備戰(zhàn)中考數(shù)學真題題源解密突破05平移、旋轉(zhuǎn)、折疊等操作探究問題含答案及解析

重難點突破突破05平移、旋轉(zhuǎn)、折疊等操作探究問題目錄一覽中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一操作探究型（不含圖形變化）?考向二圖形平移型?考向三圖形旋轉(zhuǎn)型?考向四圖形折疊型綜合與實踐題是山西中考的必考題，這類題型屬于過程探究題，旨在引導學生動手操作、自主探索、小組合作、交流共享.通過圖形的變化考查學生的動手實踐、推理論證、幾何直觀和數(shù)學運算能力.在實踐過程中，學會發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S、應用意識和創(chuàng)新意識，提高解決問題的能力.?考向一操作探究型（不含圖形變化）1．（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點A對應的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．2．（2023?蘭州）綜合與實踐：問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個已知角，”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請寫出OE平分∠AOB的依據(jù)：；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）3．（2023?鹽城）綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對角線BD折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線BD上，點B的對應點記為B′，折痕與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)．【活動猜想】（1）如圖2，當點B′與點D重合時，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答：．【問題解決】（2）如圖3，當AB＝4，AD＝8，BF＝3時，求證：點A′，B′，C在同一條直線上．【深入探究】（3）如圖4，當AB與BC滿足什么關(guān)系時，始終有A′B′與對角線AC平行？請說明理由．（4）在（3）的情形下，設(shè)AC與BD，EF分別交于點O，P，試探究三條線段AP，B′D，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．4．（2023?淮安）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為（n為正整數(shù)）的矩形稱為n階奇妙矩形．（1）概念理解：當n＝1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學習過的黃金矩形，它的寬（AD）與長（CD）的比值是．（2）操作驗證：用正方形紙片ABCD進行如下操作（如圖（2））：第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點D的對應點為點H，展開，折痕為CG；第三步：過點G折疊紙片，使得點A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK．試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個n階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點E為正方形ABCD邊AB上（不與端點重合）任意一點，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值．請寫出這個定值，并說明理由．5．（2023?淄博）在數(shù)學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動．（1）操作判斷小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為．（2）深入探究小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，若AB＝2，AD＝4．探究一：當點F恰好落在AD的延長線上時，設(shè)CG與DF相交于點M，如圖②．求△CMF的面積．探究二：連接AE，取AE的中點H，連接DH，如圖③．求線段DH長度的最大值和最小值．6．（2023?寧夏）綜合與實踐：問題背景數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36°的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC．（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點C的對應點是點E，折痕交AC于點D，連接DE，DB，則∠BDE＝°，設(shè)AC＝1，BC＝x，那么AE＝（用含x的式子表示）；（2）進一步探究發(fā)現(xiàn)：＝，這個比值被稱為黃金比．在（1）的條件下試證明：＝；拓展應用當?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，AB＝1．求這個菱形較長對角線的長．7．（2023?蘭州）綜合與實踐：【思考嘗試】（1）數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由；【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，AH⊥CE于點H，GD⊥DF交AH于點G，可以用等式表示線段FH，AH，CF的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點，AH⊥CE于點H，點M在CH上，且AH＝HM，連接AM，BH，可以用等式表示線段CM，BH的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題．8．（2023?齊齊哈爾）綜合與實踐：數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地．（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：，∠BDC＝°；（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點D．請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，連接BE，CF，且點B，E，F(xiàn)在一條直線上，過點A作AM⊥BF，垂足為點M．則BF，CF，AM之間的數(shù)量關(guān)系：；（4）實踐應用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面內(nèi)存在點P滿足∠BPD＝90°，PD＝1，則S△ABP＝．9．（2023?大連）綜合與實踐問題情境數(shù)學活動課上，老師發(fā)給每名同學一個等腰三角形紙片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同學們將紙片沿一條直線折疊，探究圖形中的結(jié)論．問題發(fā)現(xiàn)奮進小組在邊AC上取一點D，連接BD，將這個紙片沿BD翻折，點A的對應點為E，如圖1所示．如圖2，小明發(fā)現(xiàn)，當點E落在邊BC上時，∠DEC＝2∠ACB．如圖3，小紅發(fā)現(xiàn)，當點D是AC的中點時，連接CE，若已知AB和CE的長，則可求BD的長．……問題提出與解決奮進小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1，請你解答．問題1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，點D是邊AC上一點，將△ABD沿BD翻折得到△EBD．（1）如圖2，當點E在邊BC上時，求證：∠DEC＝2∠ACB．（2）如圖3，當點D是AC的中點時，連接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的長．拓展延伸小剛受到探究過程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為銳角，嘗試畫圖，并提出問題2，請你解答．問題2：如圖4，點D是△ABC外一點，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的長．?考向二圖形平移型1．（2023?德州）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（6，3），D是OA的中點，AC，BD交于點E，函數(shù)的圖象過點B．E．且經(jīng)過平移后可得到一個反比例函數(shù)的圖象，則該反比例函數(shù)的解析式（）A．y＝﹣ B． C． D．2．（2023?