備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)真題題源解密專題15特殊三角形（13類重點(diǎn)考向）含答案及解析

主題四平面幾何專題15特殊三角形目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一等腰三角形的性質(zhì)與判定?考向二三角形的內(nèi)角和?考向三全等三角形的判定與性質(zhì)?考向四含30°角的直角三角形?考向五直角三角形斜邊上的中線?考向六勾股定理?考向七勾股定理的證明?考向八勾股數(shù)?考向九勾股定理的應(yīng)用?考向十勾股定理—最短路徑問(wèn)題?考向十一等腰直角三角形?考向十二三角形中位線定理?考向十三三角形的綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；2.探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°，及等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等的三角形(或有一個(gè)角是60°的等腰三角形)是等邊三角形．3.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；4.探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形和勾股定理與中位線性質(zhì)、三角形全等、三角形內(nèi)外角性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考察，這部分知識(shí)需要學(xué)生扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)，并且會(huì)靈活運(yùn)用.在解答題中會(huì)出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定,這部分知識(shí)主要考查基礎(chǔ)。?考向一等腰三角形的性質(zhì)與判定解題技巧/易錯(cuò)易混1．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸．2．等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．4．等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則<a．5．等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．6．等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．7．底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．1．（2023?河北）四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023?大慶）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，點(diǎn)G、H、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米（圖中所有黑線的長(zhǎng)度和），設(shè)BF＝x米，BE＝y(tǒng)米．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶透過(guò)的光線最多（窗戶的面積最大），并計(jì)算窗戶的最大面積．3．（2023?濰坊）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，G為BC的中點(diǎn)，連接FG．求證：FG＝AB．?考向二三角形的內(nèi)角和解題技巧/易錯(cuò)易混1．等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．2．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸．3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形．5.等腰(等邊)三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．4．（2023?綿陽(yáng)）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（）A． B．6 C．8 D．5．（2023?涼山州）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動(dòng)，若OM⊥ON，則OC的最大值是．6．（2023?雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點(diǎn)E，BC＝8，AE＝6，則AB的長(zhǎng)為．?考向三全等三角形的判定與性質(zhì)7．（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO8．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠EBC＝．?考向四含30°角的直角三角形解題技巧/易錯(cuò)易混在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，這個(gè)性質(zhì)常常用于計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)，也是證明一邊（30°角所對(duì)的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據(jù)．當(dāng)題目中已知的條件或結(jié)論傾向于該性質(zhì)時(shí)，我們可運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將線段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形，從而將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題．9．（2023?貴州）5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽(yáng)開(kāi)幕，在“自動(dòng)化立體庫(kù)”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長(zhǎng)為12m，則底邊上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m10．（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，則EF＝BE+DF．【解決問(wèn)題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分別有景點(diǎn)M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之間修一條直路，則路線M→N的長(zhǎng)比路線M→A→N的長(zhǎng)少m（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）．?考向五直角三角形斜邊上的中線11．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm12．（2022?杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線段FC的長(zhǎng)．?考向六勾股定理解題技巧/易錯(cuò)易混1．應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時(shí)，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關(guān)系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關(guān)系式是b2+c2=a2．2．如果已知的兩邊沒(méi)有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解．13．（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．214．（2023?淮安）在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，BH為∠ABC內(nèi)部的任一條射線（∠CBH不等于60°），點(diǎn)C關(guān)于BH的對(duì)稱點(diǎn)為C′，直線AC′與BH交于點(diǎn)F，連接CC′、CF，則△CC′F面積的最大值是．?考向七勾股定理的證明15．（2023?湖北）如圖，是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形．設(shè)圖中AF＝a，DF＝b，連接AE，BE，若△ADE與△BEH的面積相等，則＝．16．（2022?內(nèi)江）勾股定理被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長(zhǎng)為4，則S1+S2+S3＝．?考向八勾股數(shù)17．（2023?南通）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，m是大于1的奇數(shù)，則b＝（用含m的式子表示）．18．（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）．?考向九勾股定理的應(yīng)用19．（2023?