函數的零點、隱零點、極值點偏移問題（原卷版）-2025年天津高考數學一輪復習

第14講函數的零點、隱零點、極值點偏移問題

（6類核心考點精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第20題,16利用導數證明不等式利用導數研究不等式恒成立問題由導數求求在曲

分線上一點處的切線方程（斜率）函數的最值（含參）

2023年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）利用導數證明不等式利用導數研究

分不等式恒成立問題

2022年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）利用導數研究不等式恒成立問題利

分用導數研究函數的零

2021年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

分利用導數研究能成立問題函數極值點的辨析

2020年天津卷，第20題,16

利用導數證明不等式

分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較低，分值為16分

【備考策略】L理解、掌握函數零點與方程的關系

2.能掌握函數零點的求解方法

3.具備數形結合的思想意識，會借助函數圖像的交點解決函數的零點問題

4.會解隱零點與極值點偏移問題

【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般給出函數的解析式解決函數的零點相關問題。

12?考點梳理?

如、n上B岫帝4人加門日再j考點一、函數零點個數問題

「知I八點一.函數零點I數問感j考點二、數形結合法研究零點問題

考點三、含參分類討論確定零點問題

｛考點四、已知零點個數求參數問題

考點五、隱零點問題

知識點三.隱零點問題

考點六、極值點偏移問題

知識講解

知識點一.函數零點個數問題

用導數研究函數的零點，一方面用導數判斷函數的單調性，借助零點存在性定理判斷;另一方面，也可將零

點問題轉化為函數圖象的交點問題，利用數形結合來解決，對于函數零點個數問題，可利用函數的值域或

最值，結合函數的單調性、草圖確定其中參數范圍，從圖象的最高點、最低點、分析函數的最值、極值;從

圖象的對稱性，分析函數的奇偶性;從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等。但需注意探求與論

證之間區(qū)別，論證是充要關系，要充分利用零點存在定理及函數單調性嚴格說明函數零點個數.

知識點二.零點存在性賦值理論

1.確定零點是否存在或函數有幾個零點，作為客觀題常轉化為圖象交點問題，作為解答題一般不提倡利用圖

象求解，而是利用函數單調性及零點賦值理論.函數賦值是近年高考的一個熱點，賦值之所以“熱”，是因

為它涉及到函數領域的方方面面:討論函數零點的個數(包括零點的存在性，唯一性);求含參函數的極值或最

值;證明一類超越不等式;求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各種題型中的參數取值范圍等，零點賦

值基本模式是已知f(a)的符號，探求賦值點m(假定m<a)使得f(m)與f(a)異號，則在(m,a)上存在零點

2.賦值點遴選要領:講選賦值點須做到三個確保:確保參數能取到它的一切值；確保賦值點xo落在規(guī)定區(qū)間

內;確保運算可行

三個優(yōu)先：(1)優(yōu)先常數賦值點;(2)優(yōu)先借助已有極值求賦值點;(3)優(yōu)先簡單運算.

知識點三.隱零點問題

1.函數零點按是否可求精確解可以分為兩類:一類是數值上能精確求解的，稱之為“顯零點”;另一類是能夠判

斷其存在但無法直接表示的，稱之為“隱零點”

2.利用導數求函數的最值或單調區(qū)間，常常會把品值問題轉化為求導函數的零點問題、若導數零點存在，但

無法求出，我們可以設其為尤。,再利用導函數單調性確定殉所在區(qū)間，最后根據f，(x0)=0,研究f(x0),我們

把這類問題稱為隱零點問題.注意若f(x)中含有參數a,關系式f(x0)=0是關于通戶的關系式，確定曲的合適

范圍，往往和a的范圍有關.

考點一、函數零點個數問題

.典例引領

1.（2024?四川涼山?二模）若/'（x）=Ksinx+cos久一1,%€卜］,兀卜則函數f（久）的零點個數為（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024高三?全國?專題練習）函數f（x）=x—sinx的零點個數為.

即時檢測

1.（2024高三?全國?專題練習）已知函數f（x）=x3—x—1.

⑴求證：函數f（x）在區(qū)間（1,2）內恰有一個零點；

⑵將（1）中的零點記為a,且aeg,?），求自然數n的值.

2.（2024?山西晉中?模擬預測）已知函數/'（x）=Inx+sinx+sin余

（1）求函數/（久）在區(qū)間［l,e］上的最小值；

（2）判斷函數/（久）的零點個數，并證明.

