人教版九年級數(shù)學(xué)上冊一元二次方程《一元二次方程整 理與復(fù)習(xí)》示范公開課教學(xué)課件

整理與復(fù)習(xí)第21章

一元二次方程

請你帶著下面的問題，進(jìn)入本課的復(fù)習(xí)吧！

1．比較你所學(xué)過的各種整式方程，說明它們的未知數(shù)的個數(shù)與次數(shù)．你能寫出這些方程的一般形式嗎？

2．一元二次方程有哪些解法？各種解法在什么情況下比較適用？你能說說“降次”在解一元二次方程中的作用嗎？

3．求根公式與配方法有什么關(guān)系？如何判別一元二次方程根的情況？

請你帶著下面的問題，進(jìn)入本課的復(fù)習(xí)吧！

4．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根x1，x2與系數(shù)a，b，c有什么關(guān)系？我們是如何得到這種關(guān)系的？

5．你能舉例說明用一元二次方程解決實際問題的過程嗎？例1

已知關(guān)于x的方程(2k＋1)x2＋k－4kx＋(k－1)＝0．當(dāng)k為何值時，此方程是一元二次方程？寫出這個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．考點一一元二次方程及其相關(guān)概念

解：由題意得2＋k＝2且2k＋1≠0，解得k＝0．∴當(dāng)

k＝0時，關(guān)于

x

的方程是一元二次方程，該一元二次方程為x2－1＝0．∴這個一元二次方程的二次項系數(shù)是1，一次項系數(shù)是0，常數(shù)項是－1．

一元二次方程滿足的三個條件

（1）整式方程；（2）只含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2．

考點一一元二次方程及其相關(guān)概念一元二次方程的二次項系數(shù)不為

0是易考點，同時也是易錯點．

1．已知關(guān)于x的方程是一元二次方程，試求代數(shù)式m2＋2m－4的值．考點一一元二次方程及其相關(guān)概念

解：根據(jù)題意，得m2－2＝2且m－2≠0，解得m＝±2且m≠2，

∴m＝－2．∴m2＋2m－4＝(－2)2＋2×(－2)－4＝4－4－4＝－4．

例2

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；

（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考點二一元二次方程的解法解：（1）方程兩邊除以2，得(x－1)2＝9，則x－1＝3或－3，即x1＝4，x2＝－2．

（2）原方程可整理為x2－4x＋4＝5，

則(x－2)2＝5，解得x1＝，x2＝．

例2

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；

（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考點二一元二次方程的解法解：（3）整理得3y2＋2y－5＝0，

則b2－4ac＝64＞0，

∴y＝＝，

∴y1＝1，y2＝．

例2

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；

（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考點二一元二次方程的解法解：（4）移項得x(2x＋3)－(2x＋3)＝0，因式分解得(2x＋3)(x－1)＝0，則2x＋3＝0或x－1＝0，解得x1＝，x2＝1．

一元二次方程解法的選擇

（1）若方程符合a(x－n)2＝m(am≥0，a≠0)的形式，用直接開平方法解方程比較簡單；對于一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

而言，當(dāng)b＝0時，用直接開平方法求解較好．

（2）對于一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，當(dāng)c＝0時，用因式分解法比較簡單．考點二一元二次方程的解法

一元二次方程解法的選擇

（3）對于一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，當(dāng)a，b，c均不為0，且不易因式分解時，一般采用公式法．

（4）配方法也是一種重要的解法，當(dāng)二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)時，應(yīng)用此方法比較簡單．對于復(fù)雜的一元二次方程，一般不急于化為方程的一般形式，應(yīng)觀察其特點，看能否用直接開平方法或因式分解法；若不能，優(yōu)先選取的算法依次為直接開平方法→因式分解法→公式法→配方法．考點二一元二次方程的解法

例3

下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）．

A．4x2－5x＋2＝0

B．x2－6x＝－9

C．5x2－4x－1＝0

D．3x2－4x＋1＝0考點三一元二次方程根的判別式

解析：選項A，Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×4×2＝－7＜0，所以方程沒有實數(shù)根；選項B，方程變形得x2－6x＋9＝0，Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根；

