函數(shù)模型及其應(yīng)用（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點一遍過...........................................3

高頻考點一：幾類不同增長的函數(shù)模型..............................3

高頻考點二：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（二次模型；分段模型）..7

高頻考點三：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（指、對、塞函數(shù)模型）..9

高頻考點四：利用給定函數(shù)模型解決實際問題.......................12

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、常見函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k/0)

(左/為常數(shù)且左w0)

反比例函數(shù)模型f(x)=±+b

X

二次函數(shù)模型/(x)=ax2+bx+c均為常數(shù)，

指數(shù)函數(shù)模型f{x}^k-bx+c(左，①c均為常數(shù)，k<0,b>0,bwl)

對數(shù)函數(shù)模型f(x)=k-logax+b(左/，。為常數(shù)，左w0,〃>0,〃wl)

幕函數(shù)模型f(x)=k-xn+b(k,b,幾為常數(shù),左w0,〃wl)

力(x),x&Dx

分段函數(shù)f(x)=<力(x),XGD2

/(x),xeD3

指數(shù)、對數(shù)、事函數(shù)才慎型性質(zhì)比較

函數(shù)

y=優(yōu)(〃>1)y=logax(a>l)y=%〃(〃>0)

性質(zhì)

在（0,+8）上的

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

增減性

介于指數(shù)函數(shù)與

增長速度先慢后快，指數(shù)爆炸先快后慢，增長平緩對數(shù)函數(shù)之間，相

對平穩(wěn)

隨x的增大，圖象與y軸接近隨X的增大，圖象與X軸接近隨〃值變化而各有

圖象的變化

平行平行不同

值的比較存在一個毛,當(dāng)X〉不時，有l(wèi)ogaX<x"<a"

第二部分：高考真題回顧

1.（多選）（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定

義聲壓級4=20xlg上，其中常數(shù)為（網(wǎng)>0）是聽覺下限閾值，〃是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050-60

電動汽車1040

己知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為”,小，。3,則（）.

A.P,>P2B.p2>10p3

c.P3=100p0D.Pi<100p2

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：幾類不同增長的函數(shù)模型

典型例題

例題1.（2023上?廣東廣州?高三鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)f（無）的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可

能形如（）

-2-101235

2.31.10.71.12.35.949.1

A./(x)=+b

B./(x)=Axer+b

C.f(x)=k\x\+b

D./（^）=A;（x-1）2+b

例題2.（2023上?河北石家莊?高一石家莊二中?？茧A段練習(xí)）有一組實驗數(shù)據(jù)如表:

23456

y1.402.565.311121.30

則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是

A.y=4xB.y=

A.y=ax+b{a>V)B.y=a\fx+b{a>1)

C.y=—+b（a>1）D.y=ax2+b{a>1）

x

例題4.（2023上?四川南充?高一四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）假設(shè)某學(xué)習(xí)小組對家庭每月用水的收

費提供了如下兩種模型:模型一:若用水量不超過基本月用水量m?,則只付基本費8元和損耗費c元（c<5）；

若用水量超過基本月用水量，則除了需付基本費和損耗費外，超過部分還需按b元/n?進行付費；模型二：

用函數(shù)模型y=（其中左，〃為常數(shù)，相>0且〃件1）來模擬說明每月支付費用y（元）關(guān)于

月用水量x（n?）的函數(shù)關(guān)系.已知該市某家庭1—3月的用水量x分別為9m⑶，15H?和21m3,支付的費用y

分別為9元，19元和31元.

⑴寫出模型一中每月支付費用y（元）關(guān)于月用水量Mn?）的函數(shù)解析式；

（2）寫出模型二中每月支付費用y（元）關(guān)于月用水量尤（n?）的函數(shù)解析式，并分析說明學(xué)習(xí)小組提供的模型

哪個更合理？

練透核心考點

1.（2023上?江蘇?高一專題練習(xí)）今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：

t1.993.04.05.16.12

V1.54.047.51218.1

現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（）

A，、=皿B."1。號C.D—

2.（2023上?浙江?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）今有一組實驗數(shù)據(jù)及對應(yīng)散點圖如下所示，則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系

的最佳函數(shù)模型是（）

X10202941505870

y123.87.4111521.8

x

A.y=A\ogax+pB.y=A-a+p

C.y=ax1+bx+cD.y=kx+b

3.（2023上?上海?高一上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）近來，國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局"夜經(jīng)濟"，以滿

足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進而提升區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展活力，某夜市的一位工藝品售賣

者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格P（x）（單

位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足尸（引=10+：且銷售量Q（x）（單位：件）與時間x（單

位：天）的部分數(shù)據(jù)如下表所示

X1015202530

Q(x)5055605550

（1）給出以下四個函數(shù)模型：①。（x）=or+6；@Q（x）=a\x-ir\+b-③。（x）=a-bx；?Q^x）=a-\ogbx.

