江蘇省南通市海安市2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)11月期中考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷

局一數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)

考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)

效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

若經(jīng)過(guò)4（肛2）,8（12加-1）兩點(diǎn)的直線的傾斜角為135，則加=（）

1.

4

A.-4B.-2C.-D.2

3

2.若直線(：x-2y+l=0與4：依+(1—a)y+l=0平行，則”=()

12

A.—1B.-C.一D.2

33

3.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4+1=(—1)"4+1,且%=1，則3=()

A.-1B.OC.1D.2

4.已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1。，公差為-2,則數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和的最大值為（）

121

A.——B.30C.80D.不存在

4

22

5.己知雙曲線C：——%=1（?！?）〉0）的離心率為2,一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=12x的準(zhǔn)線上，則C的頂

點(diǎn)到漸近線的距離為（）

史BTC.記

422

6.如圖，是某心形二次曲線C,則C的方程可能為（）

A.x2+/-|%|y=lB.x2+/+|x|y=l

C.x2+y2-%|y|=lD.x2+y2+x\y\=l

7.已知橢圓C：］，+土=1的一個(gè)焦點(diǎn)是E，過(guò)原點(diǎn)的直線與C相交于點(diǎn)A,B,的面積是20,

4520

則卜()

4屈

A.5B.572D.10

3

8.已知是圓0:爐+產(chǎn)=4一條弦，ZMON=60°,尸是MN的中點(diǎn).當(dāng)弦腦V在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí),

直線/：y=x—4上總存在兩點(diǎn)AB,使得ZAPS為鈍角，則的取值范圍是（）

A.（0,4后-2g）B.（4應(yīng)-26,+00）

C值,40+2/）D.（40+26+oo）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.直線的傾斜角的取值范圍是［0,可

B.斜率之積為-1的兩直線相互垂直

C.在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線斜率為-1

D.直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線

10.下列四個(gè)命題中，正確的是（）

A.要唯一確定圓，只需給出圓上三點(diǎn)

B.要唯一確定拋物線，只需給出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線

C.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心橢圓，只需給出橢圓上兩點(diǎn)

D.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線和一個(gè)焦點(diǎn)

11.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s“，則數(shù)列｛q,｝為常數(shù)列(各項(xiàng)均為同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列)的一個(gè)充分條件是

()

A.Sn=nB.S,+i=S〃+l

C.Sn-nanD.*S,n+1=2Sn—Sn_1>2),ax-a2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓C:(x-I)2+(y-2)2=4,試寫(xiě)出一個(gè)半徑為1,且與x軸和圓C都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

13.定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)加上它的前一項(xiàng)所得的和都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這

個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.已知數(shù)列｛q,｝是等和數(shù)列，%=-1,q0=8,則

公和為.

14.已知拋物線。：/=4y的焦點(diǎn)為。為圓/:工2+什—5)2=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)4。,4)嚅二

；若尸為。上的動(dòng)點(diǎn)，貝1]|/>司+歸以+3|。巴的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)7(3,0)的直線/與拋物線C：y2=3x相交于點(diǎn)A,B.

(1)若直線/的斜率為1,求|A@；

(2)求證：OALOB.

16.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為g=4，55=30.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)記2=-L,〃eN*，若乙，b2,打成等差數(shù)列，求c并證明也｝為等差數(shù)歹

n+c

17.已知P為圓M:(x+l)2+y2=i6上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N(l,0)，線段尸N的垂直平分線與PM交于點(diǎn)。，

記點(diǎn)。的軌跡為C.

(1)求C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)N作直線/(與x軸不重合)與C相交于點(diǎn)。，E,直線/與V軸交于點(diǎn)5,BD=EN，求/

的方程.

18.已知等軸雙曲線「：0—]=l（a>0力〉0）的左、右焦點(diǎn)分別耳，F(xiàn)2,且焦距為2挺，A3分別是

r在第二象限和第一象限上的一點(diǎn)，且A耳〃§心.

（1）求「的方程；

（2）若直線A3的斜率為:，求直線A耳的斜率；

（3）若四邊形A片月3的面積為2指，求直線A6的方程.

19.記等差數(shù)列｛??｝的前n項(xiàng)和為Sn,公差為4（4。0）.

（1）證明：s“是關(guān)于〃的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；

（2）等差數(shù)列出｝公差為彩，且S.=anbn.

