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2025屆江蘇省泰州市興化一中高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)等于()A. B. C.2 D.-22.已知集合,集合,若,則()A. B. C. D.3.?dāng)?shù)列滿足:,,,為其前n項(xiàng)和,則()A.0 B.1 C.3 D.44.如圖所示,用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A. B.C. D.5.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為()A. B. C. D.7.自2019年12月以來(lái),在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,研究表明,該新型冠狀病毒具有很強(qiáng)的傳染性各級(jí)政府反應(yīng)迅速,采取了有效的防控阻擊措施,把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級(jí)要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記,有3個(gè)不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶,負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生,現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去,且每個(gè)住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記,則不同的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.72種8.已知l,m是兩條不同的直線,m⊥平面α,則“”是“l(fā)⊥m”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.410.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則方程的最小實(shí)根的值為()A. B. C. D.11.“幻方”最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中.“階幻方”是由前個(gè)正整數(shù)組成的—個(gè)階方陣,其各行各列及兩條對(duì)角線所含的個(gè)數(shù)之和(簡(jiǎn)稱幻和)相等,例如“3階幻方”的幻和為15(如圖所示).則“5階幻方”的幻和為()A.75 B.65 C.55 D.4512.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,若,則實(shí)數(shù)______.14.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,則的最大值為_(kāi)_______.15.已知橢圓:的左,右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),若,且的三邊長(zhǎng),,成等差數(shù)列,則的離心率為_(kāi)_________.16.在中,,,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),求整數(shù)的最大值.(參考數(shù)據(jù):,)18.(12分)在中,內(nèi)角的邊長(zhǎng)分別為,且.(1)若,,求的值;(2)若,且的面積,求和的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)已知,若對(duì)于任意恒成立,求的取值范圍.20.(12分)已知多面體中,、均垂直于平面,,,,是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,時(shí),在上單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)若,,,求證:當(dāng)時(shí),.22.(10分)在銳角中,分別是角的對(duì)邊,,,且.(1)求角的大??;(2)求函數(shù)的值域.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算,化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足,∴,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)或,驗(yàn)證交集后求得的值.【詳解】因?yàn)?,所以?當(dāng)時(shí),,不符合題意,當(dāng)時(shí),.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合的交集概念及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

用去換中的n,得,相加即可找到數(shù)列的周期,再利用計(jì)算.【詳解】由已知,①,所以②,①+②,得,從而,數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,且前6項(xiàng)分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用,在求時(shí),先算出一個(gè)周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.4、D【解析】因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形,所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為,又因?yàn)殡u蛋的體積為,所以球的半徑為,所以球心到截面的距離,而截面到球體最低點(diǎn)距離為,而蛋巢的高度為,故球體到蛋巢底面的最短距離為.點(diǎn)睛:本題主要考查折疊問(wèn)題,考查球體有關(guān)的知識(shí).在解答過(guò)程中,如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問(wèn)題時(shí),可以采用軸截面的方法來(lái)處理.也就是畫(huà)出題目通過(guò)球心和最低點(diǎn)的截面,然后利用弦長(zhǎng)和勾股定理來(lái)解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.5、B【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個(gè)四棱錐,根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù),計(jì)算各棱的長(zhǎng)度.【詳解】根據(jù)三視圖可知,幾何體是一個(gè)四棱錐,如圖所示:由三視圖知:,所以,所以,所以該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.7、C【解析】

先將4名醫(yī)生分成3組,其中1組有2人,共有種選法,然后將這3組醫(yī)生分配到3個(gè)不同的住戶中去,有種方法,由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是排列組合知識(shí),解此類題時(shí)一般先組合再排列,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m⊥平面α?xí)r,若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,則l∥α或l?α,即必要性不成立,則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大,屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值,然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的,通過(guò)計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以,故當(dāng)時(shí),,所以,而,所以,又當(dāng)時(shí),的極大值為1,所以當(dāng)時(shí),的極大值為,設(shè)方程的最小實(shí)根為,,則,即,此時(shí)令,得,所以最小實(shí)根為411.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問(wèn)題,涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識(shí),本題有一定的難度及高度,是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.11、B【解析】

計(jì)算的和,然后除以,得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到,此時(shí)與函數(shù)的圖象重合,則,即,,當(dāng)時(shí),取得最小值為,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-2【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算可求得,根據(jù)平行關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得:,解得:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,關(guān)鍵是能夠利用平行關(guān)系構(gòu)造出方程.14、3【解析】

