2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（新題型：19題）（鞏固篇）（含答案）

2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（鞏固篇）【人教A版（2019）】（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效；3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；4.測試范圍：選擇性必修第一冊全冊、選擇性必修第二冊全冊；5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（5分）（23-24高二上·湖北荊門·期末）在四面體OABC中，M點(diǎn)在線段OA上，且OM=2MA，G是△ABC的重心，已知OA=a，OB=b，OC=A．13a?C．?13a2．（5分）（23-24高二上·四川成都·期末）若數(shù)列an滿足a1=2，Sn+1+A．9 B．10 C．11 D．123．（5分）（23-24高二上·河南南陽·期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F2且垂直于A．5?12 B．3?12 C．4．（5分）（23-24高二上·江蘇常州·期末）已知圓M:x2+y2+4x=0和圓N:x2+y2A．22,4+2C．4?2,225．（5分）（23-24高二上·河北石家莊·期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，A．?66 B．63 C．?6．（5分）（23-24高二上·山西·期末）已知函數(shù)fx=2x?sinx+cosA．fα<fαC．fα<fα7．（5分）（23-24高二上·山東青島·期末）已知拋物線C:y2=4x與過焦點(diǎn)F的一條直線相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于弦AB的直線交拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)MA．準(zhǔn)線l的方程是x=?2 B．以AB為直徑的圓與y軸相切C．|AB||MF|的最小值為2 D．△ABM的面積最小值為8．（5分）（23-24高二上·湖南長沙·期末）已知函數(shù)fx=x+1ex?a，若函數(shù)A．?1e2,0 B．0,1e二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）（23-24高二上·浙江·期末）已知空間四點(diǎn)O0,0,0,A0,1,2A．OA?OB=?2 B．以C．點(diǎn)O到直線BC的距離為5 D．O，A，B，C四點(diǎn)共面10．（6分）（23-24高二上·浙江·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過點(diǎn)P1,32，左焦點(diǎn)為F1?1,0．設(shè)直線l:y=12x與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C外一點(diǎn)，直線AM，BMA．橢圓C方程為x24+C．M，N，O共線 D．直線MN的斜率為定值?11．（6分）（23-24高二上·山西呂梁·期末）已知函數(shù)fxA．fx的單調(diào)遞減區(qū)間是B．fx在點(diǎn)e2C．若方程alnx=xD．設(shè)gx=x2+a，若對第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（23-24高二上·浙江紹興·期末）數(shù)列an滿足an+1=an2an13．（5分）（23-24高二上·山東聊城·期末）若直線l與曲線y=ex?1相切，也與曲線y=ex?2相切，則l14．（5分）（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知拋物線C:y2=4x，過C焦點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M為直線x=?1上的點(diǎn)，且△MPQ是等邊三角形，則△MPQ的面積為四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）（23-24高二上·山東日照·期末）已知直線l1：4x?3y+5=0與l2垂直，且l2(1)求l2(2)若l2與圓C：x2+y?4216．（15分）（23-24高二上·江蘇南京·期末）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn(1)證明an3n(2)求數(shù)列4an22n+117．（15分）（23-24高二上·云南昆明·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面PCD．(1)求證：CD⊥平面PAC；(2)設(shè)E為PD的中點(diǎn)，PA=AC=3AB，求二面角18．（17分）（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知橢圓C:x2a2+(1)求C的方程．(2)記F1和F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)．設(shè)D是橢圓C上一個動點(diǎn)且縱坐標(biāo)不為0．直線DF1交橢圓C于點(diǎn)A（異于D），直線DF2交橢圓C于點(diǎn)B（異于D）．若19．（17分）（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)f(x)=ln(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a?2時，求a的取值范圍；(3)若f(x)≤xex?2ax+a?12024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)選擇題壓軸題十六大題型專練（范圍：第四、五章）【人教A版（2019）】題型1題型1根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式1．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2025，前n項(xiàng)和Sn，滿足SnA．12025 B．12024 C．11012【解題思路】根據(jù)Sn=n2an得到【解答過程】因?yàn)镾n=n兩式相減得an所以anan?1所以ana1所以a2024故選：C.2．（23-24高二下·江西南昌·期末）若首項(xiàng)為1的數(shù)列an滿足an+1=3aA．2?3 B．2+3 C．?1【解題思路】利用此數(shù)列的遞推關(guān)系，依次求出下一項(xiàng)，直到出現(xiàn)重復(fù)，則可以判斷周期，從而利用周期性來得到結(jié)果.