①求也｝的通項(xiàng)公式；

〃為奇數(shù)，（、169

②記c.=「蛇數(shù)列｛%｝前n項(xiàng)和為T(mén)n,是否存在&eZ,左右N*，使得￡=—?若存在，

也,,九為偶數(shù)，2

求4，k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷

局一數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)

考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)

效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.若經(jīng)過(guò)A（肛2）,8（1，2加—1）兩點(diǎn)的直線的傾斜角為135，則加=（）

4

A.-4B.-2C.-D.2

3

【答案】D

【解析】

【分析】由兩點(diǎn)間斜率公式得到方程，求出答案.

2m—1—2

【詳解】---------=tanl35°=-l,故2帆—3=根—1,解得m=2.

1—m

故選：D

2.若直線4:x-2y+l=0與4：ar+（l-a）y+l=0平行，則。=（）

12

A.—1B.—C.—D.2

33

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直線平行列式求解，并代入檢驗(yàn)即可.

【詳解】由題意可得：1—a=—2a,解得a=—1,

若。=一1,則直線（：x—2y+l=0、Z2:x-2y-l^O,兩直線平行，

綜上所述：。=一1.

故選：A.

3.已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足a“+i=（—1）"4+1,且%=1，則4=（）

A.-1B.OC.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)遞推公式直接代入運(yùn)算求解.

【詳解】因*=（—1）%+1，

令〃=2,可得。3=+1=2；

a

令〃=3,可得。4=~3+1=—1；

令72=4,可得。5=%+1=。；

令〃=5,可得。6=—05+1=1；

故選：C.

4.已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為10,公差為-2,則數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和的最大值為（）

121-

A.——B.30C.80D.不存在

4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析乙的符號(hào)性，進(jìn)而可得前〃項(xiàng)和的最值.

【詳解】由題意可知：4=10—2（〃-1）=12—2〃，且數(shù)列為遞減數(shù)列，

當(dāng)〃W5時(shí)，??>0；當(dāng)〃=6時(shí)，=0；當(dāng)〃之7時(shí)，?！?lt;0；

所以數(shù)列的前〃項(xiàng)和的最大項(xiàng)數(shù)為5或6,最大值為原=5a3=30.

故選：B.

X

5.已知雙曲線C：一=1（。>0）〉0）的離心率為2,一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線V=i2x的準(zhǔn)線上，則C的頂

a一屏

點(diǎn)到漸近線的距離為（）

3A/33「3A/3

AB.D.3

~T~22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線準(zhǔn)線可得c=3,根據(jù)離心率可得頂點(diǎn)和漸近線，即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知：拋物線V=12x的準(zhǔn)線為無(wú)=—3,

則（一3,0）為雙曲線的焦點(diǎn)，即c=3,

C3

又因?yàn)殡x心率為e=—=2,可得。,

a2

且/==1+f—=4，解得一=A/3,

aya）a

取漸近線為y=即氐-y=0,取頂點(diǎn)為[I，o]

V3x--0r

所以C的頂點(diǎn)到漸近線的距離為a,=-2===—=-3V-3.

A/3+T4

故選：A.

6.如圖，是某心形二次曲線C,則C的方程可能為（）

A.x2+y2-|%|y=lB.x2+y2+|x|y=l

C.x2+y2-x\y\=lD.x2+y2+x|y|=l

【答案】A

【解析】

【分析】利用排除法，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性排除CD,令x=l,解方程排除B.

【詳解】顯然圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即把X換成-X方程不變，可知CD錯(cuò)誤;

對(duì)于B:令X=l,可得/+y=0,解得y=—1或y=o,不合題意；

故選：A.

7.已知橢圓C：，L+二=1的一個(gè)焦點(diǎn)是尸，過(guò)原點(diǎn)的直線與C相交于點(diǎn)A,B,A4B/的面積是20,

4520

則|AB|=（）

A.5B.5J2C.竺竺D.10

3

【答案】D

【解析】

【分析】求出|。同=5,由三角形的面積得到一AOF面積為10,設(shè)4（為，乙），則同=4,將同=4代

22

入C囁+合=1中得⑼=3,求出儂=5,得到|AB|=10.

【詳解】由題意得,2=45—20=25,故c=5,故同=5,

因?yàn)锳4BF的面積為20,所以“AO尸面積為10,

設(shè)力（5，/），則斗|4=10,解得同|=4，

22

將同=4代入c*+|^=l中得⑼=3,

故|OA|=j42+32=5,則|AB|=2|Q4|=10.