作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域(如下圖陰影部分),聯(lián)立,可求得點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

設(shè),,,根據(jù)勾股定理得出,而由橢圓的定義得出的周長(zhǎng)為,有,便可求出和的關(guān)系,即可求得橢圓的離心率.【詳解】解:由已知,的三邊長(zhǎng),,成等差數(shù)列,設(shè),,,而,根據(jù)勾股定理有:,解得:,由橢圓定義知:的周長(zhǎng)為,有,,在直角中,由勾股定理,,即:,∴離心率.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.16、【解析】

先由題意得:,再利用向量數(shù)量積的幾何意義得,可得結(jié)果.【詳解】由知:,則在方向的投影為,由向量數(shù)量積的幾何意義得:,∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了投影的應(yīng)用,考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)將代入函數(shù)解析式可得,構(gòu)造函數(shù),求得并令,由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值,由即可證明恒成立,即不等式得證.(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),變形后討論當(dāng)時(shí)的函數(shù)單調(diào)情況:當(dāng)時(shí),可知滿足題意;將不等式化簡(jiǎn)后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性,從而求得最小值為,分別依次代入檢驗(yàn)的符號(hào),即可確定整數(shù)的最大值;當(dāng)時(shí)不滿足題意,因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值,所以時(shí)無(wú)需再討論.【詳解】(1)證明:當(dāng)時(shí)代入可得,令,,則,令解得,當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞減,所以,則,即成立.(2)函數(shù)則,若時(shí),當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞減,所以,即當(dāng)時(shí)成立;所以此時(shí)需滿足的整數(shù)解即可,將不等式化簡(jiǎn)可得,令則令解得,當(dāng)時(shí),即在內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),即在內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)取得最小值,則,,,所以此時(shí)滿足的整數(shù)的最大值為;當(dāng)時(shí),在時(shí),此時(shí),與題意矛盾,所以不成立.因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值,所以時(shí)無(wú)需再討論,綜上所述,當(dāng)時(shí),整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系和應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法求最值,并判斷函數(shù)值法符號(hào),綜合性強(qiáng),屬于難題.18、(1);(2).【解析】

(1)先由余弦定理求得,再由正弦定理計(jì)算即可得到所求值;

(2)運(yùn)用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式,化簡(jiǎn)可得sinA+sinB=5sinC,運(yùn)用正弦定理和三角形的面積公式可得a,b的方程組,解方程即可得到所求值.【詳解】解:(1)由余弦定理由正弦定理得(2)由已知得:所以------①又所以------②由①②解得【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用,以及三角函數(shù)的恒等變換,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.19、(1)或;(2).【解析】

(1)時(shí),分類討論,去掉絕對(duì)值,分類討論解不等式.(2)時(shí),分類討論去絕對(duì)值,得到解析式,由函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值,通過(guò)恒成立問(wèn)題,得到關(guān)于的不等式,得到的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,所以不等式等價(jià)于或或,解得或.所以不等式的解集為或.(2)因?yàn)?,所以,根?jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的最小值為,因?yàn)楹愠闪?,所以,解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論去絕對(duì)值,分段函數(shù)求最值,不等式恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)取的中點(diǎn),連接、,推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形,可得出,由此能證明平面;(2)由,得平面,則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),就是到平面的距離,也就是點(diǎn)到平面的距離,由此能求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)取的中點(diǎn),連接、,、分別為、的中點(diǎn),則且,、均垂直于平面,且,則,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面;(2)由,平面,平面,平面,點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),平面,平面,,,,平面,即就是到平面的距離,也就是點(diǎn)到平面的距離,設(shè),則到平面的距離,,因此,直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.21、(1)(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)在上單調(diào)遞減等價(jià)于在恒成立,分離參數(shù)即可解決.(2)先對(duì)求導(dǎo),化簡(jiǎn)后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷唯一零點(diǎn)所在區(qū)間,構(gòu)造函數(shù)利用基本不等式求解即可.【詳解】(1),時(shí),,,∵在上單調(diào)遞減.∴,.令,,時(shí),;時(shí),,∴在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).∴,∴.∴的取值范圍為.(2)若,,時(shí),,,令,顯然在上為增函數(shù).又,,∴有唯一零點(diǎn).且,時(shí),,;時(shí),,,∴在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).∴.又,∴,,.∴.,.∴當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)定區(qū)間上單調(diào),

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