【解答過程】由a1=1，a2a3a4a5a6a7因?yàn)閍7=a1，由此得數(shù)列所以a16=a故選：C.3．（23-24高三上·河南·期中）在數(shù)列an中，an>0，a1=1，aA．414 B．15 C．223 【解題思路】依題意對an+12+a【解答過程】因?yàn)閍n+12+an2a所以a1132=因?yàn)閍n>0，所以故選：B.4．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列an滿足a1=1，aA．a(chǎn)2=1 B．a(chǎn)nan?1=【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件求得a2=a1=1【解答過程】對于AB，因?yàn)閿?shù)列an滿足a1=1所以當(dāng)n=2時，a2=a對于CD，當(dāng)n≥2時，an+1兩式相減，得an+1?a又a11=1，a所以ann是從第二項(xiàng)起首項(xiàng)為故當(dāng)n≥2時，ann=綜上，an故選：AD．題型2題型2求數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)5．（24-25高三上·廣東汕頭·開學(xué)考試）已知數(shù)列an=n?2025n?A．a(chǎn)1，a100 B．a(chǎn)45，a44 C．a(chǎn)45，a【解題思路】先化簡an【解答過程】an因?yàn)?42所以n≤44時，數(shù)列an單調(diào)遞增，且an>1；n≥45時，數(shù)列a∴在數(shù)列an的前100項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是a故選：B.6．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n?62n?15，令bn=anA．?dāng)?shù)列anB．使anC．滿足anan+1D．使Tn取得最小值的n【解題思路】把a(bǔ)n化簡成fn，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得最大值和最小值，得到A正確；由分式的整除可得2n?15=±1,±3,±9,結(jié)合n為正整數(shù)可判斷B正確；由an【解答過程】對于A：化簡得a故fn在1,7,8,+∞n∈Z又f1=413,當(dāng)n→+∞時,fn對于B：易知當(dāng)an∈Z時,結(jié)合n為正整數(shù)，則n=3,6,7,8,9,12,共6項(xiàng)，故B正確；對于C：當(dāng)1≤n≤2或n≥8時,an>0,當(dāng)4≤n≤7時,a故當(dāng)n=1,2,3,4,5,7時，滿足anan+1對于D：可知b1=b2=b3故選：C.7．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）數(shù)列an、bn滿足：a1=8，an?aA．第7項(xiàng) B．第9項(xiàng)C．第11項(xiàng) D．第12項(xiàng)【解題思路】利用累加法得到an=4n2+4n，即可得到b【解答過程】n≥2時，an?an?1=8n，an?1?an?2=8n?1，???令bk≥b解得172≤k≤192，故選：B.8．（23-24高二下·四川成都·期末）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n?98n?99A．在數(shù)列an中，a10是最大項(xiàng) B．在數(shù)列anC．?dāng)?shù)列Sn單調(diào)遞減 D．使Sn取得最小值的【解題思路】判斷數(shù)列an的單調(diào)性，由此求得最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，進(jìn)而判斷A,B選項(xiàng)，再根據(jù)項(xiàng)與1的大小關(guān)系判斷S【解答過程】an=n?98n?99=1+99?當(dāng)n≥10時an隨著n的增大越來越小且大于1，則前n項(xiàng)中最大項(xiàng)為a10，最小項(xiàng)為故A，B選項(xiàng)正確；當(dāng)1≤n≤9時，0<當(dāng)n≥10時，an=1+99前n項(xiàng)積Sn取得最小值時n故選：ABD.題型3題型3求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值9．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，公差為d.若a1>0，A．d>0 B．SC．S20>0 D．【解題思路】對于A：根據(jù)S18=0可得a1+a18=0【解答過程】對于選項(xiàng)A：因?yàn)閿?shù)列an則S18=18可得2a1+17d=0對于選項(xiàng)B：因?yàn)閍1+a所以S7對于選項(xiàng)D：因?yàn)閍9+a10=0當(dāng)n≤9時，an>0；當(dāng)n≥10時，可知當(dāng)且僅當(dāng)n=9時，Sn對于選項(xiàng)C：因?yàn)閍19所以S20故選：B.10．（23-24高三上·福建福州·階段練習(xí)）數(shù)列an是遞增的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，滿足a8A．d>0 B．a(chǎn)C．當(dāng)n=4時，Sn最小 D．Sn>0【解題思路】由遞增的等差數(shù)列可知d>0；由a8=3a5結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得【解答過程】由an是遞增的等差數(shù)列，得d>0由a8=3a5，得由Sn=na1+nn?1又Sn=na所以Sn>0時，故選：C.11．（24-25高三上·湖南邵陽·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1<0，S7=A．10 B．12 C．15 D．24【解題思路】根據(jù)前n項(xiàng)和的定義結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得a12+a【解答過程】因?yàn)镾7=S又因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，則a可得5a12+且a1<0，可知即當(dāng)n≤12時，an<0；當(dāng)n≥13時，所以當(dāng)Sn取得最小值時，n故選：B.12．（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1<0，且A．a(chǎn)5+aC．當(dāng)n=6時，Sn取最小值 D．