江蘇省南通市海安市2024-2025學年高二年級上冊11月期中考試 數(shù)學試卷(含解析)_第1頁
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文檔簡介

2024?2025學年度第一學期期中學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷

局一數(shù)學

注意事項

考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求

1.答題前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用

橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無

效.

3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是

符合題目要求的.

若經(jīng)過4(肛2),8(12加-1)兩點的直線的傾斜角為135,則加=()

1.

4

A.-4B.-2C.-D.2

3

2.若直線(:x-2y+l=0與4:依+(1—a)y+l=0平行,則”=()

12

A.—1B.-C.一D.2

33

3.已知數(shù)列{%}滿足4+1=(—1)"4+1,且%=1,則3=()

A.-1B.OC.1D.2

4.已知等差數(shù)列{4}的首項為1。,公差為-2,則數(shù)列{4}的前〃項和的最大值為()

121

A.——B.30C.80D.不存在

4

22

5.己知雙曲線C:——%=1(?!?)〉0)的離心率為2,一個焦點在拋物線y2=12x的準線上,則C的頂

點到漸近線的距離為()

史BTC.記

422

6.如圖,是某心形二次曲線C,則C的方程可能為()

A.x2+/-|%|y=lB.x2+/+|x|y=l

C.x2+y2-%|y|=lD.x2+y2+x\y\=l

7.已知橢圓C:],+土=1的一個焦點是E,過原點的直線與C相交于點A,B,的面積是20,

4520

則卜()

4屈

A.5B.572D.10

3

8.已知是圓0:爐+產(chǎn)=4一條弦,ZMON=60°,尸是MN的中點.當弦腦V在圓。上運動時,

直線/:y=x—4上總存在兩點AB,使得ZAPS為鈍角,則的取值范圍是()

A.(0,4后-2g)B.(4應-26,+00)

C值,40+2/)D.(40+26+oo)

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目

要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.下列結論正確的是()

A.直線的傾斜角的取值范圍是[0,可

B.斜率之積為-1的兩直線相互垂直

C.在兩坐標軸上截距相等的直線斜率為-1

D.直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線

10.下列四個命題中,正確的是()

A.要唯一確定圓,只需給出圓上三點

B.要唯一確定拋物線,只需給出焦點和準線

C.要唯一確定以坐標原點為中心橢圓,只需給出橢圓上兩點

D.要唯一確定以坐標原點為中心的雙曲線,只需給出一條漸近線和一個焦點

11.設數(shù)列{4}的前〃項和為s“,則數(shù)列{q,}為常數(shù)列(各項均為同一個常數(shù)的數(shù)列)的一個充分條件是

()

A.Sn=nB.S,+i=S〃+l

C.Sn-nanD.*S,n+1=2Sn—Sn_1>2),ax-a2

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.

12.已知圓C:(x-I)2+(y-2)2=4,試寫出一個半徑為1,且與x軸和圓C都相切的圓的標準方程:

13.定義:一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項加上它的前一項所得的和都等于同一個常數(shù),那么這

個數(shù)列就叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.已知數(shù)列{q,}是等和數(shù)列,%=-1,q0=8,則

公和為.

14.已知拋物線。:/=4y的焦點為。為圓/:工2+什—5)2=4上的動點,點4。,4)嚅二

;若尸為。上的動點,貝1]|/>司+歸以+3|。巴的最小值為.

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在平面直角坐標系中,過點7(3,0)的直線/與拋物線C:y2=3x相交于點A,B.

(1)若直線/的斜率為1,求|A@;

(2)求證:OALOB.

16.已知等差數(shù)列{4}的前〃項和為g=4,55=30.

(1)求數(shù)列{%}的通項公式;

n

(2)記2=-L,〃eN*,若乙,b2,打成等差數(shù)列,求c并證明也}為等差數(shù)歹

n+c

17.已知P為圓M:(x+l)2+y2=i6上任意一點,點N(l,0),線段尸N的垂直平分線與PM交于點。,

記點。的軌跡為C.

(1)求C的方程;

(2)過點N作直線/(與x軸不重合)與C相交于點。,E,直線/與V軸交于點5,BD=EN,求/

的方程.

18.已知等軸雙曲線「:0—]=l(a>0力〉0)的左、右焦點分別耳,F(xiàn)2,且焦距為2挺,A3分別是

r在第二象限和第一象限上的一點,且A耳〃§心.

