集合即可.

【詳解】根據(jù)圖中陰影可知，陰影部分的元素是由集合C中的元素和同時在兩個集合中的元素組成

的，

故表示的集合為（/uc）n（suc）.

故選：A

14.（23-24高一上?北京市第二十七中學??？计谥校┮阎涸O。={1,2,3,4,5,6,7,8},4={2,4,5},

S={3,4,5),求：

(l)/c8；(2)12；⑶臺①&⑷

【答案】⑴{4,5}(2){1,2,6,7,8}3){1,3,4,5,6,7,8}

【分析】(1)由交集的定義求解Nc3

(2)由補集的定義求解以8；

(3)由補集和并集的定義求解.

【詳解】(1)。={1,2,3,4,5,6,7,8},/={2,4,5},8={3,4,5},

則有/A3={4,5}；

(2)以8={1,2,6,7,8}；

(3)以/={1,3,6,7,8},8。(1/)={1,3,4,5,6,7,8}.

15.(23-24高一上?北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學??？计谥?已知/={x[(x-l)(x-3)<0},

8={x|-1<x<2},求：

(l)AnB；(2)AL)B.

[答案](l){x[l<x<2}(2){x|-l<x<3}

【分析】(1)由已知先化簡求出集合A,然后根據(jù)集合間的交集運算性質即可求解.

(2)由已知先化簡求出集合A,然后根據(jù)集合間的并集運算性質即可求解.

【詳解】(1)由己知可得集合/={x|(x-l)(x-3)<0}={x[l<x<3},

而3={x|-l<x<2},

所以/c8={x[1<x<2}.

(2)由(1)可知/={x|l<x<3},3={x[-l<x<2},

所以Nu8={x|-l<x<3}.

16.(23-24高一上?北京市東城區(qū)中央工藝美術學院附屬中學??？计谥?設全集為R,集合

A=[x\a<x<a+3,aeR},(^,5={x|-l<x<5).

(1)若a=3,求/口酒，A\JB；

(2)若/口8=0,求。的集合.

【答案】(1)/口(；8={用645},Au8={Rx<-l或xZ3}

(2){a|-l<a<2}.

【詳解】（1）因為全集為R,^B^{x\-i<x<5},所以2={x[x<-l或x>5}.

當。=3時，集合/={x|3Wx46}.

所以/口以8={X|34X45},/1^=&|工<-1或》23}；

[aN—1,

(2)若AC8=0'則,+345所以飛屋2.

所以。的集合為何-14。42}.

17.（23-24高一上?北京市朝陽區(qū)北京工業(yè)大學附屬中學??？计谥校┰O全集U=R,

N={xeR|3a<x<2a+5},8={xeR|x~+x-2W0

⑴求Ga

（2）若力口3=0,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）Q；B={X|X<-2或刀>1}.

【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式化簡集合8,即可由補集運算求解,

（2）根據(jù)交集為空集，即可分類求解.

【詳解】（1）全集U=R,

B={尤eR|.J+龍一2Wo}={x|-2WxW1},^,B=\x\x<-1或x>1].

⑵???/n8=0,

當/=0時，3a22a+5,解得aN5.

。。+。<。+

當八/時,4[3<+25一5或13鼠215，解得找一57或力1。<5,

綜上，實數(shù)a的取值范圍是卜叫-g口；,+8

充分條件與必要條件

L⑵-24高一上?北京市第十五中學??？计谥校┰OxeR,則是…1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由不等式的性質得出的充要條件，結合充分不必要條件的定義即可得解.

22

【詳解】x-g<g=-；<x-g<g=O<x<l,所以"x-g<；"是"x<l"的充分不必要條件.

故選：A.

2.（23-24高一上?北京市第五十四中學??？计谥校?a>b"是/>/的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】D

【分析】取特殊值，利用充分和必要條件的性質判斷即可.

【詳解】當。=11=-1時，滿足但不滿足/>/,故充分性不成立；

當a=-l,Z>=。時，滿足a?〉/,但不滿足。>b,故必要性不成立；

所以"a>b"是/>"的既不充分又不必要條件，

故選：D.

3.（23-24高一上?北京市昌平區(qū)第二中學?校考期中）"“>6"是"2<1”的（）

a

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義分別判斷即可.

【詳解】解：a>0時，由2<1,解得：a>b,

a

avO時，解得：a<b,不是必要條件，

反之a(chǎn)>6也推不出2<1,比如°=01=_1,不是充分條件，

a

故"a>b〃是"2<1"的既不充分也不必要條件.

故選：D.

