2章-桿件的內(nèi)力與內(nèi)力圖-拉壓、扭轉(zhuǎn)

對構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性分析是材料力學(xué)的基本任務(wù)，而強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性都直接與構(gòu)件的內(nèi)力有關(guān)，本章首先建立內(nèi)力的概念，在此基礎(chǔ)上研究桿件橫截面上的內(nèi)力分量、計(jì)算方法和沿桿軸線的變化規(guī)律。2章桿件的內(nèi)力和內(nèi)力圖§2.1基本概念§2.2軸向拉壓桿的內(nèi)力—軸力§2.3受扭桿件的內(nèi)力—扭矩§2.4彎曲桿件的內(nèi)力—剪力和彎矩§2.1基本概念2.1.1內(nèi)力的概念

《物理學(xué)》：指微粒之間的相互作用力，由于這個(gè)作用力的不同，使物體呈現(xiàn)出不同的形態(tài)?！鹅o力學(xué)》中：物體之間的相互約束力，稱為內(nèi)約束力。內(nèi)力——物體受外因作用而變形，體內(nèi)各點(diǎn)發(fā)生相對位移，從而產(chǎn)生抵抗變形的相互作用力稱為附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力。注意：物體內(nèi)部相鄰部分之間的作用力是一個(gè)連續(xù)分布的內(nèi)力系，此處我們所說的內(nèi)力是該內(nèi)力系的合成的結(jié)果（力或力偶）

此處講解的內(nèi)力：在物理學(xué)內(nèi)力的基礎(chǔ)上，變形體在外因的作用下（荷載、溫度變化……），發(fā)生變形，體內(nèi)各點(diǎn)發(fā)生相對位移，從而產(chǎn)生抵抗變形的相互作用的附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力內(nèi)力分量及其名稱mm一雷蒙德.穆迪是美國弗吉尼亞大學(xué)文學(xué)學(xué)士、文學(xué)碩士和哲學(xué)博士。由于對醫(yī)學(xué)有興趣，便又進(jìn)入醫(yī)學(xué)院學(xué)習(xí)，獲得心理學(xué)博士學(xué)位，并成為醫(yī)學(xué)院醫(yī)療哲學(xué)的教授。被《紐約時(shí)報(bào)》譽(yù)為“瀕死體驗(yàn)之父”，并因其在該領(lǐng)域的卓越貢獻(xiàn)，于1988年在丹麥獲頒“世界人道主義獎(jiǎng)”。作品有心理學(xué)著作《團(tuán)聚》，有關(guān)瀕死體驗(yàn)的作品《胡言亂語的智慧》和《LifeAfterLife》即《死后的世界》，關(guān)于超自然現(xiàn)象的作品《最后的勝利》。瀕死體驗(yàn)的概念由穆迪博士在1975年首次提出，后來，他深入對此現(xiàn)象的研究，通過講述和分析直接或間接采訪到的150個(gè)有瀕死體驗(yàn)的個(gè)案，總結(jié)出其體驗(yàn)有15個(gè)元素，并加入哲學(xué)、自然科學(xué)與心理學(xué)等對該問題闡述，最終寫成極具科學(xué)價(jià)值與精神價(jià)值的著作《LifeAfterLife》?！禠ife?After?Life》漢語翻譯為《死后的世界》，該書最近一版是中國臺灣大學(xué)哲學(xué)碩士林宏濤翻譯，浙江人民出版社于2017年出版發(fā)行。本書首次出版后，便掀起了全世界科學(xué)家對瀕死體驗(yàn)的研究熱潮。著名研究人員麥爾文.摩斯評價(jià)：“這本書讓我們想起沉睡在我們心里的靈性。它給了我們很多靈性工具，讓我們?nèi)ダ斫庾约旱纳黰m內(nèi)力分量及其名稱mm內(nèi)力分量及其名稱Mx——扭矩FNx——軸力FQy、