考點二、數形結合法研究零點問題

典例引領

1.（2023?四川甘孜?一模）設定義在R上的函數/（比）是偶函數，且/（%+兀）=/（x—兀），（。）是/（X）的導函數，

當汽G［0,兀］時，0</（%）<1；當久E（0,兀）且第W1時,（%—；）/'（%）>0，則函數y=/（%）—sin%在［—2兀,2兀］

上的零點個數為（）

A.2B.4C.5D.8

2.（2024高三下?全國?專題練習）已知/（%）是定義在R上的奇函數，當％>0時，/（%）=e3-31n%,則函數/（%）

的零點個數為（）

A.2B.3C.4D.5

1.（24-25高三上?廣東?開學考試）若函數f（%）=sinx—cosx+ax+l（a>0）,x6［0,2兀］的圖象與直線％=

0,x=7i,y=0所圍成的封閉圖形的面積為/兀2+兀+2.

（1）求a的值；

⑵求函數/（%）單調區(qū)間及最值；

（3）求函數g（%）=f（x）一TH在區(qū)間％e［0,2兀］上的零點個數.

2.（2024?浙江?模擬預測）已知函數/（久）=a（ex+sinx）-x-1.

⑴當a=|時，求f(x)的單調區(qū)間;

(2)當a=1時，判斷/(久)的零點個數.

3.(22-23高三上?全國?階段練習)已知函數/(X)=-2小尤2+2,其中血20.

(1)若/。)的極小值為-286,求/(x)單調增區(qū)間；

(2)討論/(%)的零點個數.

考點三、含參分類討論確定零點問題

典例引領

1.(2024?山東聊城?一模)已知函數/(%)=xe*—1,g(x)-In%—mx,</?(%)~qX

⑴求/(%)的單調遞增區(qū)間；

(2)求@(%)的最小值；

(3)設九(%)=/(%)-g(%),討論函數九(%)的零點個數.

2.(2024?湖南?二模)已函數f(%)=必++b%+c(q,瓦cER),其圖象的對稱中心為(1,-2).

(1)求a-b-c的值；

⑵判斷函數/(久)的零點個數.

即時檢測

1.(2024?河南鄭州?三模)已知函數/(%)=eax—x.

(1)若a=2,求/(%)在處的切線方程；

(2)討論/(%)的零點個數.

2.(2024?湖北?模擬預測)函數f(%)=ae%—%—l(aER).

(1)當。=1時，證明：/(x)>0；

(2)討論函數f(%)的零點個數.

3.(23-24高三上?河北邢臺?階段練習)已知函數/(%)=2爐一3%2―12%+5.

⑴求/(%)的極值；

(2)討論函數g(%)=/(%)-租的零點個數.

4.(23-24高三上?陜西?階段練習)已知函數f(%)=31nx+|%2—4%+1.

(1)求f(%)的圖象在久=2處的切線方程；

(2)討論函數g(%)=/(x)-他的零點個數.

考點四、已知零點個數求參數問題

I___典例_引_領_

,若函數g(%)=/(%)-％+m(znER)恰有一個零點，

巴％<0

則m的取值范圍是.

2.(2018?全國?高考真題)已知函數/(%)=e%-a%2.

(1)若a=l,證明：當%K)時,/(%)>1；

(2)若f(%)在(0,+8)只有一個零點，求。的值.

即

1.(2017?全國?高考真題)已知函數/(久)=ae?”+(a—2)e*—x

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若/(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

2.(2024?內蒙古包頭?三模)設函數f(x)=lnx+?—a.

(1)當a=1時，求的最小值；

(2)若/O)恰有兩個零點，求a的取值范圍.

考點五、隱零點問題

典例引領

1.22-23高三上?河南洛陽?開學考試)(1)證明不等式：e-2>也久(第一問必須用隱零點解決，否則不給分)；

(2)已知函數f(x)=(%-2)e，+a(x-有兩個零點.求a的取值范圍.(第二問必須用分段討論解決，否

則不給分)

2.(23-24高三上.海南省直轄縣級單位.階段練習)已知函數(O)=——ainx(aeR).

(1)判斷函數f(x)的單調性；

(2)設g(x)=/2(久)一/0)-21nfO),證明：當a=2時，函數g(x)有三個零點.

??眼舉w

1.(22-23高三上?河北?期中)已知函數/(%)=2ex+a(x2—In%)+x.

(1)若a=-2e-l,求f(%)的單調區(qū)間;

(2)記函數g(%)=-qin(%+1)+%+4,若/(%+1)之g(%)恒成立，試求實數a的取值范圍.

2.(23-24高三下?廣東廣州?階段練習)已知函數/(%)=鏟-2%.