請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量Q（x）與時間x的變化關(guān)系,

并求出該函數(shù)的解析式及定義域

（2）設(shè)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求外”的最小值.

4.（2023上,四川宜賓?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）2023年宜賓市新添城市名片"中國動力電池之都"，初步建成較

為完整的配套協(xié)同動力電池產(chǎn)業(yè)布局，并搭建起從原材料到整車制造的新能源汽車產(chǎn)業(yè)鏈.新能源電動車主

要采用電能作為動力來源，目前比較常見的主要有兩種：混合動力汽車、純電動汽車.有關(guān)部門在國道上對某

型號純電動汽車進行測試，國道限速60km/h.經(jīng)數(shù)次測試，得到該純電動汽車每小時耗電量Q（單位：wh）

與速度無（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如下表所示：

X0104060

Q0142044806720

為了描述該純電動汽車國道上行駛時每小時耗電量。與速度x的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①

32

Ql（x）=-^x-2x+cx；②&（x）=l一口；③Q3（x）=20Sog0x+6.

（1）當(dāng)0VXV60時，請選出你認為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)表

達式；

⑵現(xiàn)有一輛同型號純電動汽車從宜賓行駛到重慶某地，其中，國道上行駛50km,高速上行駛250km.假設(shè)

該電動汽車在國道和高速上均做勻速運動，國道上每小時的耗電量。與速度x的關(guān)系滿足（1）中的函數(shù)表

達式；高速路上車速x（單位：km/h）滿足尤e[80,120],且每小時耗電量N（單位：wh）與速度x（單

位:km/h）的關(guān)系滿足N（x）=2d-10x+200（80WxW120）.則當(dāng)國道和高速上的車速分別為多少時，該車

輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？

高頻考點二：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（二次模型；分段模型）

典型例題

例題L（2023上?湖南岳陽?高二統(tǒng)考期末）2022年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計劃引進一批新能源汽車制

造設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本1000萬元，生產(chǎn)了（百輛）新能源汽車，還需另投入成本C（x）

10x2+200.x,0<x<30

萬元，且C（x）=10000.由市場調(diào)研，每輛車售價5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能

504%+----------3000,x230

全部銷售完.

（1）求出2022年該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車的利潤“X）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=

銷售量-成本）

⑵2022年產(chǎn)量為多少百輛時，該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車所獲利潤最大？并求出最大利潤.

例題2.（2023上?貴州六盤水?高一統(tǒng)考期末）心理學(xué)家根據(jù)高中生心理發(fā)展規(guī)律，對高中生的學(xué)習(xí)行為進

行研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間.上課開始時，學(xué)生的興趣激

增，中間有一段時間學(xué)生的興趣保持理想狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散.分析結(jié)果和實驗表明，用〃無）表

示學(xué)生掌握和接受概念的能力（〃尤）的值越大，表示接受能力越強），X表示提出和講授概念的時間（單位：

—0.1%2+2.8x+38,0<xW10,

min）,滿足以下關(guān)系：56,10<x<20,

-lx+96,20〈尤W40.

（1）上課多少分鐘后，學(xué)生的接受能力最強？能維持多少分鐘？

⑵有一道數(shù)學(xué)難題，需要54的接受能力及15min的講授時間，老師能否及時在學(xué)生處于所需接受能力的狀

態(tài)下講授完成這道難題？

練透核心考點

1.（2023下?河南,高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中國建設(shè)新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導(dǎo)

體自給率目標(biāo)邁出的重要一步.根據(jù)國際半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)協(xié)會（SEMI）的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國計劃

建設(shè)31家大型半導(dǎo)體工廠.某公司打算在2023年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬

元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出x萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本V（x）（單位：萬元），已

知當(dāng)0<xW5時，V（x）=125；當(dāng)5cxW20時，V（x）=x2+40x-100；當(dāng)x>20時，V（x）=81x+^^—600,

己知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價格售出.

（1）已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為P（x）（單位：萬元），試求出P"）的函數(shù)解析式.

⑵請你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個計劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預(yù)測最大

利潤.

