湖南省婁底市聯(lián)考2025屆高三年級(jí)上冊(cè)11月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2025屆?普通高中名校聯(lián)考信息卷（月考一）（高考研究卷）

數(shù)學(xué)試卷

（考試范圍：集合與邏輯用語(yǔ)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、向量與復(fù)數(shù)、數(shù)列與立

體幾何）

考生注意：

1.本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.請(qǐng)將答案填在答題卡上.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z滿足（3一41”=|4+3"，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)除法、模的求法化簡(jiǎn)求復(fù)數(shù)z,進(jìn)而判斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.

【詳解】由z=用^=亮=丫,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（：（）在第一象限?

3-413-41（3-旬（3+旬555

故選：A

2.設(shè)集合A={x|logo.5（xT）>。}，5=付2工<4},則（）

A.A=BB.AB=0C.AB=BD.AB=B

【答案】D

【解析】

【分析】計(jì)算出集合A、3后，結(jié)合集合的運(yùn)算即可得.

【詳解】logo5（x-l）>0,即logo.5（xT）>logo.51，則0<%-1<1，解得1<X<2,

所以A={%[1<x<2},5={X2工<2?}={Wx<2},

所以ARB,從而B=B.

故選：D.

3.已知向量方與6是非零向量，且滿足a-匕在6上的投影向量為-2。，同=2忖，則4與6的夾角為

A.120°B.150°C.60°D.90°

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量、向量數(shù)量積等知識(shí)求得正確答案.

【詳解】設(shè)。與6的夾角為。（o°wewi8o°）,

(a-b\-bba-b-b*2

o-b在6上的投影向量為---□----J7T=一不----b

\b\\b\\b\

\a\-\b[cos0-\b[_

所以

2|z?|-|z?|-cos^-|/?|

2cos0—\=-2,cos0=—,

H2

所以。鈍角，且6=120。.

故選：A

4.最早的測(cè)雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時(shí)類”，收錄了

有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法

是下雪時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖

（注意：?jiǎn)挝籧m）,則平地降雪厚度的近似值為（）

C.史cmD.巴cm

1212

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)梯形中位線定理，結(jié)合圓臺(tái)體積公式進(jìn)行求解即可.

20+40

【詳解】如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為-------=15cm,

4

所以平地降雪厚度的近似值為3=20%（102+152+10x15

95

=—cm

兀X2()212

故選：c

5.定義：滿足3：，=q（q為常數(shù)，”cN*）的數(shù)列｛%｝稱為二階等比數(shù)列，4為二階公比.已知二

an+lan

階等比數(shù)列I%｝的二階公比為0,卬=1,4=3,則使得4>2024成立的最小正整數(shù)〃為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得'=（正）“;利用累乘法求得4的表達(dá)式，解數(shù)列不等式，即可求得答案.

4-1

【詳解】由題意知二階等比數(shù)列I%｝的二階公比為J5,q=l,則f=、歷，

a&%

故工n，&=0,

‘。“-

2ax

將以上各式累乘得:

心一1)(n-i)n-

故q=2丁，令2―〉2024，由于=1024,2"=2048,

n-l)n

故10，即(〃一1)〃>40,

/

又的值隨n的增大而增大，且（7-1）x7=42,（8-l）x8=56,

(n-l)n21_

當(dāng)〃=7時(shí)，2^=2耳=2隈夜<21°義2=2024,

當(dāng)〃=8時(shí)，2^^=2口〉2024，

故〃的最小值為8,

故選：B

6.已知函數(shù)/(x)=(e*—e?X3,若用滿足〃log2加)+/(10go,5間<2,則實(shí)數(shù)冽的取值范

圍是（

A.［5,2］B.(2,+co)C［。'萬］D，［。萬］(2,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由奇偶性的定義可得/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，然后求導(dǎo)得了'(%),即可判斷外力

在(0,+。)上的單調(diào)性，再將不等式化簡(jiǎn)求解，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=(e*-er}/定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以“X)是定義在R上的偶函數(shù)，

