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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

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第01講集合與常用邏輯用語

（8類核心考點(diǎn)精講精練）

IN.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第1題,5分交集的概念與運(yùn)算

充分條件的判定及性質(zhì)、必要條件的判定及性質(zhì)、比較指數(shù)累的大小、判

2024年天津卷，第2題,5分

斷一般基函數(shù)的單調(diào)性

2023年天津卷，第1題,5分并交補(bǔ)混合運(yùn)算

2023年天津卷，第2題,5分必要條件的判斷與性質(zhì)

2022年天津卷，第1題,5分交集的概念及運(yùn)算、交并補(bǔ)混合運(yùn)算

2022年天津卷，第2題,5分判斷命題的充分與必要條件

2021年天津卷，第1題,5分并交補(bǔ)混合運(yùn)算

2021年天津卷，第2題,5分判斷命題的充分與必要條件

2020年天津卷，第1題,5分并交補(bǔ)混合運(yùn)算

2020年天津卷，第2題,5分判斷命題的充分與必要條件

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，充分條件與必要條件的判斷，能夠判斷元素與集合、集合與

集合的關(guān)系，能夠判斷命題的充分條件與必要條件

2.能掌握集合交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算和性質(zhì)，會(huì)判斷充分條件與必要條件

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助Venn圖、數(shù)軸等工具解決集合的計(jì)算問題，會(huì)利用集

合間的關(guān)系解決充分條件必要條件問題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給兩個(gè)集合，要求通過解不等式求出一個(gè)集合，然

后通過集合的運(yùn)算得出答案，一般給出兩命題，要求判斷兩個(gè)命題的充分條件與必要條件等。

1

(\?考點(diǎn)梳理

集合的概念

常用數(shù)集及其記法

J考點(diǎn)一.元素與集合的關(guān)系

r知識(shí)點(diǎn)一.集合的含義與表示〈集合與元素間的關(guān)系

1考點(diǎn)二.集合中元素的特征

集合的表示法

集合的分類

子集｛考點(diǎn)三.集合間的基本關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)二.集合間的基本關(guān)系真子集

相等

集合與常用邏輯用語

知識(shí)點(diǎn)三.子集與元素之間的關(guān)系考點(diǎn)四.子集個(gè)數(shù)問題

集合的并交補(bǔ)運(yùn)算

考點(diǎn)五.集合的并交補(bǔ)運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)四.集合的基本運(yùn)算集合的包含關(guān)系

考點(diǎn)六.Venn圖的運(yùn)用

重要結(jié)論

命題

知識(shí)點(diǎn)五.命題、充分條件、必要條件與充要考點(diǎn)七.充分條件與必要條件

充分條件、必要條件與充要條件

條件考點(diǎn)八.全稱量詞命題與存在量詞命題

全稱量詞與存在量詞

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.集合的含義與表示

1.集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性

2.常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N,表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，0表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集

3.集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象a與集合M的關(guān)系是aeM,或者aCM,兩者必居其一。

4.集合的表示法

①自然語言法:用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?/p>

②)列舉法才巴集合中的元素-列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合

③描述法:｛xlx具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素、

④圖示法:用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合

5.集合的分類

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集

②含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集

2

③不含有任何元素的集合叫做空集(0)

知識(shí)點(diǎn)二.集合間的基本關(guān)系

名稱記號(hào)意義麗示意圖

(1)A￡A"或

(2)0￡A

AQB(或B2

子集A中的任一元素都屬于B

(3)若力￡B且B￡C,則AUC

4)

(4)若力cB且BcA,貝(M=B

真子AcB俄AQB,且B中至少有一元(1)號(hào)(A為非空子集)(2)若

集BoA)素不屬于AAuB且BuC,貝IMUC

豐豐W

集合A中的任一元素都屬于B,

A=B(1)ACB(2)BCA

相等B中的任一元素都屬于A

知識(shí)點(diǎn)三.子集與元素之間的關(guān)系

已知集合4有n(n>1)個(gè)元素，則它有2"個(gè)子集，它有2n-1個(gè)真子集，它有"-1個(gè)非空子集，它有2

非空真子集.