故選：D

8.已知腦V是圓。：/+產(chǎn)=4的一條弦，ZMON=6Q°,尸是MN的中點(diǎn).當(dāng)弦MN在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí),

直線/:丁=尤-4上總存在兩點(diǎn)AB,使得NAPB為鈍角，則的取值范圍是（）

A.（0,4直-2@B,［應(yīng)-26+oo）

C.（0,4A/2+2A/3）D.（4應(yīng)+2g,+00）

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知點(diǎn)P的軌跡是以。（0,0）為圓心，半徑廠=百的圓C,且以AB為直徑的圓N與圓C相交，

以外切為臨界求解即可.

【詳解】由題意可知：圓0:/+;/=4的圓心為。（0,0）,半徑R=2，

因?yàn)閆MON=60°,貝1OP|=Hcos30o=百，

可知點(diǎn)尸的軌跡是以。（0,0）為圓心，半徑r=百的圓C,

設(shè)AB的中點(diǎn)為E,

因?yàn)?APB為鈍角，可知以AB為直徑的圓E與圓C相交,

且0（0,0）到直線l:x-y-4=0的距離d=*=2五,可知。目>d=2四,

以外切為臨界，可得|?；?石+；|A3|,可得|A4=2|O國(guó)—2624夜—2百，

若使得存在兩點(diǎn)A3,滿(mǎn)足題意，貝||鉆|>40-26，

所以|4用的取值范圍是（4、歷-273,+“）.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.直線的傾斜角的取值范圍是［0,可

B.斜率之積為-1的兩直線相互垂直

C.在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線斜率為-1

D.直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)于A：根據(jù)傾斜角定義分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)直線垂直分析判斷；對(duì)于C：舉反例說(shuō)明即可;

對(duì)于D：根據(jù)直線的一般方程分析判斷.

【詳解】對(duì)于A：直線的傾斜角的取值范圍是［0,兀），故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：斜率之積為-1的兩直線相互垂直，故B正確;

對(duì)于C：例如直線y=2x,此時(shí)在兩坐標(biāo)軸上截距均0,相等，但斜率不為—1，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線，故D正確;

故選：BD.

10.下列四個(gè)命題中，正確的是（）

A.要唯一確定圓，只需給出圓上三點(diǎn)

B.要唯一確定拋物線，只需給出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線

C.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓，只需給出橢圓上兩點(diǎn)

D.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線和一個(gè)焦點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)于A：根據(jù)三角形外接圓分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)拋物線的定義分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)橢圓形

狀分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)雙曲線的性質(zhì)分析判斷.

【詳解】對(duì)于A：根據(jù)三角形的外接圓的唯一性可知：A正確；

對(duì)于B：根據(jù)拋物線的定義可知：給出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線即可確定拋物線，故B正確；

對(duì)于C：給出兩點(diǎn)不能確定橢圓，例如給定長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)橢圓有無(wú)數(shù)個(gè)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)橹行臑樽鴺?biāo)原點(diǎn)，若給出一條漸近線和一個(gè)焦點(diǎn)，

可以求出。力,c,且可以確定焦點(diǎn)位置，即可得雙曲線方程，可以確定雙曲線，故D正確；

故選：ABD.

11.設(shè)數(shù)列｛?,｝的前〃項(xiàng)和為S“，則數(shù)列｛4｝為常數(shù)列(各項(xiàng)均為同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列)的一個(gè)充分條件是

()

A.Sn=nB.Sn+l=Sn+l

C.Sn=nanD.Sn+1=2s“—S0Tax-a2

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，利用q=二。0得到4=1,為常數(shù)列，A正確；B選項(xiàng)，推出a“+i=l,

⑸-S“T，"N2

n>l,不妨設(shè)4=0,舉出反例；CD選項(xiàng)，均可得到%+i=a“，為充分條件.