又/'(x)=(e"+b)?V+3d,._e-，),

當(dāng)x>0時(shí)，ex>l,0<e-'<l,則八力>0,所以/(%)在(0,+功單調(diào)遞增,

又logo5m=—log2m,則/(log05m)=/(-log2m)=/(log2m),

且〃l)=e」

則不等式/(log?根)+/(logosm)<2可化為

e

2/(log2m)<2/(l),即/(log?m)<f(1),

且y(x)是定義在R上的偶函數(shù)，/(%)在(0,+“)單調(diào)遞增，

則|log2/n|<1,即T<log2m<\,即log?g<log2m<log22,

所以g(機(jī)<2,即實(shí)數(shù)冽的取值范圍是1g,2；

故選：A

7.在VABC中，角A昆C所對(duì)的邊分別為。也%2〃sinA—Z?sin5=3csinC,若S表示VABC的面積,

則我的最大值為()

A出V10「2百V5

A.-------DR.--------C.---------Dn.

4632

【答案】D

【解析】

【分析】由條件利用正弦定理得”,4c的關(guān)系，由余弦定理可得cosA,結(jié)合三角形面積公式求得（記下的

表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值，進(jìn)而得解.

【詳解】因?yàn)?asinA-Z?sin5=3csinC,

13

由正弦定理得2a2-〃=3c?,所以/=一〃+',

22

由余弦定理得cosA="+°2一/='二《，

2bc4bc

所以/S2_（a"csinA）2_c2sin2A_c2Q_cos2A）_1。418c?

（常=-P—=F^=一行一=R（-齊+丁-0

令二二/，則（）2=—（_?+18/—1）4;，當(dāng)且僅當(dāng)r=9,即c=3b時(shí)取等號(hào)，

b2b~644

所以？〈亞，

b22

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)并不算困難，但計(jì)算量較大，解決的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)學(xué)的計(jì)算，做

到不出錯(cuò)即可得解.

8.已知函數(shù)〃力=435[?！贰?}0〉0），/（“在區(qū)間°，f上的最小值恰為一0，則所有滿足條件的

。的積屬于區(qū)間（）

A.（1,4]B,[4,7]C.（7,13）D,[13,+oo）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)能否取到最小值進(jìn)行分類討論即可.

1/yyq-r~yyq~r~

【詳解】當(dāng)0,--時(shí)公”不￡—,因?yàn)榇藭r(shí)/（X）的最小值為一切〈。，

D1N_LNJ_LN

所以二0一￡>工，即0>1.

31224

若出-才萬，此時(shí)/（%）能取到最小值-4,即一07=O=4,

代入可得fx4-二〉乃，滿足要求；

312

若/（%）取不到最小值4則需滿足梟一展〈萬，即

。(0)=4cos[m0一5]在①上單調(diào)遞減，所以存在唯一口符合題意；

所以。=4或者所以所有滿足條件的。的積屬于區(qū)間(7,13),

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.

9.下列結(jié)論正確的是()

A.若a<Z?<0,則/>ab>/

,1

B.若xeR,則必+2+=一的最小值為2

X2+2

C.若a+b=2,則/+尸的最大值為2

D.若xe(0,2),則L+

x2-x

【答案】AD

【解析】

【分析】利用作差法比較大小判斷A,利用基本(均值)不等式判斷BCD,要注意“一正二定三相等”.

【詳解】因?yàn)樗詀?>ab>

因?yàn)?b(a-b)>0,所以a?！??,所以/故A正確;

11

因?yàn)闋t9+2+-->2的等號(hào)成立條件X92+2=——不成立，所以B錯(cuò)誤;

x+2X2+2

2

〃2+/72a+b

因?yàn)?------>I=1,所以片+/?2,故C錯(cuò)誤;

22

11(-、)門一1+2-xx>1(2+2)=2,

因?yàn)椤?■15z"+2-"|----------1----------

Xxx2-x

當(dāng)且僅當(dāng)工=^—,即x=l時(shí)，等號(hào)成立，所以D正確.

x2-x

故選：AD

10.已知定義域在R上的函數(shù)/(%)滿足：/(x+1)是奇函數(shù)，且/(—l+x)=/(—1—x),當(dāng)

f（x）=x2-l,則下列結(jié)論正確的是（

A./（%）的周期T=4

C.”％）在［—5,臼上單調(diào)遞增D.〃x+2）是偶函數(shù)

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合周期性的定義即可求解A,利用性質(zhì)作出函數(shù)的圖象，即可結(jié)合圖象逐一求解.