FQz——剪力My、MZ——彎矩2.1.2內(nèi)力與外力的關(guān)系——截面法1彈性變形體的平衡原理2求內(nèi)力的方法——截面法

應(yīng)用平衡的概念，不僅可以確定構(gòu)件的支座反力，而且還可以確定構(gòu)件上任意橫截面上的受力-內(nèi)力及其沿構(gòu)件軸線方向的變化規(guī)律，以找出最危險(xiǎn)的截面。在內(nèi)力計(jì)算中，我們講的是彈性變形體，根據(jù)剛化原理，當(dāng)彈性變形體在外因作用下變形后處于平衡狀態(tài)時(shí)，同樣也滿足此結(jié)論。這種整體平衡局部平衡的關(guān)系不僅適用于剛體，而且也適用于所有彈性變形體，稱為彈性體平衡原理。但此處，整體是指單根桿件，局部是指桿件中的某一部分，包括某一桿段、某一微段、某一點(diǎn)等。1彈性變形體的平衡原理剛體的平衡原理《靜力學(xué)》中，我們學(xué)習(xí)了剛體系統(tǒng)的平衡問題，即整體平衡，局部平衡。在此，整體是指物體系統(tǒng)，局部是指單個(gè)構(gòu)件或某幾個(gè)構(gòu)件。彈性變形體的平衡原理2求內(nèi)力的方法——截面法mm（1）切開——假想地沿求內(nèi)力的截面將構(gòu)件分為兩部分。（2）留取——留取其中一部分為研究對象。mm（4）平衡_____建立留下部分的平衡方程，確定未知的內(nèi)力。（3）代替----用作用于截面上的內(nèi)力代替棄去部分對留下部分的作用。截面法的實(shí)質(zhì)：切、留、代、平例：已知小型壓力機(jī)機(jī)架受力FP的作用，如圖，試求立柱截面m-n上的內(nèi)力解：1、切。假想從m-n面將機(jī)架切開（如圖所示）2、留。留取上部分為脫離體。3、代。下部分對上部分的相互作用為分布力系，這些分布力系向截面形心簡化，為一主矢FN和主矩MZ

（根據(jù)局部平衡確定）。建立如圖所示的坐標(biāo)系。4、平。由平衡方程得：∑Fy=0FP-FN=0 FN=FP∑Mo=0Fp·a-Mz=0Mz=Fp·a

§2.2軸向拉壓桿件的內(nèi)力—軸力2.2.1軸向拉壓桿工程實(shí)例、力學(xué)模型及特點(diǎn)承受軸向載荷的拉（壓）桿在工程中的應(yīng)用非常廣泛。工程實(shí)例：吊車

由汽缸、活塞、連桿所組成的機(jī)構(gòu)中，不僅連接汽缸缸體和汽缸蓋的螺栓承受軸向拉力，帶動(dòng)活塞運(yùn)動(dòng)的連桿由于兩端都是鉸鏈約束，因而也是承受軸向載荷的桿件。力學(xué)計(jì)算模型（簡圖）即如圖所示：桿的兩端各受一對集中力FP作用，兩個(gè)FP大小相等，指向相反，且作用線與桿軸線重合。FPFPFPFPab稱為軸向拉伸，桿發(fā)生縱向伸長。ab稱為軸向壓縮桿發(fā)生縱向縮短。軸向拉伸和壓縮變形的受力特征作用于桿上的外力（或外力合力）的作用線與桿的軸線重合。：桿件的變形是沿軸線方向伸長或縮短變形特征2.2.2軸向拉壓桿件的內(nèi)力——軸力截面法是求內(nèi)力的唯一方法

求圖示等直桿件

橫截面mm上的內(nèi)力。mmFPFPmmFPFP在求內(nèi)力的截面mm處，假想地將桿截為兩部分。切開留下一部分為脫離體取左部分部分作為研究對象。棄去部分對研究對象的作用以截開面上的內(nèi)力代替。合力為FNmmFPFN代替平衡對研究對象列平衡方程FN=FP式中：FN