(1)求「的方程;

(2)若直線A3的斜率為:,求直線A耳的斜率;

(3)若四邊形A片月3的面積為2指,求直線A6的方程.

19.記等差數(shù)列{??}的前n項和為Sn,公差為4(4。0).

(1)證明:s“是關于〃的不含常數(shù)項的二次函數(shù);

(2)等差數(shù)列出}公差為彩,且S.=anbn.

①求也}的通項公式;

〃為奇數(shù),(、169

②記c.=「蛇數(shù)列{%}前n項和為Tn,是否存在&eZ,左右N*,使得£=—?若存在,

也,,九為偶數(shù),2

求4,k;若不存在,請說明理由.

2024~2025學年度第一學期期中學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷

局一數(shù)學

注意事項

考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求

1.答題前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用

橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無

效.

3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是

符合題目要求的.

1.若經(jīng)過A(肛2),8(1,2加—1)兩點的直線的傾斜角為135,則加=()

4

A.-4B.-2C.-D.2

3

【答案】D

【解析】

【分析】由兩點間斜率公式得到方程,求出答案.

2m—1—2

【詳解】---------=tanl35°=-l,故2帆—3=根—1,解得m=2.

1—m

故選:D

2.若直線4:x-2y+l=0與4:ar+(l-a)y+l=0平行,則。=()

12

A.—1B.—C.—D.2

33

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直線平行列式求解,并代入檢驗即可.

【詳解】由題意可得:1—a=—2a,解得a=—1,

若。=一1,則直線(:x—2y+l=0、Z2:x-2y-l^O,兩直線平行,

綜上所述:。=一1.

故選:A.

3.已知數(shù)列{4}滿足a“+i=(—1)"4+1,且%=1,則4=()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)遞推公式直接代入運算求解.

【詳解】因*=(—1)%+1,

令〃=2,可得。3=+1=2;

a

令〃=3,可得。4=~3+1=—1;

令72=4,可得。5=%+1=。;

令〃=5,可得。6=—05+1=1;

故選:C.

4.已知等差數(shù)列{4}的首項為10,公差為-2,則數(shù)列{4}的前〃項和的最大值為()

121-

A.——B.30C.80D.不存在

4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析乙的符號性,進而可得前〃項和的最值.

【詳解】由題意可知:4=10—2(〃-1)=12—2〃,且數(shù)列為遞減數(shù)列,

當〃W5時,??>0;當〃=6時,=0;當〃之7時,?!?lt;0;

所以數(shù)列的前〃項和的最大項數(shù)為5或6,最大值為原=5a3=30.

故選:B.

X

5.已知雙曲線C:一=1(。>0)〉0)的離心率為2,一個焦點在拋物線V=i2x的準線上,則C的頂

a一屏

點到漸近線的距離為()

3A/33「3A/3

AB.D.3

~T~22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線準線可得c=3,根據(jù)離心率可得頂點和漸近線,即可得結果.

【詳解】由題意可知:拋物線V=12x的準線為無=—3,

則(一3,0)為雙曲線的焦點,即c=3,

C3

又因為離心率為e=—=2,可得。,

a2

且/==1+f—=4,解得一=A/3,

aya)a

取漸近線為y=即氐-y=0,取頂點為[I,o]

V3x--0r

所以C的頂點到漸近線的距離為a,=-2===—=-3V-3.

A/3+T4

故選:A.

6.如圖,是某心形二次曲線C,則C的方程可能為()

A.x2+y2-|%|y=lB.x2+y2+|x|y=l

C.x2+y2-x\y\=lD.x2+y2+x|y|=l

【答案】A

【解析】

【分析】利用排除法,根據(jù)對稱性排除CD,令x=l,解方程排除B.

【詳解】顯然圖象關于y軸對稱,即把X換成-X方程不變,可知CD錯誤;

對于B:令X=l,可得/+y=0,解得y=—1或y=o,不合題意;

故選:A.

7.已知橢圓C:,L+二=1的一個焦點是尸,過原點的直線與C相交于點A,B,A4B/的面積是20,

4520

則|AB|=()

A.5B.5J2C.竺竺D.10

3

【答案】D

【解析】

【分析】求出|。同=5,由三角形的面積得到一AOF面積為10,設4(為,乙),則同=4,將同=4代

22

入C囁+合=1中得⑼=3,求出儂=5,得到|AB|=10.

