立體幾何中的動態(tài)、軌跡問題（學生版）-2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點20立體幾何中的動態(tài)、軌跡問題【六大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1動點保持平行的動態(tài)軌跡問題】........................................................2

【題型2動點保持垂直的動態(tài)軌跡問題】........................................................2

【題型3距離(長度)有關(guān)的動態(tài)軌跡問題】....................................................4

【題型4角度有關(guān)的動態(tài)軌跡問題】............................................................4

【題型5翻折有關(guān)的動態(tài)軌跡問題】............................................................5

【題型6軌跡所圍圖形的周長、面積問題】......................................................6

?命題規(guī)律

1、立體幾何中的動態(tài)、軌跡問題

“動態(tài)、軌跡”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識的題型，是高考中的重點、難度問題，它滲透

了一些“動態(tài)”的點、線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時，由于“動態(tài)”

的存在，也使立體幾何題更趨多元化，將立體幾何問題與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問題以

及解析幾何問題之間建立橋梁，使得它們之間靈活轉(zhuǎn)化.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1立體幾何中的動態(tài)、軌跡問題的解題策略】

1.動點軌跡的判斷方法

動點軌跡的判斷一般根據(jù)線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷

出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程.

2.立體幾何中的軌跡問題的常見解法

(1)定義法：根據(jù)圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，進而求解軌跡問題.

(2)交軌法：若動點滿足的幾何條件是兩動曲線(曲線方程中含有參數(shù))的交點，此時，要首先分析兩動曲

線的變化，依賴于哪一個變量?設(shè)出這個變量為K求出兩動曲線的方程，然后由這兩動曲線方程著力消去

參數(shù)3化簡整理即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法我們稱為交軌法.

(3)幾何法：從幾何視角人手，結(jié)合立體幾何中的線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找到動

點的軌跡，再進行求解.

(4)坐標法：坐標法就是通過建立空間直角坐標系，將立體幾何中的軌跡問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題，進

行求解.

(5)向量法：不通過建系，而是利用空間向量的運算、空間向量基本定理等來研究立體幾何中的軌跡問

題，進行求解.

?舉一反三

【題型1動點保持平行的動態(tài)軌跡問題】

【例1】（2024?全國?模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體力BCD-4中，￡為棱8c的中點，F(xiàn)

為底面內(nèi)一動點（含邊界）.若DF〃平面&EC1，則動點尸的軌跡長度為（）

A.V3B.V5C.2V2D.V2

【變式1-1]（2024?北京昌平?二模）已知棱長為1的正方體4BCD-&B1C1D1，M是8位的中點，動點P

在正方體內(nèi)部或表面上，且MP〃平面4B%,則動點P的軌跡所形成區(qū)域的面積是（）

A.yB.V2C.1D.2

【變式1-2]（2024?江西贛州?二模）在棱長為4的正方體4BCD-中，點P滿足標=4萬，E,F

分別為棱BC,CD的中點，點Q在正方體ABCD-4/1的小的表面上運動，滿足力心〃面則點Q的軌跡

所構(gòu)成的周長為（）

A0「門

A.5V37B.2V37C-7V37D.-8-V-3-7-

333

【變式1?3】（2024?山東棗莊?二模）如圖，在棱長為1的正方體/BCD—A/iCiDi中，/是必當?shù)闹悬c，

點尸是側(cè)面CDDiCi上的動點，且.MP〃平面力BiC,則線段VF長度的取值范圍為（）

A.他，閭B.[1,當

C.他用口.阿|]