為桿件任一橫截面

m—m上的內(nèi)力。因與桿的軸線重合，即垂直于橫截面并通過其形心。稱為軸力。mmFPFPmmFPFNFN若取右側(cè)為研究對象，則在截開面上的軸力與部分左側(cè)上的軸力數(shù)值相等而指向相反mmFPFPmmFPFNmFPmFN軸力符號的規(guī)定a若軸力背離截面，則規(guī)定為正號，稱為拉力(拉力為正）。b若軸力指向截面，則規(guī)定為負(fù)號，稱為壓力（壓力為負(fù)）。mmFPFPmmFPFNmFPm例題：一等直桿其受力情況如圖所示，試求各段的軸力。

CABD600300500400E40KN55KN25KN20KN

解：求支座反力FRCABDE40KN55KN25KN20KNCABD600300500400E40KN55KN25KN20KN

求AB段內(nèi)的軸力FN1-FR=0FN1=FR=10kN

(+)20KNCABDE40KN55KN25KNFR1FRFN1

求BC段內(nèi)的軸力FR40KNFN2CABDE40KN55KN25KNFR2

CABDE40KN55KN25KN20KNFR3FN3求CD段內(nèi)的軸力20KN25KN求DE段內(nèi)的軸力20KNFN4CABDE40KN55KN25KN20KNFR4

FN1-FR=0FN1=FR=10kN(+)FRFN1FR40KNFN2FN320KN25KN20KNFN4 軸力FN的計(jì)算法則：任意橫截面上的軸力在數(shù)值上等于脫離體上所有外力沿軸線切線方向投影的代數(shù)和，對切開面而言外力為拉力產(chǎn)生正的軸力，外力為壓力產(chǎn)生負(fù)的軸力

不同橫截面上，軸力的大小是不相同的，在進(jìn)行構(gòu)件設(shè)計(jì)時(shí)，需要了解整個(gè)桿件上軸力的變化情況。2.2.3軸力圖用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上的軸力數(shù)值，從而繪出表示軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線，稱為

軸力圖（軸力沿桿軸線方向變化的圖形）。將正的軸力畫在上側(cè)，負(fù)的畫在下側(cè)。xFNFN1=10KN（拉力）FN2=50KN（拉力）FN3=-5KN（壓力）FN4=20KN（拉力）FNmax=50KN發(fā)生在BC段內(nèi)任一橫截面上CABD600300500400E40KN55KN25KN20KN1050520++FN圖（kN）內(nèi)力圖的五要素：圖名、單位、正負(fù)、關(guān)鍵值、比例。不求支座反力可以計(jì)算嗎？+FN1FN2FN3FN4根據(jù)內(nèi)力圖可以明確的看出：最危險(xiǎn)的桿段集中力作用的左、右截面處，軸力圖有突變，突變值就等于該集中力。內(nèi)力圖的五要素根據(jù)以上分析，繪制軸力圖的方法

確定約束力；

根據(jù)桿件上作用的載荷以及約束力，確定控制面，也就是軸力圖的分段點(diǎn)；分段

應(yīng)用截面法，用假想截面從控制面處將桿件截開，在截開的截面上，畫出未知軸力，并假設(shè)為正方向；對截開的部分桿件建立平衡方程，確定控制面上的軸力。求控制截面的軸力

建立FN－x坐標(biāo)系，將所求得的軸力值標(biāo)在坐標(biāo)系中，畫出軸力圖。繪軸力圖

CAB

直桿，A端固定，在B、C兩處作用有集中載荷F1和F2，其中F1＝5kN，F(xiàn)2＝10kN。F1F2llCABllF1F2FA試畫出：桿件的軸力圖。

例題解：1.確定A處的約束力

A處雖然是固定端約束，但由于桿件只有軸向載荷作用，所以只有一個(gè)軸向的約束力FA。求得FA＝5kN由平衡方程

2.確定控制面3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡。

CABF1F2llCABllF1F2FA

在集中載荷F2、約束力FA作用處的A、C截面，以及集中載荷F1作用點(diǎn)B處的上、下兩側(cè)橫截面都是控制面。

B"B'3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'CABllF1F2FNA3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'CBlF1F2B"FNB''