恩施州）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書(shū)中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門(mén)，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門(mén)高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門(mén)對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少（如圖）？答：門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是尺．20．（2023?東營(yíng)）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為km．21．（2022?常州）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為20cm的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形ABCD，對(duì)角線是兩根橡皮筋，其拉伸長(zhǎng)度達(dá)到36cm時(shí)才會(huì)斷裂．若∠BAD＝60°，則橡皮筋A(yù)C斷裂（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）．?考向十勾股定理—最短路徑問(wèn)題22．（2022?金華）如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC，一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開(kāi)”，在側(cè)面展開(kāi)圖上畫(huà)出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（）A． B． C． D．23．（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為cm．（杯壁厚度不計(jì)）?考向十一等腰直角三角形24．（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點(diǎn)E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長(zhǎng)是（）A． B． C．2 D．125．（2023?蘇州）如圖，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BC，延長(zhǎng)CB到E，使BE＝CD，連接AE，ED．若ED＝2AE，則BE＝．（結(jié)果保留根號(hào)）?考向十二三角形中位線定理26．（2023?陜西）如圖，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長(zhǎng)，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M．若BC＝6，則線段CM的長(zhǎng)為（）A． B．7 C． D．827．（2023?湖州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的長(zhǎng)．?考向十三三角形的綜合題28．（2023?大慶）如圖，在△ABC中，將AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至AB′，將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形“，△AB′C′的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．下列結(jié)論正確的有．①△ABC與△AB′C′面積相同；②BC＝2AD；③若AB＝AC，連接BB′和CC′，則∠B′BC+∠CC′B′＝180°；④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，則B′C′＝10．29．（2023?重慶）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，E沿折線A→B→C方向運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)沿折線A→C→B方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)E，F(xiàn)的距離為y．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并注明自變量t的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出這個(gè)函數(shù)圖象，并寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出點(diǎn)E，F(xiàn)相距3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)t的值．1．（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO2．（2022?岳陽(yáng)）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點(diǎn)D，若∠C＝40°，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°3．（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點(diǎn)B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°4．（2021?黑龍江）如圖，矩形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足為F，將△AEF繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在EF上，點(diǎn)E恰好落在點(diǎn)B處，連接BE．下列結(jié)論：①BM⊥AE；②四邊形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四邊形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④5．（2022?大連）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN．直線MN與AB相交于點(diǎn)D，連接CD，若AB＝3，則CD的長(zhǎng)是（）A．6 B．3 C．1.5 D．16．（2023?日照）已知直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，分別以a，b，c為邊作三個(gè)正方形，把兩個(gè)較小的正方形放置在最大正方形內(nèi)，如圖，設(shè)三個(gè)正方形無(wú)重疊部分的面積為S1，均重疊部分的面積為S2，則（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1，S2大小無(wú)法確定7．（2023?樂(lè)山）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ＝（）A． B． C． D．8．（2022?湘潭）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個(gè)直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個(gè)銳角，則tanα＝（）A．2 B． C． D．9．（2023?瀘州）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)a，b，c的計(jì)算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．下列四組勾股數(shù)中，不能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，2510．（2021?常德）閱讀理解：如果一個(gè)正整數(shù)m能表示為兩個(gè)正整數(shù)a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么稱m為廣義勾股數(shù)，則下面的四個(gè)結(jié)論：①7不是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)．依次正確的是（）A．②④ B．①②④ C．①② D．①④11．（2022?長(zhǎng)沙）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)；②作直線PQ交AB于點(diǎn)D；③以點(diǎn)D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交PQ于點(diǎn)M，連接AM、BM．若AB＝2，則AM的長(zhǎng)為（）A．4 B．2 C． D．12．（2023?西寧）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數(shù)是．13．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，AB＝AC．分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，作直線AD交BC于點(diǎn)E．若∠BAC＝110°，則∠BAE的大小為度．14．（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長(zhǎng)為．15．（2023?武漢）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點(diǎn)．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長(zhǎng)是．16．