?？谑?025屆高三摸底考試數(shù)學(xué)試題及答案

機(jī)密★啟用前

?？谑?025屆高三摸底考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

i.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答

題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若集合N=<x<5},3=卜卜?-4x+3Wo},則2口8=

A.|x|x>21B.{x|lWx<5}C.{x|2Wx<3}D.{x[2<xW3}

2.已知向量。=工2),b=(k,-l),貝ij“左=—；”是“a〃/，”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知函數(shù)/(x)=x-lnx,則/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

A.(-℃,1)B.(0,1)C.(1，+8)D.(0,+oo)

4.已知a=log023,b=201,c=ln2,貝ija,b,c的大小關(guān)系為

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

5.?？谑凶鳛槭着皣H濕地城市”，有豐富的濕地資源和獨(dú)特的生態(tài)環(huán)境，?？谑心持?/p>

學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組計(jì)劃利用5月1日至5月5日共5天假期實(shí)地考察美舍河濕地公

園、五源河濕地公園、三江紅樹林濕地公園、潭豐洋濕地公園和響水河濕地公園5個(gè)

濕地公園，每天考察1個(gè)，其中對美舍河濕地公園的考察安排在5月1日或5月2日，

則不同的考察安排方法有

A.24種B.48種C.98種D.120種

6.如圖，在平面四邊形4BCD中，ZC與8。交于點(diǎn)。，且

OA=1,0B=0C=0D=2,剪去△C。。，將△49。沿。4翻折，

△50C沿05翻折，使點(diǎn)。與點(diǎn)。重合于點(diǎn)尸，則翻折后的三棱錐

尸-495外接球的表面積為

A.5萬B.8萬C.971D.137r

7.已知P是拋物線/=2x上的動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)尸到直線y=x+3的距離的最小值是

A.豆2B.272-1?372“50

244

數(shù)學(xué)試題第1頁共4頁

8.已知定義在[一3,3]上的函數(shù)/(力=y_尸一23+1,/(m2)+/(m-2)^2,則機(jī)的

取值范圍是

A.[-2,1]B.[-1,2]C.[-1,V3]D.H,l]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.某校為了解學(xué)生的身體狀況，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生測量體重，處

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這些學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)(單位：千克)全部介于45至70o.orp.

0.06卜--1

之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則

A.頻率分布直方圖中a的值為0.04

B.這50名學(xué)生體重的眾數(shù)約為52.5:::二-…—

C.該校學(xué)生體重的上四分位數(shù)約為61.254口」灰

D.這50名學(xué)生中體重不低于65千克的人數(shù)約為10

10.函數(shù)/(%)=/5皿5+0)(/>0,0>0,0<夕<萬)的部分圖象如圖所示，則下列命題正確

的是vt

5乃'

C./(X)關(guān)于x=絲對稱

D.將函數(shù)/(x)的圖象向右平移三個(gè)單位長度得到函數(shù)/z(x)=2sin2x

11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)/(-a,0),B(a,0),直線尸尸5相交于點(diǎn)尸，且

直線尸/與直線尸3的斜率之積為根，其中掰w0,a>0.下列選項(xiàng)正確的是

A.當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，半徑為。的圓，且除去(-a,0),

(a,0)兩點(diǎn)

B.當(dāng)機(jī)〉0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且除去(-。,0),(。,0)兩點(diǎn)

C.當(dāng)加<0且如w-1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且除去(-a,0),

(a,0)兩點(diǎn)

D.當(dāng)機(jī)=2,a=G時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲線C,過點(diǎn)(3,0)且傾斜角為30°的直線與

曲線C交于N兩點(diǎn)，貝”MV匚竽

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

8

12.已知2"=3，2fc=j,貝ija+Z?=.

13.記△ABC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=l,且asin/=

26(sinB-sinCcosA),則6=.

14.已知函數(shù)f(x)=e，(x+2)-ax,若存在唯一的負(fù)整數(shù)%,使得/(x0)<0,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

數(shù)學(xué)試題第2頁共4頁

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

記S”為數(shù)歹!]｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知2szi=34—1.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)-=a,+log34,求數(shù)列｛）｝的前〃項(xiàng)和空.

16.（15分）

如圖，在正四棱柱ABC。-45GA中，48=2,點(diǎn)E滿足

AE=2EB＞戶是4A的中點(diǎn).

（1）證明：過用，E,尸三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面

為梯形；

Q

（2）若/4=§，求二面角尸-用￡-5的正弦值.