4.（23-24高一上?北京市順義牛欄山第一中學??？计谥校懗鯽?*成立的一個充分不必要條件

【答案】（答案不唯一）

【分析】解不等式/>1,結合集合的包含關系可得出結果.

【詳解】解不等式片>1可得。<-1或。>1,

因為或。>1},故標>1成立的一個充分不必要條件為“>1.

故答案為：a>\（答案不唯一）.

5.（23-24高一上?北京大學附屬中學石景山學校??？计谥校┮阎?:-3Wx（l,q-.x<aQ為實

數(shù)）.若q的一個充分不必要條件是p,則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［1,+8）

【分析】利用小范圍是大范圍的充分不必要條件轉換成集合的包含關系求解.

【詳解】因為q的一個充分不必要條件是小

所以［-3,1］是的一個真子集，

則即實數(shù)。的取值范圍是［1,+8）.

故答案為：［1,+8）.

1.（23-24高一上?北京市第二十五中學?校考期中）下列命題是假命題是（）

A.3%eR,x12=1B.BxeR,使得2x+lw0成立

C.VxeR,X2-2X+1>0D.所有的菱形都是平行四邊形

【答案】C

【分析】直接判定全稱命題和特稱命題的真假即可.

【詳解】對于A,顯然*=1,使/=1成立，故A為真命題；

對于B,顯然*=1,使得2x+lw0成立，故B為真命題；

對于C,顯然*=1時，X2-2X+1=0,故C為假命題；

對于D,顯然所有菱形均是平行四邊形，故D為真命題.

故選：C

2.（23-24高一上?北京外國語大學附屬中學??？计谥校┟}：VxeR,，20的否定是（）

A.VxR,x2>0B.VxeR,x2<0

C.3xGR,x2<0D.GR,x2>0

【答案】C

【分析】利用全稱量詞命題的否定是存在題詞命題，再直接寫出命題的否定.

【詳解】命題：VxeR./NO是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，

所以命題：VxeR,/20的否定是：3xeR,x2<0,

故選：C

3.（23-24高一上?北京市第五十五中學??？计谥校┰O非空集合P,0滿足尸1。，則表述正確的是

（）

A.Vxeg,有xePB.\/xeP,有XEQ

C.3xiQ,使得xePD.3xeP,使得次任0

【答案】B

【分析】根據(jù)子集的定義即可求解.

【詳解】因為尸二。，則由子集的定義知集合尸中的任何一個元素都在。中，

而Q中元素不一定在P中（集合相等或不相等兩種情況），故B正確，ACD錯誤.

故選：B

4.（23-24高一上?北京市大興區(qū)?期中）對于命題夕*eR,x+2V0,則命題〃的否定為（）

A.GR,x+2>0B.GR,x+2>0

C.VxGR,x+2<0D.VxGR,x+2>0

【答案】D

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題易求.

【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知：

命題pHxeR,x+2W0的否定為VxeR,x+2>0.

故選：D

5.（23-24高一上?北京市第十三中學?校考期中）己知命題"±eR,使得一2狽+3W0”是假命題,

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.0<a<3B.0<a<3

C.0<a<3D.0<a<3

【答案】D

【分析】由題設VxeR,使得辦2-2辦+3>0為真，結合一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立列不等

式組求參數(shù)范圍，注意討論。=0的情況.

【詳解】由題設，VxeR,使得辦2_2辦+3>0為真，

[a>0

所以<2=>0<。<3.

又a=0時辦之_2ax+3=3〉0恒成立，

綜上，0<a<3.

故選：D

6.(23-24高一上?北京市順義區(qū)第一中學?校考期中)已知函數(shù)/(')=加一一加%—1,

〃*￡氏/(力20〃為假命題，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(-4,0]B.(-4,0)

C.(-oo,-4)U(0,+oo)D.(-oo,-4)u[0,+oo)

【答案】A

【分析】由"HrER,加爐一加工_12o〃為假命題,得至!|"Vx￡R,%2—加工一1<0”為真命題,利用判別式

法求解.

【詳解】因為FXER,加/—加X—120〃為假命題，

所以〃VxGR,mx2-加x-l<0〃為真命題，

當機=0時，-1<0成立；

m<0

當加w0時，<2，解得一4<加<0,

A=+4m<0

綜上：一4<加工0,

所以實數(shù)機的取值范圍是(-4,0].故選：A.

7.(23-24高一上■北京市第二十七中學?校考期中)命題："mxeR,/+2x+140"的否定是.

【答案】VxeR,x2+2x+l>0

【分析】由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫出命題的否定.