鞍山）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB＝4，，垂直于BC的直線MN從AB出發(fā)，沿BC方向以每秒個單位長度的速度平移，當直線MN與CD重合時停止運動，運動過程中MN分別交矩形的對角線AC，BD于點E，F(xiàn)，以EF為邊在MN左側(cè)作正方形EFGH，設(shè)正方形EFGH與△AOB重疊部分的面積為S，直線MN的運動時間為ts，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．3．（2023?濰坊）如圖，在直角坐標系中，菱形OABC的頂點A的坐標為（﹣2，0），∠AOC＝60°．將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形O′A′B′C′，其中點B′的坐標為（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣，1） D．（﹣，﹣1）4．（2023?湖州）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象與y軸的交點坐標為（0，5），圖象的頂點為M．矩形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B的坐標為（1，5）．（1）求c的值及頂點M的坐標．（2）如圖2，將矩形ABCD沿x軸正方向平移t個單位（0＜t＜3）得到對應的矩形A′B′C′D′．已知邊C′D′，A′B′分別與函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象交于點P，Q，連接PQ，過點P作PG⊥A′B′于點G．①當t＝2時，求QG的長；②當點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得△PGQ的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．5．（2023?襄陽）【問題背景】人教版八年級下冊數(shù)學教材第63頁“實驗與探究”問題1如下：如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1D1O的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形A1B1C1D1O繞點O怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的．想一想，這是為什么？（此問題不需要作答）九年級數(shù)學興趣小組對上面的問題又進行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形ABCD的對角線相交于點O，點P落在線段OC上，＝k（k為常數(shù)）．【特例證明】（1）如圖1，將Rt△PEF的直角頂點P與點O重合，兩直角邊分別與邊AB，BC相交于點M，N．①填空：k＝；②求證：PM＝PN．（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明△PAM≌△PBN；也可過點P分別作AB，BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明．請選擇其中一種方法解答問題②．）【類比探究】（2）如圖2，將圖1中的△PEF沿OC方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說明理由．【拓展運用】（3）如圖3，點N在邊BC上，∠BPN＝45°，延長NP交邊CD于點E，若EN＝kPN，求k的值．6．（2023?攀枝花）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝2AC＝8，△ABC沿BC方向向左平移得到△DCE，A、C對應點分別是D、E．點F是線段BE上的一個動點，連接AF，將線段AF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至線段AG，使得∠BAD＝∠FAG，連接FG．（1）當點F與點C重合時，求FG的長；（2）如圖2，連接BG、DF．在點F的運動過程中：①BG和DF是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；②當BF的長為多少時，△ABG能構(gòu)成等腰三角形？7．（2023?淄博）如圖，直線y＝kx+b與雙曲線y＝相交于點A（2，3），B（n，1）．（1）求雙曲線及直線對應的函數(shù)表達式；（2）將直線AB向下平移至CD處，其中點C（﹣2，0），點D在y軸上．連接AD，BD，求△ABD的面積；（3）請直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＞的解集．8．（2023?青島）許多數(shù)學問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨OA，OB的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，OA、OB關(guān)于y軸對稱．OC＝1分米，點A到x軸的距離是0.6分米，A，B兩點之間的距離是4分米．（1）求拋物線的表達式；（2）分別延長AO，BO交拋物線于點F，E，求E，F(xiàn)兩點之間的距離；（3）以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S1，將拋物線向右平移m（m＞0）個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S2．若S2＝S1，求m的值．9．（2023?常州）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx﹣4的圖象與x軸相交于點A（﹣2，0），B，其頂點是C．（1）b＝；（2）D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，tan∠AOD＝．將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點D，過點（k，0）作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；（3）將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點P的坐標．10．（2023?濟南）在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點A，B在x軸上，C（2，3），D（﹣1，3）．拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于點E（﹣2，0）和點F．（1）如圖1，若拋物線過點C，求拋物線的表達式和點F的坐標；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接CF，作直線CE，平移線段CF，使點C的對應點P落在直線CE上，點F的對應點Q落在拋物線上，求點Q的坐標；（3）若拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與正方形ABCD恰有兩個交點，求a的取值范圍．?考向三圖形旋轉(zhuǎn)型1．（2023?綿陽）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C，滿足A1B1∥AC，過點B作BE⊥A1C，垂足為E，連接AE，若S△ABE＝3S△ACE，則AB的長為 ．2．（2023?鹽城）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到△EDC的位置，點B的對應點D首次落在斜邊AB上，則點A的運動路徑的長為 ．3．（2023?丹東）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，點D是BC的中點．四邊形DEFG是菱形（D，E，F(xiàn)，G按逆時針順序排列），∠EDG＝60°，且DE＝2，菱形DEFG可以繞點D旋轉(zhuǎn)，連接AG和CE，設(shè)直線AG和直線CE所夾的銳角為α．（1）在菱形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，當點E在線段DC上時，如圖①，請直接寫出AG與CE的數(shù)量關(guān)系及α的值；（2）當菱形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）設(shè)直線AG與直線CE的交點為P，在菱形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當EF所在的直線經(jīng)過點B時，請直接寫出△APC的面積．4．（2023?甘孜州）如圖，在Rt△ABC中，，點D在AB邊上，連接CD，將CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接BE，DE．（1）求證：△CAD≌△CBE；（2）若AD＝2時，求CE的長；（3）點D在AB上運動時，試探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，請說明理由．5．（2023?攀枝花）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝2AC＝8，△ABC沿BC方向向左平移得到△DCE，A、C對應點分別是D、E．