17.（15分）

制定適合自己的學(xué)習(xí)計(jì)劃并在學(xué)習(xí)過程中根據(jù)自己的實(shí)際情況有效地安排和調(diào)整學(xué)習(xí)

方法是一種有效的學(xué)習(xí)策略.某教師為研究學(xué)生制定學(xué)習(xí)計(jì)劃并堅(jiān)持實(shí)施和數(shù)學(xué)成績之間

的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)：

成績＞120分成績《120合計(jì)

制定學(xué)習(xí)計(jì)劃并堅(jiān)持實(shí)施14620

沒有制定學(xué)習(xí)計(jì)劃22830

合計(jì)163450

（1）依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“制定學(xué)習(xí)計(jì)劃并堅(jiān)持實(shí)施”

和“數(shù)學(xué)成績高于120分”有關(guān)聯(lián)？

（2）若該校高三年級每月進(jìn)行一次月考，該校學(xué)生小明在高三開學(xué)初認(rèn)真制定了學(xué)

習(xí)計(jì)劃，其中一項(xiàng)要求自己每天要把錯(cuò)題至少重做一遍，做對為止.以下為小明堅(jiān)持實(shí)施

計(jì)劃的月份和他在學(xué)校數(shù)學(xué)月考成績的校內(nèi)名次數(shù)據(jù)：

月考時(shí)間11月初12月初次年1月初次年2月初次年3月初

時(shí)間代碼X12345

月考校內(nèi)名次y881857729569475

參考數(shù)據(jù)：=9433,歹=702.2.

i=l

（i）求月考校內(nèi)名次y與時(shí)間代碼X的線性回歸方程y=bx+a；

（ii）該校老師給出了上一年該校學(xué)生高考（6月初考試）數(shù)學(xué)成績在校內(nèi)的名次和在

全省名次的部分?jǐn)?shù)據(jù)：

數(shù)學(xué)試題第3頁共4頁

校內(nèi)名次W5100200300

全省名次M202576662780

利用數(shù)據(jù)分析軟件，根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出了兩個(gè)回歸模型和決定系數(shù)尺2：

模型①模型②

u=9.5由一449u=28e°m6命

R2?0.7927R2x0.9973

在以上兩個(gè)模型中選擇“較好”模型(說明理由)，并結(jié)合問題(i)的回歸方程，依

據(jù)“較好”模型預(yù)測小明如果能堅(jiān)持實(shí)施學(xué)習(xí)計(jì)劃，他在次年高考中數(shù)學(xué)成績的全省名次

(名次均保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù)：e2272?9.7,e2-432?11.4,e0672?2.0)

2

、2n(ad-be).

附：(1)Z=7-----------——，其中t〃=a+6+c+d.

(a+Z7)(c+d)(a+c)(Z7+d)

a0.050.010.0050.001

%3.8416.6357.87910.828

(2)對于一組數(shù)據(jù)(七,％)?=123,....),其回歸直線方=%+方的斜率和截距的最小

、E(x,一元)3-刃-nxy八

二乘估計(jì)分另U為：上，-----------=耳---------，d=y-bx.

￡(%-元)2儲2_用

f=lZ=1

18.(17分)

已知函數(shù)/(x)=/一(2a+l)x+alnx(aeR).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù))=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)討論/(x)的單調(diào)性；

(3)若g(x)=/(x)--一(a-l)lnx有兩個(gè)不同的零點(diǎn)苞戶2,求。的取值范圍.

19.(17分)

對于二次曲線「：Ax2+=1,我們有：若。(￡/')是曲線「上的一點(diǎn)，則過點(diǎn)。

22

與曲線「相切的直線方程為Ax'x+juy'y=1.已知橢圓C]：：■+==1(。>6>0),

a~b"

1=13/,動(dòng)圓。2：，+必,點(diǎn)尸(%,%)是G與。2在第一象限的交點(diǎn)?

(1)求橢圓G的離心率e；

(2)過點(diǎn)尸作動(dòng)圓C2的切線/，/經(jīng)過橢圓G的右焦點(diǎn)尸(。,0)，求/與。滿足的關(guān)

系式/(x0,c)=0；

(3)若6=1,直線48與G，。2均相切，切點(diǎn)4在G上，切點(diǎn)5在。2上，求|48|

的最大值.