（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點(diǎn)B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長(zhǎng)為cm．17．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠EBC＝．18．（2021?陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以EF為邊的等邊△EFP的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部或邊上，則等邊△EFP的周長(zhǎng)的最大值為．19．（2023?荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點(diǎn)．若AC＝8，CD＝5，則DE＝．20．（2023?泰州）小明對(duì)《數(shù)書(shū)九章》中的“遙度圓城”問(wèn)題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個(gè)門(mén)，出南門(mén)向東走一段路程后剛好看到北門(mén)外的一棵大樹(shù)，向樹(shù)的方向走9里到達(dá)城堡邊，再往前走6里到達(dá)樹(shù)下．則該城堡的外圍直徑為里．21．（2023?無(wú)錫）《九章算術(shù)》中提出了如下問(wèn)題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門(mén)不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門(mén)高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門(mén)對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問(wèn)題中的門(mén)高是．22．（2022?泰州）如圖所示的象棋盤(pán)中，各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照“馬走日”的規(guī)則，走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最短距離為．23．（2023?德陽(yáng)）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，一只小蟲(chóng)從B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M處，則小蟲(chóng)爬行的最短路程等于．24．（2023?沈陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點(diǎn)D在直線AC上，AD＝1，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交直線BC于點(diǎn)E，連接BD，點(diǎn)O是線段BD的中點(diǎn)，連接OE，則OE的長(zhǎng)為．25．（2022?黔西南州）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，AC與DE相交于點(diǎn)F．若BC∥AE，則∠AFE的度數(shù)為．26．（2023?廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)M是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AB，MB的中點(diǎn)，當(dāng)AM＝2.4時(shí)，DE的長(zhǎng)是.若點(diǎn)N在邊BC上，且CN＝AM，點(diǎn)F，G分別是MN，AN的中點(diǎn)，當(dāng)AM＞2.4時(shí)，四邊形DEFG面積S的取值范圍是．27．（2023?金華）如圖，把兩根鋼條OA，OB的一個(gè)端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，若CD＝4cm，則該工件內(nèi)槽寬AB的長(zhǎng)為cm．28．（2021?杭州）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求證：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面積．29．（2023?金華）如圖，為制作角度尺，將長(zhǎng)為10，寬為4的矩形OABC分割成4×10的小正方形網(wǎng)格，在該矩形邊上取點(diǎn)P，來(lái)表示∠POA的度數(shù)，閱讀以下作圖過(guò)程，并回答下列問(wèn)題：作法（如圖）結(jié)論①在CB上取點(diǎn)P1，使CP1＝4．∠P1OA＝45°，點(diǎn)P1表示45°．②以O(shè)為圓心，8為半徑作弧，與BC交于點(diǎn)P2．∠P2OA＝30°，點(diǎn)P2表示30°．③分別以O(shè)，P2為圓心，大于OP2長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF與BC相交于點(diǎn)P3．…④以P2為圓心，OP2的長(zhǎng)為半徑作弧，與射線CB交于點(diǎn)D，連結(jié)OD交AB于點(diǎn)P4．…（1）分別求點(diǎn)P3，P4表示的度數(shù)．（2）用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點(diǎn)P5，使該點(diǎn)表示37.5°（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．30．（2022?陜西）我國(guó)三國(guó)時(shí)期的杰出數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)，巧妙地運(yùn)用弦圖證明了勾股定理．如圖，在10×15的正方形網(wǎng)格中，將弦圖ABCD放大，使點(diǎn)A，B，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，C′，D′．（1）A′C′與AC的比值為；（2）補(bǔ)全弦圖A′B′C′D′．31．（2023?河北）如圖1和圖2，平面上，四邊形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，點(diǎn)M在AD邊上，且DM＝2．將線段MA繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分線MP所在直線交折線AB﹣BC于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P在該折線上運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為x（x＞0），連接A′P．（1）若點(diǎn)P在AB上，求證：A'P＝AP；（2）如圖2，連接BD．①求∠CBD的度數(shù)，并直接寫(xiě)出當(dāng)n＝180時(shí)，x的值；②若點(diǎn)P到BD的距離為2，求tan∠A′MP的值；（3）當(dāng)0＜x≤8時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A′到直線AB的距離（用含x的式子表示）．

主題四平面幾何專題15特殊三角形等腰三角形1.性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．推論：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．2.判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等.等邊三角形1.定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．2.性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°．3.判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．推論：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．直角三角形1.定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．2.性質(zhì)：（1）直角三角形兩銳角互余；（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．3.判定：（1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．勾股定理及逆定理1.勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．線段垂直平分線1.線段的軸對(duì)稱性：線段是軸對(duì)稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對(duì)稱軸．2.定義：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．注：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．3.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．注：對(duì)于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連接起來(lái)．4.判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．