點F是線段BE上的一個動點，連接AF，將線段AF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至線段AG，使得∠BAD＝∠FAG，連接FG．（1）當點F與點C重合時，求FG的長；（2）如圖2，連接BG、DF．在點F的運動過程中：①BG和DF是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；②當BF的長為多少時，△ABG能構(gòu)成等腰三角形？6．（2023?淄博）在數(shù)學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動．（1）操作判斷小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為．（2）深入探究小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，若AB＝2，AD＝4．探究一：當點F恰好落在AD的延長線上時，設(shè)CG與DF相交于點M，如圖②．求△CMF的面積．探究二：連接AE，取AE的中點H，連接DH，如圖③．求線段DH長度的最大值和最小值．7．（2023?鎮(zhèn)江）[發(fā)現(xiàn)]如圖1，有一張三角形紙片ABC，小宏做如下操作：①取AB、AC的中點D、E，在邊BC上作MN＝DE．②連接EM，過點D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分別為G、H．③將四邊形BDGM剪下，繞點D旋轉(zhuǎn)180°至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形AEST的位置．④延長PQ、ST交于點F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個結(jié)論是正確的：①點Q、A、T在一條直線上；②四邊形FPGS是矩形；③△FQT≌△HMN；④四邊形FPGS與△ABC的面積相等．[任務1]請你對結(jié)論①進行證明．[任務2]如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，P、Q分別是AB、CD的中點，連接PQ．求證：PQ＝（AD+BC）．[任務3]如圖3，有一張四邊形紙片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小麗分別取AB、CD的中點P、Q，在邊BC上作MN＝PQ，連接MQ，她仿照小宏的操作，將四邊形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長．8．（2023?鎮(zhèn)江）已知，在平面直角坐標系中，A點坐標為（3，0），B點坐標為（m，n），點C與點B關(guān)于原點對稱，直線AB、AC分別與y軸交于點E、F，點F在點E的上方，EF＝2．（1）分別求點E、F的縱坐標（用含m、n的代數(shù)式表示），并寫出m的取值范圍；（2）求點B的橫坐標m、縱坐標n滿足的數(shù)量關(guān)系（用含m的代數(shù)式表示n）；（3）將線段EF繞點（0，1）順時針旋轉(zhuǎn)90°，E、F的對應點分別是E'、F'．當線段E'F'與點B所在的某個函數(shù)圖象有公共點時，求m的取值范圍．9．（2023?朝陽）如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線BD上一點，連接EA，將線段EA繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，使點A落在射線CB上的點F處，連接EC．【問題引入】（1）請你在圖1或圖2中證明EF＝EC（選擇一種情況即可）；【探索發(fā)現(xiàn)】（2）在（1）中你選擇的圖形上繼續(xù)探索：延長FE交直線CD于點M．將圖形補充完整，猜想線段DM和線段BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展應用】（3）如圖3，AB＝3，延長AE至點N，使NE＝AE，連接DN．當△ADN的周長最小時，請你直接寫出線段DE的長．．10．（2023?常州）對于平面內(nèi)的一個四邊形，若存在點O，使得該四邊形的一條對角線繞點O旋轉(zhuǎn)一定角度后能與另一條對角線重合，則稱該四邊形為“可旋四邊形”，點O是該四邊形的一個“旋點”．例如，在矩形MNPQ中，對角線MP、NQ相交于點T，則點T是矩形MNPQ的一個“旋點”．（1）若菱形ABCD為“可旋四邊形”，其面積是4，則菱形ABCD的邊長是；（2）如圖1，四邊形ABCD為“可旋四邊形”，邊AB的中點O是四邊形ABCD的一個“旋點”．求∠ACB的度數(shù)；（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AC＝BD，AD與BC不平行．四邊形ABCD是否為“可旋四邊形”？請說明理由．?考向四圖形折疊型1．（2023?黃石）如圖，有一張矩形紙片ABCD．先對折矩形ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN，MN．觀察所得的線段，若AE＝1，則MN＝（）A． B．1 C． D．22．（2023?牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學活動課上，某位同學進行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形ABEF，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕MN，如圖②．根據(jù)以上的操作，若AB＝8，AD＝12，則線段BM的長是（）A．3 B． C．2 D．13．（2023?襄陽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是AC的中點，將BCD沿BD折疊得到△BED，連接AE．若DE⊥AB于點F，BC＝10，則AF的長為．4．（2023?盤錦）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝6，點E為邊BC的中點，點F為邊AD上一點，將四邊形ABEF沿EF折疊，點A的對應點為點A′，點B的對應點為點B′，過點B′作B′H⊥BC于點H，若B′H＝2，則FD的長是．5．（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點A對應的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．6．（2023?西寧）折疊問題是我們常見的數(shù)學問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題．數(shù)學活動課上，同學們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學活動．【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點D落在點D′處，MD′與BC交于點N．【猜想】MN＝CN．【驗證】請將下列證明過程補充完整：∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，∴∠CMD＝，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC（矩形的對邊平行），∴∠CMD＝（ ），∴＝（等量代換），∴MN＝CN（）．【應用】如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD′上，點A落在點A′處，點B落在點B′處，折痕為ME．（1）猜想MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若CD＝2，MD＝4，求EC的長．7．（2023?鹽城）綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對角線BD折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線BD上，點B的對應點記為B′，折痕與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)．【活動猜想】（1）如圖2，當點B′與點D重合時，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答：．【問題解決】（2）如圖3，當AB＝4，AD＝8，BF＝3時，求證：點A′，B′，C在同一條直線上．【深入探究】（3）如圖4，當AB與BC滿足什么關(guān)系時，始終有A′B′與對角線AC平行？請說明理由．（4）在（3）的情形下，設(shè)AC與BD，EF分別交于點O，P，試探究三條線段AP，B′D，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．8．（2023?寧夏）綜合與實踐：問題背景數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36°的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC．（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點C的對應點是點E，折痕交AC于點D，連接DE，DB，則∠BDE＝°，設(shè)AC＝1，BC＝x，那么AE＝（用含x的式子表示）；（2）進一步探究發(fā)現(xiàn)：＝，這個比值被稱為黃金比．在（1）的條件下試證明：＝；拓展應用當?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，AB＝1．求這個菱形較長對角線的長．