【詳解】由題意得,2=45—20=25,故c=5,故同=5,

因為A4BF的面積為20,所以“AO尸面積為10,

設力(5,/),則斗|4=10,解得同|=4,

22

將同=4代入c*+|^=l中得⑼=3,

故|OA|=j42+32=5,則|AB|=2|Q4|=10.

故選:D

8.已知腦V是圓。:/+產(chǎn)=4的一條弦,ZMON=6Q°,尸是MN的中點.當弦MN在圓。上運動時,

直線/:丁=尤-4上總存在兩點AB,使得NAPB為鈍角,則的取值范圍是()

A.(0,4直-2@B,[應-26+oo)

C.(0,4A/2+2A/3)D.(4應+2g,+00)

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知點P的軌跡是以。(0,0)為圓心,半徑廠=百的圓C,且以AB為直徑的圓N與圓C相交,

以外切為臨界求解即可.

【詳解】由題意可知:圓0:/+;/=4的圓心為。(0,0),半徑R=2,

因為ZMON=60°,貝1OP|=Hcos30o=百,

可知點尸的軌跡是以。(0,0)為圓心,半徑r=百的圓C,

設AB的中點為E,

因為/APB為鈍角,可知以AB為直徑的圓E與圓C相交,

且0(0,0)到直線l:x-y-4=0的距離d=*=2五,可知。目>d=2四,

以外切為臨界,可得|?;?石+;|A3|,可得|A4=2|O國—2624夜—2百,

若使得存在兩點A3,滿足題意,貝||鉆|>40-26,

所以|4用的取值范圍是(4、歷-273,+“).

故選:B.

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目

要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.下列結論正確的是()

A.直線的傾斜角的取值范圍是[0,可

B.斜率之積為-1的兩直線相互垂直

C.在兩坐標軸上截距相等的直線斜率為-1

D.直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A:根據(jù)傾斜角定義分析判斷;對于B:根據(jù)直線垂直分析判斷;對于C:舉反例說明即可;

對于D:根據(jù)直線的一般方程分析判斷.

【詳解】對于A:直線的傾斜角的取值范圍是[0,兀),故A錯誤;

對于B:斜率之積為-1的兩直線相互垂直,故B正確;

對于C:例如直線y=2x,此時在兩坐標軸上截距均0,相等,但斜率不為—1,故C錯誤;

對于D:直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線,故D正確;

故選:BD.

10.下列四個命題中,正確的是()

A.要唯一確定圓,只需給出圓上三點

B.要唯一確定拋物線,只需給出焦點和準線

C.要唯一確定以坐標原點為中心的橢圓,只需給出橢圓上兩點

D.要唯一確定以坐標原點為中心的雙曲線,只需給出一條漸近線和一個焦點

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A:根據(jù)三角形外接圓分析判斷;對于B:根據(jù)拋物線的定義分析判斷;對于C:根據(jù)橢圓形

狀分析判斷;對于D:根據(jù)雙曲線的性質(zhì)分析判斷.

【詳解】對于A:根據(jù)三角形的外接圓的唯一性可知:A正確;

對于B:根據(jù)拋物線的定義可知:給出焦點和準線即可確定拋物線,故B正確;

對于C:給出兩點不能確定橢圓,例如給定長軸頂點,此時橢圓有無數(shù)個,故C錯誤;

對于D:因為中心為坐標原點,若給出一條漸近線和一個焦點,

可以求出。力,c,且可以確定焦點位置,即可得雙曲線方程,可以確定雙曲線,故D正確;

故選:ABD.

11.設數(shù)列{?,}的前〃項和為S“,則數(shù)列{4}為常數(shù)列(各項均為同一個常數(shù)的數(shù)列)的一個充分條件是

()

A.Sn=nB.Sn+l=Sn+l

C.Sn=nanD.Sn+1=2s“—S0Tax-a2

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項,利用q=二。0得到4=1,為常數(shù)列,A正確;B選項,推出a“+i=l,

⑸-S“T,"N2

n>l,不妨設4=0,舉出反例;CD選項,均可得到%+i=a“,為充分條件.