知識(shí)點(diǎn)四.集合的基本運(yùn)算

1.集合的并交補(bǔ)運(yùn)算：

AflB=｛川xGA,且NGB｝；AUB=(z|zeA,或ZWB>；|；必=｛足才￡17,且無衛(wèi)川

2.集合的包含關(guān)系:A￡A;0GA;

3.識(shí)記重要結(jié)論：力CB=HQHUB；AUB=H=A?B；

CV｛AUB)=CyAnCyB;Cu(4ClB)=CUAUCUB

知識(shí)點(diǎn)五.命題、充分條件、必要條件與充要條件

1、命題:可以判斷真假的語句叫命題。

邏輯聯(lián)結(jié)詞:“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞。

3

簡(jiǎn)單命題:不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。

復(fù)合命題:由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題常用小寫的拉丁字母p,q,r,s,.表示命題

2、充分條件、必要條件與充要條件

(1)、一般地，如果已知p=q,那么就說:p是q的充分條件，q是p的必要條件；

若P=q,則p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件

(2)、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區(qū)分命題的條件p與結(jié)論g之間的關(guān)系

3、從邏輯推理關(guān)系上看：

①若p=>q,則p是q充分條件，q是p的必要條件；

②若p=>q,但q^p,則p是q充分而不必要條件：

③若p#q,但q=>p,則p是q必要而不充分條件；

④若p=q且q=p,貝!]p是q的充要條件；

⑤若P今q且q/p,則p是q的既不充分也不必要條件，

4、從集合與集合之間的關(guān)系上看：

已知A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q}

①AUB,則p是q充分條件；

②若BUA,則p是q必要條件；

③若A缶B,則p是q充分而不必要條件；

④若BcA,則p是q必要而不充分條件；

⑤若A=B,則p是q的充要條件；

⑥若A<tB且B(tA,則p是q的既不充分也不必要條件

5、全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱命題

短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命

題

(2)存在量詞與特稱命題

短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“不表示.含有存在量詞的命題，叫做特

4

稱命題

（3）全稱命題與特稱命題的符號(hào)表示及否定

①全稱命題P：VxeM,p（x）,它的否定「P與X°eM,rp（x。）.全稱命題的否定是特稱命題

②特稱命題p：aXoGM,p（x0）,它的否定->p:VxeM,-1P（x）特稱命題的否定是全稱命題

考點(diǎn)一、元素與集合的關(guān)系

典例引領(lǐng)

1.（2022?全國(guó)?高考真題）設(shè)全集U={123,4,5},集合M滿足={1,3},則（）

A.2GMB.3GMC.4gMD.5gM

【答案】A

【分析】先寫出集合M,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可

【詳解】由題知M={2,4,5},對(duì)比選項(xiàng)知，A正確,BCD錯(cuò)誤

故選:A

2.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知全集U={-2,-1,0,1,2],ACB={-1,1},AUB={-2,-1,1,2},則（）

A.-1GA,-1￡BB.2E42EB

C.-2gA-2g5D.0240WB

【答案】D

【分析】由交集和并集的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】由U={-2,-1,0,1,2},ACB={-1,1},AUB={-2,-1,1,2}知,

-leA,-lEB,2不同時(shí)在集合2,8中，一2必在集合4,8之一中，

集合4B中都不含0.

故選：D.

即時(shí)壁L

1.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）已知力=卜|嘿30卜若2€4則m的取值范圍是（）

I\mx-l）

A.—1<m<|B.-1<m<|C.mW—：或D.mW-]或小2]

【答案】A

【分析】將x=2代入R<0,然后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解可得.

mx—1

【詳解】因?yàn)?64所以智等價(jià)于{（2爪之1）（27]戶40,

2m-iI2m-1W0

解得—i<m<i.