【題型2動點保持垂直的動態(tài)軌跡問題】

【例2】（2024?山東濰坊?一模）如圖所示，在棱長為1的正方體4BCD-中，點P為截面力也遭

上的動點，若DP1&C,則點P的軌跡長度是（）

A.—B.V2C.-D.1

22

【變式2-1］（2024?海南省直轄縣級單位?模擬預測）已知四棱柱4BCD-4/1的￡）1的底面A8CD為正方形,

側(cè)棱與底面垂直，點P是側(cè)棱上的點，且DP=2P%,44i=3,48=1.若點Q在側(cè)面BCC/i（包括其邊

界）上運動，且總保持力QIBP,則動點Q的軌跡長度為（）

AD

BiG

AB2V3cV5

A.v3B.v2C.D.—

【變式2-2］（2024?廣西玉林?三模）在正四棱柱ABCD—4iBiCiDi中，AB=1,44〕=4,E為中點，

P為正四棱柱表面上一點，且CiPLBiM則點P的軌跡的長為（）

A.V5+V2B.2V2+V2C.2V5+V2D.V13+V2

【變式2-3］（2024?廣西南寧?一模）在邊長為4的菱形力BCD中，^ABC=120°.將菱形沿對角線4C折疊成

大小為30。的二面角AC-D.若點E為8'C的中點，F(xiàn)為三棱錐F-ACD表面上的動點，且總滿足2C，EF,

則點尸軌跡的長度為（）

4+巡一迎4+V6+V2

A.B.C.4+V6-V2D.4+V6+V2

22

【題型3距離（長度）有關(guān)的動態(tài)軌跡問題】

【例3】（2024?四川南充?二模）三棱錐力一BCD中，AB=AC=AD=4,BC=CD=DB=6,P為△BCD

內(nèi)部及邊界上的動點，AP=2V2,則點P的軌跡長度為（）

A.nB.2KC.3nD.4n

【變式3-1］（2024?廣東梅州?一模）如圖，正四棱柱中，Za=2/B=2,點P是面488遇1

上的動點，若點P到點。1的距離是點P到直線的距離的2倍，則動點P的軌跡是（）的一部分

Di

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【變式3-21（23-24高三上?江西撫州?階段練習）設(shè)43是半徑為企的球體。表面上的兩定點，且乙408=5