3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力

用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'FNB'ClF2B'3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'FNCClF2

4.建立FN－x坐標(biāo)系，畫軸力圖

FN－x坐標(biāo)系中x坐標(biāo)軸沿著桿件的軸線方向，F(xiàn)N坐標(biāo)軸垂直于x軸。

將所求得的各控制面上的軸力標(biāo)在FN－x坐標(biāo)系中，得到a、和c四點(diǎn)。因?yàn)樵贏、之間以及、C之間，沒有其他外力作用，故這兩段中的軸力分別與A（或）截面以及C（或）截面相同。這表明a點(diǎn)與點(diǎn)心”之間以及c點(diǎn)之間的軸力圖為平行于x軸的直線。于是，得到桿的軸力圖。

FN/kNOxCABF1F2llCABllF1F2FNAFNB''

CBlF1F2B"FNB'ClF2B'FNCClF2b"5b'10c105a[例]

圖示桿的A、B、C、D點(diǎn)分別作用著大小為5P、8P、4P、

P

的力，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。解：求OA段內(nèi)力FN1：設(shè)置截面如圖ABCD5P8P4PPOABCD5P8P4PPFN1同理，求得AB、BC、CD段內(nèi)力分別為：FN2=–3P

FN3=5PFN4=P軸力圖如右圖BCD8P4PPCD4PPDPFNx2P3P5PP++–FN2FN3FN4已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;試畫出圖示桿件的軸力圖。11解：1、計(jì)算各段的軸力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233CD段2、繪制軸力圖。102510§2.3受扭桿件的內(nèi)力—扭矩2.3.1受扭桿件的工程實(shí)例、模型及特點(diǎn)變速箱請判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)請判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)連接汽輪機(jī)和發(fā)電機(jī)的傳動(dòng)軸將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。

當(dāng)兩只手用力相等時(shí)，擰緊羅母的工具桿將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對轉(zhuǎn)動(dòng)；桿表面上的縱向線變成螺旋線。受力特點(diǎn)：圓截面直桿受到一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿的軸線的外力偶作用變形特點(diǎn)：Me

Me

計(jì)算模型（簡圖）工程上把發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件稱為軸直接計(jì)算外力偶矩的計(jì)算Me=Fd從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪n

作用于構(gòu)件的外扭矩與機(jī)器的轉(zhuǎn)速、功率有關(guān)。在傳動(dòng)軸計(jì)算中，通常給出傳動(dòng)功率P和轉(zhuǎn)速n，則傳動(dòng)軸所受的外加扭力矩Me可用下式計(jì)算：

其中P為功率，單位為千瓦（kW）；n為軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/分（r/min）。

如果功率P單位用馬力（1馬力=735.5N?m/s），則:按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功完成：已知軸轉(zhuǎn)速－n轉(zhuǎn)/分鐘輸出功率－kW千瓦求：力偶矩Me§4-2、外力偶矩扭矩和扭矩圖圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用符號Mx表示。仍然用截面法求圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力。11MeMeAB11BMeAMe11x2.3.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力——扭矩MxMx右手拇指指向外法線方向?yàn)檎?+),反之為負(fù)（-）

MxMx扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則(+)扭矩的符號規(guī)定按右手螺旋法則確定:扭矩矢量離開截面為正，指向截面為負(fù)。Mx(+)Mx(-)MxMxMxMx例題

圓軸受有四個(gè)繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸單位為mm。

試：求出各段的扭矩

解：應(yīng)用截面法由平衡方程確定各段圓軸內(nèi)的扭矩

。

扭矩Mx的計(jì)算法則：任意橫截面上的扭矩在數(shù)值上等于脫離體上所有外力偶矩的代數(shù)和，對切開面而言