5

故選：A

2.(2024?河南信陽?模擬預(yù)測(cè))已知非空集合A={x\a<x<a2},則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,1)B.(—8,0)

C.(-oo,0)U(1,+oo)D.(-oo,-1)U(0,+oo)

【答案】C

【分析】由題意可得a2>a,解不等式可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】因?yàn)榧螦={x|a<x<a2}是非空集合，

所以a2>a,解得a<0或a>1,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一8,0)U(1,+8),

故選：C

3.(2024?北京?三模)已知集合4={x|lnx<1},若a24,則a可能是()

1

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【分析】解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合A,進(jìn)而求出a的取值集合即得.

【詳解】由lnx<l,得0<x<e,則4={x[0cx<e},CR4={x|xW0或2e},

由得a€CR4顯然選項(xiàng)ABC不滿足，D滿足.

故選：D

4.(2023?北京房山?二模)設(shè)集合力={(x,y)|久一y20,ax+y22,x—ayW2},則()

A.當(dāng)a=l時(shí)，(1,1)金力B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(1,1)eA

C.當(dāng)a<0時(shí)，(1,1)04D.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(1,1)gA

【答案】C

【分析】依據(jù)選項(xiàng)將點(diǎn)(L1)代入驗(yàn)證即可.

【詳解】當(dāng)a=l時(shí)，A={(x,y)|x-y>0,x+y>2,x-y<2],

‘1—120

將(1,1)代入A得：1+122成立，故(1,1)C4,即A錯(cuò)誤；

.1-1<2

若a=0時(shí)，此時(shí)將(1,1)代入ax+y=l>2不成立，即B錯(cuò)誤；

當(dāng)a<0時(shí)，此時(shí)將(1,1)代入ax+y=a+122不成立，即C正確；

1-120

若a=2時(shí)，此時(shí)將(1,1)代入A得；2+122成立，即D錯(cuò)誤；

.1-2<2

故選：C.

5.(23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí))已知集合力={x|x>a(a—1)},OGA,貝ija的取值范圍是.

【答案】0<a<l

【分析】由題意可得a(a-l)<0,解之即可得解.

【詳解】因?yàn)榧?={x\x>a(a-1)},0&A,

6

所以a（a-1）<0,解得0<a<1.

故答案為：0<a<l.

6.（23-24高三上?上海普陀?期末）已知06{2,/-1},則實(shí)數(shù)x=.

【答案】±1

【分析】直接根據(jù)/一1=0求解即可.

【詳解】0e[2,X2-1）,

x2—1—0,

解得x-±1.

故答案為：±1.

考點(diǎn)二、集合中元素的特征

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高考真題）已知等差數(shù)列{冊(cè)}的公差為g，集合S={cosan|nGN*},若S={a,b},貝Uab=（）

A.-1B.--C.0D.-

22

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理

作答.

【詳解】依題意，等差數(shù)列5}中，須=的+0-1）彳=&+a-爭(zhēng)，

顯然函數(shù)丫=cos[得?1+（的一等）]的周期為3,而n€N*,即cos%!最多3個(gè)不同取值，又{COSOJTIeN*}=

{a,b],

貝!J在cos%,cos%cos的中，cos%=cosa2Hcos的或cos%Hcosa2=cosa3,

于是有cos。=cos（e+壬，即有8+（e+g）=2k7t,keZ,解得e=E—],kez,

所以k￡Z,ab—cos（far—|）cos[（/c7t—1）+y]——cos（k兀—^）cosfcrt=-cos2fcncos|=一

故選：B

2.（23-24高三上?遼寧丹東,期中）已知集合4={0,l,a2},B={l,0,2a+3},若4=B,則。=（）

A.-1或3B.0C.3D.-3

【答案】C

【分析】由集合相等的含義得a?=2a+3,求解并驗(yàn)證互異性即可.