主題四平面幾何專題15特殊三角形目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一等腰三角形的性質(zhì)與判定?考向二三角形的內(nèi)角和?考向三全等三角形的判定與性質(zhì)?考向四含30°角的直角三角形?考向五直角三角形斜邊上的中線?考向六勾股定理?考向七勾股定理的證明?考向八勾股數(shù)?考向九勾股定理的應(yīng)用?考向十勾股定理—最短路徑問(wèn)題?考向十一等腰直角三角形?考向十二三角形中位線定理?考向十三三角形的綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；2.探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°，及等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等的三角形(或有一個(gè)角是60°的等腰三角形)是等邊三角形．3.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；4.探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形和勾股定理與中位線性質(zhì)、三角形全等、三角形內(nèi)外角性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考察，這部分知識(shí)需要學(xué)生扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)，并且會(huì)靈活運(yùn)用.在解答題中會(huì)出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定,這部分知識(shí)主要考查基礎(chǔ)。?考向一等腰三角形的性質(zhì)與判定解題技巧/易錯(cuò)易混1．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸．2．等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．4．等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則<a．5．等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．6．等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．7．底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．1．（2023?河北）四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【思路點(diǎn)撥】分兩種情況，由三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊的和大于第三邊，即可解決問(wèn)題．【規(guī)范解答】解：∵△ABC為等腰三角形，∴AB＝AC或AC＝BC，當(dāng)AC＝BC＝4時(shí)，AD+CD＝AC＝4，此時(shí)不滿足三角形三邊關(guān)系定理，當(dāng)AC＝AB＝3時(shí)．滿足三角形三邊關(guān)系定理，∴AC＝3．故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理，關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系定理．2．（2023?大慶）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，點(diǎn)G、H、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米（圖中所有黑線的長(zhǎng)度和），設(shè)BF＝x米，BE＝y(tǒng)米．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶透過(guò)的光線最多（窗戶的面積最大），并計(jì)算窗戶的最大面積．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CF的長(zhǎng)，即可求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)AF：BF＝3：4即可求出AF的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，AC的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG、FH的長(zhǎng)，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出ED＝BC＝2x米，BE＝IJ＝MN＝CD＝y(tǒng)米，最后根據(jù)制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米列出方程即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)窗戶的面積等于△ABC的面積加上矩形BCDE的面積計(jì)算，再根據(jù)配方法求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵△ABC是等腰三角形，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴BF＝CF，AF⊥BC，AB＝AC，∵BF＝x（米），∴CF＝x（米），BC＝2BF＝2x（米），∵AF：BF＝3：4，∴（米），在Rt△AFB中，由勾股定理得（米），∴（米），∵點(diǎn)G、H分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∠AFB＝∠AFC＝90°，∴（米），（米），∵四邊形BCDE是矩形，∴ED＝BC＝2x（米），BE＝CD＝y(tǒng)（米），∵BE∥IJ∥MN∥CD，∴BE＝IJ＝MN＝CD＝y(tǒng)（米），∵制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米，∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD＝16（米），∴，整理得；由題意得，解得；（2）∵，，設(shè)窗戶的面積為W平方米，則W＝S△ABC+S矩形BCDE＝＝＝，∵，∴W有最大值，當(dāng)米時(shí)，W最大，最大值為平方米．【真題點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)材料總長(zhǎng)用含x的式子表示y，從而運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求最大值是解題的關(guān)鍵．3．（2023?濰坊）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，G為BC的中點(diǎn)，連接FG．求證：FG＝AB．【思路點(diǎn)撥】由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得∠ACD＝∠FEC，即可證明EF＝CF，再利用直角三角形的性質(zhì)可證明AF＝CF，即可得GF是△ABC的中位線，進(jìn)而可證明結(jié)論．【規(guī)范解答】證明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCD，∴∠ACD＝∠FEC，∴EF＝CF，∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC+∠ACD＝90°，∠AEF+∠FEC＝90°，∴∠EAC＝∠AEF，∴AF＝EF，∴AF＝CF，∵G是BC的中點(diǎn)，∴GF是△ABC的中位線，∴FG＝AB．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線等知識(shí)的綜合運(yùn)用，證明GF是△ABC的中位線是解題的關(guān)鍵．?考向二三角形的內(nèi)角和解題技巧/易錯(cuò)易混1．等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．2．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸．3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形．5.等腰(等邊)三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．4．（2023?綿陽(yáng)）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（）A． B．6 C．8 D．【思路點(diǎn)撥】先由等邊三角形的性質(zhì)，得BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，再根據(jù)CE＝CD，得∠E＝∠CDE，進(jìn)而得∠CBD＝∠E＝30°，則BD＝DE＝4，然后在Rt△ABD中，由勾股定理求出AB即可．【規(guī)范解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD是AC邊上的中線，∴BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝2AD，∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，∴60°＝2∠E，∴∠E＝30°，∠CBD＝∠E＝30°，∴BD＝DE＝4，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2，即（2AD）2﹣AD2＝（4）2，解得：AD＝4，∴AB＝2AD＝8．故選：C．【真題點(diǎn)撥】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2023?涼山州）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動(dòng)，若OM⊥ON，則OC的最大值是1+．