重難點突破突破05平移、旋轉(zhuǎn)、折疊等操作探究問題目錄一覽中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一操作探究型（不含圖形變化）?考向二圖形平移型?考向三圖形旋轉(zhuǎn)型?考向四圖形折疊型綜合與實踐題是山西中考的必考題，這類題型屬于過程探究題，旨在引導學生動手操作、自主探索、小組合作、交流共享.通過圖形的變化考查學生的動手實踐、推理論證、幾何直觀和數(shù)學運算能力.在實踐過程中，學會發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S、應用意識和創(chuàng)新意識，提高解決問題的能力.?考向一操作探究型（不含圖形變化）1．（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點A對應的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是△MCB．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折疊的性質(zhì)可知，∠BMN＝∠A＝90°，∴∠DMN+∠CMB＝90°，∴∠DNM＝∠CMB，∴△NDM∽△MCB，故答案為：△MCB．2．（2023?蘭州）綜合與實踐：問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個已知角，”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請寫出OE平分∠AOB的依據(jù)：SSS；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）解：（1）∵△CDE是等邊三角形，∴CE＝DE，又∵OC＝OD，OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（SSS），∴∠COE＝∠DOE，∴OE是∠AOB的平分線，故答案為：SSS；（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，∴射線OC是∠AOB的平分線；（3）如圖，點E即為所求的點．3．（2023?鹽城）綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對角線BD折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線BD上，點B的對應點記為B′，折痕與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)．【活動猜想】（1）如圖2，當點B′與點D重合時，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答：菱形．【問題解決】（2）如圖3，當AB＝4，AD＝8，BF＝3時，求證：點A′，B′，C在同一條直線上．【深入探究】（3）如圖4，當AB與BC滿足什么關(guān)系時，始終有A′B′與對角線AC平行？請說明理由．（4）在（3）的情形下，設(shè)AC與BD，EF分別交于點O，P，試探究三條線段AP，B′D，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．（1）解：當點B′與點D重合時，四邊形BEDF是菱形．理由：設(shè)EF與BD交于點O，如圖，由折疊得：EF⊥BD，OB＝OD，∴∠BOF＝∠DOE＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE，∴△BFO≌△DEO（ASA），∴OE＝OF，∴四邊形BEDF是菱形．故答案為：菱形．（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝8，BF＝3，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∴CF＝BC﹣BF＝8﹣3＝5，∴BD＝＝＝4，如圖，設(shè)EF與BD交于點M，過點B′作B′K⊥BC于K，由折疊得：∠A′B′F＝∠ABF＝∠BMF＝∠B′MF＝90°，B′F＝BF＝3，BB′＝2BM，∴∠BMF＝∠BCD，∵∠FBM＝∠DBC，∴△BFM∽△BDC，∴＝，即＝，∴BM＝，∴BB′＝，∵∠BKB′＝∠BCD，∠B′BK＝∠DBC，∴△BB′K∽△BDC，∴＝＝，即＝＝，∴B′K＝，BK＝，∴CK＝BC﹣BK＝8﹣＝，∴B′C＝＝＝4，∵B′F2+B′C2＝32+42＝25，CF2＝52＝25，∴B′F2+B′C2＝CF2，∴∠CB′F＝90°，∴∠A′B′F+∠CB′F＝90°+90°＝180°，∴點A′，B′，C在同一條直線上．（3）解：當BC＝AB時，始終有A′B′與對角線AC平行．理由：如圖，設(shè)AC、BD交于點O，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠ABC＝90°，∵BC＝AB，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，∴△OAB是等邊三角形，∴∠ABO＝∠AOB＝60°，由折疊得：∠A′B′B＝∠ABO＝60°，∴∠A′B′B＝∠AOB，∴A′B′∥AC，故當BC＝AB時，始終有A′B′與對角線AC平行．（4）解：EF＝2（AP+B′D），理由如下：如圖，過點E作EG⊥BC于G，設(shè)EF交BD于H，由折疊得：EF⊥BD，B′F＝BF，∠BFE＝∠B′FE，設(shè)AE＝m，EF＝n，由（3）得：∠BAC＝60°＝∠ABD，∴∠BB′F＝∠DBC＝30°，∴∠BFE＝∠B′FE＝60°，∴EG＝EF?sin60°＝n，F(xiàn)G＝EF?cos60°＝n，∵∠EAB＝∠ABG＝∠BGE＝90°，∴四邊形ABGE是矩形，∴AB＝EG＝n，BG＝AE＝m，AD∥BC，∴BF＝B′F＝m+n，∴BH＝BF?cos30°＝（m+n），∴BB′＝2BH＝（m+n），∵BD＝2AB＝n，∴B′D＝BD﹣BB′＝n﹣（m+n）＝n﹣m，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝60°，∴∠APE＝∠DEF﹣∠DAC＝60°﹣30°＝30°＝∠DAC，∴AP＝2AE?cos30°＝m，∴AP+B′D＝m+（n﹣m）＝n，∴AP+B′D＝EF，即EF＝2（AP+B′D）．4．（2023?淮安）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為（n為正整數(shù)）的矩形稱為n階奇妙矩形．（1）概念理解：當n＝1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學習過的黃金矩形，它的寬（AD）與長（CD）的比值是．（2）操作驗證：用正方形紙片ABCD進行如下操作（如圖（2））：第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點D的對應點為點H，展開，折痕為CG；第三步：過點G折疊紙片，使得點A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK．試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個n階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點E為正方形ABCD邊AB上（不與端點重合）任意一點，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值．請寫出這個定值，并說明理由．（1）解：當n＝1時，，故答案為：；（2）證明：如圖1，延長CG，交BA的延長線于點R，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°，∴∠R＝∠DCG，△CDG∽△RAG，∴，由折疊得，∠GCH＝∠DCG，∴∠R＝∠GCH，∴ER＝CE，設(shè)BE＝AE＝1，則AB＝BC＝CD＝AD＝2，ER＝CE＝，∴AR＝ER﹣AE＝，∴，∴DG＝，∴，∴矩形GDCK是1階奇妙矩形；（3）解：如圖2，第一步：對折正方形紙片，折痕為MN；第二步：對折矩形ADMN，折痕為EF，將正方形展開；第三步：連接CE，折疊紙片，使CD落在CE上，點D落在H點，折痕為CG；第四步：過點G折疊紙片，使得點A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK．則矩形GDCK是2階奇妙矩形；（4）解：如圖3，四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值是定值，理由如下：延長CG，交BA的延長線于點R，設(shè)AD＝AB＝BC＝CD＝a，設(shè)BE＝b，則AE＝a﹣b，同理（2）可得：ER＝CE＝，，∴AR＝﹣（a﹣b），∴＝，∴DG＝﹣b，∴四邊形CDGK的周長＝2（DG+CD）＝2（+a﹣b），∵EH＝CE﹣CH＝CE﹣CD＝﹣a，∵四邊形AGHE的周長＝EH+AE+AG+GH＝（﹣a）+（a﹣b）+AG+DG＝﹣a+a﹣b+a＝+（a﹣b），∴四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值是．5．（2023?淄博）在數(shù)學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動．（1）操作判斷小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為等腰直角三角形．（2）深入探究小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，若AB＝2，AD＝4．探究一：當點F恰好落在AD的延長線上時，設(shè)CG與DF相交于點M，如圖②．求△CMF的面積．探究二：連接AE，取AE的中點H，連接DH，如圖③．求線段DH長度的最大值和最小值．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝，在Rt△CFG中，CF＝，∵AB＝GF，BC＝CG，∴AC＝CF，∴△ACF是等腰三角形，∵AB＝GF，∠FGC＝∠ABC＝90°．BC＝CG，∴△ABC≌△FGC（SAS），∴∠ACG＝∠GFC，∵∠GCF+∠GFC＝90°，∴∠ACG+∠GCF＝90°，∴∠ACF＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（2）探究一：∵CD＝GF，∠FMG＝∠DMC，∠G＝∠CDF＝90°，∴△CDM≌△FGM（AAS），∴CM＝MF，∵AC＝CF，CD⊥AF，∴AD＝DF，∵AB＝CD＝2，AD＝DF＝4，∴DM＝4﹣CM，在Rt△CDM中，CM2＝CD2+DM2，∴CM2＝22+（4﹣CM）2，解得CM＝，∴MF＝，∴△CMF的面積＝2×＝；探究二：連接DE，取DE的中點P，連接HP，取AD、BC的中點為M、N，連接MN，MH，NH，∵H是AE的中點，∴MH∥DE，且MH＝DE，∵CD＝CE，∴CP⊥DE，DP＝PE，∵MH∥DP，且MH＝DP，∴四邊形MHPD是平行四邊形，∴MD＝HP，MD∥HP，∵AD∥BC，MD＝CN，∴HP∥CN，HP＝CN，∴四邊形HNCP是平行四邊形，∴NH∥CP，∴∠MHN＝90°，∴H點在以MN為直徑的圓上，設(shè)MN的中點為T，∴DT＝＝，∴DH的最大值為+1，最小值為﹣1．方法二：設(shè)AC的中點為T，連接HT，∵HT是△ACE的中位線，∴HT＝CE＝1，∴H在以T為圓心，1為半徑的圓上，∵DT＝＝，∴DH的最大值為+1，最小值為﹣1．6．（2023?寧夏）綜合與實踐：問題背景數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36°的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC．（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點C的對應點是點E，折痕交AC于點D，連接DE，DB，則∠BDE＝72°，設(shè)AC＝1，BC＝x，那么AE＝1﹣x（用含x的式子表示）；（2）進一步探究發(fā)現(xiàn)：＝，這個比值被稱為黃金比．在（1）的條件下試證明：＝；拓展應用當?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，AB＝1．求這個菱形較長對角線的長．探究發(fā)現(xiàn)（1）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵邊BC落在邊BA上，點C的對應點是點E，∴∠BED＝∠C＝72°，∠EBD＝∠CBD＝，∴∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠EBD＝72°，AE＝AB﹣BE＝AC﹣BC＝1﹣x，故答案為：72，1﹣x；（2）證明：由（1）知：∠CBD＝∠EBD＝36°，∴∠A＝∠CBD＝∠EBD，∴AD＝BD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC∴即，解得x＝∴＝；拓展應用如圖，在AC上截取AE＝AD，連接DE，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ACD＝，∠DAC＝∠BAC＝，AD＝AB＝1，CD∥AB，∴∠ADE＝∠AED＝72°，∠ADC＝180°﹣∠DAB＝108°，∴DE＝，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝108°﹣72°＝36°，∴∠CDE＝∠ACD，∴CE＝DE＝，∴AC＝AE+CE＝1+．7．（2023?蘭州）綜合與實踐：【思考嘗試】（1）數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由；【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，AH⊥CE于點H，GD⊥DF交AH于點G，可以用等式表示線段FH，AH，CF的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點，AH⊥CE于點H，點M在CH上，且AH＝HM，連接AM，BH，可以用等式表示線段CM，BH的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題．解：（1）四邊形ABCD是正方形，理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵GD⊥DF，∴∠FDG＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AD＝CD，∴四邊形ABCD是正方形；（2）HF＝AH+CF，理由：∵DF⊥CE于點F，AH⊥CE于點H，GD⊥DF交AH于點G，∴四邊形HFDG是矩形，∴∠G＝∠DFC＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AG＝CF，DG＝DF，∴矩形HFDG是正方形，∴HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；（3）連接AC，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AH⊥CE，AH＝HM，∴△AHM是等腰直角三角形，∴∠HAM＝45°，∴∠HAB＝∠MAC，∵，∴△AHB∽△AMC，∴，即BH＝CM．8．（2023?齊齊哈爾）綜合與實踐：數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地．（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：BE＝CF，∠BDC＝30°；（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點D．請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，連接BE，CF，且點B，E，F(xiàn)在一條直線上，過點A作AM⊥BF，垂足為點M．則BF，CF，AM之間的數(shù)量關(guān)系：BF＝CF+2AM；（4）實踐應用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面內(nèi)存在點P滿足∠BPD＝90°，PD＝1，則S△ABP＝或．解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，理由如下：如圖1所示：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，又∵∠BAC＝∠EAF＝30°，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE＝CF，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACD+∠BDC，∴∠BDC＝∠BAC＝30°；（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由如下：如圖2所示：證明：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF（SAS）∴BE＝CF，∴∠AEB＝∠AFC，∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；（3）BF＝CF+2AM，理由如下：如圖3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠FAE﹣∠CAE，即：∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CF，∵AM⊥BF，AE＝AF，∠EAF＝90°，∴EF＝2AM，∵BF＝BE+EF，∴BF＝CF+2AM；（4））如圖4所示：連接BD，以BD為直徑作圓，由題意，取滿足條件的點P，P′，則PD＝P′D＝1．