【詳解】由于/（X+1）是奇函數(shù)，所以〃x+l）=—/（—x+1）,則/（力=一/（2-力

又/(—l+x)=/(—1—力，則〃2r)=/(i-4),所以

/(x)=-/(x-4)=-[-/(x-8)]=/(x-8),所以/(九)的周期為8,A錯(cuò)誤,,

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合1』，f（x）=x2-l,作出函數(shù)圖象為:

由圖象可知：/（九）在［—5,T］上單調(diào)遞增，C正確，

由于/（尤）的圖象不關(guān)于光=2對(duì)稱，所以/（x+2）不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤

故選：BC

11.在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是矩形，AD=叵,A3=AP=?D=1，平面八平面A8CD,

點(diǎn)M在線段PC上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），則（）

A.存在點(diǎn)M使得

B.四棱錐P-ABCD外接球的表面積為3兀

TT

C.直線PC與直線所成角為一

3

D.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線8。的距離最小時(shí)，過點(diǎn)A,D,M作截面交于點(diǎn)N,則四棱錐尸—ADMN的體積

【答案】BCD

【解析】

【分析】取A。的中點(diǎn)G,證明8D/平面PGC,然后由線面垂直的性質(zhì)定理判斷A,把四棱錐P-ABCD

補(bǔ)形成一個(gè)如圖2的正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷BC,由/平面PGC,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線8。的距離

最小時(shí)胸，尸C,從而得M為PC的中點(diǎn)，N為QA的中點(diǎn)，再由體積公式計(jì)算后判斷D.

【詳解】如圖1,取的中點(diǎn)G,連接GC,PG,BD,GC=則PGLAD,

因?yàn)槠矫嫔?DJ_平面ABCD平面Q4Dc平面ABCD=AD，PGu平面BM),

所以PG,平面ABCD,5Du平面ABCD,則PGJ_3。.

又因?yàn)閠anNA￡>3tan/DGC=4^0=l,所以GCLBZ),

ADGD

又PGGC=G,PG,GCu平面PGC,所以1平面PGC.

因?yàn)镸e平面尸GC,Ae平面PGC,所以不成立，A錯(cuò)誤.

因?yàn)椤魅薖￡?為等腰直角三角形，將四棱錐的側(cè)面AP。作為底面一部分，補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體.如圖2,

則四棱錐尸-A5CD的外接球即為正方體的外接球，其半徑H=1,即四棱錐夕-MCD外接球的表面積

2

為3兀，B正確.

TT

如圖2,直線尸C與直線A。所成角即為直線PC與直線所成角，為一，C正確.

3

如圖1,因?yàn)?D工平面PGC,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線距離最小時(shí)加LPC,

管cosZDCG=^=^=f

由上推導(dǎo)知PGLGC,GC=J12+

2

CH=DCcosZDCH=GH=GC-CH^―

36

22

PH=y]PG+GH=小2—（等了]+（分2=當(dāng)PH=CH,

因此M為PC的中點(diǎn).如圖3,由M為PC的中點(diǎn)，即為。。中點(diǎn)，平面AZW即平面相)Q與3P的交點(diǎn)

33311

也即為QA與的交點(diǎn)，可知N為的中點(diǎn)，故匕>_5必=7匕>必8=7%.4即=7><:=3,D正確.

44468

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體的外接球問題，（1）直接尋找球心位置，球心都在過各面外心用與該面垂

直的直線上，（2）對(duì)特殊的幾何體，常常通過補(bǔ)形（例如把棱錐）補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體，它們的外接

球相同，而長(zhǎng)方體（或正方體）的對(duì)角線即為外接球的直徑，由此易得球的半徑或球心位置.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知數(shù)列｛4｝滿足囚=l,24+i+&4+1=0（〃eN*）,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為.