【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)”=1時(shí)，4=1,當(dāng)〃22時(shí)，="一〃+1=1,

故｛即｝的通項(xiàng)公式為4=1,為常數(shù)列，故A正確；

B選項(xiàng)，a.S”=1,n>l,不妨設(shè)勾=0,則此時(shí)｛an｝不為常數(shù)列，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，Sn+1=(n+l)an+1,=nan,兩者相減得a3=("+l)a"+i-也”，

故nan+l=nan,即an+l=an,故｛即｝為常數(shù)列，故C正確;

D選項(xiàng),〃22時(shí)，Sn+l-2s"-S._[=>Sn+l-Sn-Sn-Si,即an+l=an,

又％=4，故4+i=?！霸凇?1上恒成立，｛每｝為常數(shù)列,故D正確；

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓C:(x-lf+(y-2)2=4,試寫(xiě)出一個(gè)半徑為1,且與％軸和圓C都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

【答案】(x—+(y—1『=1(答案不唯一，符合題意即可)

【解析】

【分析】所求圓的圓心為〃(。力)，則網(wǎng)=1,結(jié)合兩圓位置關(guān)系列式求解即可.

【詳解】因?yàn)閳AC:(x-iy+(y-2)2=4的圓心為c(l,2),半徑『=2,

設(shè)所求圓的圓心為〃(。))，則網(wǎng)=1，

且=J(a-以+0-2)2=1或卜J(a一以+(92)=3，

若Z?=l，阿C|=J(a-以+(6-2f=1,解得a=l,

可得圓心為(1,1),所求圓的方程為(尤—Ip+(y—Ip=1；

若〃=—1,阿C|=J(a-以+O2)2=1，無(wú)解，不合題意；

若匕=1，阿C|=J(a-以+O2)2=3,解得a=l+20或a=l-20，

可得圓心為(1+2后,1)或(1-2行,1),

所求圓的方程為(x—]_2忘)2+(y_l『=]或(》_]+20『+()_])2=1；

若3=-1,|MC|=J(a-I)?+(8-2y=3，解得a=1,

可得圓心為(1,-1),所求圓的方程為(尤―Ip+(y+l)2=1；

故答案為：(x—1)2+(y—1)2=1(答案不唯一，符合題意即可).

13.定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)加上它的前一項(xiàng)所得的和都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這

個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.己知數(shù)列｛4｝是等和數(shù)列，%=-1，Go=8,則

公和為.

【答案】7

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析可知數(shù)列｛4｝是以2為周期的周期數(shù)列，結(jié)合周期性分析求解.

【詳解】由題意可知：an+all+1=A(公和),則a“+i+%什2=A,

可得4=4+2,可知數(shù)列｛4｝是以2為周期的周期數(shù)列，

可得=%~-1f々io=。2=8,所以公和A=q+a[=7.

故答案為：7.

QA

14.已知拋物線C:V=4》的焦點(diǎn)為尸，。為圓“：了2+3—5)92=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)40,4),則而;

；若尸為c上的動(dòng)點(diǎn)，則戶(hù)盟+歸以+3。川的最小值為.

【答案】①.-##0.5②.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得圓的方程為/+丁=10丫-21,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解即可得當(dāng)=!；由

\QF\2

|2A|=||QF\結(jié)合幾何性質(zhì)可得|PF|+1QF\>\PF\+\AP\,再結(jié)合拋物線的定義分析求解.

【詳解】由題意可知：拋物線。：爐=4丁的焦點(diǎn)為F(l,0),準(zhǔn)線為y=-1,

設(shè)Q(x,y),圓尤2+(y—5)2=4,即為V+丁=10y—21,

|O4_=+(-4)2=.2+>2_打+雙=_0y_21-幻+汲=g-5=￡

區(qū)-G+(y_i)2—6+__2y+l—y/i0y-21-2y+i-屈—20-2

因?yàn)閨QA|=g|Qb|，則|PM+|PQ|+g|QM=|PM+|PQ|+|QA|HPF+|AP|,

當(dāng)且僅當(dāng)AQ,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立,

設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線y=-1的距離為d,

則pM+|AP|=d+|AP|?5,當(dāng)且僅當(dāng)p為坐標(biāo)原點(diǎn)0時(shí)，等號(hào)成立，

綜上所述：|「耳+|「。|+：|。4》5,

當(dāng)且僅當(dāng)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)。，。為（0,3）時(shí)，等號(hào)成立，

所以|PF|+|P0+；|Q目的最小值為5.

故答案為：一；5.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)以3,0）的直線/與拋物線C：>2=3%相交于點(diǎn)A,B.

（1）若直線/的斜率為1,求|AB|；

（2）求證：OA^OB.

