人教版七年級數(shù)學上冊《實際問題與一元一次方程（第5課時）》示范課教學設計

5.3實際問題與一元一次方程（第5課時）教學目標 教學目標1．能從實際問題中找出相等關系，由此列出方程，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．2．針對不同的題目類型，能正確進行解答，并將解方程的結果轉(zhuǎn)化為實際問題的答案．教學重點教學重點通過尋找相等關系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．教學難點教學難點由實際問題抽象出數(shù)學模型的探究過程．教學過程教學過程新課導入一元一次方程在實際生活中有著廣泛的應用，這類問題常與現(xiàn)實生活背景結合，常見類型有“配套問題”“工程問題”“商品銷售問題”“比賽積分問題”“分段計費問題”等．解決這類問題的關鍵是先通過對實際問題進行分析，找出相等關系，再設未知數(shù)列方程求解．本節(jié)課，主要對這幾種類型的題目進行復習鞏固，進一步提高同學們分析和解決問題的能力．新知探究類型一、配套問題與工程問題【問題】1．用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身25個，或制盒底40個，一個盒身與兩個盒底配成一套．現(xiàn)在有36張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，可使盒身與盒底正好配套？【師生活動】學生獨立解答，小組內(nèi)部交流糾錯．【答案】解：設用x張白鐵皮制盒身，則用(36－x)張制盒底．由題意，得2×25x＝40(36－x)．解方程，得x＝16，36－x＝36－16＝20．答：用16張白鐵皮制盒身，20張白鐵皮制盒底，可使盒身與盒底正好配套．【問題】2．甲、乙兩人想共同承包一項工程，甲單獨做30天完成，乙單獨做20天完成，合同規(guī)定15天完成，每超過1天罰款1000元，甲、乙兩人商量后簽訂了該合同．（1）正常情況下，甲、乙兩人能按期履行該合同嗎？為什么？（2）現(xiàn)兩人合作完成了這項工程的75%，因別處有急事，必須調(diào)走1人，則調(diào)走誰合適？為什么？【師生活動】學生獨立解答，小組內(nèi)部交流糾錯．【答案】解：（1）能按期履行該合同．理由如下：設甲、乙兩人合作x天完成，則有x＝1，可得x＝12．因為12＜15，所以兩人能按期履行該合同．（2）調(diào)走甲合適．理由如下：由（1）知，兩人合作完成這項工程的75%需要的時間為12×75%＝9（天）．剩下6天必須由某人單獨做完余下的工程，故他的工作效率至少為(1－75%)÷6＝．因為，所以調(diào)走甲合適．【歸納】列一元一次方程解決工程問題應注意：（1）要清楚地表達出各個工作者的工作效率．（2）明確各階段工作效率對應的工作時間．（3）一般有單獨工作、合作兩種形式，總量一般記為單位“1”．【設計意圖】通過解答這兩道題目，檢驗學生對本類型題目的掌握程度，讓學生知道列一元一次方程解決工程問題的三個注意點，同時對配套問題進行解后反思，意識到解決配套問題的關鍵是找到數(shù)量關系．類型二、商品銷售問題【問題】3．某商場將某種電器的標價按進價提高40%后，進行促銷：“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結果每件電器可獲利270元，請問這種電器每件的進價是多少元？【師生活動】學生獨立解決問題，教師提問．【答案】解：設每件電器的進價是x元，按進價提高40%后的價格是x(1＋40%)元，“大酬賓，八折優(yōu)惠”，是價格提高后的80%．由題意，得x(1＋40%)×80%－x＝270．解方程，得x＝2250．答：這種電器每件的進價是2250元．【問題】4．某水果店以5元/千克的價格購進一批橙子，很快售罄，該店又再次購進，第二次進貨價格比第一次每千克便宜了2元，兩次一共購進600千克，且第二次進貨的花費是第一次進貨花費的1.2倍．（1）該水果店兩次分別購進了多少千克的橙子？（2）售賣中，第一批橙子在其進價的基礎上加價a%進行定價，第二批橙子因為進價便宜，因此以第一批橙子的定價再打八折進行銷售．銷售時，在第一批橙子中有5%的橙子變質(zhì)不能出售，在第二批橙子中有10%的橙子變質(zhì)不能出售，該水果店售完兩批橙子能獲利2102元，求a的值．【師生活動】教師引導學生分步解答本題，鼓勵學生組內(nèi)討論，盡量準確地找出等量關系，列出方程．【答案】解：（1）設第一次購進橙子x千克，則第二次購進橙子(600－x)千克．由題意，得1.2×5x＝(5－2)×(600－x)．解方程，得x＝200，所以600－x＝400．