【詳解】A選項,當”=1時,4=1,當〃22時,="一〃+1=1,

故{即}的通項公式為4=1,為常數(shù)列,故A正確;

B選項,a.S”=1,n>l,不妨設勾=0,則此時{an}不為常數(shù)列,B錯誤;

C選項,Sn+1=(n+l)an+1,=nan,兩者相減得a3=("+l)a"+i-也”,

故nan+l=nan,即an+l=an,故{即}為常數(shù)列,故C正確;

D選項,〃22時,Sn+l-2s"-S._[=>Sn+l-Sn-Sn-Si,即an+l=an,

又%=4,故4+i=?!霸凇?1上恒成立,{每}為常數(shù)列,故D正確;

故選:ACD

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.

12.已知圓C:(x-lf+(y-2)2=4,試寫出一個半徑為1,且與%軸和圓C都相切的圓的標準方程:

【答案】(x—+(y—1『=1(答案不唯一,符合題意即可)

【解析】

【分析】所求圓的圓心為〃(。力),則網(wǎng)=1,結合兩圓位置關系列式求解即可.

【詳解】因為圓C:(x-iy+(y-2)2=4的圓心為c(l,2),半徑『=2,

設所求圓的圓心為〃(。)),則網(wǎng)=1,

且=J(a-以+0-2)2=1或卜J(a一以+(92)=3,

若Z?=l,阿C|=J(a-以+(6-2f=1,解得a=l,

可得圓心為(1,1),所求圓的方程為(尤—Ip+(y—Ip=1;

若〃=—1,阿C|=J(a-以+O2)2=1,無解,不合題意;

若匕=1,阿C|=J(a-以+O2)2=3,解得a=l+20或a=l-20,

可得圓心為(1+2后,1)或(1-2行,1),

所求圓的方程為(x—]_2忘)2+(y_l『=]或(》_]+20『+()_])2=1;

若3=-1,|MC|=J(a-I)?+(8-2y=3,解得a=1,

可得圓心為(1,-1),所求圓的方程為(尤―Ip+(y+l)2=1;

故答案為:(x—1)2+(y—1)2=1(答案不唯一,符合題意即可).

13.定義:一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項加上它的前一項所得的和都等于同一個常數(shù),那么這

個數(shù)列就叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.己知數(shù)列{4}是等和數(shù)列,%=-1,Go=8,則

公和為.

【答案】7

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析可知數(shù)列{4}是以2為周期的周期數(shù)列,結合周期性分析求解.

【詳解】由題意可知:an+all+1=A(公和),則a“+i+%什2=A,

可得4=4+2,可知數(shù)列{4}是以2為周期的周期數(shù)列,

可得=%~-1f々io=。2=8,所以公和A=q+a[=7.

故答案為:7.

QA

14.已知拋物線C:V=4》的焦點為尸,。為圓“:了2+3—5)92=4上的動點,點40,4),則而;

;若尸為c上的動點,則戶盟+歸以+3。川的最小值為.

【答案】①.-##0.5②.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得圓的方程為/+丁=10丫-21,結合兩點間距離公式運算求解即可得當=!;由

\QF\2

|2A|=||QF\結合幾何性質(zhì)可得|PF|+1QF\>\PF\+\AP\,再結合拋物線的定義分析求解.

【詳解】由題意可知:拋物線。:爐=4丁的焦點為F(l,0),準線為y=-1,

設Q(x,y),圓尤2+(y—5)2=4,即為V+丁=10y—21,

|O4_=+(-4)2=.2+>2_打+雙=_0y_21-幻+汲=g-5=£

區(qū)-G+(y_i)2—6+__2y+l—y/i0y-21-2y+i-屈—20-2

因為|QA|=g|Qb|,則|PM+|PQ|+g|QM=|PM+|PQ|+|QA|HPF+|AP|,

當且僅當AQ,P三點共線時,等號成立,

設點P到準線y=-1的距離為d,

則pM+|AP|=d+|AP|?5,當且僅當p為坐標原點0時,等號成立,

綜上所述:|「耳+|「。|+:|。4》5,

當且僅當尸為坐標原點。,。為(0,3)時,等號成立,

所以|PF|+|P0+;|Q目的最小值為5.

故答案為:一;5.

2

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在平面直角坐標系中,過點以3,0)的直線/與拋物線C:>2=3%相交于點A,B.

(1)若直線/的斜率為1,求|AB|;

(2)求證:OA^OB.