數(shù)學(xué)試題第4頁共4頁

?？谑?025屆高三摸底考試

數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

題號12345678

答案DCBABCDD

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

題號91011

答案ABCACABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.313.114.匕二）

8.t己g(x)=cx-e~x-2x貝I/(x)=g(x)+1，

當(dāng)x￡［-3,3］時(shí)，=g(-x)=e~x-ex+2x,g(-x)+g(x)=0,g(x)為奇函數(shù)

由題知/(m2)+/(m-2)<2,.*.g(m2)+1+g(m-2)+1<2

即g(m2)<g(2-加)而g\x)=e%+e-'-220所以g(x)在［-3,3］上單調(diào)遞增，

-3<m2<3-V3<m<A/3

/.g(m2)<g(2-m)-3<2-m<3-1<m<5/.-1<m<1,選D

m2<2-m-2<m<1

11.ABD

2

設(shè)尸(x，V),則kPA，kpB=-----------=一r=m(m0),

x+ax-ax-a

即動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程為：x2-^=a2,（加，0）,（xw土a）

m

當(dāng)加=一1時(shí)，方程為：，x1+y2=a2（xW±a）,故A正確;

當(dāng)加〉0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去兩個(gè)頂點(diǎn)），B正確;

當(dāng)機(jī)＜-1時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在》軸上的橢圓（除去左、右兩個(gè)頂點(diǎn)），

1

當(dāng)-1(加<0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓(除去左、右兩個(gè)頂點(diǎn))，故C錯(cuò)誤

22

當(dāng)加=2,a=G時(shí)，設(shè)尸的軌跡為曲線C,則C的方程為：土-匕=1

36

設(shè)直線方程為y=g(x-3),

[22

土—匕=1

聯(lián)立方程31，整理得5/+6x-27=0.

V3(八

J=—(^-3)

解得：為+12=-，xxx2=~~~■■\^-B\=^1+民-xj=I'，.D正確.

xx

14.原不等式可化為：ax0>e°(x0+2),令人(x)=(x+2)e*,h\x)=(x+3)e,

顯然xe(—oo,—3)時(shí)，h\x)<0,力(x)單調(diào)遞減；xe(-3,+oo)時(shí)，h\x)>0,力(無)單

調(diào)遞增，

所以/z(x)min="(-3)=-1，且Xf—oo時(shí)，〃(x)-0,x—+oo,/z(x)f+8,%(-2)=0

e

同一坐標(biāo)系中，作出力0)與歹=。無(過定點(diǎn)(o,0))的圖象，

0>-2a

據(jù)圖可知，滿足題意的整數(shù)解為-3,此時(shí)應(yīng)滿足-。一3<—3。,

-2e-4>-4a

解得擊故答案為：.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

解：(1)當(dāng)〃=1時(shí)，2s1=2%=3q-1,解得q=l.1分

當(dāng)〃22時(shí)，2sl=3%--1,2分

所以2S〃-2sl=2?！?3%-3al3分

即%=3%_|,而q=1/0,故％/0,故?-=3,4分

an-\

???數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，5分

所以4=1X3〃T=3"T.6分

n1

(2)bn=3-+n-l,7分

2

所以北二(30+3]+32+…+3，T)+(0+1+2+-+O—1))8分

(1一3〃)〃(〃_])_3〃_1M_3〃+〃2

=丁+^-=212分

3”+"2一〃一1

13分

2

16.(15分)

解：（1）如圖，取線段的中點(diǎn)M,連接尸N,BM

因?yàn)槭?A的中點(diǎn)，所以MF//BB],^.MF=BBl,

所以四邊形片即屈為平行四邊形，

則5M7/月尸，且藥/

在線段上取點(diǎn)N,使得4N=2NM,

2

因?yàn)閆E=2￡8，所以ENI/BM豆EN=3BM4分

2

所以EN〃BF且EN=—BF因?yàn)镋N〃B、F,所以E,N,F,耳四點(diǎn)共面,

3

截面即為四邊形砌/N,5分

2

又因?yàn)镋N=3BF所以四邊形EB.FN為梯形.6分

（2）以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，/氏/。,四所在直線分別為工，y>z軸，建立圖示空間直角坐

標(biāo)系,則.（2,0,|）,唱0，。）,.。'用'

故函=序0,|）函=（2,一1,0）,

7分

設(shè)平面4￡F的一個(gè)法向量為%=（x,y,z）

r——.（28

一”「g=0-x+-z=0

則有<—.，即on33,

=02x-y=o

\y=8,、

令x=4,貝IJ=（4,8,—1）9分

又因?yàn)槠矫?用￡的一個(gè)法向量為%=（0」,0）11分

設(shè)二面角E—4E—8為。,

\|"「"24x0+8x1+(-1)x0113分

則Icos。|=|COS(”],"27=

||?11-1?2716+64+1x1

14分

所以二面角廠-4￡-5的正弦值為于.15分

17.(15分)

3

解：(1)零假設(shè)為用：制定學(xué)習(xí)計(jì)劃并堅(jiān)持實(shí)施和數(shù)學(xué)成績高于120分沒有關(guān)聯(lián).