【詳解】命題：“HxeR,x2+2x+lW0''的否定是"V尤eR,尤2+2X+1>0”.

故答案為：VxeR,x2+2x+l>0

8.（23-24高一上?北京通州?期中）能說明"*w氏爾_g-120"為假命題的一個實數(shù)a的值為.

【答案】0（答案不唯一）

【分析】取。=0得至1」姓2一依-1=一1,一1<0恒成立，得到答案.

【詳解】取。=。，則ax?-ax-1=-1,-1<0恒成立，故"次e氏加_"一120"為假命題.

故答案為：0

優(yōu)選提升題

容斥定理的應用

1.（23-24高一上?北京四中,校期中）《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》和《紅樓夢》被稱

為中國古典小說四大名著.學校讀書社共有100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的人

數(shù)為90,閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為80,閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為60,則

這100名學生中，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為（）

A.80B.70C.60D.50

【答案】B

【分析】利用韋恩圖分析出只閱讀過西游記的人數(shù)為10,從而求出答案.

【詳解】如圖所示，

因為閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為80,閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為60,

所以只閱讀過紅樓夢的人數(shù)為20,

又其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的人數(shù)為90,

故只閱讀過西游記的人數(shù)為10,

所以這100名學生中，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為60+10=70.

故選：B

2.（23-24高一上?北京市第一六一中學??？计谥校┠嘲喙?2人，其中20人喜愛籃球運動，25人

喜愛乒乓球運動，12人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)

為.

【答案】5

【分析】根據(jù)集合的韋恩圖即可求解.

【詳解】設集合A表示：喜愛籃球運動的學生，集合B表示：喜愛乒乓球運動的學生，整個班級學

生為集合U,

則由題可知，A的元素個數(shù)為20,B的元素個數(shù)為25,

則1（4。3）的元素個數(shù)為12,所以/U8的元素個數(shù)為42-12-30,

所以NcB的元素個數(shù)為20+25-30=15,

所以喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為20-15=5人，

故答案為：5.

3.（23-24高一上?北京市陳經(jīng)綸中學??？计谥校﹪鴳c期間，高一年級要求學生從三部影片《1921》

《長津湖》《革命者》中至少觀看一部.其中觀看了《1921》的有51人，觀看了《長津湖》的有60

人，觀看了《革命者》的有50人，數(shù)據(jù)如圖，則a+6+c=,a=.

《長津湖》、

135

/\a\I

、―《革命者》，

126,

【答案】279

【分析】根據(jù)題意得到方程組，三式相加求出a+6+c=27,進而求出a.

28+6+a+b=51a+b=17

【詳解】由題意得35+6+a+c=60,即a+c=19,

26+6+6+c=50b+c=lS

三式相加得，2(a+6+c)=54,解得a+b+c=27,

故。=27-18=9.

故答案為：27,9

II

髭型02

■?

1.（23-24高一上?北京市第十九中學??？计谥校┮阎獌蓚€數(shù)集A和8,定義

A-B={x\x^A,x^B},/M=（/_8）U（8_/）.則下列命題正確的個數(shù)是（）

①任意A,B,都有=成立；

②任意/,B,都有AA（AAB）=BN（SAA）成立；

③存在N,B,使NAS=0成立；

④存在力，B,使ANB=R成立.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】利用題給定義得到/A8與的關系判斷①；利用題給定義得到與NA（/A5）

的關系判斷②；舉例驗證③④的正確性.

【詳解】4AB=（N-8）U（8-/）={x|xee8或xee/}

BAA=={x|xe8,xe/或xe4》e8},

則AKB=BAA成立.故①判斷正確；

BA（BAA）=[x\xeA,xe3或xeA,xiB^=A,

AA（AAB）=[x\xeA,xe3或xeB,x史A]=B,

則AA（AAB）=BN（2A4）不成立.故②判斷錯誤;

令/=2={1,2},貝故③判斷正確；

令/=（1,+8）,2=（-8』］,貝!j/M=R,故④判斷正確.

故選：D

2.（23-24高一上?北京豐臺?期中）定義集合的新運算如下：

MG>N={x|xeM或xeN,且xeMcN},若集合/={0,2,4,6,8,10},N={0,3,6,9,12,15},貝！］

（A/ON）OM等于（）

A.MB.NC.{2,3,4,8,9,10,15}D.{0,6,12}

【答案】B

【分析】計算出McN,MON,（MO2V）AM,即可求出（M。N）OM的值.