∠BPD＝∠BP′D＝90°，∴BD＝2，∴BP＝＝＝，連接PA，作AF⊥PB于點F，在BP上截取BE＝PD，∵∠PDA＝ABE，AD＝AB，∴△ADP≌△ABE（SAS），∴AP＝AE，∠BAE＝∠DAP，∴∠PAE＝90°，由（3）可得：PB﹣PD＝2AF，∴AF＝＝，∴S△PAB＝PB?AF＝，同理可得：S△P′AB＝，故△ABP的面積為：或．9．（2023?大連）綜合與實踐問題情境數(shù)學活動課上，老師發(fā)給每名同學一個等腰三角形紙片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同學們將紙片沿一條直線折疊，探究圖形中的結(jié)論．問題發(fā)現(xiàn)奮進小組在邊AC上取一點D，連接BD，將這個紙片沿BD翻折，點A的對應點為E，如圖1所示．如圖2，小明發(fā)現(xiàn)，當點E落在邊BC上時，∠DEC＝2∠ACB．如圖3，小紅發(fā)現(xiàn)，當點D是AC的中點時，連接CE，若已知AB和CE的長，則可求BD的長．……問題提出與解決奮進小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1，請你解答．問題1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，點D是邊AC上一點，將△ABD沿BD翻折得到△EBD．（1）如圖2，當點E在邊BC上時，求證：∠DEC＝2∠ACB．（2）如圖3，當點D是AC的中點時，連接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的長．拓展延伸小剛受到探究過程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為銳角，嘗試畫圖，并提出問題2，請你解答．問題2：如圖4，點D是△ABC外一點，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的長．問題1，（1）證明：∵將△ABD沿BD翻折得到△EBD，∴∠BED＝∠A，∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠DEC＝180°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°，∴∠DEC＝2∠ACB；（2）解：如圖1，作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，∴∠AGD＝∠DFC＝90°，由折疊得，AD＝DE，∠ADB＝∠BDE，∵點D是AC的中點，∴CD＝AD，∴DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EF＝CE＝∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（）2＝，∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°，∴2∠ADB+∠EDC＝180°，∵∠DEC+∠DCE+∠EDC＝180°，∴2∠DCE+∠EDC＝180°，∴∠ADB＝∠DCE，∴△ADG≌△DFC（AAS），∴AG＝DF，DG＝CF＝，在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG＝＝，∴BD＝BG+DG＝；問題2，解：如圖2，連接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延長線于F，∵AB＝BD，∴∠ABD＝2∠DBE，DE＝AE＝AD，∵∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDE＝∠BDC，∴CD∥BE，∴CD⊥AD，∴∠BED＝∠EDC＝∠F＝90°，∴四邊形DEBF是矩形，∴BF＝DE，DF＝BE，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4，∴AD＝＝，∴BF＝DE＝，在Rt△BDE中，BD＝4，DE＝，∴DF＝BE＝＝，∴CF＝DF﹣CD＝，在Rt△BCF中，CF＝，BF＝，∴BC＝＝?考向二圖形平移型1．（2023?德州）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（6，3），D是OA的中點，AC，BD交于點E，函數(shù)的圖象過點B．E．且經(jīng)過平移后可得到一個反比例函數(shù)的圖象，則該反比例函數(shù)的解析式（）A．y＝﹣ B． C． D．解：由題知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直線AC的函數(shù)表達式為y1＝k1x+b1，則，解得，所以．又因為點D為OA的中點，所以D（3，0），同理可得，直線BD的函數(shù)解析式為y2＝x﹣3，由得，x＝4，則y＝4﹣3＝1，所以點E坐標為（4，1）．將B，E兩點坐標代入函數(shù)解析式得，，解得．所以，則，將此函數(shù)圖象向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為：．故選：D．2．（2023?鞍山）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB＝4，，垂直于BC的直線MN從AB出發(fā)，沿BC方向以每秒個單位長度的速度平移，當直線MN與CD重合時停止運動，運動過程中MN分別交矩形的對角線AC，BD于點E，F(xiàn)，以EF為邊在MN左側(cè)作正方形EFGH，設(shè)正方形EFGH與△AOB重疊部分的面積為S，直線MN的運動時間為ts，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．解：在運動的第一階段，令HE和FG與AB的交點分別為I和K，因為直線MN沿BC方向以每秒個單位長度的速度平移，則IE＝FK＝，又AB＝4，BC＝，則∠BAO＝60°．所以AI＝BK＝t，則IK＝4﹣2t，即EF＝4﹣2t．故S＝＝．據(jù)此可以排除掉A和D．再繼續(xù)向右運動時，正方形全部在△AOB內(nèi)，此時S＝（4﹣2t）2．據(jù)此又可以排除掉C．故選：B．3．（2023?濰坊）如圖，在直角坐標系中，菱形OABC的頂點A的坐標為（﹣2，0），∠AOC＝60°．將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形O′A′B′C′，其中點B′的坐標為（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣，1） D．（﹣，﹣1）解：過點B作BE⊥x軸于點E，∴∠BEA＝90°，∵點A的坐標為（﹣2，0），∴OA＝2，∵四邊形OABC是菱形，∴AB＝OA＝2，AB∥OC，∴∠EAB＝∠AOC＝60°，∴∠ABE＝30°，∴，由勾股定理得，∴OE＝AE+OA＝1+2＝3，∴點B的坐標是，將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形O′A′B′C′，∴點B′的坐標為，故選：A．4．（2023?湖州）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象與y軸的交點坐標為（0，5），圖象的頂點為M．矩形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B的坐標為（1，5）．（1）求c的值及頂點M的坐標．（2）如圖2，將矩形ABCD沿x軸正方向平移t個單位（0＜t＜3）得到對應的矩形A′B′C′D′．已知邊C′D′，A′B′分別與函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象交于點P，Q，連接PQ，過點P作PG⊥A′B′于點G．①當t＝2時，求QG的長；②當點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得△PGQ的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．解（1）∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象與y軸的交點坐標為（0，5），∴c＝5，∴y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴頂點M的坐標是（2，1）．（2）①如圖1，∵A在x軸上，B的坐標為（1，5），∴點A的坐標是（1，0）．當t＝2時，D′，A′的坐標分別是（2，0），（3，0）．當x＝3時，y＝32﹣4×3+5＝2，即點Q的縱坐標是2．當x＝2時，y＝1，即點P的縱坐標是1．∵PG⊥A′B′，∴點G的縱坐標是1，∴QG＝2﹣1＝1．②存在．理由如下：∵△PGQ的面積為1，PG＝1，∴QG＝2．根據(jù)題意，得：P（t，t2﹣4t+5），Q（t+1，t2﹣2t+2），∴G（t+1，t2﹣4t+5），如圖2，當點G在點Q的上方時，QG＝t2﹣4t+5﹣（t2﹣2t+2）＝3﹣2t＝2，此時（在0＜t＜3的范圍內(nèi)）．如圖3，當點G在點Q的下方時，QG＝t2﹣2t+2﹣（t2﹣4t+5）＝2t﹣3＝2，此時（在0＜t＜3的范圍內(nèi)）．綜上所述，存在t，使得△PGQ的面積為1，此時t的值為或．5．（2023?