【答案】（1）3^/10

（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）直線/的方程為y=x-3,聯(lián)立C:y2=3x,求出兩根之和，兩根之積，利用弦長(zhǎng)公式得到

|AB|=3A/10；

（2）當(dāng)直線/的斜率為。時(shí)，不合要求，設(shè)直線/的方程為x=3+O,與C：V=3x聯(lián)立得

》2—3療一9=0,得到兩根之和，兩根之積，計(jì)算出%4=9,得至=+=0，得到垂直關(guān)

系.

【小問(wèn)1詳解】

直線/的方程為y=x—3,

聯(lián)立C:y2=3x得％2_9%+9=0,

設(shè)力（久1，%）,8（久2,%），則X]+%=9,再々=9,

貝U|=Jl+Fxj（石+々）2_4為々=也義V81-36=3M;

J

_匕____Z_____>［小問(wèn)2詳解］

當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，與拋物線只有I個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去，

設(shè)直線/的方程為X=3+。，

與C：V=3%聯(lián)立得9—3療—9=0,

設(shè)力（久1，丸）,3（%2，丫2），則%+%=3t,%%=-9，

則/%2=（3+）1）（3+）2）=9+3/（%+%）+〃X%=9+9r2-9r=9,

故。4?0分=%羽+%%=9—9=0，

故Q4LO3.

16.已知等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S“%=4,55=30.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

C

⑵記〃=一^,〃eN*，若*&，4成等差數(shù)列，求c并證明也｝為等差數(shù)列.

n+c

【答案】⑴a“=2n

（2）c=0,證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件求出4和d,從而得到｛%,｝的通項(xiàng)公式.

（2）求出S“后代入/表達(dá)式，再根據(jù)4，%，4成等差數(shù)列求出c，最后通過(guò)計(jì)算〃+1-2是否為常數(shù)

來(lái)證明｛2｝為等差數(shù)列.

【小問(wèn)1詳解】

己知。2=4,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式?！?q+（〃—l）d可得。2=囚+d=4.

又因?yàn)镾5=30,根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式s"

5x4

可得S5=54H———d=5q+10d=30,即q+2d=6.

〃[+d=4

聯(lián)立方程組〈?可得(%+2d)—(q+d)=6—4,即d=2.

q+2d=6

將d=2代入q+d=4,可得q=2.

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=2+(〃—1)x2=2〃.

【小問(wèn)2詳解】

由。1=2,2=2,

可得S=2n十四^—―x2=n2+n.

2

所以2=4=口U.

n+cn+c

因?yàn)?，%，。3成等差數(shù)列，則2為=4+&.

h7—_s_1!_—__1_—_2__

11+C1+C1+C

,S,22+26

h=——=--------=------?

2+c2+c2+c

b=S33?+312.

3+c3+c3+c

故：2x「二^2^-+—12

.解得c=0.

2+c1+c3+c

2

當(dāng)c=0時(shí)，b=----=〃+1.

nn

_%=(〃+1+1)_5+1)=1,為常數(shù).故｛%｝為等差數(shù)列.

17.已知P為圓M:（x+iy+y2=i6上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N（l,0），線段尸N的垂直平分線與尸M交于點(diǎn)

記點(diǎn)。的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)N作直線/（與x軸不重合）與C相交于點(diǎn)。，E,直線/與V軸交于點(diǎn)3,BD=EN，求/

的方程.

22

【答案】（1）—+^-=1

43

（2）V3x±2y-V3=0

【解析】

【分析】（1）分析可知點(diǎn)。的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而可得方程；

（2）設(shè)直線/:無(wú)=+1（機(jī)w0）,。（七,%）,￡（%2,%），根據(jù)向量可得%+%=-工，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)

m

算求解.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可知：M:（x+iy+y2=i6的圓心為〃（-1,0），半徑為4,n.\QP\=\QN\,

則\QM\+\QN\=\QM\+\QP\=\PM\=4>2=\AW\,

可知點(diǎn)。的軌跡是以河,N為焦點(diǎn)的橢圓，則“=2,c=l,b=17=，

22

所以C的方程為土+匕=1.