【詳解】由題意，

MG>N={x|xeM或xeN,且xeMcN},M={0,2,4,6,8,10},N={0,3,6,9,12,15},

...”nN={0,6},M0N={2,3,4,8,9』O,12,15},

（WG>N）nW={2,4,8,10},（MON）OM={0,3,6,9,12,15},

故選：B.

3.（23-24高一上?北京豐臺,期中）設集合N的最大元素為最小元素為相，記/的特征值為

XA=M-m,若集合中只有一個元素，規(guī)定其特征值為0.已知4，4，4，…，4是集合N*的元

素個數(shù)均不相同的非空真子集，且X.+X4+X出+…+X4=62,則"的最大值為（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【分析】根據(jù)題意保證各集合中X4=M-加盡量小，結合已知和集合的性質有"最大時

X，+X/+XA+-+XA匕D,進而分析"的取值即可.

"1"2"3Ai2

【詳解】由題意4，4，4，…，4中都至少有一個元素，且元素個數(shù)互不相同，

要使〃最大，則各集合中區(qū)"=屈-機盡量小，

所以集合4，4，4,…，4中的元素個數(shù)盡量少且數(shù)值盡可能連續(xù)，

所以，不妨設匕,=0,》4=1,匕「2,…，

貝I］有％+X，+乙+…+X/="（"T）,

當〃=11時，X&+X/2+X多+…+X）,=55<62,

當"=12時,入4+/+4+…+4.=66>62,

所以只需在〃=11時，在上述特征值取最小的情況下，使其中一個集合的特征值增加7即可，

故〃的最大值為11.

故選：B.

4.（23-24高一上?北京市育英學校,校考期中）用C（/）表示非空集合A中元素的個數(shù)，定義

A*B=<信已知集合/={x|尤2+U0卜5=卜€(wěn)劉）2+辦）卜2+辦+1）=0

①3eR,C⑻=3；

@V（zeR,C（5）>2；

@"a=0"是"/*B=1"的必要不充分條件；

④若S={aeR|/*8=1},則C（S）=3

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①④

［分析】根據(jù)新定義結合一元二次方程逐個判定對錯即可.

【詳解】對于①：當。=2時2={0,-2,-1},①正確；

對于②：當a=0時8=網(wǎng)，此時C（8）=l,②錯誤；

對于③：當a=0時臺={0},所以C（3）=l,^={0,-1},所以C（/）=2,所以/*8=1；

當4*8=1時，因為C（/）=2,所以C（5）=l或3,

/\ftz=0

若C（8）=l,A=fl2_4<（），解得"0;

若C（2）=3,因為方程/+ox=0的兩個根0和一。都不是方程/+辦+1=0的根，

「aw0

所以需滿足A2/八，解得〃=±2,

A=tz-4=0

所以“a=0〃是"*8=1"的充分不必要條件，③錯誤;

對于④：因為C(4)=2,要使得4*3=1時，所以C(2)=l或3,

由③可知：。=0或。=±2,

所以5={0,2,-2},所以C(S)=3,④正確，

故答案為：①④

4.(23-24高一上?北京市順義牛欄山第一中學??？计谥?已知S“={1,2,…㈤(心3),

/={%,電，…必}(k22)是S,的子集，定義集合/e/且q>%},若/"U{〃}=S,,則

稱集合/是￡的恰當子集.用|X|表示有限集合X的元素個數(shù).

(1)若〃=5,/={1,2,3,5},求/并判斷集合/是否為Ss的恰當子集；

⑵已知/={1,。,47}(。<6)是凡的恰當子集，求0,6的值并說明理由；

⑶若存在/是S”的恰當子集，并且|旬=5,求〃的最大值.

【答案】(1)/*={123,4},集合/是Ss的恰當子集；

(2)a=2,6=5或Q=3,b=6.(3)10

【分析】(1)由定義求/*并判斷集合4是否為S5的恰當子集；

(2)已知/={1,。,47}(a<6)是S,的恰當子集，則有/={1,2,3,4,5,6},列方程求a,6的值并檢驗;

(3)證明”=10時，存在/是品的恰當子集；當〃=11時，不存在N是兒的恰當子集，

【詳解】⑴若〃=5,有Ss={123,4,5},由/={1,2,3,5},則/={1,2,3,4},

滿足N*U{5}=S5,集合/是工的恰當子集；

(2)/={l,a,6,7}(a<6)是S’的恰當子集,則/={1,2,3,4,5,6},

7—l=6c/*,由5E/*貝!)7—Q=5或b—1=5,

7-a=5時，a=2,此時6=5,/={1,2,5,7},滿足題意；

6-1=5時，6=6,此時Q=3,={1,3,6,7},滿足題意；

Q=2,b=50^Q=3,6=6.