50x(14x28-2x6)293xOS

由公式得/=---------X22.120>10.828=xoooi,3分

(14+6)(2+28)(14+2)(6+28)12x34

依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷為不成立，即制定學(xué)習(xí)計(jì)劃并堅(jiān)持實(shí)

施和數(shù)學(xué)成績高于120分有關(guān)聯(lián).4分

(2)(i)由題知：x=|(l+2+3+4+5)=3,5分

5

=I2+22+32+42+52=55,6分

Z=1

n

所以［上---------=9433-5x3x702.2=：1Q8分

62-255—5x3?

),xt-nx

Z=1

a=J7-6J=702.2-(-110)x3=1032.2,9分

所以月考校內(nèi)名次)與時(shí)間代碼x的線性回歸方程為9=-110x+1032.2.10分

(ii)模型②為“較好”模型，因?yàn)槟Ｐ廷诘臎Q定系數(shù)大于模型①的決定系數(shù).12分

高考對應(yīng)的時(shí)間代碼為8,

預(yù)測小明高考數(shù)學(xué)成績的校內(nèi)名次為：

2-110x8+1032.2=152.2^152,13分

全省名次為日=28e°°i6xi52=28e2432=28x11.4=319.214分

所以預(yù)測小明高考數(shù)學(xué)成績的全省名次為319名.15分

18.(17分)

解：(1)當(dāng)°=1時(shí)，/(x)=x2-3x+lnx,所以/(1)=一2,1分

=2x-3+—,

X

所以函數(shù)了=/(x)在點(diǎn)處切線的斜率為左=/'⑴=0,2分

函數(shù)7=/(x)的圖象在x=l處的切線方程為7=-2.3分

(2)函數(shù)/(司=——(2a+l)x+alnx的定義域?yàn)?0,+co),4分

又/口)=212"1)+12x2—(2a+l)x+a=(2xl)(x-0.5分

XXX

當(dāng)aVO時(shí)，令/'(x)=0則x=g.當(dāng)xe(0《)時(shí)，/(x)<0;當(dāng)(小+⑹時(shí)，

r(x)〉o,

4

所以/（X）在6,+8）上單調(diào)遞增，在（0,；）上單調(diào)遞減.6分

當(dāng)。〉0時(shí)，令/''（x）=0貝1］》=?；颍?：.

1當(dāng)0<a<；時(shí)，當(dāng)xe（0,a）Ue，+°o）時(shí)，/'⑴〉。；當(dāng)xe（a,；）時(shí)，

/。）<0，

所以/（x）在（0，。），（；，+8）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.7分

②當(dāng)a=；時(shí)，/'（x”0在xe（O,+”）上恒成立，所以/⑴在（0,+向上單調(diào)遞增.

8分

③當(dāng)a〉g時(shí)，當(dāng)xe（0，：）U（a，+8）時(shí)，/'（x）〉0；當(dāng)xe（4,a）時(shí)，fr（x）<0,

所以/（x）在（04），（。，+8）上單調(diào)遞增，在已,上單調(diào)遞減.9分

綜上，當(dāng)時(shí)，/（X）在（0,；）,。+8）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)。=g時(shí)，/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<4<；時(shí)，/⑴在（0,4）,出+8）上單調(diào)遞增，在（嗎）上單調(diào)遞減；

當(dāng)aWO時(shí)，/⑴在&+8）上單調(diào)遞增，在（0,；）上單調(diào)遞減.10分

（3）8（%）=/0）-必一（（7一1）111%有兩個(gè)不同的零點(diǎn)再，氣,

即lnx-（2a+l）x=0有兩個(gè)不同正實(shí)根％，x2,11分

得24+1=也有兩個(gè)不同正實(shí)根為，%，即y=2a+l與尸叱有兩個(gè)交點(diǎn),

XX

InX匕步，令G'（x）=0,得x=e，

令G(x)=——(x>0),則G'(x)=

xx

當(dāng)xe（0,e）時(shí)，G'（x）〉0,；.G（x）在（0,e）上單調(diào)遞增,

當(dāng)xe（e,+co）時(shí)，G'（x）<0,二G（x）在（e,+oo）上單調(diào)遞減，13分

，x=e時(shí)，G（x）取得最大值L且G⑴=0,當(dāng)x>l時(shí)G（x）>0,

14分

e

得G（x）的大致圖像如圖所示：

111-e

.，.0<2a+1<—,解得—<ci<----,16分

e22e

5

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-；，分).17分

19.(17分)

解(1)設(shè)橢圓G的半焦距為c,則/=/+，，代入/=13〃，得

12/=',

122^/39

所以，彳=023分

a1313

(2)由已知，切線/的方程為+%>=/,又切線過右焦點(diǎn)尸(c