當(dāng)Sn<0【解題思路】根據(jù)已知條件得到6a【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d依題意S7所以a5+a6,a6則S7所以S4由于a5+a6<0,a6從第6項(xiàng)起為正數(shù)，所以當(dāng)n=5時，SnS10所以當(dāng)Sn<0時，故選：ABD.題型4題型4求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值13．（2024高二·全國·專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=3，且a2022+A．3 B．303 C．?3 D．?303【解題思路】先利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得公比，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求S101【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a2022+a故S101故選：A.14．（2024·河南許昌·模擬預(yù)測）設(shè)Sn是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S2023<S2025A．a(chǎn)1>0 B．q>0 C．Sm【解題思路】根據(jù)題意算出a2024>?a2025>0【解答過程】由S2023<S2025<S2024有q2024>0，q2022>0，則由?1<q<0，m≥2且m∈N*，得?1<q<q0<1?qm取a1=?2，q=?12，符合題意，而故選：C.15．（23-24高二下·廣東湛江·開學(xué)考試）已知等比數(shù)列an滿足a1+a2=34，A．2552 B．1272 C．1274【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式列式求a1【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因?yàn)閍1+a2=34，a所以數(shù)列an的前8項(xiàng)的和S故選：D．16．（23-24高二下·四川南充·期中）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，且滿足條件a1>1A．0<q<1 B．SC．T4043>1 D．T2022【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，則a2022?1>0a2023?1<0或a2022?1<0a2023?1>0，【解答過程】由(a2022?1)?(a2023∵a1>1，a2022?∵a1>1，∴a2022而從第2023項(xiàng)開始都小于1，對于A，公比0<q=a對于B，∵a2023<1，∴對于C，T4043∵a2022>1，∴a對于D，等比數(shù)列{an}的前n且數(shù)列{a故T2022是數(shù)列{故選：ACD.題型5題型5等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用17．（2024·重慶云陽·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的公差不為0，設(shè)bi=anii∈N?，若n2=2A．a(chǎn)81 B．a(chǎn)121 C．a(chǎn)122【解題思路】根據(jù)題意計(jì)算得到d=2a1，an【解答過程】根據(jù)題意知：b2=a2，b3=a故a1+4d2故an=2aa81a121a122=243aa123故選：C.18．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）設(shè)公差d≠0的等差數(shù)列an中，a3，a5，a8成等比數(shù)列，則A．54 B．34 C．45【解題思路】利用等比數(shù)列求出首項(xiàng)與公差的關(guān)系，然后利用等差中項(xiàng)化簡所求表達(dá)式即可．【解答過程】解：因?yàn)楣頳≠0的等差數(shù)列an中，a3，a5所以a52=a3所以a1故選：C．19．（23-24高一下·浙江麗水·期末）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，公差d≠0，a1A．136 B．2 C．10?1 【解題思路】由a1,a2,a5【解答過程】∵a1∴a22=∴Sn令t=n+1，令y=12(t+∵函數(shù)y在(0,10]遞減，在∴當(dāng)t=3時，y=136；當(dāng)t=4時，∴ymin故選：A.20．（24-25高二上·福建·期中）已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公比不為1，若a3，a2，aA．a(chǎn)n的公比為?3 B．a(chǎn)nC．a(chǎn)n的前10項(xiàng)和為?341 D．a(chǎn)7，a5【解題思路】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式基本量列式求解公比判斷ABD，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求和判斷C.【解答過程】設(shè)an的公比為q，因?yàn)閍1=1因?yàn)閍3，a2，a4因?yàn)閝≠0，所以q2+q?2=q?1所以q=?2，故A錯誤；B正確；an的前10項(xiàng)和為1?因?yàn)閍7所以a7，a5，故選：BCD.題型6題型6數(shù)列的求和21．（24-25高三上·山東·期中）已知數(shù)列an滿足a1=1，an?A．817 B．1225 C．78【解題思路】首先對已知等式進(jìn)行變形，可得到數(shù)列1an的性質(zhì)，進(jìn)而求出an的表達(dá)式，然后得出a【解答過程】已知an?an+1=2因?yàn)閍1=1，所以1a1=1，那么數(shù)列1得1an=1+(n?1)×2=2n?1an求數(shù)列{anan+1S8故選：A.22．（23-24高二下·四川達(dá)州·期中）在數(shù)列{an}中，若a1=2，且對任意n∈N*A．30×231+2C．29×230+2【解題思路】由累乘法求出an=n?2n，再由錯位相減法求出數(shù)列{an}【解答過程】因?yàn)槿我鈔∈N*有an+1所以anan?1=2?nn?1，上式累乘可得：an因?yàn)閍1=2，所以設(shè)數(shù)列{an}的前nTnTn2T兩式相減可得：?T所以?T所以Tn所以T30故選：D.23．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知正項(xiàng)數(shù)列an是公比不等于1的等比數(shù)列，且lga1+lga2023A．2022 B．4036 C．