答：第一次購進橙子200千克，第二次購進橙子400千克．（2）由題意，得5(1＋a%)×200×(1－5%)＋5(1＋a%)×80%×400×(1－10%)－200×5－400×3＝2102．解方程，得a＝80，即a的值為80．【歸納】類型常用概念相關公式商品銷售問題①成本：進價，即進貨價格；②標價：商品在出售時標明的價格；③售價：商品在出售時的實際價格；④利潤：商品的售價高于成本的錢數(shù)；⑤利潤率：商品的利潤與成本的比值①利潤＝售價－成本（進價）＝成本（進價）×利潤率；②利潤率＝×100%；③售價＝成本＋利潤＝成本×（1＋利潤率）；④商品售價（打折后）＝商品標價×【設計意圖】這兩道題目涉及概念較多，主要讓學生回顧商品銷售問題中的相關概念，并對所涉及公式進行鞏固．類型三、比賽積分問題與行程問題【問題】5．某市今年公務員錄用考試是這樣統(tǒng)計成績的：綜合成績＝筆試成績×60%＋面試成績×40%．王小明的筆試成績是82分，他的競爭對手的筆試成績是86分，王小明要使自己的綜合成績追平競爭對手，則他的面試成績必須比競爭對手多（）．A．2.4分B．4分C．5分D．6分【師生活動】學生分組解決此問題，以組為單位匯報解答結果．【答案】D【解析】若王小明要使自己的綜合成績追平競爭對手，設他的面試成績必須比競爭對手多x分，由題意，得82×60%＋40%x＝86×60%，解得x＝6．所以王小明要使自己的綜合成績追平競爭對手，則他的面試成績必須比競爭對手多6分．故選D．【問題】6．一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長450m的隧道時，需要20s的時間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是5s．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答問題：（1）求火車的長度；（2）求火車完全在隧道里行駛的時間．【師生活動】教師引導學生設出未知數(shù)，學生獨立列出方程解答．【答案】解：（1）設火車的長度為xm．由題意，得．解方程，得x＝150．答：火車的長度為150m．（2）因為火車的速度為：＝30（m/s），所以火車完全在隧道里行駛的時間為：＝5（s）．答：火車完全在隧道里行駛的時間是5s．【歸納】相遇問題中等量關系的尋找方法（1）從時間考慮：兩人同時出發(fā)，相遇時兩人所用的時間相等．（2）從路程考慮：沿直線運動，兩人相向而行，相遇時兩人所走的路程之和等于全路程．【設計意圖】讓學生掌握相遇問題中等量關系的尋找方法，同時由問題7意識到，火車是有長度的，不能單純地看作一個點．類型四、分段計費問題與方案選擇問題【問題】7．為了鼓勵節(jié)約用水，某市對自來水的收費標準作如下規(guī)定：用水量/m30～18（含）18～40（含）40以上費用/（元/m3）2.23.36.6另外：1m3收污水處理費1元．（1）9月，小張家用水10m3，交費_____元；小趙家用水26m3，交費_____元．（2）已知小李家10月份繳水費175元，他家10月份用了多少水？【師生活動】師生合作，解答問題．【答案】解：（1）10×1＋2.2×10＝32（元），2.2×18＋(26－18)×3.3＋26＝92（元）．故答案為：32；92．（2）設小李家10月份用水xm3，由題意，得2.2×18＋(40－18)×3.3＋(x－40)×6.6＋x＝175．解方程，得x＝43．答：小李家10月份用水43m3．【問題】8．小商品批發(fā)市場內(nèi)，某商品的價格按如下優(yōu)惠：購買不超過300件時，每件3元；超過300件但不超過500件時，每件2.5元；超過500件時，每件2元．某客戶欲采購這種小商品700件．（1）現(xiàn)有兩種購買方案：①分兩次購買，第一次購買240件，第二次購買460件；②一次性購買700件．問哪種購買方案費用較??？省多少元？說明理由．（2）若該客戶分兩次購買該商品共700件（第二次多于第一次），共付費1860元，則第一次、第二次分別購買該商品多少件？【師生活動】教師提問，學生在不借助計算的前提下猜測哪種購買方案更省錢．在猜測的前提下，列方程進行驗證．【答案】解：（1）購買方案②費用較省，理由如下：購買方案①所需費用為：3×240＋2.5×460＝720＋1150＝1870（元）；購買方案②所需費用為：2×700＝1400（元）．因為1870＞1400，1870－1400＝470（元）．所以購買方案②費用較省，省470元．（2）設第一次購買該商品x件，則第二次購買該商品（700－x）件．①當0＜x＜200時，3x＋2(700－x)＝1860．解方程，得x＝460（不合題意，舍去）；②當200≤x≤300時，3x＋2.5(700－x)＝1860．