【詳解】VA=B,

■.a2=2a+3,解得a=-1或3,

當(dāng)a=-1時(shí)，a2=2a+3=l,

不滿足集合中元素的互異性，舍去.

7

當(dāng)Q=3時(shí)，a2=2a+3=9,

此時(shí)/=B={0,1,9},滿足題意.

綜上，a=3.

故選：C.

即0睜（

1.（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）已知集合力={1,3,。2},集合B={l,2+a},若4uB=4則口=—.

【答案】2

【分析】根據(jù)集合中元素的互異性和集合并集的運(yùn)算可求a的值.

【詳解】因?yàn)锳\JB-A,所以2+a=3或a?-2+a.

若2+a=3,則a=l,止匕時(shí)a?=1,集合2中的元素不滿足互異性，故a=1舍去.

若a2=2+a則a-1或a=2.

當(dāng)a=-l時(shí)，a2=l,集合力中的元素不滿足互異性，故a=-l舍去；

當(dāng)a=2時(shí)，A={1,3,4}>B={1,3},AL）B=A,故a=2符合題意.

故答案為：2

2.（23-24高三上?河南南陽?階段練習(xí)）集合,僅=+,％62）/€2}中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)xez,yez,取值驗(yàn)證即可得集合中所有元素.

【詳解】因?yàn)閥€Z,即擊€Z,所以x+2的可能取值為±1,±2,±3,±6,

分別代入可得y=-6,-3,—2,-1,1,236,所以集合中共有8個(gè)元素.

故選：D

3.（22-23高三上?天津河西?期中）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成{a,g,1},又可表示成{a?,a+b,0},則。2。22+

82022_

【答案】1

【分析】根據(jù)集合相等，則元素完全相同，分析參數(shù)，列出等式，即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閧a,'l}={a2,a+b,0},

顯然aR。，故2=0,貝昉=0；

a

此時(shí)兩集合分別是{a,1,0},{a,a2,0）,

則小=1,解得a=1或一1.

當(dāng)Q=1時(shí)，不滿足互異性，故舍去；

當(dāng)。=一1時(shí)，滿足題意.

8

所以。2。22+匕2022=（_1）2022+02022=1

故答案為：1.

考點(diǎn)三、集合的基本關(guān)系

典例引領(lǐng)

1.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）在下列選項(xiàng)中，能正確表示集合4={-3,0,3}和8={%|%2+3久=0}的關(guān)系

的是（）

A.A=BB.X2FC.AQBD.AnB=0

【答案】B

【分析】先求出集合B,然后利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由8={用/+3x=0},可得8={—3,0},又4={一3,0,3},所以A2B

故選：B

2.（2024?遼寧?三模）若全集U=R,A={x\x<2],B={y\y=ex,xe7?）,則下列關(guān)系正確的是（）

A.AQBB.BQAC.BQD.瓦力UB

【答案】D

【分析】求出集合B中函數(shù)的值域，得到集合8,判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系.

【詳解】全集U=R,A={x|x<2},則C（M={x|久22},

B=[y\y=ex,xER}-{y\y>0},■所以CM￡B.

故選：D

即

1.（2024?重慶?三模）已知集合力={%|/-1=0},集合B={a+l,a-l,3},若力UB,則。=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】利用子集的概念求解.

【詳解】集合4={x|/-1=0}={-1,1},集合B={a+1,a-1,3},

若AUB,又a+l>a—1,所以產(chǎn)十丁=1,,解得a=0.

故選：B

2.（2024?河南信陽?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={用g=a,a,beR},B={b[},4aB,則a的取值集合

為.

【答案】{0,132}

【分析】本題根據(jù)集合之間的關(guān)系，對(duì)參數(shù)分類討論，即可確定參數(shù)的取值.