【答案】(1)3^/10

(2)證明過程見解析

【解析】

【分析】(1)直線/的方程為y=x-3,聯(lián)立C:y2=3x,求出兩根之和,兩根之積,利用弦長公式得到

|AB|=3A/10;

(2)當直線/的斜率為。時,不合要求,設直線/的方程為x=3+O,與C:V=3x聯(lián)立得

》2—3療一9=0,得到兩根之和,兩根之積,計算出%4=9,得至=+=0,得到垂直關

系.

【小問1詳解】

直線/的方程為y=x—3,

聯(lián)立C:y2=3x得%2_9%+9=0,

設力(久1,%),8(久2,%),則X]+%=9,再々=9,

貝U|=Jl+Fxj(石+々)2_4為々=也義V81-36=3M;

J

_匕____Z_____>[小問2詳解]

當直線/的斜率為0時,與拋物線只有I個交點,不合要求,舍去,

設直線/的方程為X=3+。,

與C:V=3%聯(lián)立得9—3療—9=0,

設力(久1,丸),3(%2,丫2),則%+%=3t,%%=-9,

則/%2=(3+)1)(3+)2)=9+3/(%+%)+〃X%=9+9r2-9r=9,

故。4?0分=%羽+%%=9—9=0,

故Q4LO3.

16.已知等差數(shù)列{4}的前“項和為S“%=4,55=30.

(1)求數(shù)列{4}的通項公式;

C

⑵記〃=一^,〃eN*,若*&,4成等差數(shù)列,求c并證明也}為等差數(shù)列.

n+c

【答案】⑴a“=2n

(2)c=0,證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件求出4和d,從而得到{%,}的通項公式.

(2)求出S“后代入/表達式,再根據(jù)4,%,4成等差數(shù)列求出c,最后通過計算〃+1-2是否為常數(shù)

來證明{2}為等差數(shù)列.

【小問1詳解】

己知。2=4,根據(jù)等差數(shù)列通項公式?!?q+(〃—l)d可得。2=囚+d=4.

又因為S5=30,根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式s"

5x4

可得S5=54H———d=5q+10d=30,即q+2d=6.

〃[+d=4

聯(lián)立方程組〈?可得(%+2d)—(q+d)=6—4,即d=2.

q+2d=6

將d=2代入q+d=4,可得q=2.

所以數(shù)列{4}的通項公式為%=2+(〃—1)x2=2〃.

【小問2詳解】

由。1=2,2=2,

可得S=2n十四^—―x2=n2+n.

2

所以2=4=口U.

n+cn+c

因為4,%,。3成等差數(shù)列,則2為=4+&.

h7—_s_1!_—__1_—_2__

11+C1+C1+C

,S,22+26

h=——=--------=------?

2+c2+c2+c

b=S33?+312.

3+c3+c3+c

故:2x「二^2^-+—12

.解得c=0.

2+c1+c3+c

2

當c=0時,b=----=〃+1.

nn

_%=(〃+1+1)_5+1)=1,為常數(shù).故{%}為等差數(shù)列.

17.已知P為圓M:(x+iy+y2=i6上任意一點,點N(l,0),線段尸N的垂直平分線與尸M交于點

記點。的軌跡為C.

(1)求C的方程;

(2)過點N作直線/(與x軸不重合)與C相交于點。,E,直線/與V軸交于點3,BD=EN,求/

的方程.

22

【答案】(1)—+^-=1

43

(2)V3x±2y-V3=0

【解析】

【分析】(1)分析可知點。的軌跡是以M,N為焦點的橢圓,進而可得方程;

(2)設直線/:無=+1(機w0),。(七,%),£(%2,%),根據(jù)向量可得%+%=-工,結合韋達定理運

m

算求解.

【小問1詳解】

由題意可知:M:(x+iy+y2=i6的圓心為〃(-1,0),半徑為4,n.\QP\=\QN\,

則\QM\+\QN\=\QM\+\QP\=\PM\=4>2=\AW\,

可知點。的軌跡是以河,N為焦點的橢圓,則“=2,c=l,b=17=,

22

所以C的方程為土+匕=1.