襄陽）【問題背景】人教版八年級下冊數(shù)學教材第63頁“實驗與探究”問題1如下：如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1D1O的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形A1B1C1D1O繞點O怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的．想一想，這是為什么？（此問題不需要作答）九年級數(shù)學興趣小組對上面的問題又進行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形ABCD的對角線相交于點O，點P落在線段OC上，＝k（k為常數(shù)）．【特例證明】（1）如圖1，將Rt△PEF的直角頂點P與點O重合，兩直角邊分別與邊AB，BC相交于點M，N．①填空：k＝1；②求證：PM＝PN．（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明△PAM≌△PBN；也可過點P分別作AB，BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明．請選擇其中一種方法解答問題②．）【類比探究】（2）如圖2，將圖1中的△PEF沿OC方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說明理由．【拓展運用】（3）如圖3，點N在邊BC上，∠BPN＝45°，延長NP交邊CD于點E，若EN＝kPN，求k的值．（1）①解：∵將Rt△PEF的直角頂點P與點O重合，∴k＝＝＝1，故答案為：1；②證明：方法一：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠APB＝∠MPN＝90°，∠PAB＝∠PBC＝45°，PA＝PB，∴∠APB﹣∠BPM＝∠MPN﹣∠BPM，即∠APM＝∠BPN，∴△PAM≌△PBN（ASA），∴PM＝PN．方法二：過點P分別作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，如圖1，則∠PGM＝∠PHN＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴PG＝PH，∠HPG＝90°，∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，即∠MPG＝∠NPH，∴△PMG≌△PNH（ASA），∴PM＝PN．（2）解：＝k．理由如下：方法一：過點P作PG∥BD交BC于G，如圖2（i），∴∠AOB＝∠APG，∠PGC＝∠OBC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠PAM＝∠OCB＝∠OBC＝45°，∠AOB＝90°，∴∠APG＝∠MPN＝∠AOB＝90°，∠PGC＝∠PCG＝∠PAM，∴PG＝PC，∠APG﹣∠MPG＝∠MPN﹣∠MPG，即∠APM＝∠GPN，∴△PAM∽△PGN，∴＝＝k．方法二：過點P分別作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，如圖2（ii），則∠PGM＝∠PGB＝∠PHN＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°，∵∠PGA＝∠CHP＝90°，∴△APG∽△CPH，∴＝，∵∠GPH＝∠MPN＝90°，∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，即∠MPG＝∠NPH，∴△PMG∽△PNH，∴＝＝＝k．（3）過點P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，如圖3，則∠MPN＝∠GPH＝∠PGM＝∠ECN＝90°，∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，即∠MPG＝∠NPH，∴∠PMG＝∠PNH，由（2）和已知條件可得：PM＝kPN，EN＝kPN，∴PM＝EN，∴△PGM≌△ECN（AAS），∴GM＝CN，PG＝EC，∵∠BPN＝∠PCB＝45°，∠PBN＝∠CBP，∴△BPN∽△BCP，∴＝，∴PB2＝BC?BN，同理可得：PB2＝BA?BM，∵BC＝BA，∴BM＝BN，∴AM＝CN，∴AG＝2CN，∵∠PAB＝45°，∴PG＝AG，∴EC＝2CN，∴tan∠ENC＝＝＝2，令HN＝a，則PH＝2a，CN＝3a，EC＝6a，∴EN＝＝3a，PN＝＝a，∴k＝＝＝3．6．（2023?攀枝花）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝2AC＝8，△ABC沿BC方向向左平移得到△DCE，A、C對應點分別是D、E．點F是線段BE上的一個動點，連接AF，將線段AF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至線段AG，使得∠BAD＝∠FAG，連接FG．（1）當點F與點C重合時，求FG的長；（2）如圖2，連接BG、DF．在點F的運動過程中：①BG和DF是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；②當BF的長為多少時，△ABG能構(gòu)成等腰三角形？（1）當F點與C點重合時，AF＝AC，由平移可知，CD＝AB，CD∥AB，∴四邊形ABCD、四邊形ACED是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵∠BAD＝∠FAG，∴∠DAF＝∠FAG，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAG，∴AB是∠CAG的平分線，∵AC＝AG，∴AB⊥CG，如圖1，過B點作BH⊥AC交于H點，∵AB＝BC＝2AC＝8，∴AH＝2，∴BH＝2，∴sin∠BAC＝＝，∴CG＝FG＝2；（2）①DF＝BG，理由如下：如圖2，∵AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴DF＝BG；②如圖2，過點A作AN⊥BC交于N，由①可知4×2＝8AN，∴AN＝，當AG＝AB時，∵AB＝BC＝8，∴AG＝8，∵AG＝AF，∴AF＝8，當F點與B點重合時，AF＝8，此時BF＝0，當BF＝2BN時，AF＝8，在Rt△ABN中，BN＝＝7，∴BF＝14；當AG＝BG時，AF＝BG，∵DF＝BG，∴DF＝AF，過點F作FM⊥AD交于M，∴AM＝DM＝4，∵FM⊥AD，AN⊥BC，∴AM＝FN＝4，∵BN＝7，∴CN＝1，∴CF＝3，∴BF＝11；當BA＝BG時，∵DF＝BG，∴AB＝DF，∵AB＝CD＝BC＝AD，∴DC＝DF，當F點在BE上時，CD＝DF，此時C點與F點重合，∴BF＝BC＝8；綜上所述：BF的長為14或11或8或0．7．（2023?淄博）如圖，直線y＝kx+b與雙曲線y＝相交于點A（2，3），B（n，1）．（1）求雙曲線及直線對應的函數(shù)表達式；（2）將直線AB向下平移至CD處，其中點C（﹣2，0），點D在y軸上．連接AD，BD，求△ABD的面積；（3）請直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＞的解集．解：（1）將A（2，3）代入雙曲線y＝，∴m＝6，∴雙曲線的解析式為y＝，將點B（n，1）代入y＝，∴n＝6，∴B（6，1），將A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b，∴，解得，∴直線解析式為y＝﹣x+4；（2）∵直線AB向下平移至CD，∴AB∥CD，設(shè)直線CD的解析式為y＝﹣x+n，將點C（﹣2，0）代入y＝﹣x+n，∴1+n＝0，解得n＝﹣1，∴直線CD的解析式為y＝﹣x﹣1，∴D（0，﹣1），過點D作DG⊥AB交于G，設(shè)直線AB與y軸的交點為H，與x軸的交點為F，∴H（0，4），F(xiàn)（8，0），∵∠HFO+∠OHF＝90°，∠OHG+∠HDG＝90°，∴∠HDG＝∠HFO，∵OH＝4，OF＝8，∴HF＝4，∴cos∠HFO＝，∵DH＝5，∴DG＝DH＝2，∵AB＝2，∴△ABD的面積＝2×2＝10；方法2：S△ABD＝S△HBD﹣S△HAD＝HD（xB﹣xA）＝5×4＝10；（3）由圖可知2＜x＜6或x＜0時，﹣x﹣1＞．8．（2023?青島）許多數(shù)學問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨OA，OB的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，OA、OB關(guān)于y軸對稱．OC＝1分米，點A到x軸的距離是0.6分米，A，B兩點之間的距離是4分米．（1）求拋物線的表達式；（2）分別延長AO，BO交拋物線于點F，E，求E，F(xiàn)兩點之間的距離；（3）以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S1，將拋物線向右平移m（m＞0）個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S2．若S2＝S1，求m的值．