9

【詳解】由題意可知：%W0,b。0,bW±1,

因?yàn)?G邑所以當(dāng)4=0時(shí)，a=0；

當(dāng)月70時(shí)，貝反=勺€8,

a

則2=b或2=i解得Q=1或Q=b12，

aab

綜上得，a的取值集合是{0,1,/}.

故答案為：{0,1,8}

3.(23-24高三下?河南鄭州?階段練習(xí))已知集合A={x|x2-3x<0],B={x|=2<x<2],C={x\x<a],

且Q4nB)￡c,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】[2,+8)

【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A,再利用交集的定義及集合的包含關(guān)系求解即得.

【詳解】依題意，A=[x]x2—3%<0}={x|0<%<3},則力CB={x|0<x<2],

由Q4nB)UC,得a22,所以a的取值范圍是[2,+8).

故答案為：[2,+8)

考點(diǎn)四、子集個(gè)數(shù)問題

典例引領(lǐng)

1.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知集合4={%6N|2久2—5x40},則力的子集個(gè)數(shù)為()

A.4B.7C.8D.16

【答案】C

【分析】求出集合4中元素，進(jìn)而求出集合4的子集個(gè)數(shù).

【詳解】由題意得，X=[x6N|0<x<|}={0,1,2),

則4的子集個(gè)數(shù)為23=8,

故選：C.

2.(23-24高三下?遼寧?階段練習(xí))已知集合4={0,1,2,3},B={%|y=ln(-%2+4%)},貝必nB子集的個(gè)數(shù)

為()

A.4B.8C.15D.16

【答案】B

【分析】先求出集合B,再根據(jù)交集的定義求出anB,由此可判斷4CB子集的個(gè)數(shù).

【詳解】B—[x\y—ln(—x2+4x)}=[x\y——x2+4x>0}={%|0<%<4},

所以4CB={1,2,3},

所以力nB子集的個(gè)數(shù)為23=8個(gè).

10

故選：B.

即時(shí)檢測(cè)

[___________________

1.（2024?安徽安慶?二模）若集合P={x|—2W久<m—爪2,比eZ},當(dāng)m時(shí)，集合P的非空真子集個(gè)數(shù)

為（）

A.8B.7C.6D.4

【答案】C

【分析】先確定集合P中的元素，再求其非空真子集個(gè)數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)爪=決寸，

集合P—{x|-2Wx<[,xez}={-2,-1,0）,

集合P中有3個(gè)元素，所以集合P的非空真子集個(gè)數(shù)為23-2=6.

故選：C

3

2.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合4=卜嗎用,B=（2,lne,^},則力UB的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)集合力、B,即可求出4UB,再判斷其子集個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)閍=卜吟等={2,嶗，B={23舞,

所以回8={2,3,寫},則4UB的子集有23=8個(gè).

故選：C

3.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合M={xez|B|<。},則集合M的非空真子集個(gè)數(shù)為（）

A.16B.15C.14D.13

【答案】C

【分析】解不等式求得集合M,再根據(jù)子集定義得結(jié)論.

【詳解】由得（％-2）（%+3）<0,-3<x<2,所以M={—2,-1,0,1}，

因此M的非空真子集個(gè)數(shù)為24-2=14,

故選：C.

4、（2024?天津和平?一模）已知集合2={x6N|-2Wx<2},B={x€Z||x|<2},集合C=AnB,則集合

C的子集個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得集合C,然后可解.

【詳解】因?yàn)榱?{0,1},F=[-1,0,1）,

11

所以C=ArB={0,1},

所以集合C的子集個(gè)數(shù)為22=4.

故選：D

考點(diǎn)五、集合的并交補(bǔ)運(yùn)算

?典例引領(lǐng)

1.(2023?天津?高考真題)已知集合〃={1,2,3,4,5},4={1,3},B={1,2,4},則C(/BuA=()

A.{1,3,5}B.{1,3}C.[1,2,4}D.{1,2,4,5}

【答案】A

【分析】對(duì)集合B求補(bǔ)集，應(yīng)用集合的并運(yùn)算求結(jié)果；

【詳解】由g8={3,5},而4={1,3},

所以QBU4={1,3,5}.