【思路點(diǎn)撥】取AB的中點(diǎn)D，連接OD及DC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到OC小于等于OD+DC，只有當(dāng)O、D及C共線時(shí)，OC取得最大值，最大值為OD+CD，由等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到BD為1，根據(jù)三線合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，在直角三角形AOB中，OD為斜邊AB上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由AB的長(zhǎng)求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DC+OD，即為OC的最大值．【規(guī)范解答】解：取AB中點(diǎn)D，連OD，DC，∴OC≤OD+DC，當(dāng)O、D、C共線時(shí)，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC為等邊三角形，D為AB中點(diǎn)，∴BD＝1，BC＝2，∴CD＝＝，∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴OD＝AB＝1，∴OD+CD＝1+，即OC的最大值為1+．故答案為：1+．【真題點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，涉及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，其中找出OC最大時(shí)的長(zhǎng)為CD+OD是解本題的關(guān)鍵．6．（2023?雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點(diǎn)E，BC＝8，AE＝6，則AB的長(zhǎng)為2．【思路點(diǎn)撥】連接AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，先證明△BCD是等邊三角形，AC垂直平分BD，求得∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，AE＝EC＝6，再解三角形求出AO＝AC﹣CO＝2，最后運(yùn)用勾股定理求得AB即可．【規(guī)范解答】解：如圖：連接AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，又∵BC＝DC，∠C＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BD＝BC＝CD＝8，∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC⊥BD，BO＝DO＝BD＝4，∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝30°，又∵AE∥CD，∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°．∴AE＝EC＝6，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，∴CF＝CE?cos30°＝6×＝3，AF＝AE?cos30°＝6×＝3，CO＝BC?cos30°＝8×＝4，∴AC＝CF+AF＝6，∴AO＝AC﹣CO＝6﹣4＝2．在Rt△BOA中，AB＝＝＝2．故答案為：2．【真題點(diǎn)撥】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂直平分線、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線成為解答本題的關(guān)鍵．?考向三全等三角形的判定與性質(zhì)7．（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：∠O與∠ADO互余，∠DEB與∠ADO互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：由示意圖可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，∴∠DEB＝∠O，故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵．8．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠EBC＝10°．【思路點(diǎn)撥】由∠C＝90°，∠A＝40°，求得∠ABC＝50°，根據(jù)線段的垂直平分線、等邊對(duì)等角和直角三角形的兩銳角互余求得．【規(guī)范解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案為：10°．【真題點(diǎn)撥】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?考向四含30°角的直角三角形解題技巧/易錯(cuò)易混在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，這個(gè)性質(zhì)常常用于計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)，也是證明一邊（30°角所對(duì)的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據(jù)．當(dāng)題目中已知的條件或結(jié)論傾向于該性質(zhì)時(shí)，我們可運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將線段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形，從而將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題．9．（2023?貴州）5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽(yáng)開(kāi)幕，在“自動(dòng)化立體庫(kù)”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長(zhǎng)為12m，則底邊上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【思路點(diǎn)撥】作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【規(guī)范解答】解：如圖，作AD⊥BC于點(diǎn)D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，又∵AD⊥BC，∴AD＝AB＝12＝6（m），故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是掌握30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．10．（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，則EF＝BE+DF．【解決問(wèn)題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分別有景點(diǎn)M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之間修一條直路，則路線M→N的長(zhǎng)比路線M→A→N的長(zhǎng)少370m（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）．【思路點(diǎn)撥】解法一：如圖，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理證明∠G＝90°，分別計(jì)算AD，CG，AG，BG的長(zhǎng)，由線段的和與差可得AM和AN的長(zhǎng)，最后由勾股定理可得MN的長(zhǎng)，計(jì)算AM+AN﹣MN可得答案．解法二：構(gòu)建【閱讀材料】的圖形，根據(jù)結(jié)論可得MN的長(zhǎng)，從而得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：解法一：如圖，延長(zhǎng)DC，AB交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AD于H，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路線M→N的長(zhǎng)比路線M→A→N的長(zhǎng)少370m．解法二：如圖，延長(zhǎng)DC，AB交于點(diǎn)G，連接CN，CM，則∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△DCM是等邊三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【閱讀材料】的結(jié)論得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路線M→N的長(zhǎng)比路線M→A→N的長(zhǎng)少370m．故答案為：370．【真題點(diǎn)撥】此題重點(diǎn)考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是作出所需要的輔助線，構(gòu)造含30°的直角三角形，再利用線段的和與差進(jìn)行計(jì)算即可．?考向五直角三角形斜邊上的中線11．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計(jì)算出CD的長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：由圖可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝3cm，故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．