2023 D．4038【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1?a【解答過程】因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列an且lga1+lga結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可得a1又因?yàn)楹瘮?shù)fx=2令T=fa1+f可得2T=fa所以T=2023．故選：C.24．（23-24高二下·湖北武漢·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：3aA．?dāng)?shù)列an為等差數(shù)列 B．C．?dāng)?shù)列(?1)nan的前100項(xiàng)和為3101?3【解題思路】首先由數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3n，對于A，利用等差數(shù)列定義即可排除；對于B，利用等比數(shù)列的求和公式易得；對于C，將數(shù)列的項(xiàng)展開后分組求和即得；對于D，先由【解答過程】由3a1+5a2當(dāng)n≥2時，3兩式相減得，(2n+1)an顯然，當(dāng)n=1時符合題意，故an對于A，由an+1對于B，由上分析，可知an+1an因Sn對于C，數(shù)列(?1)na=?(=?3(1?對于D，由an=3n≤100(100?=?(=S故選：BC.題型7題型7數(shù)列不等式25．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2，且log2A．9 B．10 C．11 D．12【解題思路】先應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算得出an+1【解答過程】由題得log2an+1所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則2所以2n≤513，即n≤9，故故選：A.26．（2024·重慶·三模）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=2an?3n+4，若λA．12,+∞ B．1,+∞ C．【解題思路】先求出an+3=2n，然后對【解答過程】由于Sn=2an?3n+4又有an+1所以an+1=2an+3，故a這表明命題等價于λ?2n?3n+2>0若λ≤1，則λ?22?3×2+2=4λ?4≤4?4=0若λ>1，由于我們可以直接驗(yàn)證2n?3n+2≥0在n=1和n=2時成立，且對2n故2n?3n+2≥0對而此時由λ>1有λ?2n?3n+2>2n所以λ的取值范圍是1,+∞故選：B.27．（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2+m，n∈N*A．?2 B．0 C．1 D．2【解題思路】由Sn與an的關(guān)系且an為等差數(shù)列，求出an，由ann<2，得x2?(1+a)x?2【解答過程】因?yàn)镾n=n2+mn≥2時，an所以a1=1+m，a2因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以a1=1從而an=2n?1，所以x2?(1+a)x?2a則當(dāng)0≤a≤1時，g(a)=2ag(0)=?x2+x≤0g(1)=2+1+x?x只有選項(xiàng)A符合題意，故選：A.28．（23-24高二下·四川樂山·期末）在數(shù)列an中，a1=1，an+1?an=2A．1 B．0 C．?1 D．?2【解題思路】根據(jù)條件，利用累加法得到an=2n?1，從而將問題轉(zhuǎn)化成2+λ?【解答過程】因?yàn)閍n+1當(dāng)n≥2時，(a又a1=1，所以又n=1時，a1=1滿足所以an由2+λ?(?1)n≥令bn=3n?1當(dāng)n=1時，b2?b1=12所以b1<b當(dāng)n為偶數(shù)時，2+λ?(?1)n=2+λ≥當(dāng)n為奇數(shù)時，2+λ?(?1)n=2?λ≥b1故選：AB.題型8題型8新情景、新定義下的數(shù)列問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示29．（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·期末）對于數(shù)列an，若存在正整數(shù)kk≥2，使得ak<ak?1,ak<ak+1，則稱A．3 B．9 C．10 D．12【解題思路】首先計(jì)算數(shù)列an【解答過程】由題意可知，a1=0，a2a4=4+94?10=154，a函數(shù)y=x+9x?10，在10,+∞單調(diào)遞增，且且a9只有a8>a故選：B.30．（23-24高二下·上海嘉定·期末）設(shè)Sn是一個無窮數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若一個數(shù)列滿足對任意的正整數(shù)n，不等式Snn<Sn+1n+1恒成立，則稱數(shù)列anA．①和②都為真命題 B．①和②都為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【解題思路】對于①：根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得Snn=d2【解答過程】對于①：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d則Sn=d即Snn為公差為若an為和諧數(shù)列，則S即d2n+a所以關(guān)于n的二次函數(shù)Sn所以在n∈N對于②：取a1則Sn=a為和諧數(shù)列等價于Sn證明上述不等式即說明存在公比為負(fù)數(shù)的一個等比數(shù)列是和諧數(shù)列，即證45a1當(dāng)n=2k+1,k∈N當(dāng)n=2k,k∈N*時，即證2k+4設(shè)f(k)=16k?則f(k)在1,+∞上單調(diào)遞增，可得f(k)≥f(1)=16?即（*）式成立，所以②正確.故選：A.31．（2024·北京東城·二模）設(shè)無窮正數(shù)數(shù)列an，如果對任意的正整數(shù)n，都存在唯一的正整數(shù)m，使得am=a1+a2+a3A．若an為等差數(shù)列，則aB．若an為等比數(shù)列，則aC．若內(nèi)和數(shù)列an為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列bD．若內(nèi)和數(shù)列an的伴隨數(shù)列bn為遞增數(shù)列，則【解題思路】對于ABD：舉反例說明即可；對于C：根據(jù)題意分析可得am2>【解答過程】對于選項(xiàng)AB：例題an=1，可知則a1+a2=2所以an對于選項(xiàng)C：因?yàn)閍n對任意n1,n2∈使得am則am2?