故選：A

2.(2024?天津?高考真題)集合力={1,2,3,4},B={2,3,4,5},則力nB=()

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

【答案】B

【分析】根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.

【詳解】因?yàn)榧?={1,2,3,4},B={2,3,4,5},

所以4rB={2,3,4},

故選：B

即0^(

1.(2024?北京?高考真題)已知集合M={x|-3<x<1],/V={x|-1<%<4],則MUN=()

A.{x|-1<x<1}B.{x\x>—3}

C.{x|-3<%<4]D.{x\x<4}

【答案】C

【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.

【詳解】由題意得MUN={久|一3<x<4}.

故選：C.

2.(2024?全國(guó)?高考真題)已知集合2={x|-5<x3<5},B=[-3,-1,0,2,3},則力CB=()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,—1,0}D.{-1,0,2}

【答案】A

【分析】化簡(jiǎn)集合4由交集的概念即可得解.

12

【詳解】因?yàn)榱?{x|-V5<%<V5},B={—3,—1,0,2,3},且注意到1<遮<2,

從而力CB={-1,0}.

故選：A.

3.(2024?全國(guó)?高考真題)已知集合4={123,4,5,9},B={久|近€4},則()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【分析】由集合B的定義求出B,結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)?={123,4,5,9},B={x|?eA],所以B={1,4,9,16,25,81),

則ACB={1,4,9},CA(.ACB)={2,3,5}

故選：D

4.(2024?全國(guó)?高考真題)若集合力={1,2,3,4,5,9},B={x\x+l&A},則4cB=()

A.{1,3,4}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4,9}

【答案】C

【分析】根據(jù)集合B的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.

【詳解】依題意得,對(duì)于集合B中的元素x,滿足x+1=1,2,3,4,5,9,

貝!U可能的取值為0,1,2,3,4,8,即B={0,1,2,3,4,8},

于是4n8=[1,2,3,4).

故選：C

5.(2023?全國(guó)?高考真題)設(shè)全集U=Z，集合M={x|x=3k+l,keZ},N={x|x=3k+2,keZ},Cy(MU

N)=()

A.{x\x=3k,kEZ}B.{x\x=3k—l,kEZ]

C.{x\x=3k—2,kEZ]D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集Z={x|x=3k,keZ}U{用x=3k+l,keZ}U{用x=3k+2,keZ},U=Z,所以，

Cu(MuN)={x\x=3k,keZ}.

故選：A.

6.(2023?全國(guó)?高考真題)設(shè)集合U=R,集合M=[x\x<1},N(x\-1<x<2},貝式處久>2]=()

A.Cu(MUN)B.NUCUM

C.Cu(MCN)D.MURN

【答案】A

【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為{x|x>2}即可.

【詳解】由題意可得MUN={久阿<2},則Cu(MUN)={用％22},選項(xiàng)A正確；

CyM={x\x>1},則NUQM={x|x>—1},選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

13

MN={x\-1<x<1],則Cu(MnN)={x\xW—1或x21},選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

CuN=(x\xW-1或x22},則MUC/V={x\x<1或x22},選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

7.(2023?全國(guó)?高考真題)設(shè)全集U={123,4,5},集合M={1,4},N={2,5},則NUQM=()

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

【答案】A

【分析】利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)槿?={123,4,5},集合"={1,4},所以CuM={2,3,5},

又可={2,5},所以NuCu"={2,3,5},

故選：A.

考點(diǎn)六、Venn圖的運(yùn)用

典例引領(lǐng)

1.（2024?湖南邵陽?三模）已知全集0=/?,集合4={萬一1WxW2},B={%|1<%<6},如圖所示，則圖

中陰影部分表示的集合是（）

A.{x|-l<x<6}B.{x\x<—1}C.{x\x>6}D.{x\x<—1或%>6}

【答案】D

【分析】先根據(jù)并集運(yùn)算求得，然后利用補(bǔ)集的概念求解陰影部分表示的集合即可.