【答案】=亍匕

【解析】

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)即得.

【詳解】數(shù)列｛4｝中，q=l,2%+i-4+a“a“+i=0,顯然尸0,

1c1,1,C/1八1,C

則有----2—+1,即----+1=2（-+1）,而一+1-2,

4+ia”an+lan%

因此數(shù)列｛」-+1｝是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

an

=2'，即"時(shí)

所以一+1

an

故答案為：%=5占

13.己知函數(shù)f（x）=2s“0x+：卜0〉0）,若/（尤］）=/（%2）=—6，民—九2|的最小值為|_，則

【答案】6

【解析】

【分析】由題意得5,.+二=4兀+2E或上兀+2E,左eZo|x1—％2白二，結(jié)合題意可得0,然后代入求

433113

值即可.

【詳解】2sin10Xj=—若，sin［ox,.+：］=—#,（7=1,2）,

兀45

所以，cox.+—=—兀+2也或一兀+2E,左￡Z,G|玉一司之三,

433

7171g"(x)=2sin271

...①義——=CD=—x+——

2334

所以/=2sin[]|+：]=2sin1.

故答案為：目.

e，x>0、

14.己知函數(shù)/'（%）={'2—，若函數(shù)/（尤）的圖象在點(diǎn)人（王，/（玉））（王<°）和點(diǎn)

—X,x<0

6（9，/（X2））（42〉°）處的兩條切線相互平行且分別交y軸于/、N兩點(diǎn)，則的取值范圍為

e

【答案】-,+?

【解析】

e*2

【分析】由/'（七）=/'（電）可得出為=一（利用弦長(zhǎng)公式得\A出M\局=亞，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)

x

g⑺二Je在（0,+8）上的值域，即可為所求.

2x

【詳解】當(dāng)x<0時(shí),/（%）=-x2,f\x）=-2x,則/缶）=-2不

當(dāng)x>0時(shí),/（x）=eT,r（x）=e*,則

因?yàn)楹瘮?shù)〃龍）的圖象在點(diǎn)4（石,/&））（玉<0）和點(diǎn)可々，/（々））（尤2>。）處的兩條切線相互平行,

X2

則/'(%)=/'(%)，即—2%=V，貝叮=—1,

㈤,

|AM|=J1+4X；.\BN\=J1+^-\x2\，

網(wǎng)=，E逋乜1=_%=￡1

\BN\7w^-|x2|X]2%，

令g(x)=|^，其中尤＞0,則g，(x)=e[：J),

當(dāng)0<%<1時(shí)，g'(x)<0,此時(shí)函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)1>1時(shí)，g'(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以，g(x)>g(l)=|,因此，的取值范圍是"|，+8)

故答案為：—,+co^.

|A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用切線斜率相等得出招、占所滿足的關(guān)系式，然后將%

\B

轉(zhuǎn)化為含無2的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在VA3C中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知ZacsinA+l—〃=0.

7T

(1)若4=—,a=2,求VABC的面積；

6

，一、4sin2C+3sin2A+2.,?,,士,,,,,,,,.

(2)求------------------的最小值，并求出此時(shí)3的大小.

sin2B

【答案】(1)括

,一、4sin2C+3sin2A+2,,,2n

(2)----------------的最B小值是5,此時(shí)n3n=——

sin2B3

【解析】

【分析】(1)結(jié)合余弦定理與面積公式即可得；

(2)結(jié)合三角恒等變換與三角形內(nèi)角和，將原式中多變量換成單變量，再結(jié)合基本不等式即可得.

【小問1詳解】

由題意得sinA+=0,

2ac

因?yàn)閏osB="+廠—"，

2ac

所以sinA+cos5=0,故cos5=-sinA,

兀1

又A=—，所以cosB=—.

62

因?yàn)?、C是VABC的內(nèi)角，所以3為鈍角,

Z7171

所以5=丁，所以。=：,

36

所以VABC是等腰三角形，則〃=。=2,

所以^AABC=~QCsiaB=gx2x2x=^3.