（2022?杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線段FC的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得MC＝MA＝MB，根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；（2）根據(jù)CE＝CM先求出CE的長(zhǎng)，再解直角三角形即可求出FC的長(zhǎng)．【規(guī)范解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM；（2）解：∵AB＝4，∴CE＝CM＝AB＝2，∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，∴FC＝CE?cos30°＝．【真題點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，涉及三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形等，熟練掌握并靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?考向六勾股定理解題技巧/易錯(cuò)易混1．應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時(shí)，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關(guān)系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關(guān)系式是b2+c2=a2．2．如果已知的兩邊沒(méi)有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解．13．（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°＝∠ACD，∴AD＝CD＝2cm，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴BC＝2CD＝4cm，∴BD＝＝＝2（cm），∴AB＝BD﹣AD＝（2﹣2）（cm）．故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（2023?淮安）在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，BH為∠ABC內(nèi)部的任一條射線（∠CBH不等于60°），點(diǎn)C關(guān)于BH的對(duì)稱點(diǎn)為C′，直線AC′與BH交于點(diǎn)F，連接CC′、CF，則△CC′F面積的最大值是4．【思路點(diǎn)撥】連接BC'，根據(jù)圓的定義可知A、C、C'在以B點(diǎn)為圓心，AB為半徑的圓上，再判斷△CC'F是等邊三角形，則當(dāng)CC'是圓的直徑時(shí)，△CC′F面積的最大，此時(shí)CC'＝4，由此可求解．【規(guī)范解答】解：連接BC'，由軸對(duì)稱性可知，BC＝BC'，∵AB＝BC＝BC'，∴A、C、C'在以B點(diǎn)為圓心，AB為半徑的圓上，∵∠ABC＝120°，∴∠AC'C＝120°，∴∠FC'C＝180°﹣120°＝60°，∵CF＝C'F，∴△CC'F是等邊三角形，∴要使△CC′F面積的最大，只需CC'最大即可，∴當(dāng)CC'是圓的直徑時(shí)，△CC′F面積的最大，∴CC'＝4，∴△CC′F面積的最大值為×4×4×sin60°＝4，故答案為：4．【真題點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，能確定CC'是圓的直徑時(shí)，△CC′F面積的最大是解題的關(guān)鍵．?考向七勾股定理的證明15．（2023?湖北）如圖，是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形．設(shè)圖中AF＝a，DF＝b，連接AE，BE，若△ADE與△BEH的面積相等，則＝3．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得出a2＝b2﹣ab，即，解方程得到＝（負(fù)值舍去）代入進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：方法一：∵圖中AF＝a，DF＝b，∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a，∵△ADE與△BEH的面積相等，∴，∴a2＝（b﹣a）b，∴a2＝b2﹣ab，∴1＝（）2﹣，∴，解得＝（負(fù)值舍去），∴；方法二：∵a2＝b2﹣ab，∴b2﹣a2＝ab，∴（b2﹣a2）2＝a2b2，∴b4+a4＝3a2b2，∴＝3，故答案為：3．【真題點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的證明，一元二次方程的解法，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．16．（2022?內(nèi)江）勾股定理被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長(zhǎng)為4，則S1+S2+S3＝48．【思路點(diǎn)撥】由勾股定理和乘法公式完成計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)八個(gè)全等的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊是b，則：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案為：48．【真題點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，應(yīng)用勾股定理和乘法公式表示三個(gè)正方形的面積是求解本題的關(guān)鍵．?考向八勾股數(shù)17．（2023?南通）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，m是大于1的奇數(shù)，則b＝m（用含m的式子表示）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股數(shù)的定義解答即可．【規(guī)范解答】解：∵a，b，c是勾股數(shù)，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，∴b2＝c2﹣a2＝（m2+）2﹣（m2﹣）2＝m4++m2﹣（m4+﹣m2）＝m4++m2﹣m4﹣+m2＝m2，∵m是大于1的奇數(shù)，∴b＝m．故答案為：m．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是勾股數(shù)，熟知滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．18．（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是m2+1（結(jié)果用含m的式子表示）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵m為正整數(shù)，∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案為：m2+1．【真題點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．?考向九勾股定理的應(yīng)用19．（2023?恩施州）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書(shū)中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門(mén)，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門(mén)高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門(mén)對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少（如圖）？答：門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8，6，10尺．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門(mén)的對(duì)角線長(zhǎng)，可與門(mén)的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門(mén)高、寬、對(duì)角線長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：設(shè)門(mén)對(duì)角線的長(zhǎng)為x尺，則門(mén)高為（x﹣2）尺，門(mén)寬為（x﹣4）尺，根據(jù)勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，解得：x1＝2（不合題意舍去），x2＝10，10﹣2＝8（尺），10﹣4＝6（尺）．答：門(mén)高8尺，門(mén)寬6尺，對(duì)角線長(zhǎng)10尺．故答案為：8，6，10．【真題點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，正確運(yùn)用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中是解答本題的關(guān)鍵，難度一般．20．（2023?東營(yíng)）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為50km．