【詳解】因?yàn)榱?{劃一1WxW2},B=<%|1<%<6},所以力UB={x|—lWxW6},

所以圖中陰影部分表示的集合Cu（4UB）={x\x<-1或x>6}.

故選：D

2.（2024?湖北黃岡?二模）已知集合4=度€210-3）（久+2）40},8={幻/一1|<1],則圖中陰影部分表

示的集合為（）

B.{3}C.{1,2}D.[1,2,3)

【答案】B

【分析】利用韋恩圖來理解集合的運(yùn)算即可.

【詳解】

14

因?yàn)榱?{xGN|(x-3)(%+2)<0}={0,1,2,3},B={x||x-1|<1]={x|0<x<2],

由韋恩圖可知，陰影部分表示(C/)D4所以(CuB)na={3}.

故選：B.

即電榨(

L(23-24高三下?重慶?階段練習(xí))如圖所示，U是全集，A,B是U的子集，則陰影部分所表示的集合是()

A.Cu(AuB)B.力U(CuB)C.(QM)n(QB)D.(Q①U(C/)

【答案】D

【分析】根據(jù)題中韋恩圖結(jié)合集合間運(yùn)算分析判斷.

【詳解】圖中陰影部分表示的集合為Cu(4nB)=(C(M)U(QB).

故選：D.

2.(2024?山西?三模)已知集合4B均為集合U的子集，則(CM)nB表示的區(qū)域?yàn)?)

【分析】根據(jù)韋恩圖及補(bǔ)集、交集的定義判斷即可.

【詳解】由韋恩圖可知Q4包含區(qū)域①④，

所以(CM)nB表示的區(qū)域?yàn)棰?

故選：A

3.(2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè))如圖所示的Venn圖中，4、B是非空集合，定義集合力區(qū)B為陰影部分表示

的集合.若力={%eZ|/一3久一4<0},B={xEZ\\x\<2],則4⑤B=()

15

C.{-2,-1,2,3}D.{-2,-1,3}

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由集合的運(yùn)算結(jié)合力的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榱?{%eZ|X2-3X-4<0}={0,1,2,3},

B={xeZ\\x\W2}={-2,-1,0,1,2},

則力nF={0,1,2}/UB={-2,-1,0,1,2,3},

由集合A?B的運(yùn)算可知，A0B表示力UB中去掉力ClB的部分，

所以4OB={—2,—1,3}.

故選：D

4.（2024?廣西柳州?三模）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有90%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)

生喜歡足球，80%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）

A.70%B.60%C.50%D.40%

【答案】C

【分析】根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運(yùn)算即可.

2

5.(2023?四川南充一模)已知全集U=R,集合2={x|log3(x-1)>1},B-{幻^-+y-1],則能表示A,

16

【答案】c

【分析】計(jì)算出集合人B后結(jié)合集合的關(guān)系即可得.

【詳解】由log3（x-l）>l,得x-l>3,解得x>4,HP4={x\x>4},

由1+必=1,得—2WxW2,即8={%|-2WxW2},

則力C8=0,又4UU,BQU,故選項(xiàng)C正確.

故選：C.

考點(diǎn)七、充分條件與必要條件

典例引領(lǐng)

1.（2024?天津?高考真題）設(shè)a,2eR,則，合=〃”是“3。=3匕”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】說明二者與同一個(gè)命題等價(jià)，再得到二者等價(jià)，即是充分必要條件.

【詳解】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，a3=振和3a=3b都當(dāng)且僅當(dāng)a=b,所以二者互為充要條件.

故選：C.

2.（2022?天津?高考真題）“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】用充分條件、必要條件的定義判斷.