解：（1）設(shè)拋物線的表達式為：y＝ax2+c，由題意得，點A的坐標為：（2，0.6）、點C（0，1），則，解得：，則拋物線的表達式為：y＝﹣0.1x2+1①；（2）由點A的坐標得，直線OA的表達式為：y＝0.3x②，聯(lián)立①②得：0.3x＝﹣0.1x2+1，解得：x＝2（舍去）或﹣5，即點F（﹣5，﹣1.5），則EF＝5×2＝10；（3）平移后的拋物線表達式為：y＝﹣0.1（x﹣m）2+1，令x＝0，則y＝﹣0.1m2+1，此時拋物線與y軸的交點為D（0，﹣0.1m2+1），∵平移前后拋物線和x軸交點間的距離不變，若S2＝S1，則OD＝OC，即|﹣0.1m2+1|＝×1，解得：m＝±2或±4（舍去負值），即m＝2或4．9．（2023?常州）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx﹣4的圖象與x軸相交于點A（﹣2，0），B，其頂點是C．（1）b＝﹣1；（2）D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，tan∠AOD＝．將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點D，過點（k，0）作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；（3）將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點P的坐標．解：（1）由題意得，﹣2b﹣4＝0，∴b＝﹣1；（2）∵tan∠AOD＝，∴設(shè)D（2t，5t），∴，∴t1＝﹣，t2＝4（舍去），∴D（﹣1，﹣），∵y＝﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴新拋物線設(shè)為：y＝（x﹣m）2﹣，∴﹣，∴m1＝﹣3，m2＝1（舍去），∴y＝（x+3）2﹣，∵在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，∴k≤﹣3；（3）如圖，作PV⊥CQ于V，設(shè)P（t，），∴平移后的拋物線為：y＝（x﹣t）2+（），當x＝1時，y＝t2﹣2t﹣，∴Q（1，t2﹣2t﹣），∵＞0，∴∠CPQ＝90°，∵QV＝（t2﹣2t﹣）﹣（）＝﹣t，CV＝（﹣t﹣4）﹣（﹣）＝﹣t+，∴QV＝CV，∴PV＝CV＝QV，∴|t﹣1|＝，∴t1＝3，t2＝﹣1，t3＝t4＝1（舍去），當t＝3時，y＝32﹣3﹣4＝﹣，∴P（3，﹣）或（﹣1，﹣）．10．（2023?濟南）在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點A，B在x軸上，C（2，3），D（﹣1，3）．拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于點E（﹣2，0）和點F．（1）如圖1，若拋物線過點C，求拋物線的表達式和點F的坐標；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接CF，作直線CE，平移線段CF，使點C的對應點P落在直線CE上，點F的對應點Q落在拋物線上，求點Q的坐標；（3）若拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與正方形ABCD恰有兩個交點，求a的取值范圍．解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2ax+c過點C（2，3），E（﹣2，0），得，解得，∴拋物線表達式為，當y＝0時，，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝4，∴F（4，0）；（2）設(shè)直線CE的表達式為y＝kx+b，∵直線過點C（2，3），E（﹣2，0），得，解得，∴直線CE的表達式為，設(shè)點，則點Q向左平移2個單位，向上平移3個單位得到點，將代入，解得t1＝﹣4，t2＝4（舍去），∴Q點坐標為（﹣4，﹣6）；（3）將E（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c得c＝﹣8a，∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，∴頂點坐標為（1，﹣9a），①當拋物線頂點在正方形內(nèi)部時，與正方形有兩個交點，∴0＜﹣9a＜3，解得，②當拋物線與直線BC交點在點C上方，且與直線AD交點在點D下方時，與正方形有兩個交點，，解得綜上所述，a的取值范圍為或?考向三圖形旋轉(zhuǎn)型1．（2023?綿陽）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C，滿足A1B1∥AC，過點B作BE⊥A1C，垂足為E，連接AE，若S△ABE＝3S△ACE，則AB的長為4．解：設(shè)A1C交AB于D，如圖：∵A1B1∥AC，∴∠A1＝∠A1CA，∵將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C，∴∠A1＝∠BAC，∴∠A1CA＝∠BAC，∴CD＝AD，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠BAC＝90°＝∠A1CA+∠BCD，∴∠CBD＝∠BCD，∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD，∴S△BDE＝S△ADE＝S△ABE，∵S△ABE＝3S△ACE，∴S△BDE＝S△ADE＝S△ACE，∴＝，∴＝，設(shè)CE＝2x，則DE＝3x，CD＝5x＝BD＝AD，∴BE＝＝4x，∴BC＝＝2x，∵∠BCE＝∠CBA，∠BEC＝90°＝∠BCA，∴△BCE∽△ABC，∴＝，∵AC＝8，∴＝，∴AB＝4．故答案為：4．2．（2023?鹽城）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到△EDC的位置，點B的對應點D首次落在斜邊AB上，則點A的運動路徑的長為π．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，∴AC＝3，∵將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到△EDC的位置，∴CB＝CD，∠BCD＝∠ACE，∴△BCD是等邊三角形，∴∠BCD＝∠ACE＝60°，∴點A的運動路徑的長為＝π，故答案為：π．3．（2023?丹東）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，點D是BC的中點．四邊形DEFG是菱形（D，E，F(xiàn)，G按逆時針順序排列），∠EDG＝60°，且DE＝2，菱形DEFG可以繞點D旋轉(zhuǎn)，連接AG和CE，設(shè)直線AG和直線CE所夾的銳角為α．（1）在菱形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，當點E在線段DC上時，如圖①，請直接寫出AG與CE的數(shù)量關(guān)系及α的值；（2）當菱形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）設(shè)直線AG與直線CE的交點為P，在菱形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當EF所在的直線經(jīng)過點B時，請直接寫出△APC的面積．（1）解：AG＝CE，α＝60°，理由：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，則AC＝ABtan30°＝2，則BC＝2AC＝4，∵點D是BC的中點，則BD＝CD＝AD＝2，則AG＝AD﹣GD＝2﹣2，CE＝CD﹣DE＝2＝AG，在△ACD中，AD＝CD，∠C＝60°，則△ACD為等邊三角形，則∠ADC＝60°＝α；（2）（1）的結(jié)論成立，理由：證明：延長AG交CD于點T，交CE于點N，∵∠ADG+∠GDC＝60°＝∠GDC+∠CDE，∴∠ADG＝∠CDE，∵AD＝CD，GD＝ED，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∠DCE＝∠DAN，∵∠CTD＝∠CTN，∴∠ANC＝∠ADC＝60°＝α；（3）解：當B、E、F共線時，如下圖，連接AD，根據(jù)圖形的對稱性，當B、E、F共線時，且點D是BC的中點，則F、G、C共線，此時點G、P共線，∵∠EDG＝60°，則∠BDG＝60°，則∠EBC＝∠ECB＝30°，則∠ACG＝30°+60°＝90°則BH＝HD＝DM＝CM＝BC＝，由（1）知△ADC為等邊三角形，由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，在Rt△ACG中，AC＝2，則CG＝2，則△APC的面積＝AC?GC＝2×2＝2；當B、F重合時，也符合題意，如下圖：由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，在Rt△AEC中，AC＝2，AE＝AB＝BE＝6﹣2＝4，則tan∠AEC＝＝＝，設(shè)AM＝x，則PM＝x，則CM＝＝＝x，而AC2＝AM2+CM2，即12＝3x2+x2，解得：x＝，則△APC的面積＝AM?PC＝x×（x+x）＝；綜上，△APC的面積為或2．4．（2023?甘孜州）如圖，在Rt△ABC中，，點D在AB邊上，連接CD，將CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接BE，DE．（1）求證：△CAD≌△CBE；（2）若AD＝2