43

【小問2詳解】

因為點N(l,0)在橢圓內(nèi)部,可知直線I與橢圓必相交,

£>(七,%),£(%%),則.°,一^

設直線l:x=my+l(m^O),

x=my+1

聯(lián)立方程爐y2_,消去x可得(3療+4)V+6陽—9=0,

---1-1

143

e6m9

則%+%=一.2"%%=一々2;,

3m+43m+4

又因為BD=]X,MH—),EN=(I—々,一%),

若BD=EN,貝【JM———y2,即%+%=---,

mm

6m解得機=土地,

可得-

3m2+4m3

所以/的方程為x=±空y+1,即后±2y—百=0.

3

18.已知等軸雙曲線「:[—]=1(?!?力〉0)的左、右焦點分別及,F(xiàn)],且焦距為20,分別是

r在第二象限和第一象限上的一點,且A6〃3工.

(1)求「的方程;

(2)若直線A3斜率為:,求直線A耳的斜率;

(3)若四邊形A片月8的面積為2癡,求直線A6的方程.

【答案】(1)Y—/=i

(2)3(3)氐土y+#=0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意結合等軸雙曲線的定義列式求瓦c,即可得方程;

(2)設直線AB:x=3y+m(w<0),4(久1,%)產(chǎn)(>2,刈),根據(jù)向量平行可得:=""/,結合韋達定

Xm+y/2

理可得加=—可,代入運算求解即可;

⑶根據(jù)雙曲線方程利用兩點間距離公式和傾斜角推得恒耳|=一4-\BF2\=一2結合

l+,2cos,1一。2cos8

V3

面積關系可得sin0—即可得結果.

【小問1詳解】

a=b

a=b=

由題意可知:2c=2y/2解得<r-

c=y/2

c2=a2+b2

所以雙曲線「的方程為=1.

【小問2詳解】

由⑴可知:網(wǎng)—0,0),乙(后,0卜

設直線AB:x=3y+m(m<0),力⑶月),B(x2,為),

x=3y+m00

聯(lián)立方程22,消去工可得8y2+6帆y+m2-1=0,

x-y=1

2

223m-1

則△=36m—32(相之—1)—4m+32>0,可得y+y2

8

因為GZ=(X]+42,y^,F2B=^x2-y/2,y^,

若A耳〃貝1)(玉+四)%=(尤2—3)%,

即(3%+m+41\y2=(3y2+m-V2)yI,整理可得&=2一5,

',''%m+V2

又因為(“+%)=乂+&+2,

%%%X

可得匚也=二±*+'二至+2,解得機=一如,

m2-1m-sj2m+v2

8

止匕時8y2+6沖+機2—1=0即為8y2—6&5y+9=0,解得9=3廂;3應或1=3屈;3&(舍

去),

此時…―加叵*1,即小述,哪半

-888J

3屈-3也

所以直線的斜率心耳8

回一9母+垃

8-

【小問3詳解】

設力(久1,%),3(久2,丫2),

則卻一犬=1,即才=X;-1,

可得|人用=《%++片=J玉2+2以+2+X;—1=巧;+2岳1+1=-近%-b

設直線AFl的傾斜角為。e[0,兀),則菁=|AG|cos。一夜,

可得仙用=—后(|A用cos?!校?,解得M周=l+]cos。'

同理可得忸用=二二-

I-A/2COS”

此時梯形人耳心3的高為閨囚sin。=2頂sin6,

可知梯形的面積SB=Lx2后sin8x1—J——+—J——]=歿=276,

AFXF2BAFF2

122U+A/2COS6?1-V2COS6?J2sin26?-l

整理可得2Gsin?6-sind—百=0,解得sin。=或sin。=(舍去),

23

可知6=;或。=弓,則直線A6的斜率七4=±6,

所以直線AF1的方程y=±6(x-J5),即氐士y+#=0.

]

點睛】關鍵點點睛:第三問根據(jù)雙曲線方程和傾斜角推得|入耳|=BFA=-=——

1+0cos01-V2cos0

這樣方便計算面積.

19.記等差數(shù)列{4}的前n項和為Sn,公差為4(4W0).

(1)證明:s“是關于〃的不含常數(shù)項的二次函數(shù);

(2)等差數(shù)列也}的公差為d2,且=anbn.

①求也}的通項公式;

〃為奇數(shù),、169

②記g=:小佃_數(shù)列({1}的前n項和為T”,是否存在4eZ,左eN*,使得(=—?若存在,

4,”為偶數(shù),

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