球體。表面上動點M滿足MH=gMB,則點M的軌跡長度為（）

.4V6「2V30萬4V15卜2V33

A.——TCB.——TCC.------71D.-----TI

751111

【變式3-3］（2023?陜西西安?模擬預測）已知正方體A8CD-4/1的小的棱長為2Vxp是正方形B/C1C

（含邊界）內(nèi)的動點，點P到平面&BD的距離等于苧，則D,P兩點間距離的最大值為（）

A.2V3B.3C.3V2D.2V6

【題型4角度有關(guān)的動態(tài)軌跡問題】

【例4】（2024?全國?模擬預測）已知正四棱錐P-4BCD的體積為竽，底面ABCD的四個頂點在經(jīng)過球心的

截面圓上，頂點P在球。的球面上，點E為底面力BCD上一動點，PE與P。所成角為9則點E的軌跡長度為（）

A.V2TTB.4伍C.亨D.竽TT

【變式4-1］（2024?海南?？?一模）如圖，點P是棱長為2的正方體力BCD-4/的。1表面上的一個動點，

直線4P與平面力BCD所成的角為45。，則點P的軌跡長度為（）

【變式4-2］（23-24高一上?浙江紹興?期末）已知點P是邊長為1的正方體48CD-4/1的。1表面上的動點，

若直線4P與平面4BCD所成的角大小為％則點P的軌跡長度為（）

4

A.3V2B.2V2+TTC.y（4+n）D.2應+］

【變式4-3］（2024?江西?模擬預測）如圖，已知正三棱臺力BC-A/iCi的上、下底面邊長分別為4和6,

側(cè)棱長為2,點尸在側(cè)面BCM/內(nèi)運動（包含邊界），且4P與平面BCC1/所成角的正切值為逐，則所有

滿足條件的動點P形成的軌跡長度為（）

【題型5翻折有關(guān)的動態(tài)軌跡問題】

【例5】（23-24高三上?云南昆明?階段練習）如圖，已知在△力BC中，AB^1,BC^3,AB1BC,D是BC

邊上一點，且BD=1,將△力BD沿力。進行翻折，使得點B與點P重合，若點P在平面40C上的射影在△4DC

內(nèi)部及邊界上，則在翻折過程中，動點P的軌跡長度為（）

P

V2V2萬近―近

AA.—ITB.—ITC.—TCD.—TC

12864

【變式5-1］（2024?河南?模擬預測）如圖，在長方形45CD中，48=2,8C=4,￡為8C的中點，將△BHE

沿/￡向上翻折到△PAE的位置，連接尸C,PD,在翻折的過程中，以下結(jié)論錯誤的是（）

A.四棱錐P-AECD體積的最大值為2位

B.PD的中點廠的軌跡長度為粵

C.EP,CD與平面口。所成的角相等

D.三棱錐P-4ED外接球的表面積有最小值1611

【變式5-2］（23-24高二上?四川內(nèi)江?期中）如圖，已知菱形力BCD中，AB=2,ABAD=120°,E為邊BC

的中點，將△ABE沿力E翻折成△4/E（點/位于平面力BCD上方），連接/C和/D,F為當。的中點，則

在翻折過程中，點F的軌跡的長度為.

【變式5-3］（22-23高二上?廣東廣州?期末）已知矩形ABCD中力B=3,AD=V3,現(xiàn)將△4CD沿對角線4c

向上翻折（如圖所示），若在翻折過程中，點。到點8的距離在［亨，苧］內(nèi)變化時，點。的運動軌跡的長度

等于.

【題型6軌跡所圍圖形的周長、面積問題】

【例6】（23-24高三上?廣西貴港?階段練習）正三棱柱力BC-Ai/Ci的底面邊長是4,側(cè)棱長是6,M,N

分別為BBi，CCi的中點，若點尸是三棱柱內(nèi)（含棱柱的表面）的動點，〃平面ABiN,則動點P的軌跡

面積為（）

A.5V3B.5C.V39D.V26

【變式6-1］（2024?河北?模擬預測）已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點在底面的射影為正方形的中心

的棱錐為正四棱錐）尸一/BCD的底面正方形邊長為2,其內(nèi)切球。的表面積為與動點。在正方形/BCD

內(nèi)運動，且滿足OQ=OP,則動點0形成軌跡的周長為（）

【變式6-2］（23-24高二下?浙江?開學考試）在正四面體4BCD中，P,Q分別是棱4B,CD的中點，E,F分別是

直線4B,CD上的動點，且滿足|PE|+|QF|=a,M是EF的中點，則點M的軌跡圍成的區(qū)域的面積是（）

A.且B.包C.㈣D.對

4242

【變式6-3］（2024?四川"一模）如圖，正方體力BCD-&B1C1O1的棱長為3,點E在棱BC上，且滿足BE=2EC,

動點M在正方體表面上運動，且則動點M的軌跡的周長為（）

一、單選題

1.（2024?陜西銅川?模擬預測）在正四棱臺4BCD-中，A8=24B1=4百，AAt=V10,P是

四邊形4BCD內(nèi)的動點，且&P=4,則動點P運動軌跡的長度為（）

咨漁^

332

2.（2024?遼寧?模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體48。。-4/1的。1中，己知M,N,P分別是棱的小,

441，BC的中點，Q為平面PMN上的動點，且直線QB】與直線的夾角為30。，則點Q的軌跡長度為（）

3.（2024?江西?二模）已知正方體A8CD-&/的。1的棱長為4,點M滿足的=3MC,若在正方形力止1的。1

內(nèi)有一動點P滿足BP〃平面AM外,則動點P的軌跡長為（）

A.4B.V17C.5D.4V2

4.（2024?四川成都?三模）在棱長為5的正方體4BCD-&BiCiDi中，Q是。小中點，點P在正方體的內(nèi)

切球的球面上運動，且CP1AQ,則點P的軌跡長度為（）

A.0B.2圾tC.?D.5n

5.（2024?北京延慶一模）已知在正方體4BCD-&B1C1A中=1,P是正方形4BCD內(nèi)的動點,P4>PJ,

則滿足條件的點P構(gòu)成的圖形的面積等于（）

A.-B.-C.—D.-

84168

6.（2024?上海徐匯?二模）三棱錐P—4BC各頂點均在半徑為2位的球。的表面上，4B=AC=2V2,^BAC=

90',二面角P-BC-A的大小為45。，則對以下兩個命題，判斷正確的是（）

①三棱錐。-4BC的體積為*②點P形成的軌跡長度為2年.