2.（2023上?浙江杭州?高一浙江省杭州第二中學(xué)校考期中）"智能"是本屆杭州亞運會的辦賽理念之一.在亞

運村里，時常能看到一輛極具科技感的小巴車出現(xiàn)在主干道上，車內(nèi)沒有司機，也沒有方向盤，這就是無

人駕駛AR智能巴士.某地在亞運會后也采購了一批無人駕駛巴士作為公交車，公交車發(fā)車時間間隔,單位：

分鐘）滿足54/420,feN,經(jīng)測算，該路無人駕駛公交車載客量。⑺與發(fā)車時間間隔/滿足:

60-(10)2,5Wr<10

〃?)='其中feN.

60,10<r<20

⑴求P（5）,并說明P（5）的實際意義；

（2）若該路公交車每分鐘的凈收益y=60⑺+24一10（元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，該路公交車每分

t

鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.

高頻考點三：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（指、對、塞函數(shù)模型）

典型例題

例題L（2023上,湖南長沙?高一長沙市第十五中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）中國茶文化源遠流傳，博大精深，茶

水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)，某種綠茶用80℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60c時飲用，可

以產(chǎn)生最佳口感.為了控制水溫，某研究小組聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規(guī)律：設(shè)物

體的初始溫度是心,經(jīng)過ftnin后的溫度是T，則=口）_［）e-=2.71828…），其中，表示環(huán)境溫度，

表示半衰期.該研究小組經(jīng)過測量得到，剛泡好的綠茶水溫度是80℃,放在20。。的室溫中，lOmin以后茶

水的溫度是5CTC,在上述條件下，大約需要放置多長時間能達到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)

據(jù)ln2a0.7,ln3-l.l）（）

A.5.7minB.5.8min

C.5.9minD.6.0min

例題2.（2023上?湖北咸寧?高一?？茧A段練習(xí)）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著

名的香農(nóng)公式：C=Wlog2^l+^.它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬

W,信道內(nèi)信號的平均功率S,信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中三叫作信噪比.當(dāng)信噪比比較大

N

時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，若帶寬W不變，信噪比”從1000提升到12000,

N

則C比原來大約增加了（）.（附：坨2。0.3010,炮3。0.4771）

A.32%B.43%C.36%D.68%

例題3.（2023上?安徽六安?高一?？茧A段練習(xí)）一種放射性元素，最初質(zhì)量為1000g,按每年10%衰減.

⑴寫出了年后這種放射性元素質(zhì)量y與*之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求這種放射性元素的半衰期（放射性物質(zhì)的質(zhì)量衰減為原來的一半所需要的時間）精確到0.1年，己知

（lg2=0.3010,lg3=0.4771）.

例題4.（2023上?全國?高一期末）"實施科教興國戰(zhàn)略，強化現(xiàn)代化建設(shè)人才支撐”是2022年10月16日習(xí)近平

同志在中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會上報告的一部分.必須堅持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資

源、創(chuàng)新是第一動力，深入實施科教興國戰(zhàn)略、人才強國戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道，

不斷塑造發(fā)展新動能新優(yōu)勢.某科技企業(yè)通過加大科技研發(fā)投資，提高了企業(yè)的技術(shù)競爭力，也提高了收入.下

列一組數(shù)據(jù)是該公司從2017年以來每年的收入（單位:億元）,2017年記為1,后面的年份依次類推.

x/年123456

y/億元0.91.402.565.311121.30

⑴給出以下兩個函數(shù)模型:①y=1;②產(chǎn)二.試問:用哪個模型更適合模擬該企業(yè)的收入?

人3

（2）該企業(yè)大約在哪一年收入超過100億元?（參考數(shù)據(jù):lg3q0.477,lg220.301）

練透核心考點

1.（2023上?江蘇?高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)

系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個體平均繁殖數(shù)量為Q,一年四季均可繁殖，繁殖間隔T為相鄰兩

代間繁殖所需的平均時間.在物種入侵初期，可用對數(shù)模型K（〃）=Xlog3〃（2為常數(shù)）來描述該物種累計

繁殖數(shù)量”與入侵時間K（單位：天）之間的對應(yīng)關(guān)系，且。=。+1,在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得

出。=6,7=60.據(jù)此估計該物種累計繁殖數(shù)量是初始累計繁殖數(shù)量的6倍所需要的時間為（）天.（結(jié)

果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：In2?0.30,In3?0.48）

A.19.5B.20.5C.18.5D.19

2.（2023上?江蘇南通?高一海安高級中學(xué)校考階段練習(xí)）牛頓冷卻定律描述一個物體在常溫環(huán)境下的溫度

t

變化：如果物體初始溫度為Z）,則經(jīng)過一定時間/（單位：分鐘）后的溫度T滿足7一（=|1『（"一北），其

中力是環(huán)境溫度，力為常數(shù)，現(xiàn)有一杯8（TC的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現(xiàn)在55。。

經(jīng)測量室溫為25℃,茶水降至75P大約用時一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等

待分鐘.