且內(nèi)和數(shù)列an為遞增數(shù)列，可知m所以其伴隨數(shù)列bn對于選項(xiàng)D：例如2,1,3,4,5,???，顯然an是所有正整數(shù)的排列，可知an為內(nèi)和數(shù)列，且但an故選：C.32．（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）若數(shù)列an滿足1an+1?1an=d（n∈NA．若i=120bB．若bn=2n+1cn，且C．若bn中各項(xiàng)均為正數(shù)，則D．若b1=1，b【解題思路】根據(jù)“調(diào)和數(shù)列”的定義可以確定1bn為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可以確定A錯誤；利用等差數(shù)列的定義求得其通項(xiàng)公式，則B正確；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合基本不等式可得證，則C正確；構(gòu)造函數(shù)fx=x?1?lnx，得【解答過程】依題意可得1bn為等差數(shù)列,由i=1201bi=20,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得1b1由bn=2n+1cn，且c1=3，c2=15，可得b1=1由1bn為等差數(shù)列，可得1bn+1=1b由b1=1，b2=12，可求得∴bn=1n，令fx=x?1?lnx，x>0，f′(x)=1?1x=x?1x，則12ln1+故選：BCD.題型9題型9兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示33．（2024·福建·模擬預(yù)測）已知直線y=kx+b既是曲線y=lnx的切線，也是曲線A．k=1e，b=0 B．k=1C．k=1e，b=?1 D．k=1【解題思路】設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，利用對應(yīng)系數(shù)相等建立方程，解出即可.【解答過程】設(shè)直線與曲線y=lnx的切點(diǎn)為x1與曲線y=?ln(?x)的切點(diǎn)為x2又y′=ln則直線y=kx+b與曲線y=lnx的切線方程為y?ln直線y=kx+b與曲線y=?ln(?x)的切線方程為y+ln則1x1=?1x故選：A.34．（2024·陜西渭南·一模）已知直線y=ax+b(a∈R,b>0)是曲線fx=ex與曲線A．e+2 B．3 C．e+1【解題思路】由fx求得切線方程，結(jié)合該切線也是gx的切線列方程，求得切點(diǎn)坐標(biāo)以及斜率，進(jìn)而求得直線【解答過程】設(shè)t,et是fx所以fx在點(diǎn)t,et處的切線方程為y?令g′x=ge?t=1?t=1?tet，所以t=0或t=1（此時①為y=所以t=0，此時①可化為y?1所以a+b=1+1=2.故選：D.35．（23-24高三·江西·階段練習(xí)）若函數(shù)f(x)=3x+1x?3(x>0)的圖象與函數(shù)gx=txex的圖象有公切線l，且直線lA．1e B．e2 C．1e或2e 【解題思路】根據(jù)垂直性質(zhì)可得kl=2，再求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線l的方程為y=2x?1，再設(shè)函數(shù)gx=txe【解答過程】由題知，kl=2，令f′x=3?1x2=2，又x>0，解得x=1設(shè)函數(shù)gx=txex與直線所以2x0?1=t即2x0?1x0=2故選：D.36．（2024·河北保定·二模）若直線y=3x+m是曲線y=x3x>0與曲線y=?A．m=?2 B．m=?1 C．n=6 D．n=7【解題思路】設(shè)直線y=3x+m與曲線y=x3x>0相切于點(diǎn)a,a3【解答過程】解：設(shè)直線y=3x+m與曲線y=x3x>0與曲線y=?x2+nx?6對于函數(shù)y=x3x>0，y解得a=1，所以13=3+m，即對于函數(shù)y=?x2+nx?6則?2b+n=3b>0又?b所以?b又b>0，所以b=2，n=7.故選：AD.題型10題型10函數(shù)的單調(diào)性問題37．（24-25高三上·河北滄州·期中）若函數(shù)f(x)=2x?3x?tlnx在(1,3)A．(26,?7) B．(7,?+【解題思路】求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，由f′【解答過程】函數(shù)f(x)=2x?3x?t依題意，f′(x)在(1,3)上有變號零點(diǎn)，由f′函數(shù)t=2x+3x在(1,62)上單調(diào)遞減，2所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(26故選：A.38．（24-25高二上·浙江寧波·期中）已知a=log20232024，b=log2024A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>b>a D．c>a>b【解題思路】構(gòu)造函數(shù)fx=lnx+1lnx，其中x>1，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)fx在1,+∞上的單調(diào)性，可得出a=f2023，b=f2024，【解答過程】構(gòu)造函數(shù)fx=ln當(dāng)x>1時，x+1>x>1，lnx+1>lnf′所以，函數(shù)fx在1,+因?yàn)閍=log20232024=c=log所以，f2023>f2024故選：A.39．（24-25高三上·重慶·期中）設(shè)f′x是定義在R上的連續(xù)函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，fx?f′x?2A．2,+∞ B．?∞,?2 C．?【解題思路】構(gòu)造函數(shù)gx=f【解答過程】設(shè)gx=f∵fx?f′x函數(shù)gx在R上單調(diào)遞增，又f2=?4由fx>?2xex，可得又函數(shù)gx在R上單調(diào)遞增，所以x>2，即不等式的解集為2,+故選：A．40．（2024·貴州遵義·三模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（A．f(x)=x3+x B．f(x)=tanx 【解題思路】由已知結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【解答過程】對于A，f?x所以fx又因?yàn)閒′所以fx在區(qū)間(0,+對于B，f?x所以fx但是fx在區(qū)間(0,+對于C，f(?x)=e所以fx又因?yàn)閒′所以fx在區(qū)間(0,+對于D，f(?x)=?xsin所以fx故選：AC.