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，從而可得∠DAB＝∠ABE＝60°，然后利用平角定義可得∠ABC＝90°，從而在Rt△ABC中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：如圖：由題意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC＝＝＝50（km），∴A，C兩港之間的距離為50km，故答案為：50．【真題點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件畫(huà)出圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．21．（2022?常州）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為20cm的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形ABCD，對(duì)角線是兩根橡皮筋，其拉伸長(zhǎng)度達(dá)到36cm時(shí)才會(huì)斷裂．若∠BAD＝60°，則橡皮筋A(yù)C不會(huì)斷裂（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）．【思路點(diǎn)撥】設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，從而可得△ABD是等邊三角形，進(jìn)而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，從而求出AC的長(zhǎng)，即可解答．【規(guī)范解答】解：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋A(yù)C不會(huì)斷裂，故答案為：不會(huì)．【真題點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?考向十勾股定理—最短路徑問(wèn)題22．（2022?金華）如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC，一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開(kāi)”，在側(cè)面展開(kāi)圖上畫(huà)出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】利用圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，而點(diǎn)B是展開(kāi)圖的一邊的中點(diǎn)，再利用螞蟻爬行的最近路線為線段可以得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：將圓柱側(cè)面沿AC“剪開(kāi)”，側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，∵圓柱的底面直徑為AB，∴點(diǎn)B是展開(kāi)圖的一邊的中點(diǎn)，∵螞蟻爬行的最近路線為線段，∴C選項(xiàng)符合題意，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，最短路徑問(wèn)題，掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．23．（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為10cm．（杯壁厚度不計(jì)）【思路點(diǎn)撥】將杯子側(cè)面展開(kāi)，建立B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)B′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知B′A的長(zhǎng)度即為所求．【規(guī)范解答】解：如圖：將杯子側(cè)面展開(kāi)，作B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′A，則B′A即為最短距離，B′A＝＝＝10（cm）．故答案為：10．【真題點(diǎn)撥】本題考查了平面展開(kāi)﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．?考向十一等腰直角三角形24．（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點(diǎn)E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長(zhǎng)是（）A． B． C．2 D．1【思路點(diǎn)撥】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)E作GH⊥BC于H，交AD的延長(zhǎng)線于G，則∠AFB＝∠CHE＝90°，證明四邊形AFHG是正方形，則AG＝GH，再證明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，則DG＝EG，CH＝EH，最后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)E作GH⊥BC于H，交AD的延長(zhǎng)線于G，則∠AFB＝∠CHE＝90°，∴AF∥GH，∵AD∥BC，∠AFH＝90°，∴四邊形AFHG是矩形，∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵∠FAG＝∠BAE，∴∠BAF＝∠EAG，∵∠AFB＝∠G＝90°，∴△AFB≌△AGE（AAS），∴AF＝AG，∴矩形AFHG是正方形，∴AG＝GH，∵AG∥BC，∴∠C＝∠EDG＝45°，∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，∴DG＝EG，CH＝EH，∴AD＝EH＝1，∴CH＝1，由勾股定理得：CE＝＝．解法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD，交BC于F，∵∠C＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠CFE＝45°，∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠AED＝∠FBE，∵△ABE是等腰直角三角形，∴＝，∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣45°＝135°，∴∠D＝∠BFE，∴△ADE∽△EFB，∴＝＝，∵AD＝1，∴EF＝，∴CE＝EF＝．故選：A．【真題點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形和正方形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，正確作輔助線構(gòu)建△AFB和△AGE全等是解本題的關(guān)鍵．25．（2023?蘇州）如圖，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BC，延長(zhǎng)CB到E，使BE＝CD，連接AE，ED．若ED＝2AE，則BE＝1+．（結(jié)果保留根號(hào)）【思路點(diǎn)撥】如圖，過(guò)E作EQ⊥CA于點(diǎn)Q，設(shè)BE＝x，AE＝y(tǒng)，可得CD＝3x，DE＝2y，證明BC＝AB＝6，CE＝6+x，△CQE為等腰直角三角形，QE＝CQ＝CE＝（6+x）＝3+x，AQ＝x，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．【規(guī)范解答】解：如圖，過(guò)E作EQ⊥CA于點(diǎn)Q，設(shè)BE＝x，AE＝y(tǒng)，∵BE＝CD，ED＝2AE，∴CD＝3x，DE＝2y，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，∴BC＝AB＝6，CE＝6+x，△CQE為等腰直角三角形，∴QE＝CQ＝CE＝（6+x）＝3+x，∴AQ＝x，由勾股定理可得：，整理得：x2﹣2x﹣6＝0，解得：x＝1±，經(jīng)檢驗(yàn)x＝1﹣不符合題意；∴BE＝x＝1+；故答案為：1+．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．?考向十二三角形中位線定理26．（2023?陜西）如圖，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長(zhǎng)，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M．若BC＝6，則線段CM的長(zhǎng)為（）A． B．7 C． D．8【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形中中位線定理證得DE∥BC，求出DE，進(jìn)而證得△DEF∽BMF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BM，即可求出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，∴△DEF∽△BMF，∴＝＝＝2，∴BM＝，CM＝BC+BM＝．故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．27．（2023?湖州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出AB＝13，【規(guī)范解答】解∵AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴，∵BC＝10，∴BD＝5，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，∵AD＝12，∴，∵E為AB的中點(diǎn)，D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，∴．