（參考數(shù)據(jù)：lg2工0.30,lg3x0.50,lg5，0.70,Igl1?1.04.）

3.（2023上?上海?高一上海南匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用打點滴的方式治療“支原體感染"病患時，血藥濃度

（血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內(nèi)的總濃度）隨時間變化的函數(shù)符合9?）=乂（1-2-"），其函數(shù)圖象如圖

所示，其中N。為與環(huán)境相關(guān)的常數(shù)，此種藥物在人體內(nèi)有效治療效果的濃度在4到15之間，當(dāng)達到上限

濃度時，必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時間變化的函數(shù)符合。2（。=l2石，其中。為停藥時的人體血

藥濃度.

2

0

8

6

4

2

。|48t（單位:小時）

（1）求出函數(shù)的解析式；

⑵一病患開始注射后，最遲隔多長時間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長時間開始進行第二次注

射？（如果計算結(jié)果不是整數(shù)，保留小數(shù)點后一位）

4.（2023上?廣東汕頭?高一統(tǒng)考期末）潮汕人喜歡喝功夫茶，茶水的口感和水的溫度有關(guān)，如果剛泡好的

茶水溫度是4℃,環(huán)境溫度是。?！?那么f分鐘后茶水的溫度。（單位：°C）可由公式6（/）=4+僧-4,田

求得.現(xiàn)有剛泡好茶水溫度是100℃,放在室溫25℃的環(huán)境中自然冷卻，5分鐘以后茶水的溫度是50℃.

⑴求上的值；

⑵經(jīng)驗表明，當(dāng)室溫為15℃時，該種茶剛泡好的茶水溫度95℃,自然冷卻至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口

感,那么，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1;參考值：ln2?0.7,

ln3?l.l）

高頻考點四：利用給定函數(shù)模型解決實際問題

典型例題

例題L（2023上?福建莆田?高一統(tǒng)考期末）已知某種放射性元素在一升液體中的放射量c（單位：Bq/L）

與時間/（單位：年）近似滿足關(guān)系式0=上./五°且。w1）.已知當(dāng)7=12時，c=100；當(dāng)f=36時，c=25,

則據(jù)此估計，這種放射性元素在一升液體中的放射量c為10時，，大約為（）（參考數(shù)據(jù)：log/*2.32）

A.50B.52C.54D.56

例題2.（2023上?江蘇鹽城?高一校考期中）天氣轉(zhuǎn)冷，某暖手寶廠商為擴大銷量，擬進行促銷活動.根據(jù)前

期調(diào)研，獲得該產(chǎn)品的銷售量。萬件與投入的促銷費用x萬元（xNO）滿足關(guān)系式。=8-島（上為常數(shù)），

而如果不搞促銷活動，該產(chǎn)品的銷售量為4萬件.已知該產(chǎn)品每一萬件需要投入成本18萬元，廠家將每件產(chǎn)

品的銷售價格定為（34+元，設(shè)該產(chǎn)品的利潤為，萬元.（注：禾U潤=銷售收入-投入成本-促銷費用）

（1）求出左的值，并將，表示為》的函數(shù)；

⑵促銷費用為多少萬元時，該產(chǎn)品的利潤最大？此時最大利潤為多少？

例題3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）學(xué)校鼓勵學(xué)生課余時間積極參加體育鍛煉，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉

考核評分制度，建立一個每天得分y與當(dāng)天鍛煉時間x（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系，要求如下：（i）函數(shù)的

圖象接近圖示；（ii）每天運動時間為0分鐘時，當(dāng)天得分為0分；（iii）每天運動時間為30分鐘時，當(dāng)天

得分為3分；（iiii）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①丫二米+萬億＞0）；②

=左-（左＞（＞）

y1.2*+60）；③y=A;log2|—+2|+n^0.

（1）請根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)你從中選擇一個合適的函數(shù)模型不需要說明理由；

（2）根據(jù)你對（1）的判斷以及所給信息完善你的模型并給出函數(shù)的解析式；

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