解方程，得x＝220，所以700－x＝700－220＝480．③當300＜x＜350時，2.5x＋2.5(700－x)＝1750≠1860，該情況不存在．答：第一次購買該商品220件，第二次購買該商品480件．【設計意圖】此處設置方案選擇題目，讓學生認識該種題型，并掌握解答這種題目的方法，知道在解題過程中，一定要把實際問題抽象成一元一次方程，利用解方程獲得最終答案．類型五、數(shù)字問題和年齡問題【問題】9．若一個三位數(shù)的十位數(shù)字是個位數(shù)字的2倍，我們稱這個三位數(shù)為“倍尾數(shù)”，如521．已知一個“倍尾數(shù)”的百位數(shù)字比十位數(shù)字大1，其各位數(shù)字之和是16，求這個“倍尾數(shù)”．【師生活動】學生設出未知數(shù)，列出方程，教師巡視．【答案】由題意，得(2x＋1)＋2x＋x＝16．解方程，得x＝3．所以2x＝6，2x＋1＝7．即這個“倍尾數(shù)”是763．答：這個“倍尾數(shù)”是763．【問題】10．小明問老師的年齡，老師說：“我們兩人現(xiàn)在的年齡和為50歲，5年后，我的年齡比你的年齡的2倍還大3歲．”小明聽后說：“老師，我知道自己的年齡，也就知道了您的年齡．”同學們，你們知道老師今年年齡是多少嗎？【師生活動】學生解答完此題后，教師再以自己的年齡舉例，讓學生求解．【答案】解：設老師今年的年齡為x歲，則小明的年齡為(50－x)歲．根據(jù)題意，得x＋5＝2(50－x＋5)＋3．解方程，得x＝36．答：老師今年的年齡為36歲．【歸納】數(shù)字問題設未知數(shù)的技巧：在數(shù)字問題中，一般直接設未知數(shù)不易列出方程，可以采用間接設法，即設某個數(shù)位上的數(shù)字為未知數(shù)，并用它表示出其他數(shù)位上的數(shù)字，求解后再確定要求的具體數(shù)字．【設計意圖】此處數(shù)字問題主要是考查學生設未知數(shù)的能力，要求學生能掌握間接設法，即由某一位來表示其余數(shù)位；年齡問題更加貼合實際，進一步鞏固學生列方程解決問題的能力．類型六、調(diào)配問題和圖形問題【問題】11．某工廠有甲、乙兩車間各生產(chǎn)不同型號的產(chǎn)品，原計劃乙車間人數(shù)比甲車間少100人，產(chǎn)品上市后，甲車間的產(chǎn)品成為爆款，于是又從乙車間調(diào)50人支援甲車間，這時甲車間的人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的3倍，求原來甲、乙車間各有多少人．【師生活動】學生列出方程并解答，組內(nèi)交流糾錯．【答案】解：設乙車間原有x人，則甲車間原有(x＋100)人．由題意，得x＋100＋50＝3(x－50)．解方程，得x＝150．故甲車間原有人數(shù)為：150＋100＝250．答：乙車間原有150人，甲車間原有250人．【歸納】類型特點等量關系調(diào)配問題從甲處調(diào)一些人（或物）到乙處，使之符合一定數(shù)量關系，或從第三方調(diào)入一些人（或物）到甲、乙兩處，使之符合一定數(shù)量關系甲數(shù)＋乙數(shù)＝總數(shù)；甲調(diào)人數(shù)＋乙調(diào)人數(shù)＝總調(diào)人數(shù)【問題】12．如圖，寬為50cm的長方形圖案由10個相同的小長方形拼成，求其中一個小長方形的面積．【師生活動】教師引導學生分析圖形，找出邊長之間的等量關系，列出方程．【答案】解：設小長方形的長為xcm，則寬為(50－x)cm．由題意，得2x＝x＋4(50－x)．解方程，得x＝40，所以50－x＝10．所以一個小長方形的面積為：10×40＝400（cm2）．答：其中一個小長方形的面積為400cm2．類型七、古代數(shù)學問題中的一元一次方程【問題】13．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤，問：人數(shù)多少？銀子幾何？意思是：有若干客人分銀若干兩，如果每人分7兩，還多4兩；如果每人分9兩，還差8兩．問：有幾位客人，幾兩銀子？（注：題中斤、兩為舊制，1斤＝16兩）【師生活動】教師引導學生讀題，理解題意，找出等量關系．【答案】解：設有x位客人．由題意，得7x＋4＝9x－8．解方程，得x＝6，7x＋4＝42＋4＝46．答：有6位客人，46兩銀子．【問題】14．我國古代的數(shù)學名著《九章算術》中有下列問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺．問日織幾何？”其意思為：今有一女子很會織布，每日加倍增長，5日共織布5尺．問第一天織多少布？【師生活動】學