題型11題型11函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用41．（24-25高三上·陜西咸陽·階段練習(xí)）若x=12是函數(shù)f(x)=ax2+ln(3x)A．?2+ln3 B．?2e2+【解題思路】根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)，借助于求導(dǎo)求得a的值，繼而得到函數(shù)解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)的最小值.【解答過程】由f(x)=ax2+依題意，f′(1此時，f(x)=?2x2+ln(3x)故當(dāng)0<x<12時，f′(x)>0，當(dāng)即函數(shù)f(x)在(0,12)上遞增，在(12又因x∈[1e,e]，故得函數(shù)f(x)因f(1e)=?故fx的最小值為f(故選：D.42．（23-24高二下·北京懷柔·期末）若函數(shù)f(x)=xex?ax①當(dāng)a∈-∞,?e?2②當(dāng)a∈(?e?2,0)③當(dāng)a∈-∞,?eA．①② B．②③ C．①③ D．①②③【解題思路】求出導(dǎo)函數(shù)f′【解答過程】f′設(shè)g(x)=(1+x)ex?a當(dāng)x<?2時，gx>?2時，g′(x)>0，所以g(x)當(dāng)a≤?e?2時，g(x)≥0，即所以函數(shù)f(x)在x∈R當(dāng)?e?2<a<0時，g(x)=(1+x)設(shè)?(x)=(1+x)e當(dāng)x<?2時，?x>?2時，?′(x)>0，所以?(x)且當(dāng)x<?2時，?(x)<0，且?(x)∈?1所以此時方程(1+x)ex=a所以f(x)有兩個極值點(diǎn)，②正確，所以正確答案是①②③.故選：D.43．（23-24高二下·山東濟(jì)寧·期中）若函數(shù)fx=?x3+3ax2+1在A．?1 B．1 C．3 D．5【解題思路】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意列式求出a的值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【解答過程】由fx=?x由于函數(shù)fx=?x故f′2=?12+12a=0故f′則當(dāng)x<0或x>2時，f′x<0，當(dāng)0<x<2即fx在(?∞故函數(shù)fx=?x3+3a由此可知fx在(?1,0)故函數(shù)fx在區(qū)間?1,1上的最小值為f故選：B.44．（24-25高三上·湖南益陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x2+x?1A．函數(shù)f(x)存在三個不同的零點(diǎn)B．函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值C．若x∈[t,+∞)時，f(x)D．當(dāng)?e<k<0時，方程【解題思路】求得f′(x)=?x2+x+2ex，得到函數(shù)fx的單調(diào)性和極值，以及x→?【解答過程】由函數(shù)f(x)=x2+x?1令f′(x)=0，解得x=?1或當(dāng)x<?1時，f′(x)<0；當(dāng)?1<x<2時，f′(x)>0；當(dāng)所以函數(shù)fx在(?∞,?1),(2,+當(dāng)x=?1，函數(shù)fx取得極小值f當(dāng)x=2，函數(shù)fx取得極大值f當(dāng)x→?∞時，fx→+∞，當(dāng)作出函數(shù)fx對于A中，函數(shù)fx對于B中，函數(shù)fx對于C中，當(dāng)x∈[t,+∞)時，f(x)max=5e對于D中，若方程f(x)=k有且只有兩個實(shí)根，即y=f(x)與y=k的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，可得?e故選：BCD.題型12利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）題型12利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）45．（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=ex?1,x≥0,2x,x<0,gxA．e B．e,+∞ C．?1【解題思路】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為y=fx與y=kx?1的圖象有2個交點(diǎn)，分k=0、k<0和k>0【解答過程】由題意，關(guān)于x的方程fx即y=fx與y=kx?1

當(dāng)k=0，直線y=?1與y=2x的圖象交于點(diǎn)又當(dāng)x≥0時，ex?1≥0，故直線y=?1與y=e故當(dāng)k=0時，y=fx與y=kx?1當(dāng)k>0，直線y=kx?1與曲線y=ex?1此時y=fx與y=kx?1設(shè)切點(diǎn)Px0,ex0?1所以ex0?1??1x當(dāng)k<0時，若2x=kx?1，則kx2?x?2=0所以當(dāng)k=?18時，直線y=kx?1與由圖得當(dāng)?18<k<0時，直線y=kx?1綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是?1故選：C．46．（23-24高二下·海南·期末）已知函數(shù)fx=x4+x3?xA．?∞,0 B．0,1 C．?∞【解題思路】先進(jìn)行變形，關(guān)于x的方程fxx?m=0有兩個不同的實(shí)根，即關(guān)于x的方程fxx=m有兩個不同的實(shí)根.即【解答過程】fx=x4+x3?x即F(x)=fxx令?(x)=x3+x2x∈(?∞,?1),?則x=?1有極大值?(?1)=1.x→?∞則可畫出F(x)=x3+x2則實(shí)數(shù)m的取值范圍是?∞故選：D．47．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xlnx,x>0,A．若a<?1e，則B．若gx恰有2個零點(diǎn)，則a的取值范圍是C．若gx恰有3個零點(diǎn)，則a的取值范圍是D．若1≤a<2，則gx【解題思路】利用導(dǎo)函數(shù)得出單調(diào)區(qū)間和極值，畫出函數(shù)大致圖像，由圖像對選項(xiàng)做出判斷.【解答過程】f令f′x∴x∈?∞,?1時，fx∈?1,0時，f′xx∈0,1e時，fx∈1e,+∞時，∴fx有極大值：f?1=2，極小值：f∴fx對于選項(xiàng)A：若a<?1e，則對于選項(xiàng)B：若gx恰有2個零點(diǎn)，則a的取值范圍是a=?1e或a=2對于選項(xiàng)C.：若gx恰有3個零點(diǎn)，則a的取值范圍是?