分析：計算各方程Δ＝b2－4ac的值，根據(jù)Δ＝b2－4ac與0

的大小關(guān)系進(jìn)行判斷．

例3

下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）．

A．4x2－5x＋2＝0

B．x2－6x＝－9

C．5x2－4x－1＝0

D．3x2－4x＋1＝0考點三一元二次方程根的判別式

選項C，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根；選項D，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×1＝4＞0，

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．

故選A．A

一元二次方程根的判別式是判斷方程的根的情況的重要工具，主要從兩個方面考查：

一是利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況；

二是已知一元二次方程根的情況，利用根的判別式求方程中未知系數(shù)的取值范圍．考點三一元二次方程根的判別式

2．已知關(guān)于x

的方程ax2＋2x－3＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求a

的取值范圍；（2）若此方程的一個實數(shù)根為1，求a的值及方程的另一個實數(shù)根．考點三一元二次方程根的判別式解：（1）∵關(guān)于x

的方程ax2＋2x－3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＞0，且a≠0，即22－4a·(－3)＞0，且a≠0，∴a＞且a≠0．

2．已知關(guān)于x

的方程ax2＋2x－3＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求a

的取值范圍；（2）若此方程的一個實數(shù)根為1，求a的值及方程的另一個實數(shù)根．考點三一元二次方程根的判別式解：（2）將x＝1

代入方程ax2＋2x－3＝0，解得a＝1．把a(bǔ)＝1代入，得方程x2＋2x－3＝0，解方程得x1＝1，x2＝－3．

∴a

的值為

1，方程的另一個實數(shù)根為－3．考點四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

例4

設(shè)x1，x2

是方程

2x2＋5x－7＝0

的兩個實數(shù)根，不解方程，求下列式子的值．（1）；

（2）．解：∵x1，x2是方程2x2＋5x－7＝0

的兩個實數(shù)根，∴

x1＋x2＝，x1x2＝．

（1）原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋7＝．考點四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

例4

設(shè)x1，x2

是方程

2x2＋5x－7＝0

的兩個實數(shù)根，不解方程，求下列式子的值．（1）；

（2）．

解：（2）原式

在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的四個主要應(yīng)用

一是已知方程的兩個根，可寫出一元二次方程；

二是已知方程的一個根，可求方程的另一個根及方程中的字母參數(shù)；

三是不解方程，直接利用兩根之積與兩根之和求與一元二次方程兩個實數(shù)根有關(guān)的代數(shù)式的值；

四是已知與方程兩個實數(shù)根有關(guān)的代數(shù)式的值，確定方程中的字母參數(shù)．考點四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

3．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0

有實數(shù)根．

（1）求

m的取值范圍；（2）如果方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范圍．考點四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解：（1）根據(jù)題意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，

解得m≤4．

（2）根據(jù)題意，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1．∵2x1x2＋x1＋x2≥20，∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3．

由（1）得m≤4，∴m的取值范圍為3≤m≤4．考點五一元二次方程的應(yīng)用

例5

新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有

169人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同），求每輪傳染中平均每個人傳染的人數(shù)．解：設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，則第一輪傳染后有x

人被傳染，第二輪傳染后有x(1＋x)

人被傳染．

根據(jù)題意，得1＋x＋x(1＋x)＝169，解得x1＝12，x2＝－14（不合題意，舍去）．

答：每輪傳染中平均每個人傳染了12人．

一元二次方程是有效刻畫實際問題的一類數(shù)學(xué)模型．在實際問題中，讀懂題意、分析數(shù)量關(guān)系、建立方程模型是關(guān)鍵，需要注意以下三點：

一是整體地、系統(tǒng)地審清題意；

二是準(zhǔn)確把握問題中的等量關(guān)系，并列方程；

三是正確求解方程，并檢驗解的合理性．考點五一元二次方程的應(yīng)用

4．某種商品的標(biāo)價為400元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同．（1）求該種商品每次降價的百分率；解：（1）設(shè)該種商品每次降價的百分率為x

．根據(jù)題意，得

400(1－x)2＝324，

解得x＝0.1或x＝1.9（不合題意，舍去）．

答：該種商品每次降價的百分率為10%．考點五一元二次方程的應(yīng)用

4．某種商品的標(biāo)價為400元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同．