【小問2詳解】

由(1)可知，VABC中，cosB=-sinA<0,

jr

即3為鈍角，則B=A+—,

2

371

因?yàn)锳+JB+C=TI,。=兀一A—_B=------2B,

2

.4sin2C+3sin2A+24cos225+3cos25+2

所eCH以---------；--------=-----------；---------

sin25sin25

22

、幾4cosIB+3COSB+2

設(shè)〃3)=----------硒-------

4(l-2sin2B)2+3(l-sin2B)+2

則F(B)=—

sin2B

16sin4B-19sin2B+9,9

=16sin2B+—；——19，

sin25sin2B

由sin2Be(0,l)，

故/(5)=16sin2B+—-—19>2J16sin2B?—-19=5,

')sin25Vsin2B

當(dāng)且僅當(dāng)16sin2B=—即sin5=@，

sin2S2

結(jié)合3鈍角，即當(dāng)3=@時(shí)等號(hào)成立,

3

4sin2c+3sin2A+2的最小值是5,此時(shí)3=生

所以

sin2B3

16.如圖，在正三棱錐P-ABC中，有一半徑為1半球，其底面圓。與正三棱錐的底面貼合，正三棱錐

的三個(gè)側(cè)面都和半球相切.設(shè)點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，ZADP=a.

p

(1)用a分別表示線段5C和尸。長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)時(shí)，求三棱錐的側(cè)面積S的最小值.

【答案】⑴13a=區(qū)；\PD\=——1——

11sinasinacosa

27

(2)——

2

【解析】

【分析】(1)連接。尸，由題意。為VABC的中心，則可得一PQD為直角三角形，設(shè)半球與面P2C的切

點(diǎn)為E,然后分別在及△(?￡>￡和劉尸OD中求解即可，

(2)由已知條件可得5=—里----ae(0,g],令costz=/,則上述函數(shù)變形為s")=上旺，

sinacosa\?)t-t

?e(O,l),然后利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果

【小問1詳解】

連接0P,由題意。為VABC的中心，

且面A8C,又ADu面ABC,所以POLAZ),所以PQD為直角三角形.

設(shè)半球與面P3C的切點(diǎn)為E,則國(guó)=1且

在及AODE中,12且=|O0|=』XYI|BC|，所以忸。|=名晝.

sina32sin。

在&POD中,|PD|=3L=——I——.

cosasinacosa

【小問2詳解】

]

由題知，S=3S^PRC=3x-x\BC\x\PD\=-x^-x——-——，

211112sinasinacosa

化簡(jiǎn)得S=產(chǎn)—，aefo,^l

sinacosaV2)

令COS2=/,則上述函數(shù)變形為s?)=；g,fe(O,l),

所以S(0=3：(3；)；l),令S，?)=O,得t=g.當(dāng)?shù)?時(shí)，

S'?)<0,S?)單調(diào)遞減，當(dāng)fe三,1時(shí)，

S'⑺>0,s((單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=￥時(shí),

三棱錐的側(cè)面積S的最小值為S[#]=y.

17.已知函數(shù)/(x)=xlnx-ax?+q(aeR).

(1)若函數(shù)/(x)在x=l處的切線與直線2x—y+l=0垂直，求實(shí)數(shù)。的值.

(2)若函數(shù)/(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)a=|；(2)

【解析】

【分析】(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)。的取值范圍；

(2)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'(x)=lnx+l-2ax,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為/'(%)=0有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)

g(x)=/'(%)=Inx+l-2a%,貝|g，(x)=^-2a,討論aW0和a>0兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性，分析函數(shù)

X

的零點(diǎn)，求參數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】(1)/(x)=lnx+l-2ax,

f(1)=1-2a,

3

則(l_2a)x2=_l,解得〃

4

(2)/(x)=Inx+1-lax,

由題設(shè)可知f\x)=0有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且/'("在零點(diǎn)的附近/(X)的符號(hào)發(fā)生變化.