對于選項(xiàng)D.若1≤a<2，則gx故選：D.48．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx=axA．當(dāng)a=b=1時，fxB．當(dāng)b<c=0時，fxC．當(dāng)c=?4a時，若函數(shù)fx恰有兩個不同的零點(diǎn)，則D．當(dāng)a=b=c時，fx存在唯一零點(diǎn)，且位于區(qū)間【解題思路】對A：借助導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理可知零點(diǎn)個數(shù)與c的值有關(guān)；對B、C、D：借助導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合所給條件與零點(diǎn)的存在性定理計(jì)算即可得.【解答過程】對A：當(dāng)a=b=1時，fx則當(dāng)x∈?∞,?23∪0,+即fx在區(qū)間?∞,?而f?23,f0的正負(fù)與c對B：當(dāng)b<c=0時，f′則當(dāng)x∈?∞,0∪?2b3a即fx在區(qū)間?∞,0又f0=0，故f?2b3a故fx有兩個零點(diǎn)，其中x1=0對C：當(dāng)c=?4a時，fx=axf0=?4a<0，若b<0，易知fx則當(dāng)x∈?∞,?2b3a∪(0,+∞即fx在區(qū)間?∞,?因?yàn)閒x恰有兩個不同的零點(diǎn)，所以f?2b對D：當(dāng)a=b=c時，fx=ax由a>0得，則當(dāng)x∈?∞,?23∪(0,+∞即fx在區(qū)間?∞,?23又f0=a>0，所以fx由零點(diǎn)存在性定理可知fx的唯一零點(diǎn)位于區(qū)間?2,?故選：BCD.題型13題型13利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立、存在性問題49．（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）對于x∈(0,+∞)，不等式ex?lnmx+A．0<m<1 B．0<m≤1 C．0<m≤e D．【解題思路】由ex?lnmx+1?mx≥0得，e【解答過程】已知x∈(0,+∞)，由ex?ln構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex+x，則f(x)是R上的增函數(shù)，則由f(x)≥f(即m≤exx，令g(x)=當(dāng)x∈(0,1),g'(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)，g'(x)>0∴gxmin=g1=e，則故選：C.50．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)fx=xlnx，gx=x2?2x+a，若對任意的xA．1?1e,+C．2?1e,+【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求fx的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求gx的取值范圍，依題意有f(x)【解答過程】函數(shù)fx=xlnx，因?yàn)閒′故fx在1e,1又gx=x2?2x+a=(x?1)2因?yàn)閷θ我獾膞1∈1e,1，總存在x所以?1e≥a?1，解得a≤1?1e故選：D.51．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xex,x>0．若存在實(shí)數(shù)a∈0,1A．14,1 C．0,1 D．0,1【解題思路】構(gòu)造函數(shù)ga=a3?3a+【解答過程】令ga=a∴當(dāng)a∈0,1時，g′a≤0，函數(shù)ga在0,1若存在實(shí)數(shù)a∈0,1，使得不等式f等價于f1?m≤g(a)max=e?1成立，又∵∵fx=x當(dāng)x∈0,1時，f′x>0，函數(shù)當(dāng)x∈1,+∞時，f′x<0∵m為正實(shí)數(shù)，∴1?m<1，又∵函數(shù)fx在0,1∴0<1?m≤1m>0，解得∴正實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,1．故選：C．52．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期中）已知函數(shù)fx=lnxx,g(x)=e2x?A．1 B．e C．3 D．e【解題思路】根據(jù)已知不等式進(jìn)行常變量分離，得到xe2x?【解答過程】由題意可得lnx則a<xe設(shè)?(x)=ex?x?1由?′(x)>0，得x>0，由?′(x)<0，得x<0，則在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故?(x)≥?(0)=0，即因?yàn)閤e2x=當(dāng)且僅當(dāng)lnx+2x=0則xe2x?故選：AB.題型14題型14利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題53．（24-25高三上·山東·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=e2x,g(x)=x?1，對任意x1∈R，存在x2∈(0,+A．1 B．2C．2+ln2 【解題思路】令fx1=gx2=m>0，將x1【解答過程】解：由題意，令fx1=gx2所以x1=12ln令?m=m+1?1令?′m=0所以當(dāng)m∈0,12時，?當(dāng)m∈12,+∞時，所以當(dāng)m=12時，?m即x2?x故選：D．54．（23-24高二下·四川眉山·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ex+ax有兩個零點(diǎn)xA．a(chǎn)<?e B．C．x1x2>1【解題思路】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極小值，根據(jù)極小值小于0，判斷A；根據(jù)方程，指對互化，判斷B；根據(jù)極值點(diǎn)的位置，結(jié)合f0【解答過程】由題意，函數(shù)fx=e當(dāng)a≥0時，f′x=ex當(dāng)a<0時，令f′x=ex+a>0所以函數(shù)fx在(?∞,因?yàn)楹瘮?shù)fx=ex+ax對A，則f(ln?a)=所以1?ln?a<0對B，a<?e，且ex1+ax1=0所以x1對C，由f(0)=1>0，且由A可知，a<?e，ln?a>1，則0<所以C不正確；對D，由函數(shù)fx在(?∞,所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為x0故選：C.55．