(1)求函數/(%)的極值；

(2)討論函數g(%)=/(%)-sin%在R上的零點個數.(參考數據：sinl?0.84,cosl?0.54)

3.(2024?山東?模擬預測)已知函數/(%)=-

(1)求曲線y=/(久)在點(1)(1))處的切線/在y軸上的截距；

⑵探究/(久)的零點個數.

4.(23-24高三上?福建莆田?階段練習)己知函數f(x)=M—sin久.

(1)求/(x)在(OJ(O))處的切線方程；

(2)求證：當xe(-兀,+8)時，函數/O)有且僅有2個零點.

考點六、極值點偏移問題

典例引領

1.(2024高三?全國?專題練習)設函數/(%)=e%—權/—1(%一i)3+三,%￡?+8).

⑴判斷函數/(%)的單調性；

(2)若久1W型，且/(%i)+/(%2)=6e,求證：%1+冷<2.

2.(22-23高三上?黑龍江哈爾濱?期末)已知函數/(%)=ax2,g(x)=x(l—In%).

(1)若對于任意久€(0,+8),都有/(%)Vg(%),求實數a的取值范圍；

(2)若函數y=g(%)-7n有兩個零點式L%2，求證：—+—>2.

X1X2

??即時啊

1.(23-24高三上?江蘇連云港?階段練習)已知函數/(%)=Inx4-|ax2—(a+l)x(aeR).

(1)當a=l時，求函數y=/(%)的零點個數.

(2)若關于％的方程f(%)=1a/有兩個不同實根%I，%2,求實數a的取值范圍并證明％1?%2>?2.

2.(22-23高三上?河北唐山?階段練習)已知函數/(%)=(x—l)lnx—%2+ax(aER).

(1)若函數y=/'(%)有兩個零點，求a的取值范圍；

(2)設%i，%2是函數/(%)的兩個極值點，證明：xr+x2>2.

3.(21-22高三上?廣東清遠?期末)已知函數/(%)=靖-1—以％-1).

⑴討論/(%)的零點個數.

(2)若f(%)有兩個不同的零點%1，%2，證明：Xr+x2>4.

4.(21-22高三上?北京昌平?期末)已知函數/(%)=三％3—2。%+81n%.

(1)若函數f(%)在定義域內單調遞增，求實數a的取值范圍；

(2)若函數/(%)存在兩個極值點%1，久2，求證：％1+%2>4.

IN.好題沖關

基礎過關

1.(22-23高三上?天津和平?期末)設函數/(x)=［工廠)/N°,若函數g(x)=f(x)-aM合有兩個

I——2x—4,x<0

零點，則實數a的取值范圍為()

A.(0,2］B.(0,2)C.(2,+oo)D.{2}

2.(2020?重慶?一模)已知/(久)為R上的可導函數，當x70時，/(x)+竽>0,若F(X)=(0)+3則函

數/(無)的零點個數為()

A.0B.1C.2D.0或2

3.(21-22高三上?天津河北?期中)已知函數/(久)=對nx-1,則/(久)的零點所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

4.(2024高三.全國.專題練習)函數f(x)=2x+x—2的零點個數是()

A.0B.1

C.2D.3

6.(23-24高三下.重慶.階段練習)已知函數/(%)=(/+Hi%+九)e%,若函數/(')有兩個不同零點，則/(久)

極值點的個數為.

7.(23-24高三上.天津濱海新?階段練習)已知函數/(久)=［爐—產+i.

(1)求曲線y=/(x)在點(1)(1))處的切線方程；

(2)求函數八%)在［-2,刀上的單調區(qū)間、最值.

(3)設g(%)=/(x)-a在［-2,2］上有兩個零點，求。的范圍.

能力提升

1.(23-24高三上.天津南開?階段練習)若函數f(x)=|a，+/一久ina—前一2,(a>0且a71)有兩個零

點，則m的取值范圍()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(3,+oo)D.(-oo,-l)

11nxIYQ

'若函數g(x)=f(x)-b有兩個零點，

{ex(x+1),x<0,

則實數b的取值范圍是()

A.(一1，0)B.(二1，0］

11

C.(7O]U(1,+oo)D.(?1)

—_x〉Q且％-j~]

3.(2023?吉林?一模)已知函數/(%)二%T''若函數g(%)=/2(x)一m/(x)-e4有4個

、—f(—%),x<0且％H—1,

零點.則實數m的取值范圍是.

4.(2023?天津河北?一模)設k€R,函數/(行=’5：)；；；；。，若/(%)恰有兩個零點，則k的取值范

圍是.

5.(23-24高三上?天津河北?期中)已知函數f