令g(x)=lnx+l-2or,則，(%)二工一2a,

若〃<0,則g'(%)>。，則g(%)為(0,+8)上為增函數(shù)，

g(x)在(0,+8)上至多有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)。>0時(shí)，若0<x<l",貝Ug'(x)>o,故g(x)在［o,：］上為增函數(shù)，

2aI2a)

若x〉，-,貝!|g'(x)<0,故g(x)在(；,+(?］上為減函數(shù)，

故g(x)max=g(4］=ln4〉0,故0<a<:.

\la)2a2

又工〈,且g(1)=—“<0,故g(x)在上存在一個(gè)零點(diǎn)；

e2aee'2a)

下證當(dāng)/>2時(shí)，總有2hu<J

99—r

令/z(。=21n1—1,則//(%)=—1=---,

92—/

當(dāng)￡>2時(shí)，h\t)=--l=-^-<0,故/z9)為(2,+”)上的減函數(shù)，

故/z")v/z(2)=21n2—2<0,故21n，</成立.

令，=Vx,%>4,則In%<y/x，

故當(dāng)x>4時(shí)，有g(shù)(x)<?+1-2〃%，

(1++8〃)

=maxM,-----——?jiǎng)t當(dāng)時(shí)，

16a

有&+1-26=—2彳4」+^^］?」一^^<0,

故g(x)<0,故在］1,+8)上，存在實(shí)數(shù)了,使得g(x)<0,

由零點(diǎn)存在定理及g(x)的單調(diào)性可知可得g(x)在上存在一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，實(shí)數(shù)。的取值范圍是g］.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查邏輯推理能力，分

類討論的思想，函數(shù)與方程思想，屬于中檔題型.

18.已知數(shù)列｛4｝滿足等||++果=3—<W(〃eN*),記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”.

(1)求s“；

(2)已知/eN*且匕=1,&=2,若數(shù)列｛”｝是等比數(shù)列，記優(yōu)｝的前，項(xiàng)和為T“，求使得SX

成立的〃的取值范圍.

【答案】(1)S,"

(2)｛1,2,3｝.

【解析】

【分析】(1)由遞推關(guān)系首先得4=2〃-1結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可求解.

(2)由題意首項(xiàng)得上“=匕苗1,進(jìn)一步有通過等比數(shù)列求和將原問題轉(zhuǎn)換為求3二21(*)不等

式的正整數(shù)解集.

【小問1詳解】

.幺+&+In+3

+緊3—①

2222"

二幺+群+2H+1

+-^=3-(心2)②

2222"T2“T

②-①得，&2n—1_01

2n，付％=2〃-1?

2n

r\-I

當(dāng)〃=1時(shí)，①式為幺=3——=-,得q=1,也滿足上式.

222

數(shù)列5｝是等差數(shù)列，所以S”=業(yè)"

【小問2詳解】

%=%=1,W?=%=3,則數(shù)列｛%,｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

又氣=26T，26-1=3-得耳=1

、

得七'1-3"3"+2〃-1

+〃

4

7

令S“2卻即"2芝士女二1即^±1訓(xùn)*).

4

當(dāng)”=1,2,3時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，(*)式滿足要求.

令/⑺=4/:+1,則

，/八，/、4(〃+l)2—2(〃+1)+14/r-2/1+14〃(3-2〃)

+1)-〃")=--------』------------------—二、一，

57

所以當(dāng)八之4時(shí)，/(n)</(4)=—<1,

即當(dāng)n之4時(shí)，(*)式不成立.

.?■使得Sn>Tn成立的n的取值范圍是｛1,2,3).

19.牛頓法(Newton'smethod)是牛頓在17世紀(jì)提出的一種用導(dǎo)數(shù)求方程近似解的方法，其過程如下：如圖，

設(shè)廠是/。)=0的根，選取X.作為廠的初始近似值，過點(diǎn)(%,〃%))作曲線y=/(x)的切線LL的方程

為y=/(Xo)+/'(Xo)?！?).如果則乙與無軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為毛，稱/為『的一階近似

值.再過點(diǎn)(西,/&))作曲線y=/(x)的切線，并求出切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)記為馬，稱乙為廠的二階

近似值.重復(fù)以上過程，得r的近似值序列：