43

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)N（l,0）在橢圓內(nèi)部，可知直線I與橢圓必相交，

￡＞（七,%）,￡（%%），則.°，一^

設(shè)直線l:x=my+l（m^O）,

x=my+1

聯(lián)立方程爐y2_，消去x可得（3療+4）V+6陽(yáng)—9=0,

---1-1

143

e6m9

則%+%=一.2"%%=一々2;，

3m+43m+4

又因?yàn)锽D=]X，MH—）,EN=（I—々，一%），

若BD=EN,貝【JM———y2,即%+%=---,

mm

6m解得機(jī)=土地，

可得-

3m2+4m3

所以/的方程為x=±空y+1，即后±2y—百=0.

3

18.已知等軸雙曲線「：[—]=1（?！?力〉0）的左、右焦點(diǎn)分別及，F(xiàn)],且焦距為20,分別是

r在第二象限和第一象限上的一點(diǎn)，且A6〃3工.

（1）求「的方程；

（2）若直線A3斜率為:，求直線A耳的斜率；

（3）若四邊形A片月8的面積為2癡，求直線A6的方程.

【答案】（1）Y—/=i

（2）3（3）氐土y+#=0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等軸雙曲線的定義列式求瓦c,即可得方程；

（2）設(shè)直線AB:x=3y+m（w＜0）,4（久1，%）產(chǎn)（＞2，刈），根據(jù)向量平行可得:=""/，結(jié)合韋達(dá)定

Xm+y/2

理可得加=—可，代入運(yùn)算求解即可；

⑶根據(jù)雙曲線方程利用兩點(diǎn)間距離公式和傾斜角推得恒耳|=一4-\BF2\=一2結(jié)合

l+，2cos，1一。2cos8

V3

面積關(guān)系可得sin0—即可得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

a=b

a=b=

由題意可知:2c=2y/2解得<r-

c=y/2

c2=a2+b2

所以雙曲線「的方程為=1.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴可知：網(wǎng)—0,0）,乙（后,0卜

設(shè)直線AB:x=3y+m（m<0）,力⑶月）,B（x2,為），

x=3y+m00

聯(lián)立方程22,消去工可得8y2+6帆y+m2-1=0,

x-y=1

2

223m-1

則△=36m—32（相之—1）—4m+32>0,可得y+y2

8

因?yàn)镚Z=（X]+42,y^,F2B=^x2-y/2,y^,

若A耳〃貝1）（玉+四）%=（尤2—3）%，

即（3%+m+41\y2=（3y2+m-V2）yI,整理可得&=2一5，

'，''%m+V2

又因?yàn)椋ā?%）=乂+&+2,

%%%X

可得匚也=二±*+'二至+2,解得機(jī)=一如，

m2-1m-sj2m+v2

8

止匕時(shí)8y2+6沖+機(jī)2—1=0即為8y2—6&5y+9=0,解得9=3廂;3應(yīng)或1=3屈；3&（舍

去）,

此時(shí)…―加叵*1,即小述,哪半

-888J

3屈-3也

所以直線的斜率心耳8

回一9母+垃

8-

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)力（久1，%）,3（久2，丫2），

則卻一犬=1，即才=X；-1，

可得|人用=《%++片=J玉2+2以+2+X；—1=巧；+2岳1+1=-近%-b

設(shè)直線AFl的傾斜角為。e[0,兀），則菁=|AG|cos。一夜，

可得仙用=—后（|A用cos。—行）—1,解得M周=l+]cos。'

同理可得忸用=二二-

I-A/2COS”

此時(shí)梯形人耳心3的高為閨囚sin。=2頂sin6,

可知梯形的面積SB=Lx2后sin8x1—J——+—J——]=歿=276，

AFXF2BAFF2

122U+A/2COS6?1-V2COS6?J2sin26?-l

整理可得2Gsin?6-sind—百=0，解得sin。=或sin。=（舍去）,

23

可知6=；或。=弓，則直線A6的斜率七4=±6，

所以直線AF1的方程y=±6（x-J5）,即氐士y+#=0.

]

點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)根據(jù)雙曲線方程和傾斜角推得|入耳|=BFA=-=——

1+0cos01-V2cos0

這樣方便計(jì)算面積.

19.記等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為Sn,公差為4（4W0）.

（1）證明：s“是關(guān)于〃的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；

（2）等差數(shù)列也｝的公差為d2,且=anbn.

①求也｝的通項(xiàng)公式；

〃為奇數(shù)，、169

②記g=:小佃_數(shù)列（｛1｝的前n項(xiàng)和為T(mén)”,是否存在4eZ,左eN*，使得（=—?若存在,

4,”為偶數(shù)，