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函數(shù)fx=lnx?ax有兩個零點(diǎn)①函數(shù)fx有極大值點(diǎn)x0，且②x1③x1④若對任意符合條件的實(shí)數(shù)a，曲線y=fx與曲線y=b?1x最多只有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的最大值為lnA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】分類討論fx的單調(diào)性，即可得a，x1，x2的范圍，根據(jù)f′x=0，得到x0和a之間關(guān)系，構(gòu)造gx=f2a?x?fx，x∈0,1a，可知gx單調(diào)遞減，由此得到gx1>0，即可判斷①；對fx1=fx2=0進(jìn)行變形化簡，即可判斷②；根據(jù)①中a【解答過程】解：因?yàn)閒x=lnx?ax當(dāng)a≤0時，f′x>0，f則fx當(dāng)a>0時，令f′x=當(dāng)x∈0,1a時，f當(dāng)x∈1a,+∞時，所以當(dāng)x=1a，fx因?yàn)閒x=lnx?ax有兩個零點(diǎn)所以0<x1<1a設(shè)gx=f2所以g1由gx=f=ln所以g′x=由g′1a=0，當(dāng)2ax?1a2所以在x∈0,1a因?yàn)?<x1<即f2因?yàn)?a?x1>1a所以2a?x由fx=lnx?ax有兩個零點(diǎn)所以lnx1=a所以x1由①知x1+x2>因?yàn)榍€y=fx與曲線y=b?所以lnx?ax+1x令?x=ln令Δ=1?4a≤0，即a≥14時，此時方程?x當(dāng)0<a<14時，Δ>0令x3<x4，則由韋達(dá)定理，可知x3+x所以在0,x3上?′在x3,x4上在x4,+∞上?當(dāng)x→+∞時，?x→?根據(jù)?x單調(diào)性，可知x=x3即?′x3=0，即所以?x由x3=2則u′x=1x?2所以?x3=u即實(shí)數(shù)b的最大值為ln2故選：D．56．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=a2x2?ax+A．a(chǎn)的取值范圍是(?∞,0)∪(4,+∞C．x1x2的取值范圍是0,14【解題思路】函數(shù)f(x)極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為f′(x)=0方程根的問題研究.A項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二次方程有兩不等正根求參數(shù)范圍；BC項(xiàng)由韋達(dá)定理與參數(shù)范圍可得；D項(xiàng)，先將所求式子整理變形，再利用韋達(dá)定理將x1【解答過程】A項(xiàng)，函數(shù)f(x)=a2x則f′f′(x)=ax?a+1x=設(shè)g(x)=ax當(dāng)a=0時，g(x)=1，即f′當(dāng)a≠0時，由題意知方程g(x)=0有兩不等正根，設(shè)兩根為x1則有x1x2即a的取值范圍是為(4,+∞BC項(xiàng)，因?yàn)閤1,x所以x1+xD項(xiàng)，f==?ln設(shè)?(a)=?ln因?yàn)?(a)在(4,+∞)上單調(diào)遞減，所以且當(dāng)a→+∞,?(a)→?∞即f(x故選：BCD．題型15題型15利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題57．（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）一圓柱放置于底面直徑和高都是2的圓錐內(nèi)，其底面放在圓錐底面上，則圓柱體積最大為（

）A．3327π B．4227π【解題思路】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為?，利用圓錐與圓柱的特征及體積公式表示圓柱體積，再求導(dǎo)判定其最值即可.【解答過程】如圖，作出其軸截面，設(shè)圓柱的底面半徑為r0<r<1，高為?由2??r=21，則因?yàn)閂′r=?2π3易知0<r<23時，Vr單調(diào)遞增，1>r>所以V(r)故選：C.58．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）網(wǎng)購已成為人們習(xí)以為常的生活方式，大量的網(wǎng)購增加了人們對快遞的需求，快遞量幾何級增長，快遞包裝箱的消費(fèi)量也十分驚人，瓦楞紙板是最主要的快遞包裝材料，如何使用更少的紙板來包裹更多的物品，這對于環(huán)境保護(hù)和商家的利益都是非常重要的問題．現(xiàn)某商家需設(shè)計(jì)一體積為0.02m3的紙箱．要求紙箱底面必須為正方形，為了保護(hù)易碎的商品，紙箱的底面和頂面必須用雙層瓦楞紙板制成．已知瓦楞紙板的市場價格大約為1元/m2，則一個紙箱的成本最低約為（

）（參考數(shù)據(jù)：3A．0.32元． B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元【解題思路】設(shè)該紙箱底面邊長為a米，側(cè)棱長為h米，寫出成本表達(dá)式P=4a【解答過程】該紙箱為正四棱柱，設(shè)其底面邊長為a米，側(cè)棱長為h米，則紙箱的體積V=a2?=0.02成本為P=1×(4a則P′=42a?0.02a則a=30.01．當(dāng)0<a<30.01時，當(dāng)a>30.01時，P′當(dāng)a=30.01時，所以Pmin故選：C．59．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）某工廠需要建一個面積為512m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，則要使砌墻所用材料最省，則堆料場的長和寬各為（A．16m，16m B．32m，16mC．32m，8m D．16m，8m【解題思路】求出新墻總長度的表達(dá)式L=2x+512【解答過程】如圖所示，設(shè)場地一邊長為xm，則另一邊長為512x因此新墻總長度L=2x+512x,令L′=0，得x=16或當(dāng)0<x<16時，L′<0，當(dāng)x>16時，則L在(0,16)上單調(diào)遞減，在(16,+∞∴x=16是L的最小值點(diǎn)，此時512x故當(dāng)堆料場的寬為16m，長為32m時，可使砌墻所用的材料最省.故選：B.60．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1000件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為Rx萬元，且RA．年產(chǎn)量為9000件 B．年產(chǎn)量為10000件C．年利潤最大值為38萬元 D．年利潤最大值為38.6