【真題點(diǎn)撥】此題考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?考向十三三角形的綜合題28．（2023?大慶）如圖，在△ABC中，將AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至AB′，將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形“，△AB′C′的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．下列結(jié)論正確的有①②③．①△ABC與△AB′C′面積相同；②BC＝2AD；③若AB＝AC，連接BB′和CC′，則∠B′BC+∠CC′B′＝180°；④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，則B′C′＝10．【思路點(diǎn)撥】由“SAS”可證△BAC≌△AB′E，可得BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，可求S△ABC＝S△B'C'A，BC＝2AD，故①②正確；由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正確；通過(guò)證明平行四邊形AC'EB'是菱形，可得B'C'⊥AE，B'D＝C'D，由勾股定理可求B'C'的長(zhǎng)，即可判斷④，即可求解．【規(guī)范解答】證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接B'E，C'E，∵AD是中線，∴B'D＝C'D，∴四邊形AC'EB'是平行四邊形，∴B'E∥AC'，B'E＝AC'，S△B'C'A＝S?B'EC'A＝S△AB'E，∴∠B′AC′+∠AB′E＝180°，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠BAC＝∠AB′E，∵將AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至AB′，將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β至AC′，∴AB＝AB'，AC＝AC'＝B'E，在△BAC和△AB′E中，，∴△BAC≌△AB′E（SAS），∴BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，∴S△ABC＝S△B'C'A，故①正確；∵AE＝2AD，∴BC＝2AD，故②正確；∵AB＝AC，∴AB'＝AC'＝AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABB'＝∠AB'B，∠ACC'＝∠AC'C，∠AB'C'＝∠AC'B'，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴α+β＝180°，∠B'C'A+∠ABC＝90°，∴∠ABB'+∠AC'C＝90°，∴∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正確；∵BC＝6，∴AD＝3，∵AB'＝AC'＝AB＝AC＝4，∴平行四邊形AC'EB'是菱形，∴B'C'⊥AE，B'D＝C'D，∴B'D＝＝＝，∴B'C'＝2，故④錯(cuò)誤，故答案為：①②③．【真題點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．29．（2023?重慶）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，E沿折線A→B→C方向運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)沿折線A→C→B方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)E，F(xiàn)的距離為y．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并注明自變量t的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出這個(gè)函數(shù)圖象，并寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出點(diǎn)E，F(xiàn)相距3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)t的值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的路線和速度分段進(jìn)行分析，寫(xiě)出不同時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍即可；（2）根據(jù)畫(huà)函數(shù)圖象的方法分別畫(huà)出兩段函數(shù)圖象，然后寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的其中一條性質(zhì)即可；（3）根據(jù)兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式分別求出當(dāng)y＝3時(shí)的t值即可解決問(wèn)題．【規(guī)范解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)E、F分別在AB、AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AEF為邊長(zhǎng)等于t的等邊三角形，∴點(diǎn)E，F(xiàn)的距離等于AE、AF的長(zhǎng)，∴當(dāng)0≤t≤4時(shí)，y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y＝t，當(dāng)點(diǎn)E、F都在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)的距離等于4﹣2（t﹣4），∴當(dāng)4＜t≤6時(shí)，y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，∴y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為；（2）由（1）中得到的函數(shù)表達(dá)式可知：當(dāng)t＝0時(shí)，y＝0；當(dāng)t＝4時(shí)，y＝4；當(dāng)t＝6時(shí)，y＝0，分別描出三個(gè)點(diǎn)（0，0），（4，4）（6，0），然后順次連線，如圖：根據(jù)函數(shù)圖象可知這個(gè)函數(shù)的其中一條性質(zhì)：當(dāng)0≤t≤4時(shí)，y隨t的增大而增大．（答案不唯一，正確即可）（3）把y＝3分別代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：3＝t，3＝12﹣2t，解得：t＝3或t＝4.5，∴點(diǎn)E，F(xiàn)相距3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)t的值為3或4.5．【真題點(diǎn)撥】本題是一道三角形綜合題，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及一次函數(shù)的應(yīng)用，深入理解題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．1．（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：∠O與∠ADO互余，∠DEB與∠ADO互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：由示意圖可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，∴∠DEB＝∠O，故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵．2．（2022?岳陽(yáng)）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點(diǎn)D，若∠C＝40°，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠CED，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【規(guī)范解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，則∠CED＝90°﹣40°＝50°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝50°，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．3．（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點(diǎn)B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠CBF的度數(shù)，再根據(jù)∠ABC＝90°，可以得到∠1的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．4．（2021?黑龍江）如圖，矩形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足為F，將△AEF繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在EF上，點(diǎn)E恰好落在點(diǎn)B處，連接BE．下列結(jié)論：①BM⊥