(3)若存在/是，的恰當子集，并且閡=5,

當〃=10時,"={1,2,3,7,10},有/*={1,2,3,4,5,6,7,8,9},滿足/*U{10}=%,

所以/={1,2,3,7,10}是與的恰當子集，

當”=11時，若存在/是品的恰當子集，并且|聞=5,貝I］需滿足/={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},由

10eZ,則有l(wèi)e/且lie/；由9e/*,貝U有2e/或10e/,

2e/時，設/={1,2,a,6,l1}（3W。<6W10）,經(jīng)檢驗沒有這樣的滿足/={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}；

當10eN時，設/={1,。,410,ll}（2Wa<6W9）,經(jīng)檢驗沒有這樣的db滿足

/*={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}；,

因此不存在N是右的恰當子集，并且|/|=5,

所以存在/是S”的恰當子集，并且回=5,〃的最大值為10.

5.（23-24高一上?北京市第一六一中學??？计谥校┘褐蟂“={1,2,3,…,2"}（〃eN*,〃N4）,對于

集合S“的非空子集A,若S”中存在三個互不相同的元素凡瓦c,使得。+4b+c,c+a均屬于A,則

稱集合A是集合S”的"期待子集

（1）試判斷集合4={3,4,5},4={3,5,7}是否為集合S4的“期待子集"；（直接寫出答案，不必說明理由）

⑵如果一個集合中含有三個元素x/,z,同時滿足①》<y<z,②x+y>z,③x+y+z為偶數(shù).那

么稱該集合具有性質P.對于集合S"的非空子集A,證明：集合A是集合S,的"期待子集"的充要條件

是集合A具有性質尸.

【答案】（1）4是集合$4的“期待子集"，4不是集合國的“期待子集"

⑵證明見解析

【分析】（1）根據(jù)所給定義判斷即可.

（2）先證明必要性，再證明充分性，結合所給"期待子集〃的定義及性質產(chǎn)的定義證明即可；

【詳解】（1）因為$4={1，2,3,4,5,6,7,8},

a+b=3a=2

對于集合4={3,4,5},令，6+c=4,解得，6=1,顯然2eS4,3GS4

C+Q=5c=3

所以4是集合國的“期待子集〃；

q+4=3

對于集合4={3,5,7},令M+G=5,則4+4+01=?,

q+4=7~

因為為，配qeS”，即為+4+qeN*,故矛盾，所以4不是集合乞的“期待子集"

(2)先證明必要性：

當集合A是集合S”的"期待子集"時，由題意，存在互不相同的瓦ceS“，使得。+6/+c,c+ae),

不妨設a<6<c,令x=a+6,y=a+c,z=b+c,則x<V<z,即條件尸中的①成立；

又x+y—z=(a+b)+(c+a)-僅+c)=2a>0,所以x+y>z,即條件尸中的②成立；

因為x+y+z=(a+6)+(c+a)+(6+c)=2(a+6+c),

所以x+〉+z為偶數(shù)，即條件P中的③成立；

所以集合A滿足條件尸.

再證明充分性：

當集合A滿足條件P時，有存在用j,zeN,滿足①x<y<z,(2)x+y>z,③x+y+z為偶數(shù)，

x+y+z7x+y+zx+y+z

1己a=--------z,b=---------y,c=---------x,

222

由③得a,b,c￡Z,由①得a<6<c<z,由②得a=x+；+z_z〉0,

所以。也ceS”，

因為a+b=x,a+c=y,b+c=z,所以a+b,b+c,c+Q均屬于A,

即集合A是集合Sn的〃期待子集〃

題型03根據(jù)集合的關系求參數(shù)范圍

1.(23-24高一上?北京市和平街第一中學??？计谥?設集合/={x|a7<x<2a+3},不等式

--2》一8<0的解集為A

(1)當a=l時，求NcB,A\JB,Q/；

(2)當/=3時，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴/口8={尤[0<%<4},A\JB=[x\-2<x<5\,={x|xW0或x25}

⑵〃《一4或-1WQW；

【分析】(1)根據(jù)條件，先求出集合48,再借助數(shù)軸即可求出結果;

(2)根據(jù)分4=0和兩種情況討論，即可得出結果.

【詳解】(1)由X2-2X-8<0,得至lj-2<x<4,即8={x|-2<x<4},

當a=l時，/={x[0<x<5},

______II5I__xa

-2045

由圖知，^A5={x|0<x<4},