【詳解】由“為整數(shù)能推出2x+1為整數(shù)，故“%為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的充分條件，

由無=1,2x+1為整數(shù)不能推出x為整數(shù)，故“X為整數(shù)”是“2%+1為整數(shù)”的不必要條件，

綜上所述，“X為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的充分不必要條件，

故選：A.

（_______即_時(shí)___檢___測(cè)____

1.（2024?全國(guó)?高考真題）設(shè)向量工=Q+1,x）是=（久,2）,則（）

A.）=-3"是2_L定的必要條件B.“％=-3”是*//介的必要條件

17

C.“x=0”是21點(diǎn)的充分條件D.“x=-1+遍”是7//戶的充分條件

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對(duì)A,當(dāng)方，石時(shí)，則之々=0,

所以x-(x+l)+2x=0,解得比=0或一3,即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)x=0時(shí)，a=(1,0)5=(0,2),故方方=0,

所以反即充分性成立，故C正確；

對(duì)B,當(dāng)方〃6時(shí)，則2(久+1)=/,解得x=l土百，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)x=—1+禽時(shí)，不滿足2(x+l)=/,所以方//方不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.(2023?北京?高考真題)若xy4O,則“x+y=0"是?+j=-2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】解法一：由工+?=—2化簡(jiǎn)得到x+y=0即可判斷；解法二：證明充分性可由x+y=0得到x=-y,

yx

代入2化簡(jiǎn)即可，證明必要性可由工+2=-2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由

yxyx

工+上通分后用配湊法得到完全平方公式，再把x+y=O代入即可，證明必要性可由工+?通分后用配湊法得

yxyx

到完全平方公式，再把x+y=O代入，解方程即可.

【詳解】解法一：

因?yàn)閤y7O,JL-+-=—2,

yx

所以/+y2=_2盯，即/+y2+2xy=。，(%+y)2=0,所以久+y=0.

所以“X+y=0"是電+?=_2”的充要條件.

yx

解法二：

充分性：因?yàn)閤y40,且x+y=O,所以x=—y,

所以二+2=口+上=-1-1=-2,

yXy-y

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)閤y力0,M-+z=-2,

yx

所以％2+y2=—2%y,即％2+y2+2%y=0,即(％+y)2=。，所以久+y=0.

所以必要性成立.

所以"％+y=0"是g+上=_2”的充要條件.

yx

解法三：

充分性：因?yàn)?yHO,且久+y=0,

18

trI%,yx2+y2x2+y2+2xy—2xy(x+y)2—2xy—2xy

所以H一+-=-----=----------------=------------=-----=—2o，

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)閤y4O,且工+上=—2,

yx

所以2+2=，+y2_%2+/+2孫2盯_(%+y)22孫_(%+y)2_?=_?

yxxyxyxyxy

所以如2=0,所以(尤+y)2=0,所以％+y=0,

xy

所以必要性成立.

所以“x+y=?！笔恰肮?2=—2”的充要條件.

yx

故選：C

3.(2023,全國(guó)?高考真題)設(shè)甲：siHa+sin2s=1,乙：since+cos/?=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

【詳解】當(dāng)siMa+siM/?=1時(shí)，例如a==0但sina+cos￡力。，

即sin2a+sin2j5=1推不出sina+cos夕=0；

當(dāng)sina+cos夕=0時(shí)，sin2a+sin2s=(—cosj?)2+sin2/?=1,

即sina+cos/?=0能推出sin2a+sin2/?=1.

綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.

故選：B

4.(2023?天津?高考真題)已知a,beR,"a2=M是+b2=2ab”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.

【詳解】由。2=按，則a=±b,當(dāng)a=-bK0時(shí)a?+房=2ab不成立，充分性不成立；

由a?+按=2ab,貝!](a—b)2=0,即a=6,顯然a?=/成立，必要性成立；

所以a?=是+/=2ab的必要不充分條件.

故選：B

5.(2023?全國(guó)?高考真題)記端為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)