A.①②都是真命題

B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題

D.①②都是假命題

7.（2024?四川成都?三模）六氟化硫，化學式為SF6,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體,

有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是

正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體E-

A8CD-F的棱長為a,下列說法中正確的個數(shù)有（）

①異面直線4E與8F所成的角為45°；

②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為3b；

③若點P為棱EB上的動點，貝以P+CP的最小值為2^a；

④若點。為四邊形4BCD的中心，點Q為此八面體表面上動點，且|。<?|=泉則動點Q的軌跡長度為卓cm.

A.I個B.2個C.3個D.4個

8.（2024?四川綿陽?三模）如圖，正方體力BCD—4'B'C'Z/的棱長為3,點M是側(cè)面AZM'D'上的一個動點（含

邊界），點P在棱CC'上，且|PC]=I.則下列結(jié)論不正確的是（）

A.若保持|PM|=V13.則點M的運動軌跡長度為gn

B.保持PM與BD'垂直時，點M的運動軌跡長度為2企

C.沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為2同

D.當M在D'點時，三棱錐B'-MAP的外接球表面積為:TT

二、多選題

9.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在長方體力BCD—&B1C1D1中，AB=BC=4,A4i=3,M為AD

中點，P為矩形呢1小。內(nèi)的動點（包括邊界），且NDPM=NBPC,貝U（）

A.點P的軌跡為橢圓的一部分

B.點P的軌跡為圓的一部分

C.點P的軌跡與。C,。小所圍成的圖形面積為||TT-乎

D.點P的軌跡長度為5n

10.（2024?重慶?模擬預測）已知正方體力BCD-41B1C1%的棱長為1,空間中一動點P滿足麗=4阮+

〃西（尢〃€R）,M,N,Q分別為441,48,4。的中點，則下列選項正確的是（）

AG

A.存在點P,使得&P〃平面MNQ

B.設(shè)力Ci與平面MNQ交于點K,則笠=：

C.若NP4C=30。，則點P的軌跡為拋物線

D.三棱錐P-QMN的外接球半徑最小值為甲

11.（2024?湖南益陽?三模）如圖，點P是棱長為2的正方體力BCD-的表面上的一個動點，則下

A.當點尸在平面BCC$i上運動時，四棱錐P-441%￡）的體積不變

B.當點尸在線段NC上運動時，與&品所成角的取值范圍為槨,,

C.使直線AP與平面ABCD所成角為45。的動點P的軌跡長度為IT+4V2

D.若r是公%的中點，當點尸在底面N28上運動，且滿足PF〃平面Bi。0時，尸廠長度的最小值為

V5

三、填空題

12.（23-24高三上?江西撫州?期中）已知菱形4BCD的各邊長為2,Z.D=60。.如圖所示，將△力CD沿力C折起,

使得點D到達點S的位置，連接SB,得到三棱錐S-ABC,此時SB=3.若E是線段S4的中點，點F在三棱錐S-

ABC的外接球上運動，且始終保持EF14C則點F的軌跡的面積為.

13.（2024?江西宜春?模擬預測）如圖，在四面體力BCD中，△A8C和△力CD均是邊長為6的等邊三角形，

DB=9,則四面體4BCD外接球的表面積為；點￡是線段的中點，點廠在四面體力BCD的外接球

上運動，且始終保持跖，/C,則點尸的軌跡的長度為.

A

14.（2024?四川遂寧?模擬預測）在直四棱柱ABCD—A/iCi%中，所有棱長均為2,ABAD=60°,P為C￡

的中點，點Q在四邊形DCCi。］內(nèi)（包括邊界）運動，下列結(jié)論中正確的是（填序號）.

①當點Q在線段CD】上運動時，四面體&BPQ的體積為定值

②